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PROVA PRESENCIAL
Lista de Exercícios - Cálculo Integral
Nome: ____________________________________________________________________________________
RA: _______________________ Turma: ________________ Data: ____ / ____ / ____
 QUESTÃO 01
A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser calculadas quando divididas em
pedaços menores e, então, soma-se a contribuição de cada parte. Essas somas finitas representam a
base da definição da integração.
Segundo Thomas (Pág. 355), embora não tenhamos ainda uma fórmula geométrica simples para
calcular a área de formas com contorno curvo como a região R, podemos aproximá-la de um modo
simples, utilizando retângulos para preencher a área. Quanto maior for a quantidade de retângulos
utilizados para preencher a mesma área, maior será a precisão da aproximação.
Na figura abaixo, utilizamos o ponto médio da base de cada retângulo para determinar a altura de
cada um deles. Estimar a medida da área limitada pelos eixos coordenados e pela curva ,
nos limites determinados, utilizando a soma das áreas dos retângulos:
 
a) 1,37 u.a.
b) 0,67 u.a. 
c) 0,5 u.a.
d) 0,875 u.a.
e) 1 u.a.
[Ref: 17557] 1/17
 QUESTÃO 02
Começa-se a bombear óleo para um tanque de armazenagem à razão de galões/hora,
para o tempo t (em horas). Sabendo que a bomba foi ligada às 0 horas (zero horas), quantos galões
terão sido bombeados para o tanque até as 4h do mesmo dia?
a) 125
b) 325
c) 625
d) 700
e) 900
 QUESTÃO 03
Uma máquina está bombeando refrigerante para fora de um recipiente, segundo uma taxa dada por
onde t está em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o recipiente continha 500
litros de refrigerante no momento inicial, quanto de refrigerante resta no recipiente,
aproximadamente, 20 minutos depois?
a) 425 litros
b) 370 litros
c) 225 litros
d) 80 litros
e) 70 litros
 QUESTÃO 04
O bombeamento do coração consiste da fase sistólica, na qual o sangue é ejetado do ventrículo
esquerdo para a artéria aorta, e da fase diastólica, durante a qual o músculo cardíaco relaxa. O
gráfico abaixo mostra o fluxo de sangue (em litros por segundo) para a aorta em função do tempo e
sua equação é: L/s
[Ref: 17557] 2/17
Supondo que a fase sistólica dura de segundo, calcule a quantidade total de sangue, em litros,
bombeado para a aorta durante uma fase sistólica.
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
[Ref: 17557] 3/17
 QUESTÃO 05
Os engenheiros de uma fábrica observaram que o custo C(q), em reais, de um produto varia a uma
taxa de para uma produção entre zero e dez milhares de produtos. Os
engenheiros notaram que quando nenhum produto é feito o custo é de R$ 110,00.
Considerando essas informações, qual será o custo para fabricação de 8 unidades deste protuto?
a) R$ 6,00
b) R$ 16,00
c) R$ 94,00
d) R$ 96,00
e) R$ 106,00
 QUESTÃO 06
Em Belo Horizonte, as capivaras estão causando aumento na população de carrapatos transmissores
de doenças. Suponha que o número de carrapatos, quando não há controle da prefeitura, aumenta a
uma taxa estimada pela função
onde t é medido em semanas. Em quanto aumenta, aproximadamente, a população de carrapatos
entre a primeira e a terceira semana?
a) 54760
b) 17650
c) 8760
d) 13670
e) 12150
[Ref: 17557] 4/17
 QUESTÃO 07
Um botânico descobre que um certo tipo de árvore cresce de tal forma que a taxa de variação da
sua altura é dada pela função metros/ano, em que x é o tempo, em anos,
transcorrido desde o plantio da àrvore. Se em 2005, quando foi plantada, uma árvore tinha 1 m de
altura. Considerando o modelo criado pelo botânico, a altura dessa árvore em 2030 será de:
 
