Variaveis Aleatorias Continuas

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Variáveis aleatórias 
contínuas 
Variáveis aleatórias contínua 
� Para definir uma VA é necessário especificar os valores dos eventos do 
espaço amostral e suas probabilidades. 
� Quando os valores da VA podem assumir qualquer valor do conjunto dos 
Reais, a VA é denominada de VA continua.
� Exemplos:
� Preços dos carros usados;
� Salários de empregados de uma determinada empresa;
� Rentabilidade de ações.
� Não é possível registar os valores da VA continua em uma lista, tabela ou 
histograma. A VA é definida por uma curva continua e não por pontos.
Variáveis aleatórias contínua 
Para uma VA contínua X, a função f(x) denominada de Função 
de densidade de probabilidade é definida:
� Com as seguintes propriedades:
� Definida em um intervalo de valores, por exemplo, (x1, x2);
� A probabilidade é medida pela área sob a curva da função densidade 
f(x) em um determinado intervalo;
� A área total sob a curva f(x) é igual a 1.
� Com as seguintes premissas:
� A função f(x) é sempre positiva, f(x) >= 0;
� A área sob a curva é igual a 1. � � � ��.����
� A probabilidade da VA é sempre calculada dentro de um intervalo 
de valores (a, b), 		 	�	 ≤ �	 ≤ 
 ,	 dado por:
� � � ��.
�
�
Variáveis aleatórias contínua 
Seja uma VA contínua X com função densidade de 
probabilidade f(x): 
� Valor esperado de X: � = � �	� � ��.����
� Variância de X: ��= � (� − �)�� � ������
� Desvio Padrão de X : σ = 	+ ��
Variáveis aleatórias contínua 
� A variável aleatória X pode assumir todo e
qualquer valor real;
� Representada por uma curva em forma de sino,
simétrico em torno da média, que recebe o
nome de curva normal ou de Gauss;
� A área total limitada pela curva e pelo eixo das
abcissas é igual a 1, correspondendo a
probabilidade da variável aleatória X;
� A curva é assintótica em relação aos eixos das
abcissas, isto é, aproxima-se indefinidamente
do eixo sem alcança-lo;
� Por ser simétrica, a probabilidade de ocorrer
valor maior ou menor do que a média são
iguais.
Distribuição Normal – entre as distribuições teóricas de variável 
aleatórias continuas é a mais importante e mais utilizada.
Variáveis aleatórias contínua 
Distribuição Normal
� Definida por apenas dois parâmetros (média e
desvio padrão). Os valores estarão acima ou abaixo
de um determinada valor da VA, ou entre os valores
definidos.
� Para cada média e desvio padrão existe uma curva
diferente para � � .
� � � 	
�
� ��
�
− � !
"
"#"
 
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Variáveis aleatórias contínua 
Distribuição Normal 	∶ 		� � � 	
�
� ��
�
− � !
"
"#"
 
Propriedades:
� � � tende a zero quando x � ∓	∞;
� Curva simétrica em relação a média;
� A área total sob a curva é igual a 1 (um),
metade para cada lado simétrico;
� A área entre a função e o eixo das abcissas 
corresponde a probabilidade.
� A probabilidade 		 	�	 � �	 � 
 é a área 
sob a curva no intervalo (a, b).
� A probabilidade em um ponto é zero pois não existe área em 
um ponto.
Variáveis aleatórias contínua 
Distribuição Normal 	∶ 		� � � 	
�
� ��
�
− � !
"
"#"
 
