Resumo Halliday vol.1, 10.ed.

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1 Medic¸a˜o
A Medic¸a˜o na F´ısica A f´ısica se baseia na medic¸a˜o de grandezas f´ısicas. Algumas
grandezas f´ısicas, como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas
fundamentais; cada uma foi definida por meio de um padra˜o e recebeu uma unidade de
medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas f´ısicas sa˜o definidas em
termos das grandezas fundamentais e de seus padro˜es e unidades.
Tabela 1-1 Unidades de Treˆs Grandezas Ba´sicas do SI
Grandeza Nome da Unidade S´ımbolo da Unidade
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Tabela 1-2: Prefixos1 das Unidades do SI
Fator Prefixo Simbolo
1024 iota- Y
1021 zeta- Z
1018 exa- E
1015 peta- P
1012 tetra- T
109 peta- P
106 mega- M
103 quilo- k
102 hecto- h
101 deca- da
10−1 deci- d
10−2 centi- c
10−3 mili- m
10−6 micro- µ
10−9 nano- n
10−12 pico- p
10−15 femto- f
10−18 ato- a
10−21 zepto- z
10−24 iocto- y
Unidades do SI O sistema de unidades adotado neste livro e´ o Sistema Internacional de
Unidades (SI). As treˆs grandezas f´ısicas mostradas na Tabela 1-1 sa˜o usadas nos primeiros
cap´ıtulos. Os padro˜es, que teˆm que ser acess´ıveis e invaria´veis, foram estabelecidos para
essas grandezas fundamentais por um acordo internacional. Esses padro˜es sa˜o usados
em todas as medic¸o˜es f´ısicas, tanto das grandezas fundamentais quanto das grandezas
secunda´rias. A notac¸a˜o cient´ıfica e os prefixos da Tabela 1-2 sa˜o usados para simplificar
a notac¸a˜o das medic¸o˜es.
Mudanc¸a de Unidades A conversa˜o de unidades pode ser feita usando o me´todo
de conversa˜o em cadeia, no qual os dados originais sa˜o multiplicados sucessivamente por
1Os prefixos mais usados aparecem em negrito.
1
fatores de conversa˜o unita´rios, e as unidades sa˜o manipuladas como quantidades alge´bricas
ate´ que apenas as unidades desejadas permanec¸am.
Comprimento O metro e´ definido como a distaˆncia percorrida pela luz durante um
intervalo de tempo especificado.
Tempo O segundo e´ definido em termos das oscilac¸o˜es da luz emitida por um iso´topo
de um elemento qu´ımico (ce´sio 133). Sinais de tempo precisos sa˜o enviados a todo o
mundo atrave´s de sinais de ra´dio sincronizados por relo´gios atoˆmicos em laborato´rios de
padronizac¸a˜o.
Massa O quilograma e´ definido a partir de um padra˜o de massa de platina ir´ıdio man-
tido em um laborato´rio nas vizinhanc¸as de Paris. Para medic¸o˜es em escala atoˆmica, e´
comumente usada a unidade de massa atoˆmica, definida a partir do a´tomo de carbono 12.
Massa Espec´ıfica A massa espec´ıfica ρ de um objeto e´ a massa por unidade de volume:
ρ =
m
v
. (1-8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Movimento Retil´ıneo
Posic¸a˜o A posic¸a˜o x de uma part´ıcula em um eixo x mostra a que distaˆncia a part´ıcula
se encontra da origem, ou ponto zero, do eixo. A posic¸a˜o pode ser positiva ou negativa,
dependendo do lado em que se encontra a part´ıcula em relac¸a˜o a` origem (ou zero, se a
part´ıcula estiver exatamente na origem). O sentido positivo de um eixo e´ o sentido em
que os nu´meros que indicam a posic¸a˜o da part´ıcula aumentam de valor; o sentido oposto
e´ o sentido negativo.
Deslocamento O deslocamento ∆x uma part´ıcula e´ a variac¸a˜o da posic¸a˜o da part´ıcula:
∆x = x2 − x1. (2-1)
O deslocamento e´ uma grandeza vetorial. E´ positivo, se a part´ıcula se desloca no sentido
positivo do eixo x, e negativo, se a part´ıcula se desloca no sentido oposto.
Velocidade Me´dia Quando uma part´ıcula se desloca de uma posic¸a˜o x1 para uma
posic¸a˜o x2 durante um intervalo de tempo ∆t = t2 − t1, a velocidade me´dia da part´ıcula
durante esse intervalo e´ dada por
vme´d =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1 . (2-2)
O sinal alge´brico de vme´d indica o sentido do movimento (vme´d e´ uma grandeza vetorial).
A velocidade me´dia na˜o depende da distaˆncia que uma part´ıcula percorre, mas apenas
das posic¸o˜es inicial e final. Em um gra´fico de x em func¸a˜o de t, a velocidade me´dia em
um intervalo de tempo ∆t e´ igual a` inclinac¸a˜o da linha reta que une os pontos da curva
que representam as duas extremidades do intervalo.
2
Velocidade Escalar Me´dia A velocidade escalar me´dia sme´d de uma part´ıcula durante
um intervalo de tempo ∆t depende da distaˆncia total percorrida pela part´ıcula nesse
intervalo.
sme´d =
distaˆncia total
∆t
. (2-3)
Velocidade Instantaˆnea A velocidade instantaˆnea (ou, simplesmente, velocidade), v,
de uma part´ıcula e´ dada por
v = lim
t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
, (2-4)
em que ∆x e ∆t sa˜o definidos pela eq. (2-2). A velocidade instantaˆnea (em um determi-
nado instante de tempo) e´ igual a` inclinac¸a˜o (nesse mesmo instante) do gra´fico de x em
func¸a˜o de t. A velocidade escalar e´ o mo´dulo da velocidade instantaˆnea.
Acelerac¸a˜o Me´dia A acelerac¸a˜o me´dia e´ a raza˜o entre a variac¸a˜o de velocidade ∆v e
o intervalo de tempo ∆t no qual essa variac¸a˜o ocorre.
ame´d =
∆v
∆t
. (2-7)
O sinal alge´brico indica o sentido de ame´d.
Acelerac¸a˜o Instantaˆnea A acelerac¸a˜o instantaˆnea (ou, simplesmente, acelerac¸a˜o), a,
e´ igual a` derivada primeira da velocidade v(t) em relac¸a˜o ao tempo ou a` derivada segunda
da posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo:
a =
dv
dt
=
d2x
dt2
. (2-8,2-9)
Em um gra´fico de v em func¸a˜o de t, a acelerac¸a˜o a em qualquer instante t e´ igual a`
inclinac¸a˜o da curva no ponto que representa t.
Acelerac¸a˜o Constante As cinco equac¸o˜es da Tabela 2-1 descrevem o movimento de
uma part´ıcula com acelerac¸a˜o constante:
Tabela 2-1: Equac¸o˜es do Movimento com Acelerac¸a˜o Constante
Nu´mero da Equac¸a˜o Equac¸a˜o Grandeza que falta
2-11 v = v0 + at x− x0
2-15 x− x0 = v0t+ 1
2
at2 v
2-16 v2 = v20 + 2a(x− x0) t
2-17 x− x0 = 1
2
(v0 + v)t a
2-18 x− x0 = vt− 1
2
at2 v0
3
v = v0 + at, (2-11)
x− x0 = v0t+ 1
2
at2, (2-15)
v2 = v20 + 2a(x− x0), (2-16)
x− x0 = 1
2
(v0 + v)t, (2-17)
x− x0 = vt− 1
2
at2. (2-18)
Essas equac¸o˜es na˜o sa˜o va´lidas quando a acelerac¸a˜o na˜o e´ constante.
