retas, planos, cônicas e quádricas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Geometria Anal´ıtica
Retas, Planos, Coˆnicas e Qua´dricas
Cap´ıtulo 1
Retas e Planos
Neste cap´ıtulo esta´ fixado um sistema de coordenadas (O,B) cuja base B = (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ) e´ ortonormal
positiva.
1.1 Equac¸o˜es de reta
Geometricamente, sabemos que uma reta pode ser determinada conhecendo-se dois pontos pertencentes
a ela.
Um outro modo de determinar uma reta e´ conhecer um ponto pertencente a ela e a sua direc¸a˜o, ou seja,
um vetor na˜o nulo que seja paralelo a` reta.
Definic¸a˜o 1.1.1. Qualquer vetor na˜o nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta.
Seja −→u um vetor diretor de uma reta r e seja A um ponto de r. Seja X um ponto. Enta˜o
X ∈ r ⇔ −−→AX e −→u sa˜o paralelos
⇔ existe λ ∈ R tal que −−→AX = λ−→u
⇔ existe λ ∈ R tal que X = A+ λ−→u .
Definic¸a˜o 1.1.2. A equac¸a˜o
X = A+ λ−→u (1.1)
e´ chamada equac¸a˜o vetorial da reta r ou equac¸a˜o da reta r na forma vetorial. Denotaremos
r : X = A+ λ−→u , λ ∈ R.
Observac¸a˜o 1.1.3. (1) A equac¸a˜o (1.1) na˜o e´ a u´nica equac¸a˜o vetorial da reta r. Na verdade, existem
infinitas! Por exemplo, se B e´ um ponto de r diferente de A, enta˜o X = B + λ−→u e´ outra equac¸a˜o
vetorial de r. Se −→v e´ um vetor na˜o nulo paralelo a −→u , −→v 6= −→u , enta˜o X = A + λ−→v e X = B + λ−→v
sa˜o outras duas equac¸o˜es vetoriais de r.
1
(2) Se A e B sa˜o pontos distintos de r enta˜o
−−→
AB e
−−→
BA sa˜o vetores diretores de r. Logo
X = A+ λ
−−→
AB, X = A+ λ
−−→
BA, X = B + λ
−−→
AB, X = B + λ
−−→
BA
sa˜o algumas das infinitas equac¸o˜es vetoriais de r.
Se X = (x, y, z), A = (x0, y0, z0) e
−→u = (a, b, c), substituindo na equac¸a˜o (1.1), obtemos
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(a, b, c) = (x0 + λa, y0 + λb, z0 + λc)
e, portanto, 
x = x0 + λa
y = y0 + λb
z = z0 + λc
. (1.2)
Definic¸a˜o 1.1.4. O sistema de equac¸o˜es (1.2) e´ chamado sistema de equac¸o˜es parame´tricas da reta r ou
sistema de equac¸o˜es da reta r na forma parame´trica (λ e´ chamado paraˆmetro). Denotaremos
r :

x = x0 + λa
y = y0 + λb
z = z0 + λc
, λ ∈ R.
Por abuso de linguagem, iremos nos referir ao sistema (1.2) como equac¸o˜es parame´tricas da reta r ou
equac¸o˜es da reta r na forma parame´trica.
Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor de r e´ nula, podemos isolar λ em cada uma das equac¸o˜es
de (1.2): λ =
x− x0
a
, λ =
y − y0
b
, λ =
z − z0
c
. Portanto
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
. (1.3)
Definic¸a˜o 1.1.5. O sistema de equac¸o˜es (1.3) e´ chamado sistema de equac¸o˜es da reta r na forma sime´trica
ou, por abuso de linguagem, equac¸o˜es da reta r na forma sime´trica. Denotaremos
r :
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
.
Observac¸a˜o 1.1.6. O sistema de equac¸o˜es (1.2) e o sistema de equac¸o˜es (1.3) na˜o sa˜o u´nicos.
Exemplo 1.1.7. Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3,−2, 3).
(a) Obtenha equac¸o˜es de r nas formas vetorial, parame´trica e sime´trica (se poss´ıvel).
(b) Verifique se o ponto P = (−9, 10,−9) pertence a r.
(c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B.
1.2 Equac¸o˜es de plano
Sejam −→u e −→v vetores linearmente independentes (LI). Todos os planos paralelos a −→u e a −→v (ou seja,
todos os planos que conteˆm representantes de −→u e de −→v ) sa˜o paralelos entre si. Logo, um par de vetores LI
determina a direc¸a˜o de um plano.
Definic¸a˜o 1.2.1. Se −→u e −→v sa˜o LI e sa˜o paralelos a um plano pi (ou seja, possuem representantes em pi),
enta˜o o par (−→u ,−→v ) e´ chamado par de vetores diretores de pi. Por abuso de linguagem, diremos que −→u e −→v
sa˜o vetores diretores de pi.
2
Seja A um ponto de pi e seja (−→u ,−→v ) um par de vetores diretores de pi. Seja X um ponto. Enta˜o
X ∈ pi ⇔ o vetor −−→AX e´ paralelo a pi
⇔ os vetores −→u ,−→v ,−−→AX sa˜o paralelos a pi
⇔ {−→u ,−→v ,−−→AX} e´ LD
⇔ −−→AX e´ gerado por −→u e −→v
⇔ existem λ, µ ∈ R tais que −−→AX = λ−→u + µ−→v
⇔ existem λ, µ ∈ R tais que X = A+ λ−→u + µ−→v .
