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Medidas de Posição Medidas de Posição Medidas de Posição Medidas de Posição ---- SeparatrizesSeparatrizesSeparatrizesSeparatrizes
UFALUFALUFALUFAL
Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros 
2. Separatrizes
� A principal característica das medidas separatrizes 
consiste na separação da série em partes iguais que 
apresentam o mesmo número de valores.
� As principais são os quartis, decis e percentis. 
Consiste em dividir os valores de uma serie em 4, 10 
e 100 partes respectivamente.
2. Separatrizes
2. 1 Quartis (��, ��, e ��)
� são valores de um conjunto de dados ordenados, que os dividem em 
quatro partes iguais. 
� Q1 : deixa 25% dos elementos abaixo dele.
� Q2 : deixa 50% dos elementos abaixo dele e coincide com a mediana.
� Q3 : deixa 75% dos elementos
2. Separatrizes
2. 1 Quartis (��, ��, e ��)
� Exemplo:
10 12 14 16 18 20
1° Quartil 12,5
2° Quartil 15
3° Quartil 17,5
Mediana 15
2. Separatrizes
2. 1 Quartis – Para dados agrupados
Para cálculo usa-se a mesma técnica do calculo da mediana, 
substituído na formula 
∑ ��	
	
por 
 ∑ ��
�
, sendo k o numero do 
quartil.
�
= ��+ 
∑ ��
�
	 	�	����	���	��
����
. C
Sendo:
� �� : limite inferior da classe que contém �
;
� ∑�� : número total de elementos da série;
� ����	���	��: frequência absoluta anterior acumulada a classe que contém �
;
� ����	 : frequência absoluta da classe que contém �
;
� c : amplitude da classe que contém �
.
2. Separatrizes
2. 1 Quartis – Para dados agrupados
� Para cálculo de �	 = Md:
�	= ��+ 
 	 ∑ ��
�
	�	����	���	��
����
. C
Sendo:
� �� : limite inferior da classe que contém �	;
� ∑��: número total de elementos da série;
� ����	���	��: frequência absoluta anterior acumulada a classe que contém �	;
� ����	 : frequência absoluta da classe que contém �	;
� c : amplitude da classe que contém �	.
2
2. Separatrizes
2. 1 Quartis – Para dados agrupados
�!= ��+ 
	"	 ∑ ��
�
	 	�	����	���	��
����
. C
Sendo:
� �� : limite inferior da classe que contém �!;
� ∑��: número total de elementos da série;
� ����	���	��: frequência absoluta anterior acumulada a classe que contém �!;
� ����	 : frequência absoluta da classe que contém �!;
� c : amplitude da classe que contém �!.
2. Separatrizes
2.2 Dercis (#�, #�,	#�, #$, #%, #&, #', #(, e #))
� São valores que separam uma série em 10 partes iguais.
� Para cálculo usa-se a mesma técnica do calculo de quartis, 
substituído 
∑ ��	
	