a) aproximadamente de 10,14 metros.
b) aproximadamente de 7,03 metros.
c) aproximadamente de 6,14 metros.
d) aproximadamente de 8,82 metros.
e) aproximadamente de 9,82 metros.
 QUESTÃO 08
A Curva de Lorenz, denotada por L(x) e representada a seguir, é um gráfico muito utilizado pelos
economistas e procura ilustrar a desigualdade existente na distribuição do rendimento entre as
famílias em uma determinada economia ou sociedade. Neste gráfico, em um dos eixos é colocada a
variável Rendimento e no outro a População, ambos representados por percentuais. Quanto mais
afastada da diagonal y=x estiver a curva L(x), maior é a concentração de renda, ou seja, maior será
a desigualdade na repartição do rendimento entre as famílias.
Podemos estimar a quantidade total de desigualdade pelo coeficiente de Gini (CG), dado pela
integral a seguir:
 ,
onde L(x) é a equação da curva de Lorenz. Suponha que em determinado país . Calcule
o coeficiente de Gini aproximado para este país. Use e=2,7.
[Ref: 17557] 5/17
a) 0.28
b) 0.07
c) 0.11
d) 0.74
e) 0.38
 QUESTÃO 09
Para se adaptar ao aumento da demanda mundial de carvão de caldeira – o combustível das
fornalhas usadas para geração de eletricidade – a direção de certa empresa decidiu acelerar suas
operações de mineração. Os planos indicam que a taxa de aumento da produção anual será dada por
 milhões de toneladas/ano nos próximos 20 anos. Sabe-se que a atual produção anual
é de 20 milhões de toneladas, ou seja, P(0) = 20 milhões. Considerando tais informações qual das
funções a seguir descreve a produção total de carvão de caldeira da referida empresa ao final de t
anos, se a mesma aplicar o plano traçado? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
[Ref: 17557] 6/17
 QUESTÃO 10
Baseado em dados de uma pesquisa, um engenheiro descobriu que a taxa à qual a quantidade de
peças produzidas em sua empresa que satisfazem as normas do INMETRO varia em relação ao
tempo t, pode ser aproximada pelo modelo onde t é o número de dias
desde o início da pesquisa. O número de peças dentro das normas nos primeiros 10 dias de pesquisa
é, aproximadamente: 
a) 23
b) 22
c) 19
d) 16
e) 14
 QUESTÃO 11
A quantidade de bairros (B) de uma cidade, num determinado ano (A), pode ser calculada
aproximadamente de acordo com a relação:
O modelo é válido para o ano variando entre A = 1666 e A = 3333. Utilizando a fórmula, calcule
qual seria aproximadamente a quantidade de bairros dessa cidade no ano atual (A = 2015).
a) 336
b) 380
c) 424
d) 468
e) 512
[Ref: 17557] 7/17
 QUESTÃO 12
Estima-se que a taxa com que o montante de dinheiro arrecadado com a venda de uma determinada
mercadoria está sendo definida com o tempo transcorrido (em anos, desde que se iniciaram as
vendas), de acordo com a equação (sendo medido em milhares).
Qual é, aproximadamente, o montante arrecadado entre 1 e 4 anos após o início das vendas? 
a) 150.470,00
b) 450,00
c) 50.050,00
d) 140.777,00
e) 223,14
 QUESTÃO 13
As tanajuras são formigas aladas do sexo feminino, da família das saúvas. São fêmeas virgens que,
após acasalarem, voam para outros locais a fim de fundar um novo formigueiro.
 Imagine que durante o processo de procura de um novo local para o formigueiro, uma tanajura
descreva uma trajetória de modo que sua velocidade v (em m/s) varie no tempo de acordo com 
 , com medido em segundos. Se a tanajura parte do repouso, o valor
aproximado do deslocamento (em metros) por ela realizado nos primeiros seis minutos do vôo é de:
a) 0,324
b) 0,405
c) 0,560
[Ref: 17557] 8/17
d) 0,677
e) 0,690
 QUESTÃO 14
Um projétil é lançado a partir da origem e tem sua posição, em metros, monitorada pela seguinte
função: , em que x é o tempo, em minutos, transcorrido após o seu
lançamento. Desse modo, qual será aproximadamente a sua posição após 2 minutos de seu
lançamento?
a) 0,88 m
b) 1,19 m
c) 1,68 m
d) 2,25 m
e) 3,20 m
 QUESTÃO 15
Uma partícula move-se linha reta. Sua velocidade v pode ser descrita pela função, onde v é dada em metros por segundo e t é o tempo dado em segundos. O
gráfico de v(t), para foi construído utilizando-se o software de geometria dinâmica
gratuito Geogebra (http://www. geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir:
 
[Ref: 17557] 9/17
Pode-se dizer que a distância percorrida por essa partícula no intervalo t = 1 a t = 3 foi
aproximadamente de
a) 0,42 m
b) 0,63 m
c) 2,49 m
d) 3,51m
e) 4,85 m
 QUESTÃO 16
Dois veículos se movem lado a lado e percorrem uma estrada retilínea. A velocidade do carro é
de metros/segundo no intervalo , e a velocidade do carro é de metros/segundo no
mesmo intervalo, com . Além disso, suponha que os gráficos de e sejam os
mostrados na figura a seguir, com e as áreas das regiões sombreadas:
[Ref: 17557] 10/17
Analise as afirmativas abaixo:
I) .
 
