Apostila Nivelamento para Cálculo I

Prévia do material em texto

SUMÁRIO 
 
Conjuntos Numéricos e intervalos............................................................................................................................03 
Operações com frações .................................................................................................................................. 10 
Produtos Notáveis .......................................................................................................................................... 13 
Fatoração..................................................................................................................................................................17 
Equação do 1º Grau ............................................................... ........................................................................18 
Equação do 2º Grau ..................................................................................................................................... 19 
Sistemas de Equações do 1º Grau ................................................................................................................ 22 
Trigonometria no Triângulo Retângulo ....................................................................................................................24 
Referências Bibliográficas.........................................................................................................................................29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
O nosso sistema numérico é decimal posicional e é conhecido como sistema indo-arábico. Os números provenientes deste 
sistema foram organizados em conjuntos ditos “conjuntos numéricos fundamentais” para facilitar o estudo dos mesmos. 
Entender toda a estrutura numérica e sua ordenação é o que se pretende neste momento. 
 
Conjunto dos Números Naturais (ℕ) 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} 
ℕ* = {1, 2, 3, ...} = ℕ - { 0 }  Conjunto dos números Naturais Não Nulos 
 
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ) 
 
ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} ou ℤ = { 0 , 1 , 2 , 3 ,...} 
 
ℤ* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3,...} = ℤ - { 0 }  Conjunto dos números Inteiros Não Nulos 
 
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}  Conjunto dos números Inteiros Não Negativos 
 
ℤ
*

= {1, 2, 3, 4,...}  Conjunto dos números Inteiros Positivos 
 
ℤ - = {..., –3, –2, –1, 0 }  Conjunto dos números Inteiros Não Positivos 
 
ℤ
*

= {–1, –2, –3,...}  Conjunto dos números Inteiros Negativos 
 
 
 
Conjunto dos Números Racionais (ℚ) 
 
Um número é dito racional quando é possível escrevê-lo na forma 
b
a
, com a  ℤ e b  ℤ*. Formalmente, temos: 
ℚ = {x | x = 
b
a
, com a  ℤ e b  ℤ*} 
 
Note que: ℤ+ = ℕ e ℕ  ℤ 
03 
 
 
 
8
, 
4
5
4
5
4
5




, 
3
1

, 
0
, 
2
1
, 
3
12
, 
7
, 
121
, 
14
%
50
7
100
14

 
Observe que: 
7
 ℚ 
Além da forma 
b
a
, os números racionais também podem ser representados na forma Decimal; isto acontece quando dividimos 
a (numerador) por b (denominador). Temos então: 
 Decimais exatos (finitos): 
25,1
4
5

, 
375,0
8
3

, 
4,2
5
12

, 
75,3
4
15
20
75

, 
234,1
1000
1234

 
 Decimais (dízimas) periódicos: 
3,0...333,0
3
1

 período geratriz 
42,0...4242,0
33
14

 
857142,0...428571428571,0
7
6

, 
61,2...1666,2
6
13

 (observar arredondamento da calculadora) 
 
 
# Entre dois números inteiros, nem sempre existe outro número inteiro. 
# Entre dois números racionais, sempre existe outro número racional. 
# Também podemos utilizar as notações: ℚ*, ℚ+, ℚ
*

, ℚ– e ℚ *

. 
 
Conjunto dos Números Irracionais (Ir) 
 
Um número é Irracional, quando NÃO é possível escrevê-lo na forma 
b
a
, com a  ℤ e b  ℤ*. Podemos escrever: 
Ir = {x | x é dízima não periódica}. 
 
...4142135,12 
 
...92401773,2253 
 
...7320508,13 
 
...00010100100010,2
 
...7320508,13 
 
...14159265,3
(“pi”) 
 
...7182818,2e
 (número de Euler) 
Observe que 
9
 Ir, pois sabemos que 
39 
. 
Outras Notações para o Conjunto dos Irracionais: (ℝ – ℚ) ou ℚ’ 
EXEMPLOS! 
FIQUE ATENTO! 
EXEMPLOS! 
 
