Lista01Primitivas1 20170329134644

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1ª lista Cálculo Integral 
1 – Encontre a primitiva da função e verifique sua resposta derivando: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 b) 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥2 − 2𝑥 + 6 c) 𝑓(𝑥) =
1
2
+
3
4
𝑥2 −
4
5
𝑥3 d) 𝑓(𝑥) = 8𝑥9 − 3𝑥6 + 12𝑥3 
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) f) 𝑓(𝑥) = 𝑥(2 − 𝑥)2 g) 𝑓(𝑥) = 5𝑥
1
4 − 7𝑥
3
4 h) 2𝑥 + 3𝑥1,7 i) 𝑓(𝑥) = 6√𝑥 − √𝑥
6
 
j) 𝑓(𝑥) = √𝑥3
4
+ √𝑥4
3
 k) 𝑓(𝑥) =
10
𝑥9
 l) 𝑔(𝑥) =
5−4𝑥3+2𝑥6
𝑥6
 m) 𝑓(𝑢) =
𝑢4+3√𝑢
𝑢2
 n) 𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥 + 7 sec2 𝑥 
o) 𝑔(𝜃) = cos 𝜃 − 5 sen 𝜃 p) 𝑓(𝑡) = sen 𝑡 + 2 senh 𝑡 q) 𝑓(𝑥) = 5𝑒𝑥 − cosh 𝑥 r) 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 + 6 cos 𝑥 
s) 𝑓(𝑥) =
𝑥5−𝑥3+2𝑥
𝑥4
 t) 𝑓(𝑥) =
2+𝑥2
1+𝑥2
 
2 – Encontre a primitiva 𝐹 de 𝑓 que satisfaça a condição dada. Verifique sua resposta. 
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 − 2𝑥5 , 𝐹(0) = 4 b) 𝑓(𝑥) = 4 − 3(1 + 𝑥2)−1 , 𝐹(1) = 0 
3 – Encontre 𝑓. 
a) 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 12𝑥2 b) 𝑓′′(𝑥) = 2 + 𝑥3 + 𝑥6 c) 𝑓′′(𝑥) =
2
3
𝑥
2
3 d) 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + sen 𝑥 e) 𝑓′′′(𝑡) = 𝑒𝑡 
f) 𝑓′′′(𝑥) = cos 𝑥 g) 𝑓′′(𝑥) = 2 − 12𝑥 h) 𝑓′′(𝜃) = sen 𝜃 + cos 𝜃 i) 𝑓′(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥
 j) 𝑓′′(𝑡) =
3
√𝑡
 
4 – (Aplicação em cinemática) A primitivação é particularmente útil na análise do movimento de um objeto que se 
move em uma linha reta. A física clássica define que, se um objeto tem função posição 𝑠 = 𝑓(𝑡), onde 𝑡 ≥ 0 é o 
tempo, então a função velocidade é 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡). Isso significa que a função posição é uma primitiva da função 
velocidade. Da mesma maneira, a função aceleração é 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡); logo, a função velocidade é uma primitiva da 
aceleração. Se a aceleração e os valores iniciais 𝑠(0) e 𝑣(0) forem conhecidos, então a função posição pode ser 
determinada encontrando a primitiva duas vezes. 
Considere uma partícula que se move em linha reta e tem aceleração dada por 𝑎(𝑡) = 6𝑡 + 4. Se sua velocidade 
inicial é 𝑣(0) = −6 𝑐𝑚/𝑠 e seu deslocamento inicial é 𝑠(0) = 9 𝑐𝑚, encontre sua posição 𝑠(𝑡). 
5 – (Aplicação em Economia) Uma companhia estima que o custo marginal (em dólares por item) de produzir 𝑥 itens 
é de 1,92 − 0,002𝑥. Se o custo de produzir um item for $ 562, encontre o custo de produzir 100 itens. 
 
Dica: Se 𝑐(𝑥) é o custo de produção para 𝑥 itens então 𝑐′(𝑥) é chamado de custo marginal. O custo marginal 
representa o custo para produzir, não apenas UMA peça a mais, mas “aquela” peça específica!!! O custo marginal 
mede o custo da última peça produzida!!! 
 
6 - Determine a curva do plano 𝑋0𝑌 cuja derivada segunda vale 3𝑥
2 sabendo que a curva passa pelos pontos 
𝑃(−1,1) e 𝑄(−2,0). 
 
7 - Um objeto se move com uma aceleração 𝑎(𝑡) = 𝑡2 + 1. Determine a posição 𝑆 do objeto, no tempo 𝑡 = 4, 
sabendo que em 𝑡 = 1 o objeto se encontrava com uma velocidade 𝑣 = 2 e na posição 𝑠 = 10. 
 
8 – Calcule as integrais abaixo: 
𝑎) ∫ 𝑑𝑥 
3
−1
 𝑏) ∫ 𝑥𝑑𝑥 
𝑞
𝑝
𝑐) ∫(2𝑥 + 3)𝑑𝑥 𝑑) ∫ (𝑥3 + 3√𝑥 −
4
𝑥2
) 𝑑𝑥 𝑒) ∫ ( √𝑥8
7
−
6
√𝑥3
5 ) 𝑑𝑥
3
4
1
2
 
4
1
2
1
 
 
𝑙) ∫
𝑑𝑥
𝑥
2
1
 𝑚) ∫
𝑑𝑥
3𝑥
 
3
2
 𝑛) ∫
1 + 2𝑥
𝑥2
𝑒2
𝑒
 𝑑𝑥 
i) Propriedades básicas das integrais: 
∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 ; ∫[𝑓(𝑥) ∓ 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∓ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 ; 
𝑑
𝑑𝑥
(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥) 
ii) Teorema Fundamental do Cálculo: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), onde 𝐹(𝑥) é a primitiva de 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