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1ª lista Cálculo Integral 1 – Encontre a primitiva da função e verifique sua resposta derivando: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 b) 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑥2 − 2𝑥 + 6 c) 𝑓(𝑥) = 1 2 + 3 4 𝑥2 − 4 5 𝑥3 d) 𝑓(𝑥) = 8𝑥9 − 3𝑥6 + 12𝑥3 e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) f) 𝑓(𝑥) = 𝑥(2 − 𝑥)2 g) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 1 4 − 7𝑥 3 4 h) 2𝑥 + 3𝑥1,7 i) 𝑓(𝑥) = 6√𝑥 − √𝑥 6 j) 𝑓(𝑥) = √𝑥3 4 + √𝑥4 3 k) 𝑓(𝑥) = 10 𝑥9 l) 𝑔(𝑥) = 5−4𝑥3+2𝑥6 𝑥6 m) 𝑓(𝑢) = 𝑢4+3√𝑢 𝑢2 n) 𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥 + 7 sec2 𝑥 o) 𝑔(𝜃) = cos 𝜃 − 5 sen 𝜃 p) 𝑓(𝑡) = sen 𝑡 + 2 senh 𝑡 q) 𝑓(𝑥) = 5𝑒𝑥 − cosh 𝑥 r) 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 + 6 cos 𝑥 s) 𝑓(𝑥) = 𝑥5−𝑥3+2𝑥 𝑥4 t) 𝑓(𝑥) = 2+𝑥2 1+𝑥2 2 – Encontre a primitiva 𝐹 de 𝑓 que satisfaça a condição dada. Verifique sua resposta. a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 − 2𝑥5 , 𝐹(0) = 4 b) 𝑓(𝑥) = 4 − 3(1 + 𝑥2)−1 , 𝐹(1) = 0 3 – Encontre 𝑓. a) 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 12𝑥2 b) 𝑓′′(𝑥) = 2 + 𝑥3 + 𝑥6 c) 𝑓′′(𝑥) = 2 3 𝑥 2 3 d) 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + sen 𝑥 e) 𝑓′′′(𝑡) = 𝑒𝑡 f) 𝑓′′′(𝑥) = cos 𝑥 g) 𝑓′′(𝑥) = 2 − 12𝑥 h) 𝑓′′(𝜃) = sen 𝜃 + cos 𝜃 i) 𝑓′(𝑥) = 𝑥2−1 𝑥 j) 𝑓′′(𝑡) = 3 √𝑡 4 – (Aplicação em cinemática) A primitivação é particularmente útil na análise do movimento de um objeto que se move em uma linha reta. A física clássica define que, se um objeto tem função posição 𝑠 = 𝑓(𝑡), onde 𝑡 ≥ 0 é o tempo, então a função velocidade é 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡). Isso significa que a função posição é uma primitiva da função velocidade. Da mesma maneira, a função aceleração é 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡); logo, a função velocidade é uma primitiva da aceleração. Se a aceleração e os valores iniciais 𝑠(0) e 𝑣(0) forem conhecidos, então a função posição pode ser determinada encontrando a primitiva duas vezes. Considere uma partícula que se move em linha reta e tem aceleração dada por 𝑎(𝑡) = 6𝑡 + 4. Se sua velocidade inicial é 𝑣(0) = −6 𝑐𝑚/𝑠 e seu deslocamento inicial é 𝑠(0) = 9 𝑐𝑚, encontre sua posição 𝑠(𝑡). 5 – (Aplicação em Economia) Uma companhia estima que o custo marginal (em dólares por item) de produzir 𝑥 itens é de 1,92 − 0,002𝑥. Se o custo de produzir um item for $ 562, encontre o custo de produzir 100 itens. Dica: Se 𝑐(𝑥) é o custo de produção para 𝑥 itens então 𝑐′(𝑥) é chamado de custo marginal. O custo marginal representa o custo para produzir, não apenas UMA peça a mais, mas “aquela” peça específica!!! O custo marginal mede o custo da última peça produzida!!! 6 - Determine a curva do plano 𝑋0𝑌 cuja derivada segunda vale 3𝑥 2 sabendo que a curva passa pelos pontos 𝑃(−1,1) e 𝑄(−2,0). 7 - Um objeto se move com uma aceleração 𝑎(𝑡) = 𝑡2 + 1. Determine a posição 𝑆 do objeto, no tempo 𝑡 = 4, sabendo que em 𝑡 = 1 o objeto se encontrava com uma velocidade 𝑣 = 2 e na posição 𝑠 = 10. 8 – Calcule as integrais abaixo: 𝑎) ∫ 𝑑𝑥 3 −1 𝑏) ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑞 𝑝 𝑐) ∫(2𝑥 + 3)𝑑𝑥 𝑑) ∫ (𝑥3 + 3√𝑥 − 4 𝑥2 ) 𝑑𝑥 𝑒) ∫ ( √𝑥8 7 − 6 √𝑥3 5 ) 𝑑𝑥 3 4 1 2 4 1 2 1 𝑙) ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 1 𝑚) ∫ 𝑑𝑥 3𝑥 3 2 𝑛) ∫ 1 + 2𝑥 𝑥2 𝑒2 𝑒 𝑑𝑥 i) Propriedades básicas das integrais: ∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ; ∫[𝑓(𝑥) ∓ 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∓ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ; 𝑑 𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥) ii) Teorema Fundamental do Cálculo: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), onde 𝐹(𝑥) é a primitiva de 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎
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