Acelerac¸a˜o em Queda Livre Um exemplo importante de movimento retil´ıneo com
acelerac¸a˜o constante e´ um objeto subindo ou caindo livremente nas proximidades da su-
perf´ıcie da Terra. As equac¸o˜es para acelerac¸a˜o constante podem ser usadas para descrever
o movimento, mas e´ preciso fazer duas mudanc¸as na notac¸a˜o: (1) o movimento deve ser
descrito em relac¸a˜o a um eixo vertical y, com o sentido positivo do eixo y para cima; (2)
a acelerac¸a˜o a deve ser substitu´ıda por −g, em que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o em queda
livre. Perto da superf´ıcie da Terra, g = 9, 8 m/s2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Vetores
Escalares e Vetores Grandezas escalares, como temperatura, possuem apenas um
valor nume´rico. Sa˜o especificadas por um nu´mero com uma unidade (10◦C, por exemplo)
e obedecem a`s regras da aritme´tica e da a´lgebra elementar. As grandezas vetoriais, como
o deslocamento, possuem um valor nume´rico (mo´dulo) e uma orientac¸a˜o (5 m para cima,
por exemplo) e obedecem a`s regras da a´lgebra vetorial.
Soma Geome´trica de Vetores Dois vetores ~a e~b podem ser somados geometricamente
desenhando-os na mesma escala e posicionando-os com a origem de um na extremidade
do outro. O vetor que liga as extremidades livres dos dois vetores e´ o vetor soma,~s. Para
subtrair ~b de ~a invertemos o sentido de ~b para obter −~b e somamos −~b a ~a. A soma
vetorial e´ comutativa
~a+~b = ~b+ ~a, (3-2)
obedece a` lei associativa
(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c). (3-3)
Componentes de um Vetor As componentes (escalares) ax e ay de um vetorbidimen-
sional em relac¸a˜o ao eixos de um sistema de coordenadas xy sa˜o obtidas trac¸ando retas
perpendiculares aos eixos a partir da origem e da extremidade de ~a. As componentes sa˜o
dadas por
ax = a cos θ e ay = a sen θ, (3-5)
em que θ e´ o aˆngulo entre ~a e o semieixo x positivo. O sinal alge´brico de uma componente
indica o sentido da componente em relac¸a˜o ao eixo correspondente. Dadas as componen-
tes, podemos determinar o mo´dulo e a orientac¸a˜o de um vetor atrave´s das equac¸o˜es
a =
√
a2x + a
2
y e tan θ =
ay
ax
. (3-6)
4
Notac¸a˜o dos Vetores Unita´rios Os vetores unita´rios iˆ, jˆ e kˆ, e teˆm mo´dulo unita´rio
e sentido igual ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, se o sistema de
coordenadas for dextrogiro (o que pode ser verificado calculando os produtos vetoriais
dos vetores unita´rios). Em termos dos vetores unita´rios, um vetor ~a pode ser expresso na
forma
a = axiˆ+ ay jˆ + azkˆ, (3-7)
em que axiˆ, ay jˆ e azkˆ sa˜o as componentes vetoriais de ~a e ax, ay e az sa˜o as componentes
escalares.
Soma de Vetores na Forma de Componentes Para somar vetores na forma de
componentes, usamos as regras
rx = ax + bx ry = ay + by rz = az + bz. (3-10 a 3-12)
Aqui, ~a e ~b sa˜o os vetores a serem somados e ~r e´ o vetor soma. Note que as componentes
sa˜o somadas separadamente para cada eixo. No final, a soma pode ser expressa na notac¸a˜o
dos vetores unita´rios ou na notac¸a˜o mo´dulo-aˆngulo.
Produto de um Escalar por um Vetor O produto de um escalar e por um vetor ~v e´
um vetor de mo´dulo ev com a mesma orientac¸a˜o de ~v se e for positivo, e com a orientac¸a˜o
oposta se e for negativo. (O sinal negativo inverte o sentido do vetor.) Para dividir por
e, multiplicamos por 1/e.
O Produto Escalar O produto escalar de dois vetores ~a e ~b e´ representado por ~a ·~b e
e´ igual a` grandeza escalar dada por
~a ·~b = ab cosφ, (3-20)
em que φ e´ o menor dos aˆngulos entre as direc¸o˜es de ~a e ~b. O produto escalar e´ o produto
do mo´dulo de um dos vetores pela componente escalar do outro em relac¸a˜o ao primeiro.
Note que ~a ·~b = ~b · ~a o que significa que o produto escalar obedece a` lei comutativa.
Na notac¸a˜o dos vetores unita´rios,
~a ·~b = (axiˆ+ ay jˆ + azkˆ) · (bxiˆ+ by jˆ + bzkˆ), (3-22)
que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva.
O Produto Vetorial O produto vetorial de dois vetores ~a e ~b, representado por ~a×~b,
e´ um vetor ~c cujo mo´dulo c e´ dado por
c = ab senφ, (3-24)
em que φ e´ o menor dos aˆngulos entre as direc¸o˜es de ~a e~b. A orientac¸a˜o de ~c e´ perpendicular
ao plano definido por ~a e ~b e e´ dada pela regra da ma˜o direita. Note que ~a×~b = −(~b×~a),
o que significa que o produto vetorial na˜o obedece a` lei comutativa.
Na notac¸a˜o dos vetores unita´rios,
~a×~b = (axiˆ+ ay jˆ + azkˆ) × (bxiˆ+ by jˆ + bzkˆ), (3-26)
que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4 Movimento em Duas e Treˆs Dimenso˜es
Vetor Posic¸a˜o A localizac¸a˜o de uma part´ıcula em relac¸a˜o a` origem de um sistema de
coordenadas e´ dada por um vetor posic¸a˜o ~r, que, na notac¸a˜o dos vetores unita´rios, e´ dado
por
~r = xiˆ+ yjˆ + zkˆ. (4-1)
Aqui, xiˆ, yjˆ e zkˆ sa˜o as componentes vetoriais do vetor posic¸a˜o ~r, e x, y e z sa˜o as
componentes escalares do vetor posic¸a˜o (e, tambe´m, as coordenadas da part´ıcula). Um
vetor posic¸a˜o pode ser descrito por um mo´dulo e um ou dois aˆngulos, pelas componentes
vetoriais ou pelas componentes escalares.
Deslocamento Se uma part´ıcula se move de tal forma que o vetor posic¸a˜o muda de ~r1
para ~r2, o deslocamento ∆~r da part´ıcula e´ dado por
∆~r = ~r2 − ~r1. (4-2)
O deslocamento tambe´m pode ser escrito na forma
∆~r = (x2 − x1)ˆi+ (y2 − y1)jˆ + (z2 − z1)kˆ (4-3)
= ∆xiˆ+ ∆yjˆ + ∆zkˆ (4-4)
Velocidade Me´dia e Velocidade Instantaˆnea Se uma part´ıcula sofre um desloca-
mento ∆~r em um intervalo de tempo ∆t, a velocidade me´dia ~vme´d nesse intervalo de tempo
e´ dada por
~vme´d =
∆~r
∆t
. (4-8)
Quando ∆t na Eq. (4-8) tende a 0, ~vme´d tende para um limite ~v que e´ chamado de
velocidade instantaˆneaou, ou, simplesmente, velocidade:
~v =
d~r
dt
. (4-10)
Na notac¸a˜o dos vetores unita´rios, a velocidade instantaˆnea assume a forma
~v = vxiˆ+ vy jˆ + vzkˆ, (4-11)
em que vx = dx/dt, vy = dy/dt e vz = dz/dt. A velocidade instantaˆnea ~v de uma part´ıcula
e´ sempre tangente a` trajeto´ria da part´ıcula na posic¸a˜o da part´ıcula.