04 
 
 
Conjunto dos Números Reais (ℝ) 
 
Unindo todos os conjuntos numéricos estudados até aqui, teremos o conjunto dos números reais. Ou seja: 
ℝ = { x | x  ℚ ou x  Ir } = ℚ  Ir 
Desta forma, todo número natural, inteiro, racional ou irracional também é um número REAL. Podemos representar através de 
“diagramas” o conjunto dos números reais, conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Observe que: ℕ 

 ℤ 

 ℚ 

 ℝ e ℚ 

 Ir = . 
Uma representação geométrica (dos números reais) muito importante é a “Reta Real”, também conhecida como reta numérica 
real ou eixo real, ou ainda, eixo das abscissas. Veja: 
 Origem 
 
  
 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 
 
 
 
 
 
Em nosso estudo, quando falarmos de números e não forem feitas “restrições” sobre esses, adotaremos sempre os números 
reais. 
 
Também temos os intervalos, que são subconjuntos do conjunto dos números reais: 
 
 
 
ℝ* = {x  ℝ | x 

 0}  Conjunto dos números Reais Não Nulos ou diferentes de zero 
ℝ+ = {x  ℝ | x  0}  Conjunto dos números Reais Não Negativos ou maiores ou igual a zero 
ℝ
*

= {x  ℝ | x > 0}  Conjunto dos números Reais Positivos ou maiores que zero. 
ℝ– = {x  ℝ | x  0}  Conjunto dos números Reais Não Positivos ou menores ou igual a zero 
ℝ
*

= {x  ℝ | x < 0}  Conjunto dos números Reais Negativos ou menores que zero 
 
 
Observação: Temos que 
 283
ℝ, mas 
 992
ℝ. 
Não estão definidas para o conjunto dos números reais, raízes de números negativos com índice par. 
 
Um número REAL qualquer 
é racional ou irracional. 
ℝ 
ℚ 
I 
ℤ 
ℕ 
            
 
 
5
17

 
2
1

 
  
3
8
 
14159265,3
 
 
2
 
 
 
05 
 
 
Conjunto dos Números Complexos (ℂ) 
 
Também conhecido como conjunto dos números “imaginários”, não fará parte de nosso estudo (embora tenha grande 
aplicação na área eletroeletrônica, entre outras). Podemos dizer, de forma simples, que se trata de um conjunto numérico que 
envolve, além dos números reais, números do tipo 
4
 que não podem ser definidos em ℝ. 
 
INTERVALOS 
 
↳ São subconjuntos do ℝ, e podem ser representados através da notação de conjunto, de colchetes ou na reta Real. 
Analise atentamente os exemplos a seguir: 
 
Intervalo aberto 
{x  ℝ | 2 < x < 10} = ] 2 , 10 [ = 
↳ Notação de Conjunto ↳ Notação de Colchetes ↳ Representação na Reta Real 
Atenção: Observe que no intervalo aberto acima, foram representados todos os números reais ENTRE os números 2 e 10, e 
conseqüentemente, os números 2 e 10 (que são os limitantes do intervalo) foram EXCLUÍDOS do conjunto representado. 
Intervalo Fechado 
{x  ℝ | 2  x  10} = [ 2 , 10 ] = 
 
Atenção: Observe que no intervalo fechado acima, foram representados todos os números reais do número 2 ATÉ o 10, e 
conseqüentemente,os números 2 e 10 (que são os limitantes do intervalo) foram INCLUÍDOS do conjunto representado. 
Intervalo Semi-aberto ou Semi-fechado 
{ x  ℝ | 2 < x  10 } = ] 2 , 10 ] = 
 