� Exemplo 1 : Os resultados do experimento formam uma VA
com distribuição normal N(40,10).
a)Qual a probabilidade de um resultado ser menor ou igual a 50?
A função 
DIST.NORM.N 
calcula a 
integral da 
função no 
intervalo 
−∞, ( .
Variáveis aleatórias contínua 
Distribuição Normal 	∶ 		� � = 	 �� �� �− 
� ! "
"#" 
b) Qual a probabilidade de um resultado do experimento ser menor ou igual
a 35?
Variáveis aleatórias contínua 
Distribuição Normal 	∶ 		� � = 	 �� �� �− 
� ! "
"#" 
c) Qual a probabilidade de um resultado do experimento estar no
intervalo (25,60)?
) *+ ≤ ,- = ) ≤ ,- − ) . ≤ *+ = -, /00*+-	 � -, -,,1-0 � -, /2-334
Variáveis aleatórias contínua 
Distribuição Normal 	∶ 		� � = 	 �� �� �− 
� ! "
"#" 
� O cálculo envolve solução de integrais não triviais. A 
dificuldade foi contornada através do uso de uma nova 
variável, definida por :
5 = 	 6�7� , 
� que transforma toda a distribuição normal em uma 
distribuição normal reduzida ou padronizada, de média 
zero e desvio padrão 1, [5	~	9	 0,1 ], com valores de z 
tabelados.
Variáveis aleatórias contínua 
Distribuição Normal 	∶ 		� � = 	 �� �� �− 
� ! "
"#" 
Para um valor de � = � corresponde o valor z=0 na distribuição reduzida. 
Para	x = μ + σ, tem � se		z � 1, e	assim	por	diante.
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Variáveis aleatórias contínua 
� Para a faixa A: na coluna z da tabela de curva normal localizar o valor 1; ao 
lado, na coluna área localizar 0, assim obtém o valor 0,3413, que representa 
34,13% dos casos.
� Para a faixa B: na coluna z da tabela de curva normal localizar o valor -2; ao 
lado, na coluna área localizar 0, assim obtém o valor 0,4772. Calculando a 
diferença: 0,4772 – 0,3413= 0,1359, que representa 13,59 % dos casos.
Variáveis aleatórias 
Distribuição Normal
Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 1,70 m, e
desvio padrão é de 5 cm, estaremos dizendo:
� 1,65 m e 1,75 m encontra-se 68% da população masculina adulta
� 1,60 m e 1,80 m encontra-se 95% da população masculina adulta
� 1,55 m e 1,85 m encontra-se 99,7 % da população masculina adulta
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 2. Determine as probabilidades:
� a) P( -1,25 < z < 0)
� Pela simetria P( -1,25 < z < 0) = P( 0 < z < 1,25) = 0,3944
� Consultando a tabela z, encontramos 0,3944
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 2 . Determine as probabilidades:
� b) P( - 0,5 < z < 1,48)
� P( 0 < z < 0,5) � 0,1915
� P( 0 < z < 1,48) � 0,4306
� P( - 0,5 < z < 1,48) = 0,1915 + 0,4306 = 0,6221
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 2. Determine as probabilidades:
� c) P( 0,8 < z < 1,23)
� P( 0 < z < 1,23 ) � 0,3907
� P( 0 < z < 0,8 ) � 0,2881
� P( 0,8 < z < 1,23) = 0,3907 – 0,2881 = 0,1026
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 2. Determine as probabilidades:
� d) P( z > 0,6 )
� P( 0 < z < 0,6 ) � 0,2258
� P( z > 0,6 ) = 0,50 – 0,2258 = 0,2742
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Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 2. Determine as probabilidades:
� d) P( z > 0,6 )
� P( 0 < z < 0,6 ) � 0,2258
� P( z > 0,6 ) = 0,50 – 0,2258 = 0,2742
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 3. O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade 
tem distribuição Normal, com média = 120 min e desvio pad .= 15 min.
� a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele terminar 
o exame antes de 100 minutos?
� 	 	K	 L 	100 � 		�K L 	 �MM	���M
�N
	� � 	 K L �1,33 	
� P ( -1,33 < T < 0) = 0,4082 
� P ( T < 1,33) = 0,50 – 0,4082 = 0,0918
0,4082
Variáveis aleatórias contínua 
b) Qual deve ser o tempo de prova, de modo a permitir que 95% 
dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
T: tempo gasto no exame vestibular
	 	K	 L P	 � 0,95 � 			 5 L 	
P	 � 120
15
	 � 0,95
z é tal que A(z) = 0,95.
Pela tabela z = 1,64
P � 120
15
� 1,64	 → P � 144,6
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 4. Seja uma VA X com distribuição normal com media 220 e 
variância 16, ou seja, X ∼ N(220; 16). Calcular as probabilidades abaixo:
� a) P(X ≤ 225)� 		
6	���M
X
	� 	
��N	���M
X
� 	 5	 � 1,25 � 0.8943
Variáveis aleatórias contínua 
� b) P(210 ≤ X ≤ 228)
� P(210 ≤ X ≤ 228) = 		 	
��M���M
X
	�
Z���M
X
�
��[���M
X
�
� 	 	�2,5	 � 5	 � 2,00 � 0,9773 – 0,0062 = 0,9711
� c) Qual o valor de k tal que P(X ≤ k) = 0,01
� P(X ≤ k) = 		 	
Z���M
X
	�
\���M
X
� 0,01
�Da tabela temos que 
\���M
X
� �2,33	 ∴ ^ � 210,69
Variáveis aleatórias contínua 
� d) Quais os valores de ^�		�		^�	simétricos em torno de � tal que 
	 ^� � _	 � ^� � 0,95?
	 ^� � _	 � ^� � 	
\a	���M
X
� b	 �
\"	���M
X
= 0,95
Da tabela temos que		 b	 � 	
\a	���M
X
=b	 c
\"	���M
X
= 0,025 e
� 	
\a	���M
X
= -1,96 � 	^� �	212,16
^�		�		^�	simétricos em torno de zero, então:
� 	
\"	���M
X
= 1,96 � 	^� �	227,84
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Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 5. 
� Considere uma situação em que se estudou a durabilidade de um 
certo tipo de pneu. Verificou-se que esta durabilidade seguia uma 
distribuição normal com duração média 60.000 km e desvio-padrão 
10.000 km. Procurou-se, então, responder os seguintes 
questionamentos:
� a) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar 
mais de 75.000 km?
� X ~ N(60000;10000) e procura-se calcular a P(X > 75000) = ?
� 5 � 	
6�7
�
= 
dN.MMM	�eM.MMM
�M.MMM
� 1,5
	
