Calc1-CCAE-Lista_1

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1. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) Se x < 2, enta˜o x2 < 4. b) Se x2 < 4, enta˜o x < 2.
c) x < 2 se, e somente se, x2 < 4. d) Se x < 2, enta˜o x ≤ 3.
e) Se x = 3, enta˜o x ≤ 3. f) Se |x| > 2, enta˜o x > 2.
2. Estude o sinal de cada uma das expresso˜es abaixo.
a)
x− 1
x− 2 b) (2x + 1) (x− 2) c)
2− 3x
x + 2
d) x (x− 1) (2x + 3) e) (2x− 1) (x2 + 1) f) x (x2 + 3)
Nos exerc´ıcios 3., 4. e 5., resolva as desigualdades indicadas.
3.
a)
2x− 1
x + 1
< 0 b) (2x− 1) (x + 3) < 0 c) 3x− 2
2− x ≤ 0 d)
2x− 1
x− 3 > 5
e)
x
2x− 3 ≤ 3 f) x (2x− 1) (x + 1) > 0 g) (4x + 7)
20 (2x + 8) < 0 h)
x− 3
x2 + 1
< 0
4.
a) x2 − 4 > 0 b) x2 − 1 ≤ 0 c) x2 ≤ 4 d) x2 > 1
e)
x2 − 9
x + 1
< 0 f)
x2 − 4
x2 + 4
> 0 g) (2x− 1) (x2 − 4) ≤ 0 h) 3x2 ≥ 48
i) x2 < r2 , onde r > 0 e´ um real dado j) x2 ≥ r2 , onde r > 0 e´ um real dado
5.
a) x2 − 3x + 2 < 0 b) x2 − 5x + 6 ≥ 0 c) 3x2 + x− 2 > 0
d) 4x2 − 4x + 1 ≤ 0 e) x2 + 3 > 0 f) x2 + x + 1 > 0
g) x2 + x + 1 ≤ 0 h) x2 + 5 ≤ 0 i) (x− 2)(x + 3)(1− x) > 0
j) x2 + 1 < 3x− x2 − 3 k) 3x(x + 4)
2
(x− 2)2 < 0 l) (x
2 − 4)(x2 − 3x + 2) ≤ 0
6. Resolva as equac¸o˜es.
1
a) |x| = 2 b) |x + 1| = 3 c) |2x− 1| = 1 d) |x− 2| = −1
e) |2x + 3| = 0 f) |x| = 2x + 1 g) |1− 2x| = |1− 3 (x + 2)| h)
∣∣∣∣ x1− 5x
∣∣∣∣ = 4
i)
√
(x− 1)2 = 5 j)
√
(2− x)2 = 4 k)
√
(x− 4)2 = −1 l) x =
√
(−4)2
7. Deˆ o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es modulares abaixo.
a) |x| ≤ 1 b) |2x− 1| < 3 c) |3x− 1| < −2
d) |3x + 3| ≤ 1/3 e) ∣∣2x2 − 1∣∣ < 1 f) |x| > 3
g) |x + 3| ≥ 1 h) |2x− 1| < x i) |x + 1| < |2x− 1|
j) |x− 2| − |x− 5| > x k) |x− 1|+ |x + 3| < |4x|
8. Duas desigualdades sa˜o ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluc¸o˜es.
Com base nesta definic¸a˜o, classifique as duplas de desigualdades apresentadas abaixo.
