P1 com Gabarito-A

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Turma A-Noturno (Sa˜o Bernardo)
Prof. Vladimir Perchine
Prova - 1 (gabarito)
1. Quantas comisso˜es de 3 homens e 3 mulheres podem ser formadas de um grupo
de 7 homens e 6 mulheres se um homem e uma mulher recusam trabalhar juntos?
(total de comisso˜es )− (com os dois) =
(
7
3
)(
6
3
)
−
(
6
2
)(
5
2
)
= 700− 150 = 550
Um outro me´todo:
(sem o homem) + (sem a mulher) + (sem os dois) =
(
6
3
)(
5
2
)
+
(
6
2
)(
5
3
)
+
(
6
3
)(
5
3
)
= 200 + 150 + 200 = 550
2. Dois dados sa˜o lanc¸ados e produzem dois nu´meros m e n. Seja E o evento em
que m > n; seja F o evento em que m + n = 7; e seja G o evento em que um dos
nu´meros e´ 2. Descreva os eventos E ∩ F , F ∩GC, F ∪G e E ∩ FC ∩G, e calcule as
probabilidades deles.
E ∩ F = {(4, 3), (5, 2), (6, 1)}, p = 3/36 = 1/12
F ∩GC = {(1, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 1)}, p = 4/36 = 1/9
F ∪G = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (6, 2)}, p = 15/36
E ∩ FC ∩G = {(2, 1), (3, 2), (4, 2), (6, 2)}, p = 4/36 = 1/9
3. 10 amigos sentam-se a uma mesa redonda. Qual e´ a probabilidade de que dois
deles, A e B, fiquem um ao lado do outro?
(posic¸o˜es para A) · (para B) · (para o resto)
total de permutac¸o˜es
=
10 · 2 · 8!
10!
=
2
9
Uma outra forma de obter este resultado e´ dizer que qualquer que seja o lugar de A, entre
9 lugares restantes, B deve escolher um dos dois lugares ao lado de A.
4. Treˆs cartas sa˜o retiradas aleatoriamente, sem reposic¸a˜o, de um baralho de 52
cartas. Calcule a probabilidade condicional de que a segunda carta retirada seja
uma dama dado que a primeira e´ um valete e a terceira e´ uma dama.
Sejam V um valete, D uma dama, D qualquer carta que na˜o seja dama, e X uma carta
arbitra´ria. Temos:
P (V DD|V XD) = P (V DD)
P (V XD)
=
P (V DD)
P (V DD) + P (V DD)
=
4 · 4 · 3
4 · 4 · 3 + 4 · 47 · 4 =
3
50
= 0.06
Uma outra forma de soluc¸a˜o: se sabemos que uma dama e um valete ja´ foram escolhidos
como a primeira e a terceira cartas, podemos escolher uma das 3 outras damas entre 50
cartas restantes como a segunda carta. Logo, a probabilidade sera´ igual a 3/50.