� P(X > 75000) = P(z > 1,50)
� = 0,5 - P(0 < z < 1,50) = 0,4332 
� = 0,5 -0,4332 = 0,0668
Consultando esse valor na tabela de z, 
encontramos o valor 0,4332, que 
corresponde ao valor da probabilidade 
de z estar entre zero e 1,5. 
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 5. 
b) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar entre 
50.000 e 70.000 km?
� P(50000 < X < 70000) = ?
� 5� �	
6�7
�
= 
NM.MMM	�eM.MMM
�M.MMM
� �	1,0
� 5� �	
6�7
�
= 
dM.MMM	�eM.MMM
�M.MMM
� �	1,0
� P(50000 < X < 70000) = P( -1,00 < z < 1,00) 
� 0,3413 + 0,3413 = 0,6826 
Consultando esse valor na 
tabela de z, encontramos o valor 
0,3413, que corresponde ao 
valor da probabilidade de z estar 
entre zero e 1,0. 
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 5. 
c) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar 
entre 63.000 e 70.000 km?
� P(63.000 < X < 70.000) = ?
� 5� �	
6�7
�
= ef.MMM	�eM.MMM
�M.MMM
� 0,30
� 5� �	
6�7
�
= dM.MMM	�eM.MMM
�M.MMM
� 1,0
� P(63000 < X < 70000) = P( 0,30 < z < 1,00) 
� 0,3413 - 0,1179 = 0,2234
Consultando esse valor na 
tabela de z, encontramos o valor 
0,3413, que corresponde ao 
valor da probabilidade de z estar 
entre zero e 1,0 e 0,1179 para z 
entre zero e 0,30. 
Variáveis aleatórias contínua 
� Exemplo 5.
d) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido 
durar exatamente 70.000 km?
� P (X = 70000) = 0
e) O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em 
quilômetros, de tal modo que, se a duração do pneu for 
inferior a garantia, o pneu seja trocado. De quantos 
quilômetros deve ser este prazo, para que somente 1% dos 
pneus sejam trocados?
� 		 _ L � � 0,01.				Na tabela z, para P(Z < z) = 0,01 � z = -2,33
5 � 	
6�7
�
∴ �2,33 � 	
6�eMMMM
�MMMM
� 36.700	hi
Área da curva 
normal reduzida 
de zero a z. 
Área sob a curva 
normal padronizada 
(reduzida) 
compreendida entre 
os valores de zero a z.