{ x  ℝ | 2  x < 10 } = [ 2 , 10 [ = 
↳ { x | 2  x < 10 } ↳ [ 2 , 10 ) = 
 
Intervalos Infinitos (incomensuráveis) 
{ x  ℝ | x > 7 } = ] 7 , +  [ = 
 
{ x  ℝ | x 

 7 } = [ 7 , +  [ = 
 
{ x  ℝ | x < 7 } = ] –  , 7 [ = 
 
{ x  ℝ | x  7 } = ] –  , 7 ] = 
↳ { x  ℝ | –  < x  7 } 
[ ) 
2 10 
2 10 
2 10 
10 
10 2 
2 
7 
7 
7 
7 
06 
 
 
Observações e similaridades: 
 
ℝ = { x | x  ℝ } = ] –  , +  [ = 
 
ℝ* = { x  ℝ | x  0 } = ] –  , 0 [  ] 0 , + [ = 
↳ { x  ℝ | x < 0 ou x > 0 } 
 
{ x  ℝ | x < –1 ou 0  x < 15 e x  6 } = 
↳ { x  ℝ | x < –1 ou 0  x < 6 ou 6 < x < 15 } 
 
{ x  ℝ | –5,1 < x  3 ou x 

 4 e x  17 } = 
↳ { x  ℝ | –5,1 < x  3 ou 4  x < 17 ou x > 17 } 
 
 
Note que os conjuntos A = { x  ℕ | 2 < x  6 } e B = { x  ℝ | 2 < x  6 } são DIFERENTES. 
Veja na reta real: 
 
 A B 
O conjunto A é finito, pois tem somente 4 elementos. Em contrapartida, não podemos determinar o número de elementos do 
conjunto B, pois este último possui infinitos elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
0 
0 6 15 –1 
3 4 17 –5,1 
4 5 6 3 2 6 
ATENÇÃO! 
07 
 
 
 
1. Relacione usando  ou  : 
a) – 5 ............. ℕ e) 
11
4
 ............. ℝ-ℚ i) –1 ................ ℝ n) 
361
 .................. Ir 
b) 
3
2
 ............. ℤ f) 
9
 ............. ℝ j) 
9
108
 ............. ℕ o) (2,33... x 9) .......... ℕ 
c) 
5
 ........... ℝ g) –13 ............... ℚ l) 0 .................. ℤ+ p) 
2
64
3

 ............... ℤ 
d) 4 ............... ℚ h) 
0
 .............. ℝ m) 
2
4

 ............ ℚ* q) 0,127 .................. ℚ* 
2. Os conjuntos A = { x  ℕ | 2  x < 4 } e B = { x  ℝ | x2 – 5x + 6 = 0 } são iguais? 
 
3. Represente em cada reta real os intervalos correspondentes: 
 
a) ] –  , –1 ] b) { x  ℝ | 0  x  2 } 
 
c) ] 0 , 3 [ d) { x  ℝ | –2 < x  
2
} 
 
e) [ –5 , 4 [ f) { x  ℝ | x > – 5 } 
 
g) 





2
1
,
5
2
 h) { x  ℝ | 1  x < 2 } 
i) { x  ℝ | x  1 ou x > 2 }  
 
j) { x  ℝ | –2 < x  3 e x  1}  
 
k) { x  ℝ | x  2 ou x = 4 }  
 
l) { x  ℝ | –3 < x < –1 ou 1 < x  2 }  
 
ATENÇÃO: analise os intervalos (h) e (i) e note que eles são completamente diferentes. 
EXERCÍCIOS – Conjuntos Numéricos Fundamentais e Intervalos. 
08 
 
 
 
4. Dados os intervalos abaixo, escreva-os em notação de conjunto: 
 
a)  { ........................................................................................... } 
 
b)  { ........................................................................................... } 
 
c)  { ........................................................................................... } 
 
d)  { ........................................................................................... } 
 
e)  { ........................................................................................... } 
 
f)  { ........................................................................................... } 
 
g)  { .......................................................................................... } 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES: 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
 
 
 
–3 3 
1 
1/2 
0 2 
1 –2 
–1 
0 
0 3 –2 
–3 –1 0 1 
09 
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
Adição e Subtração 
 
Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira: 
 Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos 
denominadores; 
 Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum; 
 Simplificamos o resultado sempre que possível. 
 