a)
√
x− 1 < √2− x e x− 2 < 1− x b) x2 > 1 e 1 + 2
x− 1 > 0
9. Resolva os sistemas de inequac¸o˜es:
a)
 8x− 2 < x− 12x2 − x ≤ 1 b)
 4x
2 − 4x− 3 ≤ 0
1
x2
≥ 1
10. Deˆ o domı´nio e esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f (x) = 3x (b) g (x) = −x (c) h (x) = −x + 1
(d) f (x) = 13x +
5
3 (e) g (x)− 12x (f) g (x) = |x− 1|
(g) h (x) =
 x, se x ≤ 23, se x > 2 (h) h (x) =
 2x, se x ≤ −1−x + 1, se x > −1 (i) h (x) = x
2 − 2x + 1
x− 1
(j) f (x) = |x + 2|+ 1 (k) h (x) = |2x + 1|
2x + 1
(l) h (x) = |x + 2|
(m) f (x) =
|x|
x
(n) g (x) =
|x− 1|
x− 1 (o) g (x) =
x2 − 1
x + 1
11. Considere a func¸a˜o f : R→ R, definida por f (x) = |x− 1|+ |x− 2| . Mostre que:
f (x) =

−2x + 3, se x ≤ 1
1, se 1 < x < 2
2x− 3, se x ≥ 2
e esboce o gra´fico de f .
12. Determine o domı´nio das func¸o˜es indicadas abaixo.
2
(a) f (x) =
1
x− 1 (b) y =
x
x2 − 1 (c) s (t) =
√
t2 − 1 (d) y = x
x + 2
(e) h (x) =
√
x + 2 (f) q (x) =
x + 1
x2 + x
(g) r (x) =
√
x− 1
x + 1
(h) y = 4
√
x
x + 3
(i) g (x) = 3
√
x2 − x (j) y = √x (2− 3x) (k) f (x) = √2x− 1
1− 3x (l) y =
6
√
x− 3
x + 2
(m) g (x) =
2x
x2 + 1
(n) y =
√
x
3
√
x− 1 (o) y =
√
4− x2 (p) y = √5− 2x2
(q) y =
√
x− 1 +√3− x (r) y =
√
1−√x (s) y = √x−√5− 2x (t) y =
√
x−√x
13. Utilizando o procedimento indicado no Exerc´ıcio 11., esboce o gra´fico das func¸o˜es definidas
abaixo.
(a) f (x) = |x| − 1 (b) g (x) = ||x| − 1| (c) h (x) = |x + 1| − |x| (d) y = ∣∣x2 − 1∣∣
14. Verifique que
√
1 + x2 − |x| = 1|x|+√1 + x2 e, enta˜o, conclua que a medida que x cresce, o
valor da diferenc¸a
√
1 + x2 − |x| aproxima-se de zero.
15. Seja y = f (x) a func¸a˜o dada a partir da equac¸a˜o x2 + y2 = 4, para y ≥ 0.
(a) Determine uma fo´rmula que defina explicitamente y como func¸a˜o de x;
(b) Determine o domı´nio de f ;
(c) Esboce o gra´fico de f.
16. Uma caixa retangular sem tampa, com volume de 2m3, tem uma base quadrada. Expresse a
a´rea S da superf´ıcie da caixa como uma func¸a˜o do comprimento x de um lado da base.
17. A` medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Sabendo-se que a tempe-
ratura do solo e´ de 200C e que a temperatura a 1km de altura e´ de 100C, expresse a temperatuta
T , em 0C, como uma varia´vel dependente da altura h, medida em km, supondo que um modelo
baseado em uma func¸a˜o afim seja apropriado. Qual a temperatura a uma altura de 2, 5km?
18. Considere as func¸o˜es f e g, cujos gra´ficos sa˜o representados na figura abaixo.
3
(a) Obtenha os valores de f(−4) e g(4).
(b) Para quais valores de x, f(x) = g(x)?
(c) Estabelec¸a o domı´nio e a imagem de f .
(d) Estabelec¸a o domı´nio e a imagem de g.
(e) Para quantos valores de x, f(x) = 0?
(f) Para quantos valores de x, g(x) = 0?
• Se uma func¸a˜o f satisfaz f (x) = f (−x), para todo x em seu domı´nio, enta˜o f e´ deno-
minada func¸a˜o par. Se f satisfaz f (x) = −f (−x), para todo x em seu domı´nio, enta˜o
f e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
19. Com base na definic¸a˜o acima, classifique cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f (x) = x3 (b) g (x) = x2 (c) h (x) = 2x− x2 (d) k (x) = 1− x4 (e) f (x) = |x| .