Acelerac¸a˜o Me´dia e Acelerac¸a˜o Instantaˆnea Se a velocidade de uma part´ıcula
varia de v1 para v2 no intervalo de tempo ∆t, a acelerac¸a˜o me´dia durante o intervalo ∆t
e´
~ame´d =
~v2 − ~v1
∆t
=
∆v
∆t
. (4-15)
Quando ∆t na Eq. (4-15) tende a zero, ~ame´d tende para um limite ~a que e´ chamado de
acelerac¸a˜o instantaˆnea ou, simplesmente, acelerac¸a˜o:
~a =
d~v
dt
. (4-16)
Na notac¸a˜o dos vetores unita´rios,
~a = axiˆ+ ay jˆ + azkˆ, (4-17)
em que ax = dvx/dt, ay = dvy/dt e az = dvz/dt.
6
Movimento Bal´ıstico Movimento bal´ıstico e´ o movimento de uma part´ıcula que e´
lanc¸ada com uma velocidade inicial ~v0. Durante o percurso, a acelerac¸a˜o horizontal da
part´ıcula e´ zero, e a acelerac¸a˜o vertical e´ a acelerac¸a˜o de queda livre, −g. (O sentido
do movimento para cima e´ escolhido como positivo.) Se ~v0 se expressa por meio de um
mo´dulo (a velocidade escalar v0) e um aˆngulo θ0 (medido em relac¸a˜o a` horizontal), as
equac¸o˜es de movimento da part´ıcula ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y sa˜o
x− x0 = (v0 cos θ0)t, (4-21)
y − y0 = (v0 sen θ0)t− 1
2
gt2, (4-22)
vy = v0 sen θ0 − gt, (4-23)
v2y = (v0 sen θ0)
2 − 2g(y − y0). (4-24)
A trajeto´ria de uma part´ıcula em movimento bal´ıstico tem a forma de uma para´bola e e´
dada por
y = (tan θ0)x− gx
2
2(v0 cos θ0)2
, (4-25)
se x0 e y0 das Eqs. (4-21) a (4-24) forem nulos. O alcance horizontal R da part´ıcula, que
e´ a distaˆncia horizontal do ponto de lanc¸amento ao ponto em que a part´ıcula retorna a`
altura do ponto de lanc¸amento, e´ dado por
R =
v20
g
sen 2θ0. (4-26)
Movimento Circular Uniforme Se uma part´ıcula se move ao longo de uma circun-
fereˆncia ou arco de circunfereˆncia de raio r com velocidade constante v, dizemos que se
trata de um movimento circular uniforme. Nesse caso, a part´ıcula possui uma acelerac¸a˜o
~a cujo mo´dulo e´ dado por
a =
v2
r
. (4-34)
O vetor ~a aponta para o centro da circunfereˆncia ou arco de circunfereˆncia e e´ chamado
de acelerac¸a˜o centr´ıpeta. O tempo que a part´ıcula leva para descrever uma circunfereˆncia
completa e´ dado por
T =
2pir
v
. (4-35)
O paraˆmetro T e´ chamado de per´ıodo de revoluc¸a˜o ou, simplesmente, per´ıodo.
Movimento Relativo Quando dois referenciais A e B esta˜o se movendo um em relac¸a˜o
ao outro com velocidade constante, a velocidade de uma part´ıcula P , medida por um
observador do referencial A, e´, em geral, diferente da velocidade medida por um observador
do referencial B. As duas velocidades esta˜o relacionadas pela equac¸a˜o
~vPA = ~vPB + ~vBA, (4-44)
em que ~vBA e´ a velocidade de B em relac¸a˜o a A. Os dois observadores medem a mesma
acelerac¸a˜o:
~aPA = ~aPB. (4-25)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5 Forc¸a e Movimento - I
Mecaˆnica Newtoniana Para que a velocidade de um objeto varie (ou seja, para que o
objeto sofra acelerac¸a˜o), e´ preciso que ele seja submetido a uma forc¸a empurra˜o ou puxa˜o)
exercida por outro objeto. A mecaˆnica newtoniana descreve a relac¸a˜o entre acelerac¸o˜es e
forc¸as.
Forc¸aA forc¸a e´ uma grandeza vetorial cujo mo´dulo e´ definido em termos da acelerac¸a˜o
que imprimiria a uma massa de um quilograma. Por definic¸a˜o, uma forc¸a que produz
uma acelerac¸a˜o de 1 m/s2 em uma massa de 1 kg tem um mo´dulo de 1 newton (1 N). Uma
forc¸a tem a mesma orientac¸a˜o que a acelerac¸a˜o produzida pela forc¸a. Duas ou mais forc¸as
podem ser combinadas segundo as regras da a´lgebra vetorial. A forc¸a resultante e´ a soma
de todas as forc¸as que agem sobre um corpo.
Primeira Lei de Newton Quando a forc¸a resultante que age sobre um corpo e´ nula, o
corpo permanece em repouso ou se move em linha reta com velocidade escalar constante.
Referenciais Inerciais Os referenciais para os quais as leis de Newton sa˜o va´lidas sa˜o
chamados de referenciais inerciais. Os referenciais para os quais as leis de Newton na˜o
sa˜o va´lidas sa˜o chamados de referenciais na˜o inerciais.
Massa A massa de um corpo e´ a propriedade que relaciona a acelerac¸a˜o do corpo a`
forc¸a responsa´vel pela acelerac¸a˜o. A massa e´ uma grandeza escalar.
Segunda Lei de Newton A forc¸a resultante ~Fres que age sobre um corpo de massa m
esta´ relacionada com a acelerac¸a˜o do corpo por meio da equac¸a˜o
~Fres = m~a, (5-1)
que pode ser escrita em termos das componentes:
~Fres,x = m~ax, ~Fres,y = m~ay, e ~Fres,z = m~az. (5-2)
De acordo com a segunda lei, em unidades do SI,
1 N = 1 kg · m/s2. (5-3)
O diagrama de corpo livre e´ um diagrama simplificado no qual apenas um corpo e´ consi-
derado. Esse corpo e´ representado por um ponto ou por um desenho. As forc¸as externas
que agem sobre o corpo sa˜o representadas por vetores, e um sistema de coordenadas e´
superposto ao desenho, orientado de modo a simplificar a soluc¸a˜o.
Algumas Forc¸as Especiais A forc¸a gravitacional ~Fg exercida sobre um corpo e´ um
tipo especial de atrac¸a˜o que um segundo corpo exerce sobre o primeiro. Na maioria das
situac¸o˜es apresentadas neste livro, o segundo corpo e´ a Terra ou outro astro. No caso da
Terra, a forc¸a e´ orientada para baixo, em direc¸a˜o ao solo, que e´ considerado um referencial
inercial. Nessas condic¸o˜es, o mo´dulo de ~Fg e´
~Fg = mg, (5-8)
8
em que m e´ a massa do corpo e g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o em queda livre.
O peso P de um corpo e´ o mo´dulo da forc¸a para cima necessa´ria para equilibrar a
forc¸a gravitacional a que o corpo esta´ sujeito. O peso de um corpo esta´ relacionado a`
massa atrave´s da equac¸a˜o
P = mg. (5-12)
A forc¸a normal ~FN e´ a forc¸a exercida sobre um corpo pela superf´ıcie na qual o corpo
esta´ apoiado. A forc¸a normal e´ sempre perpendicular a` superf´ıcie.