EXEMPLOS! 
 
 
a) 
10
31
 = 
10
15 + 16
 = 
2
3
 
5
8

 b) 
30
1
 = 
30
36 20 + 15
 = 
5
6
 
3
2
 +
2
1



 
c) 
9
2
18
4
18
389
6
1
9
4
2
1
2
2




 
Multiplicação 
 
Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma: 
 Multiplicam-se os numeradores entre si; 
 Multiplicam-se os denominadores entre si; 
 Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível. 
 
 
EXEMPLOS! 
 
 
 
a) 
10
21
 = 
5 2
7 3
 = 
5
7
 
2
3



 
b) 
 
 
5
1
5
- = 
3
15
- = 
31
53-
=3
5
 3
3
3











 
c) 
27
1
3
1
1
1
9
1
6
1
7
2
9
7
6
1
7
2
9
7
27
27





























































 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Observação: 
Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la, 
conforme o exemplo c. 
Divisão 
 
Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma: 
 Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração; 
 Simplifica-se o resultado sempre que possível. 
 
EXEMPLOS! 
a) 
2
5
 
3
7
 = 
2
5
 . 
7
3
 = 
14
15

 b) 
16
1
 = 
80
5
 =
20
1
 . 
4
5
 = 20 
4
5
5
5
--















 
Potenciação 
 
Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente. 
 
EXEMPLOS! 
 
a) 
9
4
 = 
3
2
 = 
3
2
2
22







 b) 10
23 23
0
0





 = 
10
 = 
1
1
 = 1
0 
c) 
27
8
 = 
3
2
 = 
2
3
3
33







 d) 
36
25
6
5
 = 
6
5
 = 
5
6
2
22-2













 
Observações: 
 Elevando um número ao expoente par, o resultado será positivo, conforme o exemplo a. 
 Elevando um número a um expoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o exemplo c. 
 
Radiciação 
Para obter a raiz de uma fração, extraem-se as raízes do numerador e do denominador. 
a) 16
25
 = 
16
25
 = 
4
5
 b) 
2
1
 = 
8
1
 = 
8
1
3
3
3
 c) 

9
4 ℝ 
Observações: 
 Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de um número negativo, conforme o exemplo c. 
 ℝ  conjunto dos números reais. 
 
 
 
EXEMPLOS! 
11 
 
 
 
 
As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação: 
1º  Potenciação e Radiciação; 
2º  Multiplicação e Divisão; 
3º  Adição e Subtração. 
Essas operações são assim realizadas: 
1º  Parênteses; 
2º  Colchetes; 
3º  Chaves. 
 
 
ANOTAÇÕES: 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEQUÊNCIA DE OPERAÇÕES 
12 
 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Certos produtos aparecem com bastante freqüência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos 
Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto → “resultado da multiplicação”, e notável → “que se destaca”. O 
único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na 
multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva 
(conhecida como “chuveirinho”), ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir. 
 
Quadrado da Soma de dois Termos 
 
     bababa  2
22 bababa 
 
 
Portanto: 
 
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: 
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º 
pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 
 
 
a) (x + y)2 = (x) 2 + [ 2 . (x) . (y) ] + (y) 2 b) (3a + 2)2 = (3a) 2 + [ 2 . (3a) . (2) ] + (2) 2 
 x2 + 2xy + y2 9a2 + 12a + 4 
 
Quadrado da Diferença de dois Termos 
 
 Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos. 
 Então temos: 
 
     bababa 2 
22 bababa 
 
 
Portanto: 
 
 
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: 
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 
1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 
 
 
EXEMPLOS! 
13 
 
 
 
a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 b) (3a – 5)2 = (3a)2 – [ 2.(3a).(5) ] + (5)2 = 
 9a2 – 30a + 25 
Produto da Soma e Diferença de dois Termos 
 
 O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores. 
 Veja: 
 
   baba  2222 babababa 
 Portanto: (a + b).(a – b) = a2 – b2 
 
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: 
“O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do 
segundo termo”. 
 
