Apostila prof Luciane Cap 3

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CAP3: Distribuições Discretas 
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a 
probabilidade de ocorrência daquele valor na população. 
 
Exemplo 3.1 
 
Os 125 diâmetro dos anéis de pistons (tabela 1.1) são uma amostra dos diâmetros que foi selecionada do 
processo de produção. A população neste exemplo é o conjunto de todos os anéis de pistons produzidos por 
este processo. 
 
Com o uso de métodos estatísticos poderemos analisar a amostra dos diâmetros e tirar conclusões sobre o 
processo que produz esses anéis. 
Os diâmetros dos anéis de pistons são chamados de variável aleatória, porque assume diferentes valores na 
população de acordo com algum mecanismo aleatório. 
A distribuição de probabilidade dos diâmetros dos anéis descreve a probabilidade de ocorrência de qualquer 
valor do diâmetro na população. 
 
Distribuição Discreta é quando a variável só pode assumir certos valores, tais como os inteiros 0, 1,2,... 
 
Exemplo 3.2 
 
O número de pistons com diâmetro abaixo de determinado valor é uma variável discreta. 
Já o diâmetro do piston é uma variável contínua, pois pode assumir qualquer valor num intervalo de números 
reais. 
 
Notação: 
P(X=xi) = p(xi) significa a probabilidade da variável aleatória X assumir o valor xi. 
 
A probabilidade é um valor entre 0 e 1. 
 
No caso da distribuição de probabilidade, a soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis da 
variável aleatória é igual a 1. 
Vamos estudar algumas distribuições discretas. 
 
OBS: 
 
 
 
 
 
 
Distribuição Hipergeométrica 
Considere uma população finita composta de N itens. Algum número, digamos D (D≤N), destes itens pertence a 
uma determinada classe de interesse. Uma amostra aleatória de n itens é retirada da população sem reposição e 
o número de itens na amostra que se situa na classe de interesse, x, é observado. 
Então x é uma variável aleatória hipergeométrica com distribuição de probabilidade como segue 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, x=0,1,2,...,min(n,D) 
A média e variância da distribuição são: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
Exemplo 3.3 
 
Um lote contém 100 itens, dos quais 5 não satisfazem os requisitos. Se 10 itens são selecionados aleatoriamente 
sem reposição, então a distribuição de probabilidade do número de itens defeituosos, x, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de achar no máximo um item não-conforme é: 
X=número de itens não conforme 
No máximo um item não conforme: X≤1 
Probabilidade: 
P(X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 0.9231433 = 0.923 
 
Verifique que P(X>1) = 1-0.923 = 0.077, pois: 
 Esta probabilidade é a soma de p(2)+p(3)+p(4)+p(5) 
 A soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis da variável aleatória é igual a 1 
 Os valores possíveis desta variável são 0,1,2,3,4,5 
 Logo p(0)+p(1)+ p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=1 
 
Note que dependendo da probabilidade a ser calculada temos mais de uma maneira de obtê-la. Veja: 
A probabilidade de achar no mínimo três itens não conforme é: 
X=número de itens não conforme 
No mínimo três itens não conformes: X≥3 
Probabilidade: 
P(X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 0.006637913 = 0.007 
Ou ainda 
 1 – [0.923+
 
 
 
 
 
 
 
 
] = 1-[0.923 + 0.070] = 0.007 
 
Atenção: antes de realizar os cálculos verifique a melhor maneira de obter o resultado. Lembre-se sempre que: A 
soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis da variável aleatória é igual a 1. 
 
Distribuição Binomial 
Considere um processo consistindo de uma sequencia de n provas independentes. Por provas independentes 
queremos dizer que o resultado de cada prova não depende, de qualquer maneira, dos resultados das provas 
anteriores. Quando o resultado de cada prova é ou “sucesso” ou “fracasso”, as provas são chamadas provas de 
Bernoulli. Se a probabilidade de “sucesso” em qualquer prova, digamos p, é constante, então o número de 
“sucessos” x em n provas de Bernoulli independentes tem distribuição binomial com parâmetros n e p como 
segue: 
 
 
 
 , x=0,1,2,...,n 
A média e variância da distribuição são: 
 e 
Observe que na distribuição hipergeométrica a população é finita; já na distribuição binomial a população é 
considerada infinitamente grande. 
 
Exemplo 3.4 
 
Um lote contém 1000 itens, dos quais 5 não satisfazem os requisitos. Se 10 itens são selecionados 
aleatoriamente sem reposição, então a distribuição de probabilidade do número de itens defeituosos, x, é: 
Hipergeométrica (população de 1000 itens): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Binomial (se pensarmos que 1000 itens é um número consideravelmente grande!), a verificação dos 10 itens é o 
número de provas de Bernoulli e a probabilidade de encontrar “item não conforme” é 5/1000 = 0.005 
 
 
 
 
 
A probabilidade de achar no máximo um item não-conforme é: 
X=número de itens não conforme 
No máximo um item não conforme: X≤1 
Adotando a hipótese de população infinita, temos um modelo binomial 
P(X 
 
 
 
 
 
 = 
 0.9511101 + 0.04779448= 0.9989046 = 0.999 
Observe que tanto no modelo Binomial como no Hipergeométrico o objetivo é verificar número de itens não 
conformes numa amostra. A diferença está na hipótese do tamanho da população. As probabilidades de ambos 
os modelos se tornam muito próximas à medida que o tamanho da população tende a infinito. 
 