por 
 ∑ ��
*
, sendo k o número do dercil.
+
= ��+ 
	,	 ∑ ��
-.
	 	�	����	���	��
����
. C
Sendo:
� �� : limite inferior da classe que contém	+
;
� ∑��: número total de elementos da série;
� i : número do dercil (inteiro de 1 a 9);
� ����	���	��: frequência absoluta anterior acumulada a classe que contém	+
;
� ����	 : frequência absoluta da classe que contém	+
;
� c : amplitude da classe que contém +
 .
2. Separatrizes
2.3 Percentis (/�, /�,	/�, ... /)))
� São valores que separam uma série em 100 partes iguais.
� Para cálculo usa-se a mesma técnica do calculo de quartis, 
substituído 
∑ ��	
�
por 
 ∑ ��
**
, sendo k o número do percentil.
0
= ��+ 
	,	 ∑ ��
-..
	 	�	����	���	��
����
. C
Sendo:
� �� : limite inferior da classe que contém	0
;
� ∑��: número total de elementos da série;
� i : número do percentil (inteiro de 1 a 99);
� ����	���	��: frequência absoluta anterior acumulada a classe que contém	0
;
� ����	 : frequência absoluta da classe que contém	0
;
� c : amplitude da classe que contém 0
.
Medidas de dispersão ou de Medidas de dispersão ou de Medidas de dispersão ou de Medidas de dispersão ou de 
variabilidadevariabilidadevariabilidadevariabilidade
UFALUFALUFALUFAL
Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros Prof. Petrucio A. Medeiros Barros 
Medidas de Dispersão
� Considere o valor (em reais) ganho de três grupos de empregados: 
� A: 70, 70, 70, 70, 70
� B: 50, 60, 70, 80, 90 
� C: 5, 15, 50, 120, 160
� Podemos verificar que, apesar de apresentarem a mesma média 
(70), os três grupos apresentam comportamento diferenciado, 
pois o grupo A é o mais homogêneo, e o grupo C é o que 
apresenta maior variação de ganho. 
� Portanto, se faz necessário uma medida de posição uma medida 
que avalie esta distribuição, ou seja, a variabilidade de um 
conjunto de dados. Quanto maior a variabilidade, maior será a 
dispersão das observações.
Medidas de Dispersão
� As medidas utilizadas para representar dispersão são:
� 1.1 Amplitude Total;
� 1.2 Variância e Desvio Padrão;
� 1.3 Coeficiente de Variação.
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1.1 Amplitude total ou Amplitude
� Dados não-agrupados:
� É a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto 
de dados.
� Amplitude = (maior valor) - (menor valor);
� Depende apenas dos valores maior e menor, não é tão útil 
quanto as outras medidas de variação que usam todos os 
valores.
� Exemplo: 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 11,9
� A amplitude é total: AT = 11,9 – 8,5 = 3,4
1.1 Amplitude Total ou Amplitude
� Amplitude (AT) = (maior valor) - (menor valor)
� Dados agrupados com intervalos de classe:
� A amplitude total é a diferença entre o limite superior da última 
classe e o limite inferior da primeira classe.
� AT = 222,8 – 69,2 = 153,6
Frequências 
(fa)
Freq. Relativa 
(fr)
Freq. Acumulada 
(Fa)
Freq. Acumulada 
Relativa (Fr) 
69,2 |-- 94,8 3 7,50% 3 7,50%
94,8 |-- 120,4 8 20,00% 11 27,50%
120,4 |-- 146 16 40,00% 27 67,50%
146 |-- 171,6 7 17,50% 34 85,00%
171,6 |-- 197,2 4 10,00% 38 95,00%
197,2 |-- 222,8 2 5,00% 40 100,00%
Classes
� A variância relaciona os desvios dos valores em torno da 
média. 
� O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, e 
consequentemente a variância é o quadrado do desvio 
padrão. 
� É um indicador da variabilidade da série.
� Quanto menor for o valor do desvio padrão, menor será a 
dispersão dos valores da série.
1.2 Variância 1	 e Desvio Padrão 1 1.2 Variância 1
	 e Desvio Padrão 1
� Variância: 2� = 
∑ 34	�	35
�
6
� Desvio Padrão: 	1 = 	
∑ 8�	�	8̅
 
�
� Quando se está trabalhando com amostras o interesse é
fazer inferências válidas para a população, recomenda-se
considerar : − 1 no lugar de n, nas fórmulas acima.
1.2 Variância 1	 e Desvio Padrão 1
Fórmulas alternativas:
� Variância: 2� = 
�
6
	 ∑ 34
� 	− 	
(∑ 34)
�	
6
� Desvio Padrão: 	1 = 	
�
6
	 ∑ 34
� 	− 	
∑ 34
�
6
	 
� Quando se está trabalhando com amostras o interesse é
fazer inferências válidas para a população, recomenda-se
considerar : − 1 no lugar de n, nas fórmulas acima.
1.2 Variância 1	 e Desvio Padrão 1
Fórmulas alternativas para dados agrupados:
� Variância: 2� = 
�
6
	 	∑ 34
� . @4 −	
(∑ 34.@4)
�	
6
� Desvio Padrão: 	1 =
�
	6
	 ∑ 34
� . @4 −	
(∑ 34.@4)
�
6
 