A forc¸a de atrito ~f e´ a forc¸a exercida sobre um corpo quando o corpo desliza ou tenta
deslizar em uma superf´ıcie. A forc¸a e´ sempre paralela a` superf´ıcie e tem o sentido oposto
ao do deslizamento. Em uma superf´ıcie ideal, a forc¸a de atrito e´ desprez´ıvel.
Quando uma corda esta´ sob trac¸a˜o, cada extremidade da corda exerce uma forc¸a sobre
um corpo. A forc¸a e´ orientada na direc¸a˜o da corda, para fora do corpo. No caso de uma
corda sem massa (uma corda de massa desprez´ıvel), as trac¸o˜es nas duas extremidades da
corda teˆm o mesmo mo´dulo T , mesmo que a corda passe por uma polia sem massa e sem
atrito (uma polia de massa desprez´ıvel cujo eixo tem um atrito desprez´ıvel).
Terceira Lei de Newton Se um corpo C aplica a um corpo B uma forc¸a ~FBC o corpo
B aplica ao corpo C uma forc¸a ~FCB tal que
~FBC = −~FCB.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Forc¸a e Movimento - II
Atrito Quando uma forc¸a ~F tende a fazer um corpo deslizar em uma superf´ıcie, a
superf´ıcie exerce uma forc¸a de atrito sobre o corpo. A forc¸a de atrito e´ paralela a` superf´ıcie
e esta´ orientada de modo a se opor ao movimento. Essa forc¸a se deve a`s ligac¸o˜es entre os
a´tomos do corpo e os a´tomos da superf´ıcie.
Se o corpo permanece em repouso, a forc¸a de atrito e´ a forc¸a de atrito esta´tico ~fs. Se
o corpo se move, a forc¸a de atrito e´ a forc¸a de atrito cine´tico ~fk.
1. Se um corpo permanece em repouso, a forc¸a de atrito esta´tico ~fs e a componente
de ~F paralela a` superf´ıcie teˆm mo´dulos iguais e sentidos opostos. Se a componente
de ~F aumenta, fs tambe´m aumenta.
2. O mo´dulo de ~fs tem um valor ma´ximo fs,ma´x dado por
fs,ma´x = µsFN , (6-1)
em que µs e´ o coeficiente de atrito esta´tico e FN e´ o mo´dulo da forc¸a normal. Se a
componente de ~F paralela a` superf´ıcie excede o valor de fs,ma´x, o corpo comec¸a a se
mover.
3. Se o corpo comec¸a a se mover, o mo´dulo da forc¸a de atrito diminui rapidamente
para um valor constante fk dado por
fk = µkFN , (6-2)
em que µk e´ o coeficiente de atrito cine´tico.
9
Forc¸a de Arrasto Quando ha´ movimento relativo entre o ar (ou outro fluido qualquer)
e um corpo, o corpo sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a de arrasto ~D que se opo˜e ao movimento
relativo e aponta na direc¸a˜o em que o fluido se move em relac¸a˜o ao corpo. O mo´dulo
de ~D esta´ relacionado a` velocidade relativa v atrave´s de um coeficiente de arrasto C
(determinado experimentalmente) por meio da equac¸a˜o
D =
1
2
CρAv2, (6-14)
em que ρ e´ a massa espec´ıfica do fluido (massa por unidade de volume) e A e´ a a´rea da
sec¸a˜o reta efetiva do corpo (a´rea de uma sec¸a˜o reta perpendicular a` velocidade relativa
~v).
Velocidade Terminal Quando um objeto rombudo cai por uma distaˆncia suficiente no
ar, os mo´dulos da forc¸a de arrasto ~D e da forc¸a gravitacional ~Fg tornam-se iguais. Nesse
caso, o corpo passa a cair com uma velocidade terminal vt dada por
vt =
√
2Fg
CρA
. (6-16)
Movimento Circular Uniforme Se uma part´ıcula se move em uma circunfereˆncia ou
em um arco de circunfereˆncia de raio R com uma velocidade escalar constante v, dizemos
que a part´ıcula esta´ em movimento circular uniforme. Nesse caso, a part´ıcula possui uma
acelerac¸a˜o centr´ıpeta ~a cujo mo´dulo e´ dado por
a =
v2
R
. (6-17)
Essa acelerac¸a˜o se deve a uma forc¸a centr´ıpeta cujo mo´dulo e´ dado por
F =
mv2
R
, (6-18)
em que m e´ a massa da part´ıcula. As grandezas vetoriais ~a e ~F apontam para o centro
de curvatura da trajeto´ria da part´ıcula.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica A energia cine´tica K associada ao movimento de uma part´ıcula de
massa m e velocidade escalar v, em que v e´ muito menor que a velocidade da luz, e´ dada
por
K =
1
2
mv2 (energia cine´tica). (7-1)
Trabalho Trabalho W e´ a energia transferida para um objeto ou de um objeto por
uma forc¸a que age sobre o objeto. Quando o objeto recebe energia, o trabalho e´ positivo;
quando o objeto cede energia, o trabalho e´ negativo.
10
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Constante O trabalho realizado sobre uma
part´ıcula por uma forc¸a constante ~F durante um deslocamento ~d e´ dado por
W = Fd cosφ = ~F · ~d (trabalho realizado por uma forc¸a constante), (7-7, 7-8)
em que φ e´ o aˆngulo constante entre ~F e ~d. Apenas a componente de ~F na direc¸a˜o do
deslocamento ~d realiza trabalho sobre o objeto. Quando duas ou mais forc¸as agem sobre
um objeto, o trabalho total e´ a soma dos trabalhos realizados pelas forc¸as, que tambe´m
e´ igual ao trabalho que seria realizado pela forc¸a resultante ~Fres.
Trabalho e Energia Cine´tica No caso de uma part´ıcula, uma variac¸a˜o ∆K da energia
cine´tica e´ igual ao trabalho total W realizado sobre a part´ıcula:
∆K = Kf −Ki = W (teorema do trabalho e energia cine´tica), (7-10)
em que Ki e´ a energia cine´tica inicial da part´ıcula e Kf e´ a energia cine´tica da part´ıcula
apo´s o trabalhoter sido realizado. De acordo com a Eq. (7-10), temos:
Kf = Ki +W. (7-11)
Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional O trabalho Wg realizado pela forc¸a
gravitacional ~Fg sobre uma part´ıcula (ou sobre um objeto que se comporta como uma
part´ıcula) de massa m durante um deslocamento ~d e´ dado por
Wg = mgd cosφ, (7-12)
em que φ e´ o aˆngulo entre ~Fg e ~d.
Trabalho Realizado para Levantar e Abaixar um Objeto O trabalhoWa realizado
por uma forc¸a aplicada quando um objeto que se comporta como uma part´ıcula e´ levantado
ou abaixado esta´ relacionado com o trabalho Wg realizado pela forc¸a gravitacional e a`
variac¸a˜o ∆K da energia cine´tica do objeto por meio da equac¸a˜o
∆K = Kf −Ki = Wa +Wg. (7-15)
Se Kf = Ki, a Eq. (7-15) se reduz a
Wa = −Wg, (7-16)
segundo a qual a energia cedida ao objeto pela forc¸a aplicada e´ igual a` energia extra´ıda
do objeto pela forc¸a gravitacional.
Forc¸a Ela´stica A forc¸a ~Fs de uma mola e´
~Fs = −k~d (Lei de Hooke), (7-20)
em que ~d e´ o deslocamento da extremidade livre da mola em relac¸a˜o a` posic¸a˜o que ocupa
quando a mola esta´ no estado relaxado (nem comprimida nem alongada) e k e´ a constante
ela´stica (uma medida da rigidez da mola). Se um eixo x e´ trac¸ado ao longo do comprimento
da mola, com a origem na posic¸a˜o da extremidade livre da mola no estado relaxado, a
Eq. (7-20) pode ser escrita na forma
Fx = −kx (Lei de Hooke). (7-21)
A forc¸a ela´stica e´, portanto, uma forc¸a varia´vel: ela varia com o deslocamento da extre-
midade livre da mola.