20. Dada uma func¸a˜o f, definida em R ou em um intervalo (−a, a), mostre que g (x) = f (x)+f (−x)
e´ uma func¸a˜o par e que h (x) = f (x)−f (−x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Deduza a partir da´ı que qualquer
func¸a˜o f, definida em um intervalo (−a, a) , pode ser expressa como soma de uma func¸a˜o par com
uma func¸a˜o ı´mpar.
4
• As func¸o˜es f : A → B e g : A′ → B′ sa˜o iguais quando A = A′, B = B′ e f (x) = g (x),
seja qual for o x em A.
21. Diga se f e g sa˜o iguais em cada um dos casos abaixo.
(a) f (x) =
√
x
√
x− 1 e g (x) = √x2 − x (b) f (x) = x2 e g (x) = |x|2
(c) f (x) =
x2 − 1
x− 1 e g (x) = x + 1 (d) f (x) = x e g (x) =
√
x2
22. Determine a func¸a˜o quadra´tica f que satisfaz f (0) = 5, f (−1) = 10 e f (1) = 6.
• Uma func¸a˜o f e´ dita crescente em um intervalo I, se dados x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,
tem-se f (x1) < f (x2). Se f (x1) ≤ f (x2), para x1 < x2, enta˜o f e´ dita na˜o-decrescente
em I.
• Uma func¸a˜o f e´ dita decrescente em um intervalo I, se dados x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,
tem-se f (x1) > f (x2). Se f (x1) ≥ f (x2), para x1 < x2, enta˜o f e´ dita na˜o-crescente em
I.
23. Mostre que a func¸a˜o afim f (x) = ax + b e´ crescente, se a > 0, e decrescente, se a < 0.
• Considere duas func¸o˜es f e g tais que a imagem de f seja um subconjunto do domı´nio
de g isto e´, Im (f) ⊂ D (g) . Denominamos de composta de g e f , e anotamos g ◦ f a
func¸a˜o com domı´nio D (f) e definida por: (g ◦ f) (x) = g (f (x)) com x ∈ D (f) .
24. Nos casos a seguir, verifique que Im (f) ⊂ D (g) para, assim, determinar a func¸a˜o composta
h = g ◦ f.
(a) f (x) = x2 e g (x) =
√
x (b) f (x) = x2 + 3 e g (x) =
x + 1
x− 2
(c) f (x) = −√x e g (x) = √2− x (d) f (x) = x
x + 1
e g (x) =
x + 1
x− 1
25. Determine a func¸a˜o f de modo que (g ◦ f) (x) = x, ∀x ∈ D (f), onde:
(a) g (x) =
x + 2
x + 1
(b) g (x) = x2 − 2x, definida para x ≥ 1.
26. Considere f uma func¸a˜o par e seja h = g ◦ f . Mostre que h e´ uma func¸a˜o par. E se f for uma
func¸a˜o ı´mpar, pode-se afirmar que h tambe´m o sera´?
A invertibilidade de uma func¸a˜o real.
5
• Diz-se que uma func¸a˜o f e´ injetora (ou injetiva) se dado y ∈ Im (f), existe um u´nico
x ∈ D (f) tal que y = f (x) . Isto e´ equivalente a: f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2.
• Diz-se que f : D (f) → B e´ sobrejetora (ou sobrejetiva) se Im (f) = B, isto e´, dado
y ∈ B, existe x ∈ D (f) tal que y = f (x) .
• Diz-se que uma func¸a˜o f e´ bijetora (ou bijetiva) quando for, simultaneamente, injetora
e sobrejetora. Neste caso, temos:
f : D (f) −→ Im (f)
x 7−→ f (x) = y
e podemos definir a func¸a˜o g, inversa de f, do modo seguinte:
g : Im (f) −→ D (f)
y = f (x) 7−→ g (y) = x.
