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PROVA PRESENCIAL Lista de Exercícios - Cálculo Integral Nome: ____________________________________________________________________________________ RA: _______________________ Turma: ________________ Data: ____ / ____ / ____ QUESTÃO 01 A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser calculadas quando divididas em pedaços menores e, então, soma-se a contribuição de cada parte. Essas somas finitas representam a base da definição da integração. Segundo Thomas (Pág. 355), embora não tenhamos ainda uma fórmula geométrica simples para calcular a área de formas com contorno curvo como a região R, podemos aproximá-la de um modo simples, utilizando retângulos para preencher a área. Quanto maior for a quantidade de retângulos utilizados para preencher a mesma área, maior será a precisão da aproximação. Na figura abaixo, utilizamos o ponto médio da base de cada retângulo para determinar a altura de cada um deles. Estimar a medida da área limitada pelos eixos coordenados e pela curva , nos limites determinados, utilizando a soma das áreas dos retângulos: a) 1,37 u.a. b) 0,67 u.a. c) 0,5 u.a. d) 0,875 u.a. e) 1 u.a. [Ref: 17557] 1/17 QUESTÃO 02 Começa-se a bombear óleo para um tanque de armazenagem à razão de galões/hora, para o tempo t (em horas). Sabendo que a bomba foi ligada às 0 horas (zero horas), quantos galões terão sido bombeados para o tanque até as 4h do mesmo dia? a) 125 b) 325 c) 625 d) 700 e) 900 QUESTÃO 03 Uma máquina está bombeando refrigerante para fora de um recipiente, segundo uma taxa dada por onde t está em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o recipiente continha 500 litros de refrigerante no momento inicial, quanto de refrigerante resta no recipiente, aproximadamente, 20 minutos depois? a) 425 litros b) 370 litros c) 225 litros d) 80 litros e) 70 litros QUESTÃO 04 O bombeamento do coração consiste da fase sistólica, na qual o sangue é ejetado do ventrículo esquerdo para a artéria aorta, e da fase diastólica, durante a qual o músculo cardíaco relaxa. O gráfico abaixo mostra o fluxo de sangue (em litros por segundo) para a aorta em função do tempo e sua equação é: L/s [Ref: 17557] 2/17 Supondo que a fase sistólica dura de segundo, calcule a quantidade total de sangue, em litros, bombeado para a aorta durante uma fase sistólica. a) b) c) d) e) [Ref: 17557] 3/17 QUESTÃO 05 Os engenheiros de uma fábrica observaram que o custo C(q), em reais, de um produto varia a uma taxa de para uma produção entre zero e dez milhares de produtos. Os engenheiros notaram que quando nenhum produto é feito o custo é de R$ 110,00. Considerando essas informações, qual será o custo para fabricação de 8 unidades deste protuto? a) R$ 6,00 b) R$ 16,00 c) R$ 94,00 d) R$ 96,00 e) R$ 106,00 QUESTÃO 06 Em Belo Horizonte, as capivaras estão causando aumento na população de carrapatos transmissores de doenças. Suponha que o número de carrapatos, quando não há controle da prefeitura, aumenta a uma taxa estimada pela função onde t é medido em semanas. Em quanto aumenta, aproximadamente, a população de carrapatos entre a primeira e a terceira semana? a) 54760 b) 17650 c) 8760 d) 13670 e) 12150 [Ref: 17557] 4/17 QUESTÃO 07 Um botânico descobre que um certo tipo de árvore cresce de tal forma que a taxa de variação da sua altura é dada pela função metros/ano, em que x é o tempo, em anos, transcorrido desde o plantio da àrvore. Se em 2005, quando foi plantada, uma árvore tinha 1 m de altura. Considerando o modelo criado pelo botânico, a altura dessa árvore em 2030 será de: a) aproximadamente de 10,14 metros. b) aproximadamente de 7,03 metros. c) aproximadamente de 6,14 metros. d) aproximadamente de 8,82 metros. e) aproximadamente de 9,82 metros. QUESTÃO 08 A Curva de Lorenz, denotada por L(x) e representada a seguir, é um gráfico muito utilizado pelos economistas e procura ilustrar a desigualdade existente na distribuição do rendimento entre as famílias em uma determinada economia ou sociedade. Neste gráfico, em um dos eixos é