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Medidas de PosiçãoMedidas de PosiçãoMedidas de PosiçãoMedidas de Posição
UFALUFALUFALUFAL
Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros 
Motivação
� As medidas são ferramentas básicas 
importantes para a medição e descrição de 
diferentes características de um conjunto de 
dados.
� A distribuição de frequência descreve os 
valores que uma variável pode assumir. 
� Mostra a concentração de valores .
1. Medidas de tendência central 
� As medidas de tendência central constituem uma forma 
mais sintética de apresentar os resultados contidos nos 
dados observados, pois representam um valor central, 
em torno do qual os dados se concentram. 
� Medidas de tendência central:
� 1.1 Média; 
� 1.2 Mediana;
� 1.3 Moda
1.1 Média
�
1.1.1 Média Aritmética
� É a mais utilizada dentre todas as médias.
� Média para dados não agrupados:
� É dada pela fórmula:
� Onde:
� n é o número de valores em uma amostra;
� x
i
é cada variável que representa os valores individuais dos dados.
1.1.1 Média Aritmética
�
2
1.1.1 Média Aritmética
Propriedades da média:
� A soma algébrica dos desvios tomados em relação a media 
(a diferença entre cada elemento de um conjunto de 
valores e a média aritmética) é nula;
� Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) de todos 
os valores uma variável, a média do conjunto fica aumenta 
ou diminuída dessa constante;
� Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores uma 
variável, por uma constante (c ), a média do conjunto fica 
multiplicada ou dividida por essa constante.
1.1.1 Média Aritmética
� Média para dados agrupados:
� É dada pela fórmula:
�̅ = 	∑ ��	.	�
��� 	∑ 	�
���
� Onde:
� 
� são as frequências absolutas de cada categoria. 
1.1.2 Média Ponderada
� Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, 
todas as ocorrências têm exatamente a mesma 
importância ou o mesmo peso; 
� No entanto, existem casos onde as ocorrências têm 
importância relativa ou pesos relativos diferentes;
� Quando temos uma distribuição de frequência.
� Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta 
esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de 
média chama-se média aritmética ponderada.
1.1.2 Média Ponderada
� É dada por:
wi é o peso de cada xi .
1.1.2 Média Ponderada
� Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 
provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira 
tem peso 2.
� Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:
1.1.2 Média Ponderada
� Nos casos de tabelas de frequências:
� Sem intervalo de classe, como as frequências são 
números indicadores da intensidade de cada variável, 
funcionam como fatores de ponderação; 
� Com intervalo de classe – convenciona-se que todos 
os valores do intervalo de classe coincidem o seu 
ponto médio.
3
1.1.2 Média Ponderada
� Nos casos de tabelas de frequências:
Frequências 
(fa)
Freq. Relativa 
(fr)
Xi Xi (fa)
69,2 |-- 94,8 3 7,50% 82,0 246,0
94,8 |-- 120,4 8 20,00% 107,6 860,8
120,4 |-- 146 16 40,00% 133,2 2.131,2
146 |-- 171,6 7 17,50% 158,8 1.111,6
171,6 |-- 197,2 4 10,00% 184,4 737,6
197,2 |-- 222,8 2 5,00% 210,0 420,0
Total 40 100,00% 5.507,2
Média Ponderada = 5.507,2 / 40 = 137,68
Classes
1.1.3 Média Harmônica
� A média harmônica equivale ao inverso da média 
aritmética dos inversos de n valores.
Exemplo: A média harmônica de 12 14 16 é:
1.1.4 Média Geométrica
� É a raiz de ordem n do produto dos valores da amostra:
Exemplo: A média geométrica de 12 14 16 é:
� A média geométrica e a média harmônica são menores, ou 
no máximo igual, à aritmética.
� A igualdade só ocorre no caso em que todos os valores da 
amostra são idênticos.
� Quanto maior a variabilidade, maior será a diferença entre 
as médias harmônica e geométrica e a média aritmética.
� Exemplo: Para a amostra 12 14 16 temos:
1.1.5 Relação entre as média 
Relação entre as média Aritmética, Geométrica e Harmônica
Exemplo usando EXCEL
75,00
Números 82,00
65,00
Media Aritmetica 74,0000 MÉDIA (C1:C3)
Media Geometrica 73,6653 MÉDIA.GEOMÉTRICA(C1:C3)
Media Harmonica 73,3262 MÉDIA.HARMÔNICA(C1:C3)
1.2 Mediana
� É um número que caracteriza as observações de uma 
determinada variável de tal forma que este número de 
um grupo de dados ordenados separa a metade inferior 
da amostra, população ou distribuição de probabilidade, 
da metade superior.