11
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica Se um objeto esta´ preso a` extremidade
livre de uma mola, o trabalho Ws realizado sobre o objeto pela forc¸a ela´stica quando o
objeto e´ deslocado de uma posic¸a˜o inicial xi para uma posic¸a˜o final xf e´ dado por
Ws =
1
2
kx2i −
1
2
kx2f . (7-25)
Se xi = 0 e xf = x, a Eq. (7-25) se torna
Ws = −1
2
kx2. (7-26)
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Quando a forc¸a ~F aplicada a um
objeto que se comporta como uma part´ıcula depende da posic¸a˜o do objeto, o trabalho
realizado por ~F sobre o objeto enquanto o objeto se move de uma posic¸a˜o inicial ri de
coordenadas (xi, yi, zi) para uma posic¸a˜o final rf de coordenadas (xf , yf , zf ) pode ser
calculado integrando a forc¸a. Supondo que a componente Fx pode depender de x, mas
na˜o de y ou z, que a componente Fy pode depender de y, mas na˜o de x ou z, e que a
componente Fz pode depender de z mas na˜o de x ou y, o trabalho e´ dado por
W =
∫ xf
xi
Fx dx+
∫ yf
yi
Fy dy +
∫ zf
zi
Fz dz. (7-36)
Se ~F possui apenas a componente x, a Eq. (7-36) se reduz a
W =
∫ xf
xi
F (x)dx. (7-32)
Poteˆncia A poteˆncia desenvolvida por uma forc¸a e´ a taxa com a qual a forc¸a realiza
trabalho sobre um objeto. Se a forc¸a realiza um trabalho W em um intervalo de tempo
∆t, a poteˆncia me´dia desenvolvida pela forc¸a nesse intervalo de tempo e´ dada por
Pme´d =
W
∆t
. (7-42)
Poteˆncia instantaˆnea e´ a taxa instantaˆnea com a qual o trabalho esta´ sendo realizado:
P =
dW
dt
. (7-43)
No caso de uma forc¸a ~F que faz um aˆngulo φ com a velocidade instantaˆnea ~v de um
objeto, a poteˆncia instantaˆnea e´ dada por
P = Fv cosφ = ~F · ~v. (7-47, 7-48)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Forc¸as Conservativas Uma forc¸a e´ uma forc¸a conservativa se o trabalho que ela realiza
sobre uma part´ıcula se anula ao longo de um percurso fechado. Podemos dizer tambe´m
que uma forc¸a e´ conservativa se o trabalho que ela realiza sobre uma part´ıcula que se move
entre dois pontos na˜o depende da trajeto´ria seguida pela part´ıcula. A forc¸a gravitacional
e a forc¸a ela´stica sa˜o forc¸as conservativas; a forc¸a de atrito cine´tico e´ uma forc¸a dissipativa
(na˜o conservativa).
12
Energia Potencial Energia potencial e´ a energia associada a` configurac¸a˜o de um sis-
tema submetido a` ac¸a˜o de uma forc¸a conservativa. Quando a forc¸a conservativa realiza
um trabalho W sobre uma part´ıcula do sistema, a variac¸a˜o ∆U da energia potencial do
sistema e´ dada por
∆U = −W. (8-1)
Se a part´ıcula se desloca do ponto xi para o ponto xf , a variac¸a˜o da energia potencial do
sistema e´
∆U = −
∫ xf
xi
f(x)dx. (8-6)
Energia Potencial Gravitacional A energia potencial associada a um sistema cons-
titu´ıdo pela Terra e uma part´ıcula pro´xima e´ chamada de energia potencial gravitacional.
Se uma part´ıcula se desloca de uma altura yi para uma altura yf , a variac¸a˜o da energia
potencial gravitacional do sistema part´ıcula-Terra e´ dada por
∆U = mg(yf − yi) = mg∆y. (8-7)
Se o ponto de refereˆncia de uma part´ıcula e´ tomado como yi = 0 e a energia potencial
gravitacional correspondente do sistema e´ tomada como Ui = 0, a energia potencial
gravitacional U de uma part´ıcula a uma altura y e´ dada por
U(y) = mgy. (8-9)
Energia Potencial Ela´stica Energia potencial ela´stica e´ a energia associada ao estado
de compressa˜o ou distensa˜o de um objeto ela´stico. No caso de uma mola que exerce uma
forc¸a ela´stica F = −kx quando a extremidade livre sofre um deslocamento x, a energia
potencial ela´stica e´ dada por
U(x) =
1
2
kx2. (8-11)
Na configurac¸a˜o de refereˆncia, quando a mola esta´ no estado relaxado, x = 0 e U = 0.
Energia Mecaˆnica A energia mecaˆnica Emec de um sistema e´ a soma da energia cine´tica
K com a energia potencial U do sistema:
Emec = K + U. (8-12)
Sistema isolado e´ um sistema no qual nenhuma forc¸a externa produz variac¸o˜es de ener-
gia. Se apenas forc¸as conservativas realizam trabalho em um sistema isolado, a energia
mecaˆnica Emec do sistema na˜o pode variar. Esse princ´ıpio de conservac¸a˜o da energia
mecaˆnica pode ser escrito na forma
K2 + U2 = K1 + U1, (8-17)
em que os ı´ndices se referem a diferentes instantes de um processo de transfereˆncia de
energia. Esse princ´ıpio de conservac¸a˜o pode tambe´m ser escrito na forma
∆Emec = ∆K + ∆U = 0. (8-18)
13
Curvas de Energia Potencial Se conhecemos a func¸a˜o energia potencial U(x) de
um sistema no qual uma forc¸a unidimensional F (x) age sobre uma part´ıcula, podemos
determinar a forc¸a usando a equac¸a˜o
F (x) = −dU(x)
dx
. (8-22)
Se U(x) e´ dada na forma de um gra´fico, para qualquer valor de x, a forc¸a F (x) e´ o negativo
da inclinac¸a˜o da curva no ponto considerado e a energia cine´tica da part´ıcula e´ dada por
K(x) = Emec − U(x), (8-24)
em que Emec e´ a energia mecaˆnica do sistema. Um ponto de retorno e´ um ponto x no
qual o movimento de uma part´ıcula muda de sentido (nesse ponto, K = 0). A part´ıcula
esta´ em equil´ıbrio nos pontos em que a inclinac¸a˜o da curva de U(x) e´ nula (nesses pontos,
F (x) = 0).
Trabalho Realizado sobre um Sistema por uma Forc¸a Externa O trabalho W e´
a energia transferida para um sistema, ou de um sistema, por uma forc¸a externa que age
sobre o sistema. Quando mais de uma forc¸a externa age sobre o sistema, o trabalho total
das forc¸as e´ igual a` energia transferida. Quando na˜o existe atrito, o trabalho realizado
sobre o sistema e a variac¸a˜o ∆Emec da energia mecaˆnica do sistema sa˜o iguais:
W = ∆Emec = ∆K + ∆U. (8-26, 8-25)
Quando uma forc¸a de atrito cine´tico age dentro do sistema, a energia te´rmica Et do sistema
varia. (Essa energia esta´ associada ao movimento aleato´rio dos a´tomos e mole´culas do
sistema.) Nesse caso, o trabalho realizado sobre o sistema e´ dado por
W = ∆Emec + ∆Et. (8-33)
A variac¸a˜o ∆Et esta´ relacionada ao mo´dulo fk da forc¸a de atrito e ao mo´dulo d do
deslocamento causado pela forc¸a externa por meio da equac¸a˜o
∆Et = fkd. (8-31)
Conservac¸a˜o da Energia A energia totalE de um sistema (a soma da energia mecaˆnica
e das energiasinternas, incluindo a energia te´rmica) so´ pode variar se certa quantidade
de energia for transferida para o sistema, ou retirada do sistema. Esse fato experimental
e´ conhecido como lei de conservac¸a˜o da energia. Se um trabalho W for realizado sobre o
sistema,
W = ∆E = ∆Emec + ∆Et + ∆Eint. (8-35)
Se o sistema for isolado (W = 0), isso nos da´
∆Emec + ∆Et + ∆Eint = 0 (3-36)
e Emec,2 = Emec,1 − ∆Et − ∆Eint, (8-37)
em que os ı´ndices 1 e 2 indicam dois instantes diferentes.