 
a) (x + y).(x – y) = x2 – xy + yx – y2 = x2 – y2 b) (3a – 5).(3a + 5) = (3a)2 – (5)2 = 9a2 – 25 
 
 
 
1. Calcule os quadrados e os produtos: 
a) (a + 5)2 b) (x + 1)2 c) (2x + 3y)2 d) (a – 2)2 e) (x – 1)2 
f) (x + 3).(x – 3) g) (2x – 1).(2x + 1) h) (7 + a).(– a + 7) i) (¾ – 4y).(4y + ¾) j) (m2 – ½).(m2 + ½) 
 
Respostas: 
4
1
)16
16
9
)49) 14)
9)12)44)9124)12)2510)
4222
222
 
2222


mjyiahxg
xfxxeaadyxyxcxxbaaa
 
2. Simplifique as expressões: 
a) (a – 2)2 – 2(a + 2) = b) (y + 5)2 – y(y + 10) = c) (a + b)2 + (a – b) 2 = 
 
EXEMPLOS! 
EXEMPLOS! 
EXERCÍCIOS 
14 
 
 
d) (x – 3)2 + (x + 3) 2 = e) (x + y)(x – y) + (x + y)2 – 2xy = 
 
Respostas: 
22222 2)182)22)25)6) xexdbacbaaa 
 
 
1. Efetue as operações: 
a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 = b) 3(y2 – 1)2 + 2(2y + 2)2 = 
c) (2xy + 3)(x2 – 2) – (x – 1)2 = d) (2x + 1)2 + 2x(x – 1)2 = 
e) (ab + 1)2 + ab(ab + 2) = f) (4ay – 1)2 – 4(ay – 1)2 = 
 
Respostas: 
3
22
12)14
22
2)16
3
2)
72
2
24
3
2)1116
2
2
4
3)22
8)


yafabbaexxd
xxxyyxcyyybxa
 
 
2. Nos exercícios abaixo, obtenha os produtos notáveis: 
a) (3m2 + 4n)2 = b) (7y2 + 3y4)2 = c) (b4 + c5)2 = d) (x2 – 3)2 = 
e) (3a2 – 2b6)2 = f) (1 + x5)2 = g) (– x + 3)2 = h) (– x – 2y)2 = 
 
Respostas: 
2
44
2
)96
2
)
105
21)
12
4
62
12
4
9)
9
2
6
4
)
1054
2
8
)
8
9
6
42
4
49)
2
16
2
24
4
9)
yxyxhxxgxxfbbaae
xxdccbbcyyybnnmma

 
 
3. Calcule os seguintes produtos notáveis: 
a)







2
4
1
2xy
 b) 







2
2
3
3
b
ab
 c) 







2
32 2
3
1
abba
 
d) 







2
22
6
1
4
1
yx
 e) 







2
2
7
4
5
1 m 
 
 
Respostas: 
4
49
162
35
8
25
1
)
4
36
122
12
14
16
1
)
62
4
43
3
424
9
1
)
9
43
2
22
9)
16
122
4)
mmeyyxxd
bababac
b
abbabxyyxa

 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES: 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMINDO 
 
16 
 
 
FATORAÇÃO 
 
Fatorar uma expressão é reescrevê-la em fatores (partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) podem apresentar 
números e/ou variáveis que devem ser escritas com os menores números possíveis, e, as variáveis (letras), com o menor 
expoente natural possível. 
Observe a igualdade abaixo: 
5a + 5b = 5(a + b) 
 
Como 5a + 5b poder escrito 5(a + b), dizemos que expressão 5a + 5b foi fatorada, tendo como fator comum o número “5”, 
que foi colocado em evidência. 
 