A func¸a˜o f−1 inversa de f e´ caracterizadapor:
(
f ◦ f−1) (y) = y e (f−1 ◦ f) (x) = x.
27. Verifique que a func¸a˜o f : R→ R definida por f (x) = 3x+5 e´ bijetora e determine sua inversa.
28. Considere a func¸a˜o do exerc´ıcio precedente e determine a inversa da func¸a˜o f ◦ f−1.
29. Deˆ domı´nio e contra-domı´nio adequados a` func¸a˜o f (x) = x2, de modo que a mesma seja
invert´ıvel e detrmine sua inversa.
30. Considere a func¸a˜o f (x) = k/x, onde k e´ uma constante. E´ necessa´rio impor alguma restric¸a˜o
a` constante k para que f seja invert´ıvel? Quem e´ f−1?
31. Considere f : [1/2,+∞)→ [b,+∞) definida por f (x) = x2−x+1. Qual o valor de b que torna
f invert´ıvel? Quem e´ f−1?
Respostas de ı´tens selecionados
1. a) use a propriedade: se x < y e w < z enta˜o xw < yz.
b) Suponha x > 2 e chegue a uma contradic¸a˜o de a).
2. a) (> 0) para x < 1 e x > 2, (< 0) para 1 < x < 2, (0) para x = 1, na˜o definida em x = 2.
c) (> 0) para −2 < x < 2/3, (< 0) para x < −2 e x > 2/3, (0) para x = 2/3, na˜o definida em
x = −2.
e) (> 0) para x > 1/2, (< 0) para x < 1/2, (0) para x = 1/2.
6
3. a) (−1, 1/2), c) (−∞, 2/3) ∪ (2,∞), e) (−∞, 3/2) ∪ [9/5,∞), g) (−∞,−4)
4. a) (−∞,−2) ∪ (2,∞), c) [−2, 2], e) (−∞,−3) ∪ (−1, 3), g) (−∞,−2] ∪ [1/2, 2], i) [−r, r].
5. a) (1, 2), c) (−∞,−1) ∪ (2/3,∞), e) R, g) na˜o admite soluc¸a˜o, i) (−∞,−3) ∪ (1, 2), k) (−∞, 0)
6. a) x = −2 ou x = 2, c) x = 0 ou x = 1, e) x = −3/2, g) x = −6 ou x = −4/5, i) x = −4 ou
x = 6, k) na˜o admite soluc¸a˜o.
7. a) [−1, 1], c) na˜o admite soluc¸a˜o, d) [−10/9,−8/9], f) (−∞,−3)∪(3,∞), h) (1/4, 1), j) (−∞,−3)
8. a) na˜o sa˜o equivalentes.
9. a) [−1/2, 1/7).
10. a) R, c) R , e) R, g) R, i) R− 1 , k) R−−1/2, m) R∗, o)R−−1.
12. a) R− 1, c) R, e) [2,∞), g) (−∞,−1) ∪ [1,∞), i) R, k) (−∞, 1/3) ∪ [1/2,∞), m)R, o) [−2, 2],
q) [1, 3], s) [0, 5/2].
14. Racionalize o lado direito da igualdade.
15. y =
√
4− x2 ou y = −√4− x2.
16. S(x) = x2 + 8x
17. T (h) = −10h + 20.
18. a) f(−4) = −3, g(−4) = 2, c) Df = [−4, 6], Imf = [−3, 3], e) 2.
19. a) ı´mpar, c) nem par, nem ı´mpar. e) par.
21. a) na˜o, b) sim.
22. Lembre que toda func¸a˜o quadra´tica e´ da forma f(x) = ax2 + bx + c.
24. a) g ◦ f(x) =
√
x2. c) g ◦ f(x) =
√
2 +
√
x2. d) g ◦ f(x) = −2x− 1.
25. a) f(x) =
x− 2
1− x .
27. f−1(x) =
x− 5
3
.
29. Df = R, Imf = R+ e f−1(x) =
√
x.
31. b = 3/4 e f−1(x) =
1 +
√
4x− 3
2
.
7