14
Poteˆncia A poteˆncia desenvolvida por uma forc¸a e´ a taxa com a qual essa forc¸a transfere
energia. Se uma dada quantidade de energia ∆E e´ transferida por uma forc¸a em um
intervalo de tempo ∆t, a poteˆncia me´dia desenvolvida pela forc¸a e´ dada por
Pme´d =
∆E
∆t
. (8-40)
A poteˆncia instantaˆnea desenvolvida por uma forc¸a e´ dada por
P =
dE
dt
. (8-41)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Centro de Massa e Momento Linear
Centro de Massa O centro de massa de um sistema de n part´ıculas e´ definido como o
ponto cujas coordenadas sa˜o dadas por
xCM =
1
M
n∑
i=1
mixi, yCM =
1
M
n∑
i=1
miyi, zCM =
1
M
n∑
i=1
mizi, (9-5)
ou ~rCM =
1
M
n∑
i=1
mi~ri, (9-8)
em que M e´ a massa total do sistema.
Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas O movimento do centro
de massa de qualquer sistema de part´ıculas e´ governado pela segunda lei de Newton para
um sistema de part´ıculas, expressa pela equac¸a˜o
~Fres = M~aCM. (9-14)
Aqui, ~Fres e´ a resultante de todas as forc¸as externas que agem sobre o sistema, M e´ a
massa total do sistema, e ~aCM e´ a acelerac¸a˜o do centro de massa do sistema.
Momento Linear e a Segunda Lei de Newton No caso de uma part´ıcula isolada,
definimos ~p, o momento linear, por meio da equac¸a˜o
~p = m~v, (9-22)
em func¸a˜o do qual podemos escrever a segunda lei de Newton na forma
~Fres =
d~p
dt
. (9-23)
Para um sistema de part´ıculas, essas relac¸o˜es se tornam
~P = M~vCM e ~Fres =
dP
dt
. (9-25, 9-27)
15
Colisa˜o e Impulso A aplicac¸a˜o da segunda lei de Newton a um corpo que se comporta
como uma part´ıcula e envolvido em uma colisa˜o leva ao teorema do impulso e momento
linear:
~pf − ~pi = ∆~p = ~J, (9-31, 9-32)
em que ~pf − ~pi = ∆~p e´ a variac¸a˜o do momento linear do corpo e ~J e´ o impulso produzido
pela forc¸a F (t) exercida sobre o corpo pelo outro corpo envolvido na colisa˜o:
~J =
∫ tf
ti
F (t) dt. (9-30)
Se Fme´d e´ o mo´dulo me´dio de ~F (t) durante a colisa˜o e ∆t e´ a durac¸a˜o da colisa˜o, para um
movimento unidimensional, temos:
J = Fme´d∆t. (9-35)
Quando uma se´rie de proje´teis de massa m e velocidade v colide com um corpo fixo, a
forc¸a me´dia que age sobre o corpo fixo e´ dada por
Fme´d = − n
∆t
∆p = − n
∆t
∆v, (9-37)
em que n/∆t e´ a taxa com a qual os corpos colidem com o corpo fixo, e ∆v e´ a variac¸a˜o
da velocidade de cada corpo que colide. A forc¸a me´dia tambe´m pode ser escrita na forma
Fme´d = −∆m
∆t
∆v, (9-40)
em que ∆m/∆t e´ a taxa com a qual a massa colide com o corpo fixo. Nas Eqs. (9-37) e
(9-40), ∆v = −v se os corpos param no momento do impacto e ∆v = −2v se ricocheteiam
sem mudanc¸a da velocidade escalar.
Conservac¸a˜o do Momento Linear Se um sistema esta´ isolado de tal forma que ne-
nhuma forc¸a resultante externa atua sobre o sistema, o momento linear do sistema per-
manece constante:
~P = constante (sistema isolado e fechado). (9-42)
A Eq. (9-42) tambe´m pode ser escrita na forma
~Pi = ~Pf (sistema isolado e fechado), (9-43)
em que os ı´ndices se referem aos valores de em um instante inicial e em um instante
posterior. As Eqs. (9-42) e (9-43) sa˜o expresso˜es equivalentes da lei de conservac¸a˜o do
momento linear.
Coliso˜es Inela´sticas em Uma Dimensa˜o Em uma colisa˜o inela´stica de dois corpos,
a energia cine´tica do sistema de dois corpos na˜o e´ conservada. Se o sistema e´ fechado
e isolado, o momento linear total do sistema e´ conservado, o que podemos expressar em
forma vetorial como
~p1i + ~p2i = ~p1f + ~p2f , (9-50)
em que os ı´ndices i e f se referem a valores imediatamente antes e imediatamente depois
da colisa˜o, respectivamente.
16
Se o movimento dos corpos ocorre ao longo de um u´nico eixo, a colisa˜o e´ unidimensional
e podemos escrever a Eq. (9-50) em termos das componentes das velocidades em relac¸a˜o
a esse eixo:
m1v1i +m2v2i = m1v1f +m2v2f . (9-51)
Se os dois corpos se movem juntos apo´s a colisa˜o, a colisa˜o e´ perfeitamente inela´stica e os
corpos teˆm a mesma velocidade final V (ja´ que se movem juntos).
Movimento do Centro de Massa O centro de massa de um sistema fechado e isolado
de dois corpos que colidem na˜o e´ afetado pela colisa˜o. Em particular, a velocidade ~vCM
do centro de massa e´ a mesma antes e depois da colisa˜o.