Definic¸a˜o 1.2.2. A equac¸a˜o
X = A+ λ−→u + µ−→v (1.4)
e´ chamada equac¸a˜o vetorial do plano pi ou equac¸a˜o do plano pi na forma vetorial. Denotaremos
pi : X = A+ λ−→u + µ−→v , λ, µ ∈ R.
Observac¸a˜o 1.2.3. A equac¸a˜o (1.4) na˜o e´ a u´nica equac¸a˜o vetorial do plano pi. Qualquer ponto do plano
pi pode ser usado no lugar de A e quaisquer vetores LI paralelos a pi podem ser usados no lugar de −→u e −→v .
Por exemplo, se os pontos na˜o colineares A, B e C pertencem a pi, enta˜o (
−−→
AB,
−→
AC), (
−−→
BC,
−→
CA) sa˜o pares de
vetores diretores de pi. Logo
X = A+ λ
−−→
AB + µ
−→
AC, X = B + λ
−−→
AB + µ
−→
AC, X = B + λ
−−→
BC + µ
−→
CA
sa˜o algumas das infinitas equac¸o˜es vetoriais de pi.
Se X = (x, y, z), A = (x0, y0, z0),
−→u = (a, b, c) e −→v = (m,n, p), substituindo na equac¸a˜o (1.4), obtemos
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(a, b, c) + µ(m,n, p) = (x0 + λa+ µm, y0 + λb+ µn, z0 + λc+ µp)
e, portanto, 
x = x0 + λa+ µm
y = y0 + λb+ µn
z = z0 + λc+ µp
. (1.5)
Definic¸a˜o 1.2.4. O sistema de equac¸o˜es (1.5) e´ chamado sistema de equac¸o˜es parame´tricas do plano pi ou
sistema de equac¸o˜es do plano pi na forma parame´trica (λ e µ sa˜o chamados paraˆmetros). Denotaremos
pi :

x = x0 + λa+ µm
y = y0 + λb+ µn
z = z0 + λc+ µp
, λ, µ ∈ R.
Por abuso de linguagem, iremos nos referir ao sistema (1.5) como equac¸o˜es parame´tricas do plano pi ou
equac¸o˜es do plano pi na forma parame´trica.
Exemplo 1.2.5. Seja pi o plano que conte´m o ponto A = (3, 7, 1) e e´ paralelo a −→u = (1, 1, 1) e a −→v = (1, 1, 0).
3
(a) Obtenha equac¸o˜es de pi nas formas vetorial e parame´trica.
(b) Verifique se o ponto P = (1, 2, 2) pertence a pi.
Seja pi o plano que conte´m o ponto A = (x0, y0, z0) e tem vetores diretores
−→u = (r, s, t) e −→v = (m,n, p).
Sabemos que
X ∈ pi ⇔ {−−→AX,−→u ,−→v } e´ LD.
Agora,
−−→
AX = (x− x0, y − y0, z − z0). Logo
X ∈ pi ⇔
∣∣∣∣∣∣∣
x− x0 y − y0 z − z0
r s t
m n p
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Desenvolvendo o sistema acima, obtemos
(sp− nt)x+ (tm− rp)y + (rn−ms)z − (sp− nt)x0 − (tm− rp)y0 − (rn−ms)z0 = 0.
Com a notac¸a˜o
a = sp−nt =
∣∣∣∣∣ s tn p
∣∣∣∣∣ , b = tm−rp = −
∣∣∣∣∣ r tm p
∣∣∣∣∣ , c = rn−ms =
∣∣∣∣∣ r sm n
∣∣∣∣∣ , d = −ax0−by0−cz0, (1.6)
a equac¸a˜o acima pode ser reescrita como
ax+ by + cz + d = 0. (1.7)
Observe que os coeficientes a, b, c na˜o sa˜o todos nulos, pois, caso contra´rio, ter´ıamos∣∣∣∣∣ s tn p
∣∣∣∣∣ = 0,
∣∣∣∣∣ r tm p
∣∣∣∣∣ = 0,
∣∣∣∣∣ r sm n
∣∣∣∣∣ = 0
e, portanto, {−→u ,−→v } seria LD, o que e´ um absurdo!
Definic¸a˜o 1.2.6. Com a notac¸a˜o (1.6), a equac¸a˜o (1.7) e´ chamada equac¸a˜o geral do plano pi ou equac¸a˜o
do plano pi na forma geral. Indica-se
pi : ax+ by + cz + d = 0.
Proposic¸a˜o 1.2.7. Toda equac¸a˜o de 1o grau a treˆs inco´gnitas da forma
ax+ by + cz + d = 0,
em que a, b e c na˜o sa˜o todos nulos, e´ equac¸a˜o geral de um plano.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio.
Exemplo 1.2.8. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 0, 1)
e C = (2, 1, 2).
Definic¸a˜o 1.2.9. Seja pi um plano e seja −→n um vetor na˜o nulo. Dizemos que −→n e´ um vetor normal a pi se
−→n for ortogonal a qualquer vetor paralelo a pi.