 
 
a) ab + ac = a(b + c)  fator comum “a” 
 
b) 6x2 + 2x3 = 2x2(3 + x)  fator comum “2x2” 
 
c) 10m + 20m2 = 10m(1 + 2m)  fator comum “10m” 
 
 
 
1. Fatore as expressões: 
a) 
aaa 18126 23 
 b) 
432 302015 xxx 
 c) 
543 20125 aaa 
 
d) 
22 93 xyyx 
 e) 
)()(2 yxxyx 
 f) 
)(6)(3 babax 
 
Respostas: 
a) 6a(a2 – 2a + 3) b) 5x2(3 – 4x – 6x2) c) a3(5 – 12a + 20a2) d) 3xy(x – 3y) e) (x – y)(2 – x) f) 3(a + b)(x + 2) 
 
2. Simplifique as expressões dadas: 
a) 
4
44 ba 
 b) 
a
ayax
5
2510 
 c) 
3
1812 yxy 
 d) 
nm
nm

77
 
 e) 
2
23 1115
x
zxyx 
 g) 
2
32
2
48
yx
xyyx


 f) 
ba
baba
37
73 322


 
Respostas: 
a) a + b b) 2x – 5y c) 2y(2x – 3) d) 7 e) 15xy – 11z f) a2 b g) 4xy 
 
 
EXEMPLOS! 
EXERCÍCIOS 
17 
 
 
EQUAÇÃO DO 1 GRAU 
 
Equação do 1 grau é toda equação que se reduz à forma ax + b = 0, onde a e b são números reais, com a  0. 
 
 
a) 
 13579 xx
 
0204013759  xxx
 
b) 






2
43
6
94
3
12 xxx
 




xxx
xxx
1299424
6
)43(3
6
)94()12(2 0212 x
 
 
Resolução de uma Equação do 1 Grau 
 
Resolver uma equação do 1 grau é determinar o valor de “x” (variável) que satisfaz a igualdade. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1. Resolva as equações a seguir: 
a)
   12424  xx
 b)
    1932425  xxx
 c)
4
1
3
2
26
1

xx
 
d)
4
313
2
1
8
52 



 mmm
 e) 
   
4
235
3
12
3
14 



 xxx
 
 
Respostas: 
   



















7
6
)
4
3
)
2
1
)2)5) edcba
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS! 
EXERCÍCIOS 
18 
 
 
EQUAÇÃO DO 2 GRAU 
 
Equação do 2 grau é toda equação que se apresenta na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, com 
a 0. 
 
 
 
a) 3x2 – 7x + 2 = 0 a = 3; b = –7; c = 2 
b) 2x2 – 10x = 0 a = 2; b = 10; c = 0 
c) –x2 + 5 = 0 a = –1; b = 0; c = 5 
d) 4x2 = 0 a = 4; b = 0; c = 0 
 
Resolução de uma Equação do 2 Grau 
 
A resolução de uma equação do 2º grau pode ser obtida através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula de 
BHÁSKARA: 
02  cbxax
 
a
acbb
x
2
42 

 
A expressão 
cab  42
, chamada de discriminante da equação, é geralmente representada pela letra grega  (lê-se: 
delta). 
Então: 
ac4b2 
 
Logo, se 
0
, podemos escrever: 
a
b
x
2


 
Observe que, quando 
0
, a equação não admite raízes reais. 
 
 
a) Resolva a equação 2x2 + 7x + 3 = 0 
 
 
 
EXEMPLOS! 
EXEMPLOS! 
19 
 
 
 
 
1. Determine o conjunto-verdade das equações: 
a)
01522  xx
 b)
0103 2  pp
 c)
02012
2
 yy
 
 
d)
0642 x
 e)
0806010 2  xx
 f)
1
10
2 

y
y
 
 
g)
yy 12159 2 
 h)
2
51
1



 x
x
x
x
 i)
332122  xx
 
 
Respostas:      
     
 3,33)
1,2)
3
2
)4,5)2,4)
8,8)10,2)
10
3
0)5,3)















Vi
VhVgVfVe
VdVc,VbVa
 
2. Determine o conjunto-solução das equações abaixo: 
 
a)
    201.23.5  xx
 b)
   4.33.25  xxx
 
 
 
 
c)
8
7
8
3
2
1
1  x
 d)
3
12
2
14 

 xx
 
 
 