� Quando se está trabalhando com amostras o interesse é
fazer inferências válidas para a população, recomenda-se
considerar : − 1 no lugar de n, nas fórmulas acima.
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Exemplo 01- desvio padrão
� Exemplo: para a amostra 10 12 14 16 18
� A média é 14 e o desvio-padrão é calculado:
� Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero, pois a média é o valor 
central:
� 10-14=-4
� 12-14=-2
� 14-14=0
� 16-14=+2
� 18-14=+4
S = = 3,16
Exemplo 02- desvio padrão
Média = 3.200 / 80 = 40
Variância = 
(A*�
)
. 138.200	 − 	
(!.	**) 	
A*
= 129,11
Desvio = Raiz (129,11) = 11,36
34 @4 34	. @4 34
� . @4
10 1 10 100
20 5 100 2.000
30 22 66019.800
40 24 960 38.400
50 22 1.100 55.000
60 5 300 18.000
70 1 70 4.900
∑ 80 3.200 138.200
Exemplo 03
• Uma amostra de QI de 50 alunos de uma determinada faculdade.
Amplitude = 141 – 91 = 50
Número de Classes: 
� Sturges : 1 + 3,22 + log 50 = 6,47
� K = : = 50 = 7,07 
Amplitude das classes :
� G = 	
H
I
= 
%J
'
= 7,14
� G = 	
H
I��
= 
%J
&
= 8, 33
110 120 129 141 101 107 107 121 119 115
115 94 101 141 93 103 121 118 122 128
107 105 103 133 121 91 126 127 135 123
109 110 131 111 114 132 104 119 113 116
119 111 124 107 118 102 119 101 101 118
Exemplo 03 
• Uma amostra de QI de 50 alunos de uma determinada faculdade.
K4 K@ @L @LM 34 34	. @L 34
�	. @L
91 |--- 99 3 3 95 285 27.075
99 |--- 107 9 12 103 927 95.481
107 |--- 115 11 23 111 1.221 135.531
115 |--- 123 15 38 119 1.785 212.415
123 |--- 131 6 44 127 762 96.774
131 |--- 139 4 48 135 540 72.900
139 |--- 147 2 50 143 286 40.898
50 5.806 681.074
Exemplo 03 
• Uma amostra de QI de 50 alunos de uma determinada faculdade.
K4 K@ @L @LM 34 34	. @L 34
�	. @L
87 |--- 95 3 3 91 273 24.843
95 |--- 103 5 8 99 495 49.005
103 |--- 111 11 19 107 1.177 125.939
111 |--- 119 10 29 115 1.150 132.250
119 |--- 127 12 41 123 1.476 181.548
127 |--- 135 6 47 131 786 102.966
135 |--- 143 3 50 139 417 57.963
50 5.774 674.514
Média = 115,48
Variância = 157,81
Desvio = 12,56
Mediana = 115,80
Quartil 1 = 106,27
Quartil 3 = 125,80
Dercil 3 = 108,09
Moda = 115,00
Moda Czuber = 121,00
Exemplo 04 - Desvio e Variância 
Frequências (fa) Xi (fa) Xi (fa) Xi2
150,0 |-- 154,0 4 152 608 92.416
154,0 |-- 158,0 9 156 1.404 219.024
158,0 |-- 162,0 11 160 1.760 281.600
162,0 |-- 166,0 8 164 1.312 215.168
166,0 |-- 170,0 5 168 840 141.120
170,0 |-- 174,0 3 172 516 88.752
Total 40 972 6.440 1.038.080
Variância = 31,00 Desvio s = 5,5678
Classes
5
Exemplo 05:
� Considere as valores de ocupação de dois hotéis A e B.
� Alguma vantagem entre os hotéis?
1.3 Coeficiente de Variação
� Um desvio padrão pode ser considerado pequeno para uma 
serie com média de 200, mas o mesmo valor de desvio pode 
ser considerado alto para uma série com média de 20.
� O Coeficiente de Variação caracteriza a dispersão ou 
variabilidade dos dados em termos relativos ao valor médio.
� Representado por CV
� CV = (Desvio Padrão / Media) x 100
� Quanto maior o CV maior o grau de dispersão.
Exercícios
1) Foram feitas coletas do tempo (ms) de acesso de uma 
página na internet e obteve-se os valores:
85,3 84,3 79,5 82,5 80,2 84,6 79,2 70,9 78,6 86,2 74,0 83,7
Calcule:
a) Média
b) Mediana
c) Desvio Padrão
d) Variância
e) Coeficiente de variação.