4
Observac¸a˜o 1.2.10. (1) Observe que −→n e´ normal a pi se, e somente se, −→n e´ ortogonal a dois vetores
diretores de pi. De fato, seja (−→u ,−→v ) um par de vetores diretores de pi. Se −→w e´ um vetor paralelo a
pi, enta˜o −→w e´ gerado por −→u e −→v , ou seja, existem α, β ∈ R tais que −→w = α−→u + β−→v . Logo, se −→n e´
ortogonal a −→u e a −→v , enta˜o −→n · −→w = −→n · (α−→u + β−→v ) = α(−→n · −→u ) + β(−→n · −→v ) = 0. Ou seja, −→n e´
ortogonal a −→w . Portanto, −→ne´ um vetor normal a pi.
(2) Seja (−→u ,−→v ) um par de vetores diretores de pi. Como −→u ∧ −→v e´ um vetor ortogonal a −→u e a −→v , segue
do item (1) que −→u ∧ −→v e´ um vetor normal a pi.
Proposic¸a˜o 1.2.11. −→n = (a, b, c) e´ um vetor normal a pi se, e somente se, pi tem uma equac¸a˜o geral da
forma ax+ by + cz + d = 0.
Exemplo 1.2.12. Sabendo que o plano pi conte´m o ponto A = (9,−1, 0) e tem vetor normal −→n = (1, 0,−1),
obtenha uma equac¸a˜o geral de pi.
1.3 Posic¸o˜es relativas de retas
Sabemos da Geometria que existem quatro possibilidades para duas retas quaisquer r e s: serem reversas
(ou seja, na˜o coplanares), concorrentes, paralelas distintas ou paralelas coincidentes (ou seja, iguais).
Se r e´ uma reta denotaremos um vetor diretor qualquer de r por −→r .
Sejam r e s duas retas e sejam A e B pontos de r e s, respectivamente. Enta˜o, temos:
• r e s sa˜o reversas se, e somente se, {−→r ,−→s ,−−→AB} e´ LI. Equivalentemente, r e s sa˜o coplanares se,
e somente se {−→r ,−→s ,−−→AB} e´ LD. (Isto inclui os casos: concorrentes, paralelas distintas e paralelas
coincidentes.)
• r e s sa˜o paralelas se, e somente se, {−→r ,−→s } e´ LD.
• r e s sa˜o concorrentes se, e somente se, sa˜o coplanares e na˜o sa˜o paralelas, isto e´, {−→r ,−→s ,−−→AB} e´ LD e
{−→r ,−→s } e´ LI.
Exemplo 1.3.1. Estude a posic¸a˜o relativa das retas r e s. Se r ∩ s for na˜o vazio, determine r ∩ s.
(a) r : X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3), s : X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1).
5
(b) r : X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3), s :

x = 1
y = 3 + 2λ
z = 6 + 6λ
.
(c) r :

x = 4 + λ
y = 1− λ
z = 1 + λ
, s :

x = 9− 4λ
y = 2 + λ
z = 2− 2λ
.
1.4 Posic¸o˜es relativas de reta e plano
Para uma reta r e um plano pi existem treˆs possibilidades: r estar contida em pi, serem paralelos ou
serem transversais. Neste u´ltimo caso, a intersec¸a˜o de r e pi e´ um u´nico ponto; no segundo, a intersec¸a˜o e´
vazia; e, no primeiro, a intersec¸a˜o e´ a pro´pria reta r.
Seja r uma reta e seja pi um plano. Enta˜o r e´ transversal a pi se, e somente se, seu vetor diretor −→r na˜o
e´ paralelo a pi. Equivalentemente, r e´ paralela a pi ou esta´ contida em pi se, e somente se −→r e´ paralelo a pi.
Note que −→r e´ paralelo a pi se, e somente se, −→r e´ ortogonal a −→n , onde −→n e´ um vetor normal a pi. Portanto,
−→r e´ paralelo a pi se, e somente se, −→r · −→n = 0.
Exemplo 1.4.1. Estude a posic¸a˜o relativa da reta r e do plano pi. Se r ∩ pi for na˜o vazio, determine r ∩ pi.
(a) r : X = (1, 0, 1) + λ(2, 1, 3), pi : x+ y + z = 20.
(b) r : X = (2, 2, 1) + λ(3, 3, 0), pi : X = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 0, 3).
1.5 Posic¸o˜es relativas de planos
Para dois planos pi1 e pi2 existem treˆs possibilidades: serem paralelos distintos, paralelos coincidentes
(isto e´, iguais) ou transversais. No primeiro caso, a intersec¸a˜o de pi1 e pi2 e´ vazia; no segundo, a intersec¸a˜o
e´ um plano (pi1 = pi2); e, no u´ltimo caso, a intersec¸a˜o e´ uma reta.
Sejam pi1 e pi2 dois planos e sejam
−→n 1 e −→n 2 vetores normais a pi1 e a pi2, respectivamente. Enta˜o pi1 e
pi2 sa˜o paralelos se, e somente se,
−→n 1 e −→n 2 sa˜o paralelos.
6
Exemplo 1.5.1. Estude a posic¸a˜o relativa dos planos pi1 e pi2. Se pi1 ∩ pi2 for na˜o vazio, determine pi1 ∩ pi2.
(a) pi1 : 2x− y + z − 1 = 0, pi2 : 4x− 2y + 2z − 9 = 0.
(b) pi1 : x+ 2y + 3z − 1 = 0, pi2 : x− y + 2z = 0.