EXERCÍCIOS 
20 
 
 
3. Resolva as equações, apresentando o conjunto verdade: 
a) 
12
3
42


a
 b) 
xx
x
x 3
4
2
13
10
22



 
c) 
3
2
4
2
3



 xx
x
 d)
22 9
8
18
11
nnn
n


 
Respostas: 
2a) S = {1} 2b) S = {3} 2c) S = {–1/4} 2d) S = {5/16} 
3a) V = {3/4} 3b) V = {23/11} 3c) V = {–5/3} 3d) V = {2} 
 
4. Determine o conjunto-solução das equações: 
a) 
0654 2  xx
 b) 
01710 2  xx
 c) 
036122  xx
 
 
d) 
0532  xx
 e) 
052 2  xx
 f) 
07 2  xx
 
 
g) 
092  xx
 h) 
0322 2 x
 i) 
0624 2  x
 
 
j) 
0273 2  x
 l)
017,01,0 2  xx
 m) 
0422  xx
 
 
n) 
4
4
2
2
2
1
2 





x
x
xx
x
 o) 
1
1
3
1
2






x
x
x
x
 
 
Respostas: 
a) {2, –3/4} b) {1/2, 1/5} c) {6} d) {x  ℝ} e) {0, –5/2} f) {–1/7, 0} g) {0, 9} 
 
 h) { 4} i) {
2/62
} j) { 3} l) {2, 5} m) {
22
,
2
} n) {3} o) {0, 5} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Resolver um sistema de equações do 1º grau é determinar o par ordenado (x, y) para o qual, as duas equações são 
verdadeiras. Vamos recordar dois métodos de resolução: o método da substituição e o método da adição. 
 
Método da Substituição 
 
 
a) Resolva o sistema: 



 II3
I5
 
 y = x 
 x + y = 
Resolução: 
Isolando o valor de “x” em I: 
x + y = 5  x = 5 – y 
Substituindo “x” por (5 – y) em II, temos: 
x – y = 3 
(5 – y) – y = 3  5 – y – y = 3  – y – y = 3 – 5  
 – 2y = –2  2y = 2  y = 
2
2
  y = 1 
Substituindo y = 1 em x = 5 – y , temos: 
x = 5 – (1)  x = 5 – 1  x = 4 
Então, encontramos o par ordenado que gera a solução: S = { (4 , 1) } 
Método da Adição 
 
 
a) Resolva o sistema: 



 II 5
I 9
 
 y = x 
x + y = 
Resolução: 
Adicionando membro a membro as equações, de modo que a soma de uma das variáveis torne-se nula: 
142
5
9
 
x = 
 y = x 
y = x + 




  x = 
14
2
  x = 7 
Substituindo x = 7 em 
I
, temos: 
x + y = 9 
7 + y = 9 
 y = 9 – 7  y = 2 
Assim, temos o par ordenado que gera a solução: S = { (7 , 2) } 
EXEMPLO! 
EXEMPLO! 
22 
 
 
 
1. Determine a solução para cada um dos sistemas abaixo: 
a) 



 1323
6
y = x 
x + y = b) 



 8
132
 y = x 
x + y = 
 
c) 
 y x ara p
 y = x 
 = 
x + y
x






 1
5
3
 d) 
0
43
5







ypara 
y = x 
 = 
y
x
 
 
e) 
 yx ara p
 y = x 
 = 
x + y 





 1
2
33
 f) yx ra pa
 = 
 yx 
 = 
x + y
x










2
4
3
1
 
 
g) 
 
yx
yx





52
102 h) 
 
yx
= yx





26
2 3
22
 
 
i ) 
 
 = yx
yx





33
12
22
 
Respostas: 
           
         3,2)5,1;
5
23
,
5
11
)
4
15
,
2
5
;1,3)4,2)
2
1
,
2
3
)2,10)2,3)1,7)1,5)








































SiShSgSf
SeSdScSbSa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
23 
 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Teorema de Pitágoras 
 
Em todo triângulo retângulo temos que: 
 
"O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos". 
 