II) .
 
III) representa a distância total percorrida pelos dois carros e .
 
São verdadeiras as afirmativas:
a) apenas II
b) Somente I e II
c) apenas III
d) Somente II e III
e) todas as afirmativas
[Ref: 17557] 11/17
 QUESTÃO 17
Uma placa retangular de largura C e altura C2, representada a seguir, deve ser cortada seguindo a
curva descrita na figura abaixo.
Qual deve ser a largura, C, da placa para que a área da região sombreada seja 10m2 ? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
[Ref: 17557] 12/17
 QUESTÃO 18
Uma decoradora fará um painel em que a imagem modelada abaixo será reproduzida várias vezes
ocupando a extensão de uma parede. Para estimar a quantidade de tinta necessária para a
realização do serviço, a decoradora determinou a área da figura modelada. Sabendo que a imagem
encontra-se limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x, as quais se interceptam nos pontos de abscissa -
2, 0 e 2, com as medidas dos eixos x e y expressas em dm, então podemos dizer que o resultado
obtido pela decoradora para a área da figura foi de:
 
a) 4, 0 dm2
b) 0,4 dm2
c) 2,0 dm2
d) 0,8 dm2
e) 8,0 dm2
 QUESTÃO 19
Uma siderúrgica utilizará em um de seus processos de tratamento do minério um grande funil o
qual foi modelado a partir da rotação da curva em torno do eixo no intevalo ,
tal como esquematizado na figura a seguir:
[Ref: 17557] 13/17
Sabendo que as medidas de x e y são dadas em metros, qual é aproximadamente o volume máximo
de minério comportado pelo funil, em m3?
a) 85 m3
b) 70 m3
c) 40 m3
d) 105 m3
e) 120 m3
[Ref: 17557] 14/17
 QUESTÃO 20
Especialistas em estudos de câncer encontraram um tumor em certo paciente que tem a mesma
forma que o sólido formado pela rotação da região sob a curva em torno do eixo x,
onde x e y estão em centímetros. Determine o volume do tumor encontrado pela equipe. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 QUESTÃO 21
Sabe-se que um vasilhame foi projetado pela rotação em torno do eixo y da região do primeiro
quadrante do plano cartesiano compreendida entre a parábola e a reta .
Considerando que as medidas dos eixos estão definidas em decímetros, qual é o volume de matéria
prima que será utilizado na fabricação do vasilhame?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
[Ref: 17557] 15/17
 QUESTÃO 22
Uma partícula viaja segundo uma trajetória, onde sua posição é dada por , onde é
dado em metros (m) e t (s) em segundos. Estime o valor da posição média, em metros (m), desta
partícula, no intervalo [0, 10] segundos.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 QUESTÃO 23
Em certa indústria, a função fornece uma estimativa do número de
mercadorias produzidas durante x minutos. Desse modo, pode-se afirmar que o valor médio da
quantidade de itens produzidos durante uma hora e meia nessa indústria é de aproximadamente:
a) 1775
b) 897
c) 739
d) 626
e) 468
 QUESTÃO 24
Sabe-se que o trabalho realizado por uma força variável F atuante sobre uma partícula quando ela
se move de x1 até x2 é dado por . Uma partícula move-se ao longo do eixo x por
uma força que mede Newtons em um ponto que está a x metros da origem.
Sabendo-se que o trabalho médio realizado ao mover a partícula da origem até certo ponto é de
20,0 Joules, determine o valor de .
a) -3,24
b) -2
c) 1,24
[Ref: 17557] 16/17
d) 2
e) 11
 QUESTÃO 25
A força, em joules, com que dois elétrons se repelem mutuamente é inversamente proporcional ao
quadrado da distância (em metros) entre eles, isto é, , onde f é a força, em Newtons,
e K é uma constante positiva. Na figura abaixo, um elétron encontra-se fixo no ponto A e outro
elétron encontra-se no ponto B. Sadendo que o trabalho, em joules (Newton/metro) para se deslocar
um elétron da posição x = p para a posição x = q é dado por , qual será o
trabalho realizado pela força elétrica sobre o elétron repelido ao longo do eixo x, do ponto B que
está na posição , até o infinito?
a) T = - K
b) T = 2K
c) T = K
d) T = - 2K
e) T = K/2
[Ref: 17557] 17/17

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