1.6 Medida angular entre retas
Definic¸a˜o 1.6.1. Sejam r e s duas retas, seja −→r um vetor diretor de r e seja −→s um vetor diretor de s. A
medida angular entre r e s e´ a medida angular entre os vetores −→r e −→s se esta medida pertencer ao intervalo
[0, pi2 ] (em radianos) ou [0, 90] (em graus) e e´ a medida angular entre os vetores
−→r e −−→s (ou −−→r e −→s ) se
esta medida pertencer ao intervalo [pi2 , pi] (em radianos) ou [90, 180] (em graus).
Indicamos a medida angular entre r e s por ang(r, s).
Observac¸a˜o 1.6.2. (1) Segue da definic¸a˜o acima que 0 ≤ ang(r, s) ≤ pi2 .
(2) r e s sa˜o paralelas se, e somente se, ang(r, s) = 0.
Definic¸a˜o 1.6.3. Sejam r e s duas retas. Se ang(r, s) = pi2 dizemos que r e s sa˜o retas ortogonais. Se r e
s forem retas ortogonais e concorrentes, dizemos que r e s sa˜o retas perpendiculares.
Proposic¸a˜o 1.6.4. Sejam r e s duas retas e seja θ = ang(r, s). Enta˜o
cos θ =
|−→r · −→s |
||−→r ||||−→s || .
Demonstrac¸a˜o: Seja ϕ = ang(−→r ,−→s ). Enta˜o
cosϕ =
−→r · −→s
||−→r ||||−→s || .
• Se cosϕ ≥ 0 enta˜o 0 ≤ ϕ ≤ pi2 . Neste caso, θ = ϕ, pela definic¸a˜o anterior. Logo cos θ = cosϕ.
7
• Se cosϕ < 0 enta˜o pi2 < ϕ ≤ pi. Neste caso, θ = ang(−→r ,−−→s ), pela definic¸a˜o anterior. Logo
cos θ =
−→r · (−−→s )
||−→r ||||−→s || =
−−→r · −→s
||−→r ||||−→s || = − cosϕ.
Conclu´ımos, enta˜o, que cos θ = | cosϕ|, isto e´,
cos θ =
∣∣∣∣ −→r · −→s||−→r ||||−→s ||
∣∣∣∣ = |−→r · −→s |||−→r ||||−→s || . �
Exemplo 1.6.5. O lado BC de um triaˆngulo equila´tero esta´ contido na reta r : X = (0, 0, 0) + λ(0, 1,−1)
e seu ve´rtice oposto e´ A = (1, 1, 0). Determine B e C. Esboce o triaˆngulo ABC.
1.7 Medida angular entre reta e plano
Definic¸a˜o 1.7.1. Dizemos que uma reta r e´ perpendicular a um plano pi se −→r for um vetor normal a pi.
Definic¸a˜o 1.7.2. Sejam r uma reta e pi um plano. A medida angular entre r e pi, indicada por ang(r, pi),
e´ pi2 − ang(r, s) (em radianos) ou 90− ang(r, s) (em graus), onde s e´ qualquer reta perpendicular a pi.
Observac¸a˜o 1.7.3. (1) A medida angular entre r e pi na˜o depende da escolha da reta s perpendicular a pi.
De fato, se s′ e´ outra reta perpendicular a pi, enta˜o s e s′ sa˜o paralelas e, portanto, ang(r, s) = ang(r, s′).
(2) Como 0 ≤ ang(r, s) ≤ pi2 enta˜o −pi2 ≤ − ang(r, s) ≤ 0. Assim, 0 ≤ pi2 − ang(r, s) ≤ pi2 , ou seja,
0 ≤ ang(r, pi) ≤ pi2 .
Observac¸a˜o 1.7.4. (1) r e´ perpendicular a pi se, e somente se, r e´ paralela a s, isto e´, ang(r, s) = 0. Logo
r e´ perpendicular a pi se, e somente se, ang(r, pi) = pi2 − 0 = pi2 .
(2) r e´ paralela a pi ou esta´ contida em pi se, e somente se, r e s sa˜o ortogonais, isto e´, ang(r, s) = pi2 . Logo,
r e´ paralela a pi ou esta´ contida em pi se, e somente se, ang(r, pi) = pi2 − pi2 = 0.
8
Proposic¸a˜o 1.7.5. Seja r uma reta com vetor diretor −→r e seja pi um plano com vetor normal −→n . Se
θ = ang(r, pi), enta˜o
sen θ =
|−→r · −→n |
||−→r ||||−→n || .
Demonstrac¸a˜o: Seja s uma reta perpendicular a pi. Enta˜o −→n e´ um vetor diretor de s. Se ϕ = ang(r, s) enta˜o
cosϕ =
|−→r · −→n |
||−→r ||||−→n || .
Como θ = ang(r, pi) = pi2 − ϕ, enta˜o
sen θ = sen
(pi
2
− ϕ
)
= sen
pi
2
cos(−ϕ) + sen(−ϕ) cos pi
2
= cosϕ.
Portanto,
sen θ =
|−→r · −→n |
||−→r ||||−→n || . �
Exemplo 1.7.6. Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r : X = (0, 1, 0) + λ(−1,−1, 0) e o
plano pi : y + z − 10 = 0.
1.8 Medida angular entre planos
Definic¸a˜o 1.8.1. A medida angular entre os planos pi1 e pi2, indicada por ang(pi1, pi2), e´ a medida angular
θ entre duas retas quaisquer r1 e r2, respectivamente perpendiculares a pi1 e a pi2.