Coliso˜es Ela´sticas em Uma Dimensa˜o Uma colisa˜o ela´stica e´ um tipo especial de
colisa˜o em que a energia cine´tica de um sistema de corpos que colidem e´ conservada. Se
o sistema e´ fechado e isolado, o momento linear tambe´m e´ conservado. Para uma colisa˜o
unidimensional na qual o corpo 2 e´ um alvo e o corpo 1 e´ um proje´til, a conservac¸a˜o da
energia cine´tica e a conservac¸a˜o do momento linear levam a`s seguintes expresso˜es para as
velocidades imediatamente apo´s a colisa˜o:
v1f =
m1 −m2
m1 +m2
v1i, (9-67)
ou v2f =
2m1
m1 +m2
v1i. (9-68)
Coliso˜es em Duas Dimenso˜es Se dois corpos colidem e na˜o esta˜o se movendo ao
longo de um u´nico eixo (a colisa˜o na˜o e´ frontal), a colisa˜o e´ bidimensional. Se o sistema
de dois corpos e´ fechado e isolado, a lei de conservac¸a˜o do momento se aplica a` colisa˜o e
pode ser escrita como
~p1i + ~p2i = ~p1f + ~p2f . (9-77)
Na forma de componentes, a lei fornece duas equac¸o˜es que descrevem a colisa˜o (uma
equac¸a˜o para cada uma das duas dimenso˜es). Se a colisa˜o e´ ela´stica (um caso especial),
a conservac¸a˜o da energia cine´tica na colisa˜o fornece uma terceira equac¸a˜o:
K1i +K2i = K1f +K2f . (9-78)
Sistemas de Massa Varia´vel Na auseˆncia de forc¸as externas, a acelerac¸a˜o instantaˆnea
de um foguete obedece a` equac¸a˜o
Rvrel = Ma (primeira equac¸a˜o do foguete), (9-87)
em que M e´ a massa instantaˆnea do foguete (que inclui o combust´ıvel ainda na˜o con-
sumido), R e´ a taxa de consumo de combust´ıvel e vrel e´ a velocidade dos produtos de
exausta˜o em relac¸a˜o ao foguete. O termo Rvrel e´ o empuxo do motor do foguete. Para
um foguete com R e vrel constantes, cuja velocidade varia de vi para vf quando a massa
varia de Mi para Mf ,
vf − vi = vrel ln Mi
Mf
(segunda equac¸a˜o do foguete). (9-88)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
10 Rotac¸a˜o
Posic¸a˜o Angular Para descrever a rotac¸a˜o de um corpo r´ıgido em torno de um eixo
fixo, chamado eixo de rotac¸a˜o, supomos que uma reta de refereˆncia esta´ fixa no corpo,
perpendicular ao eixo e girando com o corpo. edimos a posic¸a˜o angular θ da reta em
relac¸a˜o a uma direc¸a˜o fixa. Se θ for medido em radianos,
θ =
s
r
(aˆngulo em radianos), (10-1)
em que s e´ o comprimento de um arco de circunfereˆncia de raio r e aˆngulo θ. A relac¸a˜o
entre um aˆngulo em revoluc¸o˜es, um aˆngulo em graus e um aˆngulo em radianos e´ a seguinte:
1 rev = 360◦ = 2pi rad. (10-2)
Deslocamento Angular Um corpo que gira em torno de um eixo de rotac¸a˜o, mudando
de posic¸a˜o angular de θ1 para θ2, sofre um deslocamento angular
∆θ = θ2 − θ1, (10-4)
em que ∆θ e´ positivo para rotac¸o˜es no sentido anti-hora´rio e negativo para rotac¸o˜es no
sentido hora´rio.
Velocidade Angular Seum corpo sofre um deslocamento angular ∆θ em um intervalo
de tempo ∆t, a velocidade angular me´dia do corpo, ωme´d, e´
ωme´d =
∆θ
∆t
. (10-5)
A velocidade angular (instantaˆnea) ω do corpo e´
ω =
dθ
dt
. (10-6)
Tanto ωme´d como ω sa˜o vetores, cuja orientac¸a˜o e´ dada pela regra da ma˜o direita. O
mo´dulo da velocidade angular do corpo e´ a velocidade angular escalar.
Acelerac¸a˜o Angular Se a velocidade angular de um corpo varia de ω1 para ω2 em um
intervalo de tempo ∆t = t2 − t1, a acelerac¸a˜o angular me´dia αme´d do corpo e´
αme´d =
ω2 − ω1
t2 − t1 =
∆ω
∆t
. (10-7)
A acelerac¸a˜o angular (instantaˆnea) α do corpo e´
α =
dω
dt
. (10-8)
Tanto αme´d como α sa˜o vetores.
18
Equac¸o˜es Cinema´ticas para Acelerac¸a˜o Angular Constante O movimento com
acelerac¸a˜o angular constante (α = constante) e´ um caso especial importante de movimento
de rotac¸a˜o. As equac¸o˜es cinema´ticas apropriadas, que aparecem na Tabela 10-1, sa˜o
Tabela 10-1: Equac¸o˜es de Movimento para Acelerac¸a˜o Linear Constante e Acelerac¸a˜o
Angular Constante
Nu´mero da Equac¸a˜o Variavel Equc¸a˜o Nu´mero da
Equac¸a˜o Linear Ausente Angular Equac¸a˜o
2-11 v = v0 + at (x− x0) (θ − θ0) ω = ω0 + αt 10-12
2-15 x− x0 = v0t+ 1
2
at2 v ω θ − θ0 = ω0t+ 1
2
αt2 10-13
2-16 v2 = v20 + 2a(x− x0) t t ω2 = ω20 + 2α(θ − θ0) 10-14
2-17 x− x0 = 1
2
(v0 + v)t a α θ − θ0 = 12(ω0 + ω)t 10-15
2-18 x− x0 = vt− 1
2
at2 v0 ω0 θ − θ0 = ωt− 1
2
αt2 10-16
ω = ω0 + αt, (10-12)
θ − θ0 = ω0t+ 1
2
αt2, (10-13)
ω2 = ω20 + 2α(θ − θ0), (10-14)
θ − θ0 = 1
2
(ω0 + ω)t, (10-15)
θ − θ0 = ωt− 1
2
αt2. (10-16)
Relac¸o˜es entre as Varia´veis Lineares e Angulares Um ponto de um corpo r´ıgido em
rotac¸a˜o, a uma distaˆncia perpendicular r do eixo de rotac¸a˜o, descreve uma circunfereˆncia
de raio r. Se o corpo gira de um aˆngulo θ, o ponto descreve um arco de circunfereˆncia de
comprimento s dado por
s = θr (aˆngulo em radianos), (10-17)
em que θ esta´ em radianos.
A velocidade linear do ponto e´ tangente a` circunfereˆncia; a velocidade linear escalar ~v
do ponto e´ dada por
v = ωr (aˆngulo em radianos), (10-18)
em que ω e´ a velocidade angular escalar do corpo em radianos por segundo.
A acelerac¸a˜o linear ~a do ponto tem uma componente tangencial e uma componente
radial. A componente tangencial e´
at = αr (aˆngulo em radianos), (10-22)
em que α e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o angular do corpo em radianos por segundo ao quadrado.
A componente radial de ~a e´
ar =
v2
r
= ω2r (aˆngulo em radianos). (10-23)
No caso do movimento circular uniforme, o per´ıodo T do movimento do ponto e do
corpo e´
T =
2pir
v
=
2pi
ω
(aˆngulo em radianos). (10-19, 10-20)
19
Energia Cine´tica de Rotac¸a˜o e Momento de Ine´rcia A energia cine´tica K de um
corpo r´ıgido em rotac¸a˜o em torno de um eixo fixo e´ dada por
K =
1
2
Iω2 (aˆngulo em radianos), (10-34)
em que I e´ o momento de ine´rcia do corpo, definido por
I =
∑
mir
2
i (10-33)
para um sistema de part´ıculas discretas
I =
∫
r2dm, (10-35)
para um corpo com uma distribuic¸a˜o cont´ınua de massa. Nessas expresso˜es, ri e r repre-
sentam a distaˆncia perpendicular do eixo de rotac¸a˜o a cada part´ıcula e a cada elemento
de massa, respectivamente, e o somato´rio e a integrac¸a˜o se estendem a todo o corpo, de
modo a incluir todas as part´ıculas e todos os elementos de massa.
Teorema dos Eixos Paralelos O teorema dos eixos paralelos relaciona o momento de
ine´rcia I de um corpo em relac¸a˜o a qualquer eixo ao momento de ine´rcia do mesmo corpo
em relac¸a˜o a um eixo paralelo ao primeiro passando pelo centro de massa:
I = ICM +Mh
2. (10-36)
Aqui, h e´ a distaˆncia perpendicular entre os dois eixos, e ICM e´ o momento de ine´rcia
do corpo em relac¸a˜o ao eixo que passa pelo centro de massa. Podemos definir h como o
deslocamento do eixo de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o que passa pelo centro de
massa.
