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Vetores
Vetores e Geometria Analítica
Encontros 1
Vetores
Rafael Moreira de Souza
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
10 de março de 2017
Vetores
Primeiros Passos:
Pontos do Plano R2
Vamos começar estabelecendo como são os pontos
do plano cartesiano e a diferença entre eles e os
números reais.
Vejamos o Exemplo 1 e a Atividade 1.
Vetores
Primeiros Passos:
Segmentos orientados
De�nições: Seja r a reta determinada pelos
pontos A e B distintos. Veja o Exemplo 2.
Dizemos que r determina uma direção no plano,
de modo que qualquer reta paralela a r possui a
mesma direção de r;
Observamos que A determina uma divisão da
reta r em duas partes. Chamaremos cada uma
dessas partes de semirretas e cada semirreta
determina um sentido;
Dizemos que uma reta r é orientada quando se
�xa um sentido, considerado positivo e
denotamos isso com o uso de uma seta;
Vetores
Primeiros Passos:
Segmentos orientados
Veja o Exemplo 3.
Os pontos A e B distintos determinam um
segmento de reta;
Quando de�nimos uma ordem para os pontos
determinamos um segmento orientado. Observe
que para A e B existem exatamente dois
segmentos orientados, a saber, AB e BA;
O segmento orientado AA é chamado de
segmento nulo;
Vetores
Primeiros Passos:
Segmentos orientados
Veja o Exemplo 3.
A reta r é chamada de reta suporte dos
segmentos orientados AB e BA;
O primeiro ponto de um segmento orientado é
chamado de origem e o segundo de extremidade;
Diremos que os segmentos orientados AB e BA
são opostos por possuírem orientações contrárias;
Vetores
Primeiros Passos:
Segmentos orientados
Veja o Exemplo 3.
Qualquer segmento orientado não nulo CD cuja
reta suporte seja r, ou uma reta paralela a r, terá
a mesma direção do segmento AB. Observamos
que AB e BA possuem a mesma direção e
sentidos opostos;
Vetores
Primeiros Passos:
Segmentos orientados
Se A = (a1, a2) e B = (b1, b2) de�nimos módulo (ou
tamanho) do segmento orientado não nulo AB
suportado na reta r como sendo
‖AB‖ =
√
(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2,
que é a distância entre os pontos A e B;
Veja a Atividade 2.
Vetores
Primeiros Passos:
Vetores
Se A = (a1, a2) e B = (b1, b2) são distintos temos
que o vetor determinado por um segmento orientado
não nulo AB é dado por:
−→
AB = B − A = (b1 − a1, b2 − a2).
Veja a Atividade 3.
Vetores
Primeiros Passos:
Vetores
Veja o Exemplo 4.
A notação de par ordenado é usada tanto para os
pontos quanto para os vetores, pois todo ponto
A do plano pode ser visto como sendo o vetor−→
OA, onde O = (0, 0) é a origem;
O vetor
−→
0 = (0, 0) é chamado de vetor nulo.
Note que para todo ponto A do plano temos que−→
AA =
−→
0 ;
Vetores
Primeiros Passos:
Vetores
Veja o Exemplo 4.
Dado um vetor não nulo
−→
AB temos que a reta r
determinada por A e B é chamada de reta
suporte do vetor
−→
AB e determina a direção do
vetor;
Vetores
Primeiros Passos:
Vetores
Veja o Exemplo 4.
O sentido de
−→
AB é determinado pela semirreta
que começa em A e passa por B;
O ponto A de
−→
AB é chamado de origem e B de
extremidade de
−→
AB;
Diremos que
−→
AB e
−→
BA são opostos por
possuírem sentidos contrários;
Vetores
Primeiros Passos:
Vetores
De�nimos o módulo (ou tamanho) do vetor
−→
AB
como sendo:
‖−→AB‖ = ‖AB‖.
Note que:
‖−→AB‖ = ‖AB‖ = ‖BA‖ = ‖−→BA‖.
Portanto,
−→
AB e
−→
BA possuem a mesma direção e o
mesmo módulo, mas sentidos opostos.
Vetores
Operações com vetores
Igualdade
Notemos que os vetores são unicamente determinados
por seu módulo, direção e sentido. Dessa forma,
dados os vetores
−→
AB e
−−→
CD diremos que:
→
AB=
→
CD
quando ambos forem determinados pelo mesmo par
ordenado.
Veja a Atividade 4.
Vetores
Operações com vetores
Adição
Dados dois vetores
−→u = (u1, u2) e −→v = (v1, v2),
de�nimos a soma:
−→u +−→v = (u1 + v1, u2 + v2).
Geometricamente, essa soma é dada da seguinte
forma:
Tomamos representantes
−→
AB = −→u e −−→BC = −→v e
de�nimos
−→u +−→v = −→AC.
Veja a Atividade 5.
Vetores
Operações com vetores
Adição
Propriedades da adição:
→
u +
→
v=
→
v +
→
u
;
(
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w);
O vetor nulo
→
0 , que representa os segmentos
orientados nulos, é tal que para todo vetor
→
v
temos que
→
0 +
→
v=
→
v +
→
0=
→
v
;
A soma de um vetor
→
v
com seu oposto − →v gera
o vetor nulo, isto é,
→
v +(− →v ) =→0 .
Provar
Vetores
Operações com vetores
Multiplicação por escalar
Dados um escalar k ∈ R e um vetor −→u = (u1, u2),
de�nimos a multiplicação de k por −→u :
k.−→u = (k.u1, k.u2).
Veja a Atividade 6.
Vetores
Operações com vetores
Multiplicação por escalar
Geometricamente, esse produto é dada da seguinte
forma:
Dados um escalar k positivo e um vetor vetor não
nulo
−→u , de�nimos a multiplicação k−→u como
sendo o vetor que possui a mesma direção e o
mesmo sentido de
−→u e ‖k−→u ‖ = k‖−→u ‖.
Dados um escalar k negativo e um vetor não nulo−→u , de�nimos a multiplicação k−→u como sendo o
vetor que possui a mesma direção de
−→u , sentido
oposto a
−→u e módulo ‖k−→u ‖ = |k|‖−→u ‖.
Veja a Atividade 6.
Vetores
Operações com vetores
Multiplicação por escalar
Propriedades da multiplicação por
escalar:
Para quaisquer vetores
−→u e −→v e escalares α e β
temos:
α(β−→u ) = (αβ)−→u ;
(α+ β)−→u = α−→u + β−→u ;
α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v ;
1−→u = −→u .
Provar

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