Observac¸a˜o 1.8.2. (1) A medida angular entre pi1 e pi2 na˜o depende da escolha de r1 e r2.
(2) Como ang(pi1, pi2) = ang(r1, r2), enta˜o 0 ≤ ang(pi1, pi2) ≤ pi2 .
Definic¸a˜o 1.8.3. Sejam pi1 e pi2 dois planos e sejam
−→n 1 e −→n 2 vetores normais a pi1 e pi2, respectivamente.
Dizemos que pi1 e pi2 sa˜o perpendiculares se
−→n 1 e −→n 2 sa˜o ortogonais.
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Observac¸a˜o 1.8.4. (1) pi1 e pi2 sa˜o perpendiculares se, e somente se,
−→n 1 e −→n 2 sa˜o ortogonais. Isto e´
equivalente a dizer que r1 e r2 sa˜o ortogonais, onde r1 e r2 sa˜o quaisquer retas perpendiculares a pi1
e pi2, respectivamente. Logo, pi1 e pi2 sa˜o perpendiculares se, e somente se, ang(r1, r2) =
pi
2 , ou seja,
ang(pi1, pi2) =
pi
2 .
(2) pi1 e pi2 sa˜o paralelos ou coincidentes se, e somente se,−→n 1 e −→n 2 sa˜o paralelos. Isto e´ equivalente a dizer
que r1 e r2 sa˜o paralelas, onde r1 e r2 sa˜o quaisquer retas perpendiculares a pi1 e pi2, respectivamente.
Logo, pi1 e pi2 sa˜o paralelos ou coincidentes se, e somente se, ang(r1, r2) = 0, ou seja, ang(pi1, pi2) = 0.
Proposic¸a˜o 1.8.5. Sejam pi1 e pi2 dois planos com vetores normais
−→n 1 e −→n 2, respectivamente. Se θ =
ang(pi1, pi2), enta˜o
cos θ =
|−→n 1 · −→n 2|
||−→n 1||||−→n 2|| .
Demonstrac¸a˜o: Sejam r1 e r2 retas perpendiculares a pi1 e pi2, respectivamente. Enta˜o
−→n 1 e´ um vetor diretor
de r1 e
−→n 2 e´ um vetor diretor de r2. Assim, como θ = ang(r1, r2), enta˜o
cos θ =
|−→n 1 · −→n 2|
||−→n 1||||−→n 2|| . �
Exemplo 1.8.6. Sejam pi1 : x − y + z = 20 e pi2 : X = (1, 1,−2) + λ(0,−1, 1) + µ(1,−3, 2). Calcule
ang(pi1, pi2).
1.9 Distaˆncia de ponto a reta
Dados dois pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), ja´ sabemos que a distaˆncia entre A e B, denotada
por d(A,B), e´ dada por
d(A,B) = ||−−→AB|| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.
A distaˆncia entre um ponto P e uma reta r, denotada por d(P, r), e´ a menor das distaˆncias entre P e
pontos de r; tal distaˆncia pode ser obtida calculando-se a distaˆncia de P a Q, onde Q e´ o pe´ da perpendicular
a r por P .
Vejamos como determinar essa distaˆncia sem precisar conhecer o ponto Q.
Proposic¸a˜o 1.9.1. Seja P um ponto e seja r uma reta com vetor diretor −→r . Se A e´ um ponto qualquer de
r enta˜o
d(P, r) =
||−→AP ∧ −→r ||
||−→r || .
10
Demonstrac¸a˜o: Seja B o ponto de r tal que −→r = −−→AB e considere o triaˆngulo ABP . Seja h a altura relativa
ao ve´rtice P .
Enta˜o h = d(P, r). A a´rea do triaˆngulo ABP e´ dada por
||−−→AB||h
2
=
||−→AP ∧ −−→AB||
2
. Logo h =
||−→AP ∧ −−→AB||
||−−→AB||
e, portanto, d(P, r) =
||−→AP ∧ −→r ||
||−→r || . �
Exemplo 1.9.2. Calcule a distaˆncia de P = (1, 1,−1) a` reta r que e´ a intersec¸a˜o dos planos pi1 : x− y = 1
e pi2 : x+ y − z = 0.
1.10 Distaˆncia de ponto a plano
A distaˆncia entre um ponto P e um plano pi, denotada por d(P, pi), e´ a menor das distaˆncias entre P e
pontos de pi; tal distaˆncia pode ser obtida calculando-se a distaˆncia de P a Q, onde Q e´ o pe´ da perpendicular
a pi por P .
Vejamos como determinar essa distaˆncia sem precisar conhecer o ponto Q.
Proposic¸a˜o 1.10.1. Seja P um ponto e seja pi um plano com vetor normal −→n . Se A e´ um ponto qualquer
de pi enta˜o
d(P, pi) =
|−→AP · −→n |
||−→n || .
Demonstrac¸a˜o: Considere a figura abaixo.
11
Observe que d(P, pi) e´ a norma da projec¸a˜o ortogonal de
−→
AP sobre −→n . Logo
d(P, pi) =
∣∣∣∣∣∣proj−→n −→AP ∣∣∣∣∣∣ = |−→AP · −→n |||−→n || . �
Vejamos como fica a fo´rmula dada na proposic¸a˜o acima em coordenadas.