Torque Torque e´ uma ac¸a˜o de girar ou de torcer um corpo em torno de um eixo de
rotac¸a˜o, produzida por uma forc¸a . Se e´ exercida em um ponto dado pelo vetor posic¸a˜o
em relac¸a˜o ao eixo, o mo´dulo do torque e´
τ = rFt = r⊥F = rF senφ, (10-40, 10-41, 10-39)
em que Ft e´ a componente de ~F perpendicular a ~r, e φ e´ o aˆngulo entre ~r e ~F . A grandeza
r⊥ e´ a distaˆncia perpendicular entre o eixo de rotac¸a˜o e a reta que coincide com o vetor
~F . Essa reta e´ chamada de linha de ac¸a˜o de ~F , e r⊥ e´ chamada de brac¸o de alavanca de
~F . Da mesma forma, r e´ o brac¸o de alavanca de Ft.
A unidade de torque do SI e´ o newton-metro (N ·m). O torque τ e´ positivo, se tende a
fazer um corpo inicialmente em repouso girar no sentido anti-hora´rio, e negativo, se tende
a fazer o corpo girar no sentido hora´rio.
Segunda Lei de Newton para Rotac¸o˜es A segunda lei de Newton para rotac¸o˜es e´
τres = Iα, (10-45)
em que τres e´ o torque resultante que age sobre a part´ıcula ou corpo r´ıgido, I e´ o momento
de ine´rcia da part´ıcula ou do corpo em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o, e α e´ a acelerac¸a˜o
angular do movimento de rotac¸a˜o em torno do eixo.
20
Trabalho e Energia Cine´tica de Rotac¸a˜o As equac¸o˜es usadas para calcular traba-
lho e poteˆncia para movimentos de rotac¸a˜o sa˜o ana´logas a`s usadas para movimentos de
translac¸a˜o:
W =
∫ θf
θ0
τdθ, (10-53)
e P =
dW
dt
= τω. (10-55)
Se τ for constante, a Eq. (10-53) se reduz a
W = τ(θf − θi). (10-54)
A forma do teorema do trabalho e energia usada para corpos em rotac¸a˜o e´ a seguinte:
∆K = Kf −Ki = 1
2
Iω2f −
1
2
Iω2i = W. (10-52)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Rolagem, Torque e Momento Angular
Corpos em Rolagem No caso de uma roda de raio R rolando suavemente,
vCM = ωR, (11-2)
em que vCM e´ a velocidade linear do centro de massa da roda e ω e´ a velocidade angular
da roda em torno do centro. A roda pode tambe´m ser vista como se estivesse girando
instantaneamente em torno do ponto P do “piso” que esta´ em contato com a roda. A
velocidade angular da roda em torno desse ponto e´ igual a` velocidade angular da roda em
torno do centro. Uma roda que rola tem uma energia cine´tica dada por
K =
1
2
ICMω
2 +
1
2
Mv2CM, (11-5)
em que ICM e´ o momento de ine´rcia da roda em relac¸a˜o ao centro de massa e M e´ a massa
da roda. Se a roda esta´ sendo acelerada, mas rola suavemente, a acelerac¸a˜o do centro de
massa ~aCM esta´ relacionada a` acelerac¸a˜o angular α em relac¸a˜o ao centro de rotac¸a˜o por
meio da equac¸a˜o
aCM = αR. (11-6)
Se a roda desce uma rampa de aˆngulo θ rolando suavemente, a acelerac¸a˜o ao longo de um
eixo x paralelo a` rampa e´ dada por
aCM,x = − g sen θ
1 + ICM/MR2
. (11-10)
O Torque como um Vetor Em treˆs dimenso˜es, o torque ~τ e´ uma grandeza vetorial
definida em relac¸a˜o a um ponto fixo (em geral, a origem) por meio da equac¸a˜o
~τ = ~r × ~F , (11-14)
em que ~F e´ a forc¸a aplicada a` part´ıcula e ~r e´ o vetor posic¸a˜o da part´ıcula em relac¸a˜o ao
ponto fixo. O mo´dulo de ~τ e´ dado por
τ = rF senφ = rF⊥ = r⊥F, (11-15, 11-16, 11-17)
em que φ e´ o aˆngulo entre ~F e ~r, F⊥ e´ a componente de ~F perpendicular a ~r, e r⊥ e´ o
brac¸o de alavanca de ~F . A orientac¸a˜o de ~τ e´ dada pela regra da ma˜o direita.
21
Momento Angular de uma Part´ıcula O momento angular ~` de uma part´ıcula com
momento linear ~p, massa m e velocidade linear ~v e´ uma grandeza vetorial definida em
relac¸a˜o a um ponto fixo (em geral, a origem) por meio da equac¸a˜o
~`= ~r × ~p = m(~r × ~v). (11-18)
O mo´dulo de ~` e´ dado por
` = rmv senφ, (11-19)
= rp⊥ = rmv⊥, (11-20)
= r⊥p = r⊥mv, (11-21)
em que φ e´ o aˆngulo entre ~r e ~p,p⊥ e v⊥ sa˜o as componentes de ~p e ~v perpendiculares a
~r, e r⊥ e´ a distaˆncia perpendicular entre o ponto fixo e a extensa˜o de ~p. A orientac¸a˜o de
e´ dada pela regra da ma˜o direita para produtos vetoriais.
Segunda Lei de Newton para Rotac¸o˜es A segunda lei de Newton para a rotac¸a˜o
de uma part´ıcula pode ser escrita na forma
~τres =
d~`
dt
, (11-23)
em que ~τres e´ o torque resultante que age sobre a part´ıcula e ~` e´ o momento angular da
part´ıcula.
Momento Angular de um Sistema de Part´ıculas O momento angular ~L de um
sistema de part´ıculas e´ a soma vetorial dos momentos angulares das part´ıculas:
~L = ~`1 + ~`2 + . . .+ ~`n =
n∑
i=1
~`
i. (11-26)
A taxa de variac¸a˜o com o tempo do momento angular e´ igual ao torque externo resultante
que age sobre o sistema (a soma vetorial dos torques produzidos pelas interac¸o˜es das
part´ıculas do sistema com part´ıculas externas ao sistema):
~τres =
d~L
dt
(sistema de particulas). (11-29)
Momento Angular de um Corpo Rı´gido No caso de um corpo r´ıgido que gira em
torno de um eixo fixo, a componente do momento angular paralela ao eixo de rotac¸a˜o e´
L = Iω (corpo r´ıgido, eixo fixo). (11-31)
Conservac¸a˜o do Momento Angular O momento angular ~L de um sistema permanece
constante se o torque externo resultante que age sobre o sistema e´ nulo:
~L = constante (sistema isolado) (11-32)
ou ~Li = ~Lf (sistema isolado). (11-33)
Essa e´ a lei de conservac¸a˜o do momento angular.
22
Precessa˜o de um Girosco´pio Um girosco´pio pode realizar, em torno de um eixo
vertical que passa pelo suporte, um movimento de precessa˜o a uma taxa dada por
Ω =
Mgr
Iω
, (11-46)
em que M e´ a massa do girosco´pio, r e´ o brac¸o de alavanca, I e´ o momento de ine´rcia e
ω e´ a velocidade angular do girosco´pio.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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	Medição
	Movimento Retilíneo
	Vetores
	Movimento em Duas e Três Dimensões
	Força e Movimento - I
	Força e Movimento - II
	Energia Cinética e Trabalho
	Energia Potencial e Conservação da Energia
	Centro de Massa e Momento Linear
	Rotação
	Rolagem, Torque e Momento Angular