Distribuição de Poisson 
Muito usada no Controle de qualidade para modelar o número de defeitos por unidade de produto. 
Qualquer fenômeno aleatório que ocorrem em base unitária (unidade de área, unidade de volume, unidade de 
tempo, etc) é bem aproximado pela distribuição de Poisson. 
A distribuição de Poisson é: 
 
 
 
, x=0,1,... 
A média e variância da distribuição são: 
 e 
 
Exemplo 3.5 
 
Suponha que estejamos interessados em modelar o número de circuitos defeituosos por semicondutor. Sabe-se 
que em média cada semicondutor apresenta 4 circuitos defeituosos. Adotando um modelo de Poisson, temos 
λ=4 com 
 
 
 
 
A probabilidade de um semicondutor escolhido aleatoriamente conter no máximo dois circuitos defeituosos é: 
No máximo dois circuitos defeituosos: 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 0.2381033 = 0.238 
 
Exercícios: 
3.1 Uma montagem mecatrônica é submetida a um teste final. Suponha que os defeitos ocorram aleatoriamente 
nessas montagens de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0.02 
a) Qual a probabilidade de uma montagem apresentar exatamente um defeito? 
 
b) Qual a probabilidade de uma montagem apresentar um ou mais defeitos? 
 
c)Suponha que você melhore o processo de modo que a taxa de ocorrência de defeitos seja reduzida pela 
metade, λ = 0.01. Qual o efeito desta medida sobre a probabilidade de uma montagem apresentar pelo menos 
um defeito? 
 
Respostas: a) 0.01960397(p(1)) b) 0.01980133 (1-p(0)) c) 0.009950166 (a probabilidade fica reduzida pela 
metade) 
 
3.2 Um processo de produção opera a uma taxa de 2% de peças produzidas não conformes. A cada hora uma 
amostra de 50 unidades do produto é retirada, e o número de não conforme é contado. Se uma ou mais 
unidades fora das especificações são encontradas, o processo é interrompido e o técnico de controle de 
qualidade tem que encontrar a causa para a produção de não conformes.a) Estabeleça o modelo de probabilidade para o número de unidades não conforme. 
 
b) Avalie a probabilidade do técnico de controle de qualidade ter que interromper o processo devido à produção 
de não conformes. 
 
c) Avalie o número médio de interrupções para encontrar a causa da produção de não conformes num período 
de 10h de produção ininterruptas. 
 
Respostas: a)Modelo binomial com n=50 e p=0.02 b) 0.6358 
c)10*0.6358 ; ou seja a cada 10 h em torno de 6 interrupções. 
 
3.3 Em um departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba são recebidos periodicamente. 
Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte plano de amostragem de aceitação é usado: Seleciona-se uma 
amostra de 10 unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver, no máximo, um defeituoso. Suponha 
que cada lote contenha 5 defeituosos. 
a) Estabeleça o modelo de probabilidade para o número de defeituosos na amostra. 
b) Avalie a probabilidade de a amostra conter todos os itens defeituosos do lote. 
c) Avalie a probabilidade de o lote ser aceito. 
 
Respostas: a)Modelo Hipergeométrico com N=100 e n=10 e D=5 b) 0.000003 c) 
 0.9231 
 
3.4 Considere que uma amostra de 100 unidades é retirada de um processo de produção a cada meia hora. A 
fração de peças não conformes produzidas é de 0.03. 
a) Estabeleça o modelo de probabilidade para o número de peças não conformes da amostra. 
b) Expresse a probabilidade de mais de três peças serem não conformes 
c) Expresse a probabilidade de no máximo três peças serem não conformes 
d) Expresse a probabilidade de menos de três peças serem não conformes 
e) Expresse a probabilidade de pelo menos três peças serem não conformes 
f) Obtenha os valores das probabilidades dos itens de b a e. 
 
Respostas: a)Modelo Binomial com n=100 e p=0.03 b) . c) d) e) f) 
0.3527508; 0.6472492; 0.4197751; 0.5802249 
 
3.5 Considere um processo de Poisson com taxa de falha de 2/h. Expresse e avalie: 
a) A probabilidade de mais de duas falhas no processo 
b)A probabilidade de no máximo duas falhas no processo 
c) A probabilidade de menos de duas falhas no processo 
d) A probabilidade de pelo menos duas falhas no processo 
Respostas: a) =0.3233236 b) =0.6766764 c) =0.4060058 d) 0.5939942 
 
3.6 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
d. 
 
 
 
 
Resposta: c 
3.7 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
d. 
 
 
 
 
Resposta: d 
 
3.8 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa 
a. 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
d. 
 
 
 
 
Resposta: a 
3.9 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa 
a. 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
d. 
 
 
 
 
Resposta: c 
3.10 Se 
 
 
 0.110674, avalie . 
Resposta: 0.889326 
 
Após estes exercícios você deverá realizar o teste 3.