Se P = (x0, y0, z0), A = (x1, y1, z1) e pi : ax+ by+ cz+ d = 0, enta˜o
−→n = (a, b, c) e´ um vetor normal a pi
e, como A ∈ pi, enta˜o ax1 + by1 + cz1 + d = 0. Da´ı,
−→
AP · −→n = (x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1) · (a, b, c) = (x0 − x1)a+ (y0 − y1)b+ (z0 − z1)c
= ax0 + by0 + cz0 − (ax1 + by1 + cz1) = ax0 + by0 + cz0 + d.
Assim,
d(P, pi) =
|−→AP · −→n |
||−→n || =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
.
Exemplo 1.10.2. Calcule a distaˆncia do ponto P ao plano pi.
(a) P = (1, 2,−1), pi : 3x− 4y − 5z + 1 = 0.
(b) P = (1, 3, 4), pi : X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(−1, 0, 3).
1.11 Distaˆncia entre duas retas
A distaˆncia entre duas retas r e s, denotada por d(r, s), e´ a menor das distaˆncias entre pontos de r e de
s. Temos enta˜o os seguintes casos:
• r e s sa˜o concorrentes: neste caso, d(r, s) = 0.
• r e s sa˜o paralelas coincidentes: neste caso d(r, s) = 0.
• r e s sa˜o paralelas distintas: neste caso
d(r, s) = d(P, s) onde P e´ um ponto qualquer de r
ou
d(r, s) = d(Q, r) onde Q e´ um ponto qualquer de s.
12
• r e s sa˜o reversas: neste caso, a distaˆncia pode ser obtida considerando a reta t perpendicular a r e a
s, simultaneamente, e que intercepta r em P e s em Q. Assim, d(r, s) = d(P, s) = d(Q, r) = d(P,Q).
Vejamos como determinar essa distaˆncia sem conhecer t, P e Q.
Seja −→r um vetor diretor de r e seja −→s um vetor diretor de s. Como r e s sa˜o reversas, {−→r ,−→s } e´ LI.
Seja pi o plano que conte´m r e e´ paralelo a s.
Se B e´ um ponto qualquer de s enta˜o d(r, s) = d(P,Q) = d(B, pi). Como (−→r ,−→s ) e´ um par de vetores
diretores de pi enta˜o −→r ∧−→s e´ um vetor normal a pi. Seja A um ponto qualquer de r. Enta˜o A pertence
a pi. Logo,
d(B, pi) =
|−−→AB · −→r ∧ −→s |
||−→r ∧ −→s || =
|−→r ∧ −→s · −−→AB|
||−→r ∧ −→s || =
|[−→r ,−→s ,−−→AB]|
||−→r ∧ −→s || .
Portanto,
d(r, s) =
|[−→r ,−→s ,−−→AB]|
||−→r ∧ −→s || ,
onde A e´ um ponto qualquer de r e B e´ um ponto qualquer de s.
Exemplo 1.11.1. Obtenha uma reta r que conte´m o ponto A = (1, 1, 2), e´ paralela a pi : x−2y+2z−4 = 0
e dista 1/
√
2 da reta s : X = (3, 1, 1) + λ(4, 1,−1).
1.12 Distaˆncia entre reta e plano
A distaˆncia entre uma reta r e um plano pi, denotada por d(r, pi), e´ a menor das distaˆncias entre pontos
de r e de pi. Assim, se r e´ transversal a pi ou esta´ contida em pi, enta˜o d(r, pi) = 0. Se r e´ paralela a pi e A e´
um ponto qualquer de r enta˜o d(r, pi) = d(A, pi).
13
1.13 Distaˆncia entre planos
A distaˆncia entre dois planos pi1 e pi2, denotada por d(pi1, pi2), e´ a menor das distaˆncias entre pontos de
pi1 e de pi2. Se pi1 e pi2 sa˜o transversais ou coincidentes enta˜o d(pi1, pi2) = 0. Se pi1 e pi2 sa˜o paralelos, a
distaˆncia entre pi1 e pi2 pode ser obtida considerando uma reta t perpendicular a pi1 e pi2, simultaneamente,
e que intercepta pi1 em P e pi2 em Q. Assim, d(pi1, pi2) = d(P, pi2) = d(Q, pi1) = d(P,Q).
Logo
d(pi1, pi2) = d(A, pi2) onde A e´ um ponto qualquer de pi1
ou
d(pi1, pi2) = d(B, pi1) onde B e´ um ponto qualquer de pi2.
14
Cap´ıtulo 2
Coˆnicas
Como veremos, as coˆnicas sa˜o curvas planas que podem ser descritas por equac¸o˜es do segundo grau em
duas varia´veis, entre elas a elipse, a hipe´rbole e a para´bola. Por esse motivo, nas pro´ximas sec¸o˜es iremos nos
restringir ao conjunto dos pontos de um plano e, por isso, iremos trabalhar apenas com vetores paralelos
a um plano pi fixado. Sabemos que se (−→u ,−→v ) e´ um par de vetores diretores de pi, enta˜o todo vetor −→w
paralelo a pi e´ gerado por −→u e −→v . Por esse motivo, chamaremos E = (−→u ,−→v ) de base de pi. Dessa forma,
se −→w = a−→u + b−→v enta˜o denotaremos −→w = (a, b)E . Se O e´ um ponto de pi, o par (O, E) e´ um sistema de
coordenadas de pi. Se P e´ um ponto de pi e
−−→
OP = x−→u + y−→v enta˜o indicaremos P = (x, y) e diremos que x
e´ a abscissa e y e´ a ordenada de P .
