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Vetores Vetores e Geometria Analítica Encontros 1 Vetores Rafael Moreira de Souza Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul 10 de março de 2017 Vetores Primeiros Passos: Pontos do Plano R2 Vamos começar estabelecendo como são os pontos do plano cartesiano e a diferença entre eles e os números reais. Vejamos o Exemplo 1 e a Atividade 1. Vetores Primeiros Passos: Segmentos orientados De�nições: Seja r a reta determinada pelos pontos A e B distintos. Veja o Exemplo 2. Dizemos que r determina uma direção no plano, de modo que qualquer reta paralela a r possui a mesma direção de r; Observamos que A determina uma divisão da reta r em duas partes. Chamaremos cada uma dessas partes de semirretas e cada semirreta determina um sentido; Dizemos que uma reta r é orientada quando se �xa um sentido, considerado positivo e denotamos isso com o uso de uma seta; Vetores Primeiros Passos: Segmentos orientados Veja o Exemplo 3. Os pontos A e B distintos determinam um segmento de reta; Quando de�nimos uma ordem para os pontos determinamos um segmento orientado. Observe que para A e B existem exatamente dois segmentos orientados, a saber, AB e BA; O segmento orientado AA é chamado de segmento nulo; Vetores Primeiros Passos: Segmentos orientados Veja o Exemplo 3. A reta r é chamada de reta suporte dos segmentos orientados AB e BA; O primeiro ponto de um segmento orientado é chamado de origem e o segundo de extremidade; Diremos que os segmentos orientados AB e BA são opostos por possuírem orientações contrárias; Vetores Primeiros Passos: Segmentos orientados Veja o Exemplo 3. Qualquer segmento orientado não nulo CD cuja reta suporte seja r, ou uma reta paralela a r, terá a mesma direção do segmento AB. Observamos que AB e BA possuem a mesma direção e sentidos opostos; Vetores Primeiros Passos: Segmentos orientados Se A = (a1, a2) e B = (b1, b2) de�nimos módulo (ou tamanho) do segmento orientado não nulo AB suportado na reta r como sendo ‖AB‖ = √ (b1 − a1)2 + (b2 − a2)2, que é a distância entre os pontos A e B; Veja a Atividade 2. Vetores Primeiros Passos: Vetores Se A = (a1, a2) e B = (b1, b2) são distintos temos que o vetor determinado por um segmento orientado não nulo AB é dado por: −→ AB = B − A = (b1 − a1, b2 − a2). Veja a Atividade 3. Vetores Primeiros Passos: Vetores Veja o Exemplo 4. A notação de par ordenado é usada tanto para os pontos quanto para os vetores, pois todo ponto A do plano pode ser visto como sendo o vetor−→ OA, onde O = (0, 0) é a origem; O vetor −→ 0 = (0, 0) é chamado de vetor nulo. Note que para todo ponto A do plano temos que−→ AA = −→ 0 ; Vetores Primeiros Passos: Vetores Veja o Exemplo 4. Dado um vetor não nulo −→ AB temos que a reta r determinada por A e B é chamada de reta suporte do vetor −→ AB e determina a direção do vetor; Vetores Primeiros Passos: Vetores Veja o Exemplo 4. O sentido de −→ AB é determinado pela semirreta que começa em A e passa por B; O ponto A de −→ AB é chamado de origem e B de extremidade de −→ AB; Diremos que −→ AB e −→ BA são opostos por possuírem sentidos contrários; Vetores Primeiros Passos: Vetores De�nimos o módulo (ou tamanho) do vetor −→ AB como sendo: ‖−→AB‖ = ‖AB‖. Note que: ‖−→AB‖ = ‖AB‖ = ‖BA‖ = ‖−→BA‖. Portanto, −→ AB e −→ BA possuem a mesma direção e o mesmo módulo, mas sentidos opostos. Vetores Operações com vetores Igualdade Notemos que os vetores são unicamente determinados por seu módulo, direção e sentido. Dessa forma, dados os vetores −→ AB e −−→ CD diremos que: → AB= → CD quando ambos forem determinados pelo mesmo par ordenado. Veja a Atividade 4. Vetores Operações com vetores Adição Dados dois vetores −→u = (u1, u2) e −→v = (v1, v2), de�nimos a soma: −→u +−→v = (u1 + v1, u2 + v2). Geometricamente, essa soma é dada da seguinte forma: Tomamos representantes −→ AB = −→u e −−→BC = −→v e de�nimos −→u +−→v = −→AC. Veja a Atividade 5. Vetores Operações com vetores Adição Propriedades da adição: → u + → v= → v + → u ; ( → u + → v )+ → w= → u +( → v + → w); O vetor nulo → 0 , que representa os segmentos orientados nulos, é tal que para todo vetor → v temos que → 0 + → v= → v + → 0= → v ; A soma de um vetor → v com seu oposto − →v gera o vetor nulo, isto é, → v +(− →v ) =→0 . Provar Vetores Operações com vetores Multiplicação por escalar Dados um escalar k ∈ R e um vetor −→u = (u1, u2), de�nimos a multiplicação de k por −→u : k.−→u = (k.u1, k.u2). Veja a Atividade 6. Vetores Operações com vetores Multiplicação por escalar Geometricamente, esse produto é dada da seguinte forma: Dados um escalar k positivo e um vetor vetor não nulo −→u , de�nimos a multiplicação k−→u como sendo o vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido de −→u e ‖k−→u ‖ = k‖−→u ‖. Dados um escalar k negativo e um vetor não nulo−→u , de�nimos a multiplicação k−→u como sendo o vetor que possui a mesma direção de −→u , sentido oposto a −→u e módulo ‖k−→u ‖ = |k|‖−→u ‖. Veja a Atividade 6. Vetores Operações com vetores Multiplicação por escalar Propriedades da multiplicação por escalar: Para quaisquer vetores −→u e −→v e escalares α e β temos: α(β−→u ) = (αβ)−→u ; (α+ β)−→u = α−→u + β−→u ; α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v ; 1−→u = −→u . Provar
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