� Isto é, ½ da população terá valores inferiores ou iguais à 
mediana e ½ da população terá valores superiores ou 
iguais à mediana. 
� Representada Md.
(a média não garante essa propriedade)
4
1.2 Mediana
�
1.2 Mediana
� Dados agrupados
�� ��
1 1
2 3
3 5
4 2
� 11
• n = 11 
• Mediana = 3 
• Ou seja, o sexto 
elemento.
1.2 Mediana
� Dados agrupados
� Com intervalos de classe:
Frequências 
(fa)
Freq. Relativa 
(fr)
Freq. Acumulada 
(Fa)
Freq. Acumulada 
Relativa (Fr) 
69,2 |-- 94,8 3 7,50% 3 7,50%
94,8 |-- 120,4 8 20,00% 11 27,50%
120,4 |-- 146 16 40,00% 27 67,50% Classe Md
146 |-- 171,6 7 17,50% 34 85,00%
171,6 |-- 197,2 4 10,00% 38 95,00%
197,2 |-- 222,8 2 5,00% 40 100,00%
40 100,00%
Md= 134,8
Classes
Total
120,4 + (25,6/16) * 9
1.2 Mediana
� Dados agrupados com intervalo de classes:
�� = �� + 
∑ ��
� 	 	�	����	���	��
���� . c
Sendo:
� �� : limite inferior da classe Mediana;
� ∑
�	 : número total de elementos da série;
� 
� !	�"#	�$: frequência absoluta anterior acumulada a classe Mediana;
� 
� !															 : frequência absoluta da classe Mediana;
� c : amplitude da classe Mediana.
1.3 Mediana 1.3 Moda
� É o valor que ocorre com mais frequência, em uma série de 
valores. 
� Representada por Mo.
� Numa amostra, Mo pode não existir ou ser múltipla.
� Exemplos:
� Na amostra 21 24 27 27 28 28 31 31 31 Mo = 31
� Na amostra 45 46 49 52 52 60 60 76 79 Mo = 52 e 60
� Na amostra 3 5 8 10 12 13 Amodal
5
1.3 Moda
� Para os casos de dados agrupados (tabelas de frequência):
� A moda é o ponto médio da classe modal (classe que 
apresenta maior frequência).
Frequências 
(fa)
Freq. Relativa 
(fr)
Freq. Acumulada 
(Fa)
Freq. Acumulada 
Relativa (Fr) 
69,2 |-- 94,8 3 7,50% 3 7,50%
94,8 |-- 120,4 8 20,00% 11 27,50%
120,4 |-- 146,0 16 40,00% 27 67,50%
146,0 |-- 171,6 7 17,50% 34 85,00%
171,6 |-- 197,2 4 10,00% 38 95,00%
197,2 |-- 222,8 2 5,00% 40 100,00%
40 100,00%
Mo = 133,2 (120,4 + 146 ) /2
Classes
Total
1.3 Moda
� Fórmula de Czuber: 
� Na qual:
� �� � limite inferior da classe modal
� %� amplitude da classe modal
� &' � ( 
∗ - f(ant) )
� &) � ( 
∗ - f(post) )
� 
∗ � frequência absoluta da classe modal
� f(ant) � frequência absoluta da classe anterior à classe modal
� f(post) � frequência absoluta da classe posterior à classe modal
*+ =	 �� + 	 ,�,�-	,.	 	. 	%
1.3 Moda Exemplo usando Excel
Exemplo usando Excel
Intervalo de Classes fa fr fac frac Ponto médio (xi) fa . (xi)
230 |--- 250 6 10,00% 6 10,00% 240 1.440
250 |--- 270 5 8,33% 11 18,33% 260 1.300
270 |--- 290 8 13,33% 19 31,67%
280
2.240
290 |--- 310 14 23,33% 33 55,00% 300 4.200
310 |--- 330 12 20,00% 45 75,00% 320 3.840
330 |--- 350 11 18,33% 56 93,33% 340 3.740
350 |--- 370 4 6,67% 60 100,00% 360 1.440
60 18.200
Media = 303,33
Mediana 305,71
Moda = 300,00
Moda (Czuber) = 305,00