De agora em diante esta´ fixado em pi um sistema ortogonal de coordenadas (O,B), B = (−→i ,−→j ).
2.1 Elipse
Definic¸a˜o 2.1.1. Dados dois pontos distintos F1 e F2 de um plano, chama-se elipse o conjunto dos pontos
X do plano tais que d(X,F1) + d(X,F2) e´ constante.
Denotemos por 2a a constante da definic¸a˜o, ou seja, X pertence a` elipse se, se somente se, d(X,F1) +
d(X,F2) = 2a. Denotemos tambe´m d(F1, F2) = 2c. Por convenc¸a˜o assumiremos sempre que a > c e,
portanto, que d(X,F1) + d(X,F2) > d(F1, F2). Sejam tambe´m: C o ponto me´dio do segmento F1F2; A1 e
A2 os pontos da reta F1F2 que distam a de C; B1 e B2 os pontos da mediatriz do segmento F1F2 que distam
a de F1 e de F2.
15
Como d(B2, F1) + d(B2, F2) = a+ a = 2a, enta˜o B2 pertence a` elipse. O mesmo ocorre com B1. Como
d(A1, F1) + d(A1, F2) = (a− c) + (a+ c) = 2a, enta˜o A1 pertence a` elipse. O mesmo ocorre com A2.
Usaremos a seguinte nomenclatura:
• Focos: F1, F2
• Distaˆncia focal: 2c = d(F1, F2)
• Segmento focal: segmento F1F2
• Reta focal: reta F1F2
• Centro: C
• Ve´rtices: A1, A2, B1, B2
• Eixo maior: segmento A1A2
• Eixo menor: segmento B1B2
Chamemos de 2b o comprimento doeixo menor. Pelo Teorema de Pita´goras, a2 = b2 + c2 e a > b.
Vamos deduzir uma equac¸a˜o para a elipse E. Para isso, tomemos um sistema ortogonal de coordenadas
de modo que sua origem seja o centro da elipse e que F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), como na figura abaixo.
Assim, se X = (x, y) e´ um ponto da elipse, temos:
d(X,F1) + d(X,F2) = 2a⇒
√
(x− (−c))2 + (y − 0)2 +
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a
⇒
√
(x+ c)2 + y2 = 2a−
√
(x− c)2 + y2
⇒ (x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2
⇒ x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2
⇒ 4cx = 4(a2 − a
√
(x− c)2 + y2)
⇒ a2 − cx = a
√
(x− c)2 + y2
⇒ a4 − 2a2cx+ c2x2 = a2[(x− c)2 + y2] = a2[x2 − 2cx+ c2 + y2]
⇒ a4 − 2a2cx+ c2x2 = a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2
⇒ (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).
16
Como a2 = b2 + c2 enta˜o a2 − c2 = b2. Assim, dividindo por a2b2 obtemos
x2
a2
+
y2
b2
= 1. (2.1)
Reciprocamente, e´ poss´ıvel provar que se um ponto X = (x, y) satisfaz a equac¸a˜o (2.1) enta˜o X pertence
a` elipse E.
Os nu´meros a, b e c sa˜o chamados paraˆmetros geome´tricos da elipse. A equac¸a˜o (2.1) e´ chamada equac¸a˜o
reduzida da elipse de centro na origem e focos no eixo Ox. Denotaremos
E :
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Se o ponto X = (x, y) pertence a` elipse E, ou seja,
x2
a2
+
y2
b2
= 1, enta˜o y = ±b
√
1− x
2
a2
. Ale´m disso,
x2
a2
≤ 1 e y
2
b2
≤ 1 e assim x2 ≤ a2 e y2 ≤ b2. Logo, |x| ≤ a e |y| ≤ b, ou seja, −a ≤ x ≤ a e −b ≤ y ≤ b.
Se o sistema ortogonal de coordenadas tiver origem no centro da elipse e F1 = (0,−c) e F2 = (0, c) enta˜o
X = (x, y) pertence a` elipse se, e somente se,
x2
b2
+
y2
a2
= 1. (2.2)
A equac¸a˜o (2.2) e´ chamada equac¸a˜o reduzida da elipse de centro na origem e focos em Oy. (A demons-
trac¸a˜o e´ ana´loga a` de (2.1).)
Neste caso, se o ponto X = (x, y) pertence a` elipse E, ou seja,
x2
b2
+
y2
a2
= 1, enta˜o y = ±a
√
1− x
2
b2
, com
−b ≤ x ≤ b e −a ≤ y ≤ a.
Proposic¸a˜o 2.1.2. Uma equac¸a˜o da forma
x2
p
+
y2
q
= 1 (2.3)
descreve uma elipse em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas se, e somente se, os nu´meros reais
p e q sa˜o distintos e positivos.
17
Corola´rio 2.1.3. Fixado um sistema ortogonal de coordenadas de origem O, sejam p e q nu´meros reais
distintos e positivos, e seja E a elipse de equac¸a˜o
x2
p
+
y2
q
= 1 com paraˆmetros geome´tricos a e b.
• Se p > q enta˜o a2 = p, b2 = q e E tem centro O e focos em Ox.