colocada a variável Rendimento e no outro a População, ambos representados por percentuais. Quanto mais afastada da diagonal y=x estiver a curva L(x), maior é a concentração de renda, ou seja, maior será a desigualdade na repartição do rendimento entre as famílias. Podemos estimar a quantidade total de desigualdade pelo coeficiente de Gini (CG), dado pela integral a seguir: , onde L(x) é a equação da curva de Lorenz. Suponha que em determinado país . Calcule o coeficiente de Gini aproximado para este país. Use e=2,7. [Ref: 17557] 5/17 a) 0.28 b) 0.07 c) 0.11 d) 0.74 e) 0.38 QUESTÃO 09 Para se adaptar ao aumento da demanda mundial de carvão de caldeira – o combustível das fornalhas usadas para geração de eletricidade – a direção de certa empresa decidiu acelerar suas operações de mineração. Os planos indicam que a taxa de aumento da produção anual será dada por milhões de toneladas/ano nos próximos 20 anos. Sabe-se que a atual produção anual é de 20 milhões de toneladas, ou seja, P(0) = 20 milhões. Considerando tais informações qual das funções a seguir descreve a produção total de carvão de caldeira da referida empresa ao final de t anos, se a mesma aplicar o plano traçado? a) b) c) d) e) [Ref: 17557] 6/17 QUESTÃO 10 Baseado em dados de uma pesquisa, um engenheiro descobriu que a taxa à qual a quantidade de peças produzidas em sua empresa que satisfazem as normas do INMETRO varia em relação ao tempo t, pode ser aproximada pelo modelo onde t é o número de dias desde o início da pesquisa. O número de peças dentro das normas nos primeiros 10 dias de pesquisa é, aproximadamente: a) 23 b) 22 c) 19 d) 16 e) 14 QUESTÃO 11 A quantidade de bairros (B) de uma cidade, num determinado ano (A), pode ser calculada aproximadamente de acordo com a relação: O modelo é válido para o ano variando entre A = 1666 e A = 3333. Utilizando a fórmula, calcule qual seria aproximadamente a quantidade de bairros dessa cidade no ano atual (A = 2015). a) 336 b) 380 c) 424 d) 468 e) 512 [Ref: 17557] 7/17 QUESTÃO 12 Estima-se que a taxa com que o montante de dinheiro arrecadado com a venda de uma determinada mercadoria está sendo definida com o tempo transcorrido (em anos, desde que se iniciaram as vendas), de acordo com a equação (sendo medido em milhares). Qual é, aproximadamente, o montante arrecadado entre 1 e 4 anos após o início das vendas? a) 150.470,00 b) 450,00 c) 50.050,00 d) 140.777,00 e) 223,14 QUESTÃO 13 As tanajuras são formigas aladas do sexo feminino, da família das saúvas. São fêmeas virgens que, após acasalarem, voam para outros locais a fim de fundar um novo formigueiro. Imagine que durante o processo de procura de um novo local para o formigueiro, uma tanajura descreva uma trajetória de modo que sua velocidade v (em m/s) varie no tempo de acordo com , com medido em segundos. Se a tanajura parte do repouso, o valor aproximado do deslocamento (em metros) por ela realizado nos primeiros seis minutos do vôo é de: a) 0,324 b) 0,405 c) 0,560 [Ref: 17557] 8/17 d) 0,677 e) 0,690 QUESTÃO 14 Um projétil é lançado a partir da origem e tem sua posição, em metros, monitorada pela seguinte função: , em que x é o tempo, em minutos, transcorrido após o seu lançamento. Desse modo, qual será aproximadamente a sua posição após 2 minutos de seu lançamento? a) 0,88 m b) 1,19 m c) 1,68 m d) 2,25 m e) 3,20 m QUESTÃO 15 Uma partícula move-se linha reta. Sua velocidade v pode ser descrita pela função, onde v é dada em metros por segundo e t é o tempo dado em segundos. O gráfico de v(t), para foi construído utilizando-se o software de geometria dinâmica gratuito Geogebra (http://www. geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir: [Ref: 17557] 9/17 Pode-se dizer que a distância percorrida por essa partícula no intervalo t = 1 a t = 3 foi aproximadamente de a) 0,42 m b) 0,63 m c) 2,49 m d) 3,51m e) 4,85 m QUESTÃO 16 Dois veículos se movem lado a lado e percorrem uma estrada retilínea. A velocidade do carro é de metros/segundo no intervalo , e a velocidade do carro é de metros/segundo no mesmo intervalo, com . Além disso, suponha que os gráficos de e sejam os mostrados na figura a seguir, com e as áreas das regiões sombreadas: [Ref: 17557] 10/17 Analise as afirmativas abaixo: I) . II) . III) representa a distância total percorrida pelos dois carros e . São verdadeiras as afirmativas: a) apenas II b) Somente I e II c) apenas III d) Somente II e III e) todas as afirmativas [Ref: 17557] 11/17 QUESTÃO 17 Uma placa retangular de largura C e altura C2, representada a seguir, deve ser cortada seguindo a curva descrita na figura abaixo. Qual deve ser a largura, C, da placa para que a área da região sombreada seja 10m2 ? a) b) c) d) e) [Ref: 17557] 12/17 QUESTÃO 18 Uma decoradora fará um painel em que a imagem modelada abaixo será reproduzida várias vezes ocupando a extensão de uma parede. Para estimar a quantidade de tinta necessária para a realização do serviço, a decoradora determinou a área da figura modelada. Sabendo que a imagem encontra-se limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x, as quais se interceptam nos pontos de abscissa - 2, 0 e 2, com as medidas dos eixos x e y expressas em dm, então podemos dizer que o resultado obtido pela decoradora para a área da figura foi de: a) 4, 0 dm2 b) 0,4 dm2 c) 2,0 dm2 d) 0,8 dm2 e) 8,0 dm2 QUESTÃO 19 Uma siderúrgica utilizará em um de seus processos de tratamento do minério um grande funil o qual foi modelado a partir da rotação da curva em torno do eixo no intevalo , tal como esquematizado na figura a seguir: [Ref: 17557] 13/17 Sabendo que as medidas de x e y são dadas em metros, qual é aproximadamente o volume máximo de minério comportado pelo funil, em m3? a) 85 m3 b) 70 m3 c) 40 m3 d) 105 m3 e) 120 m3 [Ref: 17557] 14/17 QUESTÃO 20 Especialistas em estudos de câncer encontraram um tumor em certo paciente que tem a mesma forma que o sólido formado pela rotação da região sob a curva em torno do eixo x, onde x e y estão em centímetros. Determine o volume do tumor encontrado pela equipe. a) b) c) d) e) QUESTÃO 21 Sabe-se que um vasilhame foi projetado pela rotação em torno do eixo y da região do primeiro quadrante do plano cartesiano compreendida entre a parábola e a reta . Considerando que as medidas dos eixos estão definidas em decímetros, qual é o volume de matéria prima que será utilizado na fabricação do vasilhame? a) b) c) d) e) [Ref: 17557] 15/17 QUESTÃO 22 Uma partícula viaja segundo uma trajetória, onde sua posição é dada por , onde é dado em metros (m) e t (s) em segundos. Estime o valor da posição média, em metros (m), desta partícula, no intervalo [0, 10] segundos. a) b) c) d) e) QUESTÃO 23 Em certa indústria, a função fornece uma estimativa do número de mercadorias produzidas durante x minutos. Desse modo, pode-se afirmar que o valor médio da quantidade de itens produzidos durante uma hora e meia nessa indústria é de aproximadamente: a) 1775 b) 897 c) 739 d) 626 e) 468 QUESTÃO 24 Sabe-se que o trabalho realizado por uma força variável F atuante sobre uma partícula quando ela se move de x1 até x2 é dado por . Uma partícula move-se ao longo do eixo x por uma força que mede Newtons em um ponto que está a x metros da origem. Sabendo-se que o trabalho médio realizado ao mover a partícula da origem até certo ponto é de 20,0 Joules, determine o valor de . a) -3,24 b) -2 c) 1,24 [Ref: 17557] 16/17 d) 2 e) 11 QUESTÃO 25 A força, em joules, com que dois elétrons se repelem mutuamente é inversamente proporcional ao quadrado da distância (em metros) entre eles, isto é, , onde f é a força, em Newtons, e K é uma constante positiva. Na figura abaixo, um elétron encontra-se fixo no ponto A e outro elétron encontra-se no ponto B. Sadendo que o trabalho, em joules (Newton/metro) para se deslocar um elétron da posição x = p para a posição x = q é dado por , qual será o trabalho realizado pela força elétrica sobre o elétron repelido ao longo do eixo x, do ponto B que está na posição , até o infinito? a) T = - K b) T = 2K c) T = K d) T = - 2K e) T = K/2 [Ref: 17557] 17/17
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