 
 Podemos escrever: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2 
 
 
 Ou ainda: a2 = b2 + c2 
 
Observações: 
 
 Um triângulo é dito “retângulo” quando possui um ângulo reto (90º). 
 A hipotenusa sempre será o maior lado de um triângulo retângulo, figurando sempre à frente do ângulo reto. 
 
 
1) Calcular o valor de “x” no triângulo retângulo abaixo: 
 
52525
16943
2
2222


xxx
xx 
 
 
 
 
EXEMPLO! 
24 
 
 
 
1. Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores de “x” para cada caso: 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
2. Usando o teorema de Pitágoras, calcule: 
 
a) b) 
 
 
 
 
Respostas: 
1a) 35 1b) 9 1c) 3 1d) 3 2a) x =
53
, y =
52
 2b) x = 6, y = 4,8 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
25 
 
 
 
Relações Trigonométricas 
 
 
 
Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos: 
 
O cálculo do Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente (tg) de um ângulo agudo: 
H
CO
Hipotenusa
OpostoCateto
sen 
 
H
CA
Hipotenusa
AdjacenteCateto
cos
 
CA
CO
AdjacenteCateto
OpostoCateto
tg 
 
O que determina se o cateto é oposto ou adjacente é a sua posição em relação ao ângulo escolhido. 
Observações: 
 
 
As razões trigonométricas podem ser obtidas através de tabelas trigonométricas ou em calculadoras. 
Ângulo seno cosseno tangente 
30
o
 
2
1
 
2
3
 
3
3
 
45o 
2
2
 
2
2
 1 
60o 
2
3
 
2
1
 3 
90o 1 0 
 
 
 
 Num triângulo a soma dos seus ângulos internos mede 180o. 
 A área (superfície) do triângulo é dada por: 
 
2
hb
S
2
altura x base
S


 
26 
 
 
 
 
1) No triângulo retângulo da figura abaixo, calcular a medida x. 
 
Dados: 




o30 de ângulo ao oposto cateto = x
hipotenusa = 6
 
3
2
6
 =x 
62x2x = 61
 
6
x
 = 
2
1
 
6
x
 = 30 
30
o




x
sen
h
co
sen o
2) Calcular a medida da altura do prédio, sabendo que existe um observador a 3m do prédio observando sob um ângulo de 
60º. 
 
Dados: 




o
o
60 de ângulo ao oposto cateto = 
60 de ângulo ao adjacente cateto = 3m
x
 
m. 5,196ou x m 33x
3
x
 = 3
3
x
 = 60 o tg
 
 
Resposta: A altura do prédio é de .m196,5oum33 
 
 
 
EXEMPLOS! 
27 
 
 
 
1. Em cada caso, calcule sen , cos  e tg . 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
2. Uma pessoa de 1,70 m de altura vê o topo de um prédio segundo um ângulo de elevação de 60°. 
a) Qual a altura do prédio, se a distância da pessoa a ele for 30m? 
b) Qual a distância da pessoa a ele, no caso de um prédio ter 40m de altura? 
 
Respostas: 
1a) sen  = 0,45 / cos  = 0,89 / tg  = 0,50 1b) sen  = 0,60 / cos  = 0,80 / tg  = 0,75 
1c) sen  = 0,83 / cos  =0,55 / tg  = 1,50 2a) 53,66m 2b) 22,11m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
EXERCÍCIOS 
28 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) 
 
 GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.1. São Paulo: FTD, 2000. 
 
 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no início do livro). 
 
 GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: teoria e aplicação. 
7ª série. São Paulo: FTD, 1992. 
 
 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 
1º grau e sistema de equações do 1º grau. 
 
 GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São Paulo: FTD, 1990. 
 
 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 
1º grau e sistemas de equações do 1º grau. 
 
 GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São Paulo: FTD, 1990. 
 
 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo equações do 2º grau e trigonometria no triângulo retângulo. 
29