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Lista de exerc´ıcios complementares Intervalo de confianc¸a Estat´ıstica I 1. Ache o valor cr´ıtico zα/2 que corresponde ao n´ıvel de confianc¸a dado por: (a) 99%. (b) 90%. (c) 98%. (d) 99, 5%. 2. Ache o valor cr´ıtico t (n−1) α/2 que corresponde ao n´ıvel de confianc¸a e tamanho da amostra dados por: (a) 99% e n = 31. (b) 90% e n = 41. (c) 98% e n = 121. (d) 99, 8% e n = 36. 3. Calcule o intervalo de confianc¸a para a me´dia de uma N(µ, σ2) em cada um dos casos abaixo: (a) x¯ = 170cm; n = 100; σ = 15cm; α = 5%. (b) x¯ = 165cm; n = 184; σ = 30cm; α = 15%. 4. De 50.000 va´lvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 va´lvulas e obte´m-se a vida me´dia de 800 horas e o desvio padra˜o de 100 horas. (a) Qual o intervalo de confianc¸a de 99% para a vida me´dia da populac¸a˜o? (b) Com que confianc¸a dir-se-ia que a vida me´dia e´ 800± 6, 41? 5. A tabela abaixo apresenta o resultado de uma amostra aleato´ria de velocidades de motoristas multados em uma parte da rodovia interestadual, em Connecticut: Varia´vel n Me´dia D. padra˜o IC (95%) Velocidade 81 67,3849 3,3498 [66,6554; 68,1144] (a) Identifique o valor da estimativa pontual da me´dia populacional µ. (b) Expresse o intervalo de confianc¸a no formato x¯± ε. 6. Em um estudo sobre o tempo que os estudantes gastam para obterem o grau de bacharel, 80 estudantes foram selecionados aleatoriamente e verificou-se que tinha uma me´dia de 4,8 anos. Supondo σ = 2, 2 anos, construa o intervalo com 90% de confianc¸a para a me´dia populacional. 7. A capacidade (em ampere-hora) de uma amostra de 121 baterias foi medida. A me´dia foi 178 e desvio padra˜o 14. (a) Determine um intervalo de confianc¸a de 95% para a capacidade me´dia das ba- terias produzidas por este me´todo. (b) Determine um intervalo de confianc¸a de 99% para a capacidade me´dia das ba- terias produzidas por este me´todo. 1 8. Uma amostra aleato´ria de 625 donas de casa revela que 70% delas preferem a marca A de detergente. Construir um intervalo de confianc¸a para p = proporc¸a˜o das donas de casa que preferem A com n´ıvel de confianc¸a de 90%, considerando as abordagens otimista e conservativa. 9. Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de consumidores de um certo produto. Se a amostra de tamanho 300 forneceu 100 indiv´ıduos que con- somem o dado produto, determine o intervalo de confianc¸a de p, com coeficiente de confianc¸a de 95%. Interprete o resultado. 10. Expresse os intervalos abaixo na forma de pˆ±ε: (a) 0, 222 ≤ p ≤ 0, 444. (b) 0, 600 ≤ p ≤ 0, 800. (c) [0, 206; 0, 286]. (d) [0, 287; 0, 387]. 11. Em uma pesquisa com 1002 pessoas, 701 disseram que votaram em uma recente eleic¸a˜o presidencial. Os registros da votac¸a˜o mostram que 61% dos eleitores habili- tados realmente votaram. (a) Ache um intervalo com 99% de confianc¸a para a proporc¸a˜o de pessoas que dizem ter votado. (b) Os resultados da pesquisa esta˜o de acordo com o resultado real de votantes de 61%? Por que sim ou por que na˜o? 12. Certa organizac¸a˜o de um campus universita´rio desejava estimar a porcentagem do corpo discente que favorecesse o seu candidato na pro´xima eleic¸a˜o. Para isso interro- gou os 200 primeiros estudantes, que se dirigiam a`s aulas das 8h, sobre suas opinio˜es. Descobriram que 30% deles favoreciam seu candidato. Se a estimativa fosse va´lida, qual seria o intervalo com 96% de confianc¸a para p? 13. Suponha que uma associac¸a˜o de defesa de consumidores deseja estimar o consumo me´dio um novo modelo de automo´vel que sera´ lanc¸ado no mercado. Para fazer esta verificac¸a˜o, a associac¸a˜o observa uma amostra de 10 ve´ıculos, conduzidos por moto- ristas treinados, num percurso de 100 milhas. O consumo, em galo˜es, foi registrado com os seguintes resultados: n∑ i=1 xi = 43, 28 n∑ i=1 x2i = 188, 4886. Assumindo que estes valores representam uma amostra aleato´ria de uma varia´vel normalmente distribu´ıda com me´dia µ e variaˆncia σ2. (a) Calcule estimativas pontuais para µ e σ2. (b) Calcule um intervalo de 75% de confianc¸a para σ2. 2 14. Considere a amostra: 9 8 12 7 9 6 11 6 10 9, extra´ıda de uma populac¸a˜o normal. (a) Construir o intervalo de confianc¸a de 95% para µ. (b) Construir o intervalo de confianc¸a de 90% para σ2. 15. Sendo X uma va´ria´vel aleato´ria tal que X ∼ N(µ, σ2) em que µ e σ2 sa˜o desconhe- cidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu os valores: n∑ i=1 xi = 8, 7 n∑ i=1 x2i = 27, 3. Determinar um intervalo com 95% de confianc¸a para σ2. ————————————————————————————————————– 16. (Walpole et al. 9.4 p.180 ). Uma indu´stria ele´trica fabrica laˆmpadas com vida u´til distribu´ıda aproximadamente normal, com desvio-padra˜o de 40 horas. (a) Se uma amostra de 30 laˆmpadas tem me´dia de vida de 780 horas, determine um intervalo de confianc¸a de 96% para a me´dia populacional de todas as laˆmpadas produzidas pela empresa. (b) Qual deve ser o tamanho da amostra se desejarmos estar 96% confiantes de que nossa me´da amostral estara´ dentro das dez horas da me´dia verdadeira? 17. (Walpole et al. 9.54 e 9.61 p.193 ). (a) Calcule o intervalo de confianc¸a de 98% para a proporc¸a˜o de itens defeituosos em um processo quando se sabe que uma amostra de tamanho 100 gera oito itens defeituosos. (b) Qual e´ o tamanho da amostra necessa´rio se desejarmos estar 98% confiantes de que a proporc¸a˜o amostral estara´ a 0,05 da proporc¸a˜o real de defeituosos? 18. (Walpole et al.E9.55 p.193 ). Um novo sistema de lanc¸amento de foguetes esta´ sendo considerado para a implementac¸a˜o de foguetes pequenos e de certo alcance. O sistema existente tem p = 0, 8 como probabilidade de um lanc¸amento bem-sucedido. Uma amostra de 40 lanc¸amentos experimentais como o novo sistema e´ realizada e 34 obteˆm sucesso. Construa um intervalo de confianc¸a de 95% para p. O sistema e´ melhor? 3
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