Teorema de Bayes

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Teorema de
Bayes
Probabilidade
Partição de um espaço amostral:
� Os eventos A1, ..., An formam uma partição do 
espaço amostral Ω se:
• Não há eventos vazios
• Não há interseção entre os eventos
• A união dos eventos da partição é o espaço amostral
• Exemplo:
Ω
Probabilidade
Teorema de Bayes
� Sejam A1,...,An um conjunto de eventos mutuamente exclusivos 
de um espaço amostral Ω, isto é, Ω = A1 ∪ A2 ∪..., An. Seja B um 
evento de Ω. Sejam conhecidas P(��) e P (�/��), � = 1,2, …
.	
Então:
� P (�� / B) = 
�(��	∩	�)
�(�)
=	
� �� 	�(�/��)
∑ � �� 	�(�/��
�
��� )
=	, � = 1,… , 
.
� Também conhecido como teorema da probabilidade a posteriori, 
pois relaciona uma parcela da probabilidade total com a própria 
probabilidade total.
Probabilidade
Teorema de Bayes
� Exemplo 1:
� Uma companhia multinacional tem três fabricas que produzem o
mesmo tipo de produto. A fabrica I é responsável por 30% do total
produzido, a fabrica II produz 45% do total, e o restante vem da
fabrica III. Cada uma das fabricas, no entanto, produz uma proporção
de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas
normas internacionais. Tais produtos são considerados “defeituosos"
e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos totais
produzidos por fabrica.
� No centro de distribuição, e feito o controle de qualidade da produção 
combinada das fabricas.
a) Qual e a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante 
a inspeção de qualidade?
Probabilidade
Teorema de Bayes
� Sejam os eventos:
� A = {Produto Defeituoso} e
� Fi = {Produto da Fabrica i}. 
� Pelo enunciado: 
� P(F1) = 0,3 ; P(F2) = 0,45 e P(F3) = 0,25. 
� P(A/F1) = 0,01, P(A/F2) = 0,02 e P(A/F3) = 0,015.
P(A) = P(A/F1)P(F1) + P(A/F2)P(F2) + P(A/F3)P(F3) 
P(A) = 0,3 . 0,01 + 0,45 . 0,02 + 0,25 . 0,015 = 0,01575
Probabilidade
Teorema de Bayes
b) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual 
e a probabilidade que ele tenha sido produzido na fabrica II?
Aplicar Teorema de Bayes usando o item anterior para encontrar P(A):
P(F2/A) =	
P(A/F2)P(F2)
P(A) 
∴ 	
�,��	.�, !
�,�"!#!
= 0,5714
c) Qual a probabilidade que ele tenha sido da fabrica I?
P(F1/A) =	
P(A/F1)P(F1)
P(A) 
∴ 	
�,�$	.�,�"
�,�"!#!
= 0,1905
d) Qual a probabilidade que ele tenha sido da fabrica III?
P(F3/A) =	
P(A/F3)P(F3)
P(A) 
∴ 	
�,�!	.�,�"!
�,�"!#!
= 0,2381
e) P(F1/A) + P(F2/A) + P(F3/A) = 1 ∴ 0,5714 + 0,1905 + 0,2381 = 1
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Probabilidade
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Exemplo: 2
A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 Azuis, e a urna B contém 2 
vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda “honesta”. Se der cara, 
extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da 
urna B. Uma ficha vermelha é extraída. 
Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento? 
P(C) = 	
"
�
; P(Co) = 	
"
�
; 
P(V/C) =	
$
!
; P(V/Co) =	
�
"�
; P(V) = P (C V) + P( Co V)= 	
"
�
. 
$
!
+ 
"
�
.
�
"�
= 
 
"�
P(C/V) =	
P (C V)
P(V) 
= 
%
�&
'
�&
=
$
 
Probabilidade
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� Exemplo 3: 
� Qual a chance de chover dado que um time de futebol está 
jogando P(C/J) , sabendo que:
� P(C) = 0,8; P(N) = 0,2; P(F) = 0,1;
� De jogar quando chove (C) é 0,5 � P(J/C) = 0,5 ;
� De jogar quando neva (N) é de 0,3 � P(J/N) = 0,3 ;
� De jogar faltar energia no estádio (F) é 0,7 � P(J/F) = 0,7 ;
P(J) = 0,5 * 0,8 + 0,3 * 0,2 + 0,7 * 0,1 = 0,53 
Probabilidade
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� Exemplo 3: 
� Chover dado que está jogando P(C/J) ?
P(C/J) = 
�,!	.�,(
�,!$	
= 0,75472
Probabilidade
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Exemplo 4:
� Em uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de 
emissão de poluentes, 25% de todos os carros testados emitem 
quantidades excessivas de poluentes. No entanto, o teste não é perfeito e 
pode indicar resultados errados. Desta forma, carros que emitem excesso 
de poluentes podem não ser detectados pelo teste e carros que não 
emitem excesso de poluentes podem ser considerados erroneamente fora 
do padrão de emissão. Quando efetivamente testados, 99% dos carros fora 
do padrão são detectados e 17% dos carros em bom estado são 
considerados fora do padrão por erro do teste.
� Qual é a probabilidade de que um carro reprovado pelo teste emita 
realmente excesso de poluentes?
Probabilidade
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� Considere que A é o evento de que um carro seja reprovado no teste;
� B1 seja o evento de que ele emite quantidade excessiva de poluentes;
� B2seja o evento de que o carro esteja dentro das normas de emissão de 
poluentes. Então: 
� P(B1) = 0,25 
� P(B2) = 0,75 
� P(A/B1) = 0,99 
� P(A/B2) = 0,17 
� Pede-se para calcularmos P(B1/A) 
� Existe um P(A) vindo pelo evento B1 e um P(A) vindo pelo evento B2. 
P(B1/A) =	
P(B1)P(A/B1)
P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)
∴ 	
�,�!	.�,++
�,�!.�,++,�,#!.	�,"#
= 0,66
c)