Lista2 ProdEscalar

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UEMS - Licenciatura em Física
Vetores e geometria analítica
Lista 2 - Produto escalar no plano
1. Sabendo que o ângulo entre os vetores não nulos
−→u e −→v é de 45◦
determine o ângulo entre os seguintes vetores:
(a) 2−→u e 3−→v (b) −5−→u e −2−→v (c) 3−→u e −2−→v
(d) −7−→u e 4−→v (e) −−→u e −−→v (f) −−→u e −→v
2. Decida se as a�rmações são verdadeiras ou falsas e justi�que sua res-
posta.
(a) se
−→u ‖ −→v então ‖−→u ‖ = ‖−→v ‖.
(b) se
−→u ‖ −→v , ‖−→u ‖ = 2 e ‖−→v ‖ = 4 então −→v = 2−→u ou −→v = −2−→u .
(c) se
−→u ⊥ −→v e −→u ⊥ −→w então −→v ‖ −→w .
(d) se
−→u ⊥ −→v e −→v ⊥ −→w então −→u ⊥ −→w .
(e) se
−→u .−→v = 0 então −→u ⊥ −→v .
3. Dado ‖−→v ‖, calcule ‖−→v ‖ e seu versor dado por −→v‖−→v ‖ .
(a)
−→v = (−8, 18) (b) −→v = (−13, 5)
(c)
−→v = (17,−23) (d) −→v = (4, 8)
4. Nos itens abaixo determine valores para x e y, diga se esses valores são
únicos e se não forem determine dois pares de valores diferentes.
(a)
−→u = (−7x+ 1, 7y + 4), −→v = (−3, 4), −→u ‖ −→v e ‖−→u ‖ = 6;
(b)
−→u = (7 + x, y − 5), −→v = (8, 3) e −→u ⊥ −→v ;
(c) A = (−7, 5), B = (1, 7), C = (x, y), −→AB ⊥ −−→BC e ‖−−→BC‖ = 8;
(d) A = (−7, 5), B = (1, 7), C = (x, y), −→BA ‖ −→AC e ‖−→AC‖ = 1;
(e) A = (−7, 5), B = (1, 7), C = (x, y), −−→CB.−→AB = 3 e ‖−−→CD‖ = 1.
5. Sabendo que o ângulo entre
−→u e −→v é de 150◦, ‖−→u ‖ = 4 e ‖−→v ‖ = 3
determine:
(a)
−→u .−→v (b) (−→u −−→v ).(−→u +−→v ) (c) ‖−→u −−→v ‖ (d) ‖−→u +−→v ‖
(e) a área do paralelogramo gerado por
−→u e −→v .
6. Dado o triângulo de vértices (−1, 3), (1,−5) e (−2, 2) determine:
(a) os a posição dos pontos no plano.
(b) as medidas dos lados.
(c) as medidas dos ângulos internos.
(d) os pontos médios dos lados.
(e) as medidas das medianas.
(f) o pé das alturas relativas aos vértices.
(g) o valor das alturas relativas.
(h) as bissetrizes.
7. Demonstre que:
(a) as diagonais de um losango são perpendiculares;
(b) o ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto;
(c) (−→u −−→v ).(−→u +−→v ) = ‖−→u ‖2 − ‖−→v ‖2;
(d) ‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + 2−→u .−→v + ‖−→v ‖2;
(e) ‖−→u −−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 − 2−→u .−→v + ‖−→v ‖2.
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