• Se p < q enta˜o a2 = q, b2 = p e E tem centro O e focos em Oy.
Exemplo 2.1.4. Mostre que a equac¸a˜o 16x2 + y2 = 1 descreve uma elipse de centro O e focos em Ox ou
Oy. Calcule as medidas dos eixos maior e menor e a distaˆncia focal. Escreva as coordenadas dos ve´rtices e
dos focos. Esboce a elipse.
Exemplo 2.1.5. Obtenha uma equac¸a˜o reduzida da elipse cujos focos sa˜o F1 = (0,−2) e F2 = (0, 2) e o
eixo menor tem medida 4.
2.2 Circunfereˆncia
Definic¸a˜o 2.2.1. Dado um ponto C de um plano, chama-se circunfereˆncia o conjunto dos pontos X do
plano tais que d(X,C) e´ constante. O ponto C e´ chamado centro da circunfereˆncia e a distaˆncia fixa e´
chamada raio da circunfereˆncia.
Consideremos um sistema ortogonal de coordenadas de modo que o centro C esteja na origem, ou seja,
C = (0, 0). Seja r o raio. Enta˜o
X pertence a` circunfereˆncia ⇔ d(X,C) = r ⇔
√
(0− x)2 + (0− y)2 = r ⇔
√
x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2.
Portanto, uma equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro na origem e raio r e´
x2 + y2 = r2.
Observac¸a˜o 2.2.2. Uma circunfereˆncia na˜o e´ uma elipse! (Pois, se observarmos sua equac¸a˜o acima veremos
que p = q = r2.)
2.3 Hipe´rbole
Definic¸a˜o 2.3.1. Dados dois pontos distintos F1 e F2 de um plano, chama-se hipe´rbole o conjunto dos
pontos X do plano tais que |d(X,F1)− d(X,F2)| e´ constante.
Denotemos por 2a a constante da definic¸a˜o, ou seja, X pertence a` hipe´rbole se, se somente se, |d(X,F1)−
d(X,F2)| = 2a. Denotemos tambe´m d(F1, F2) = 2c. Por convenc¸a˜o assumiremos sempre que 0 < a < c e,
portanto, que |d(X,F1)− d(X,F2)| < d(F1, F2). Sejam tambe´m: C o ponto me´dio do segmento F1F2; A1 e
18
A2 os pontos da reta F1F2 que distam a de C e considere o retaˆngulo inscrito no c´ırculo de centro C e raio
c, como na figura a seguir, o qual sera´ chamado retaˆngulo fundamental ; B1 e B2 os pontos de intersec¸a˜o da
mediatriz do segmento F1F2 com o retaˆngulo fundamental.
Como d(A1, F1) = c−a e d(A1, F2) = a+c enta˜o |d(A1, F1)−d(A2, F2)| = |(c−a)−(a+c) = |−2a| = 2a.
Logo A1 pertence a` hipe´rbole. O mesmo ocorre com A2.
Usaremos a seguinte nomenclatura:
• Focos: F1, F2
• Distaˆncia focal: 2c = d(F1, F2)
• Segmento focal: segmento F1F2
• Reta focal: reta F1F2
• Centro: C
• Ve´rtices: A1, A2
• Eixo transverso: segmento A1A2
• Eixo conjugado: segmento B1B2
• Ass´ıntotas: Retas que conteˆm as diagonais do retaˆngulo fundamental
Chamemos de 2b o comprimento do eixo conjugado. Pelo Teorema de Pita´goras, c2 = a2 + b2 e c > b.
Vamos deduzir uma equac¸a˜o para a hipe´rbole H. Para isso, tomemos um sistema ortogonal de coorde-
nadas de modo que sua origem seja o centro da hipe´rbole e que F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), como na figura
abaixo.
19
Assim, se X = (x, y) e´ um ponto da hipe´rbole, temos:
|d(X,F1)− d(X,F2)| = 2a⇒ d(X,F1)− d(X,F2) = ±2a
⇒
√
(x− (−c))2 + (y − 0)2 −
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = ±2a
⇒
√
(x+ c)2 + y2 = ±2a+
√
(x− c)2 + y2
⇒ x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 ± 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2
⇒ 4cx = 4(a2 ± a
√
(x− c)2 + y2)
⇒ a2 − cx = ±a
√
(x− c)2 + y2
⇒ a4 − 2a2cx+ c2x2 = a2[(x− c)2 + y2] = a2[x2 − 2cx+ c2 + y2]
⇒ a4 − 2a2cx+ c2x2 = a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2
⇒ (c2 − a2)x2 = a2(c2 − a2) + a2y2
⇒ (c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2).
Como c2 = a2 + b2 enta˜o c2 − a2 = b2. Assim, dividindo por a2b2 obtemos
x2
a2
− y
2
b2
= 1. (2.4)
Reciprocamente, e´ poss´ıvel provar que se um ponto X = (x, y) satisfaz a equac¸a˜o (2.4) enta˜o X pertence
a` hipe´rbole H.
Os nu´meros a, b e c sa˜o chamados paraˆmetros geome´tricos da hipe´rbole. A equac¸a˜o (2.4) e´ chamada
equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole de centro na origem e focos no eixo Ox. Denotaremos
H :
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
Se o ponto X = (x, y) pertence a` hipe´rbole H, ou seja,
x2
a2
− y
2
b2
= 1, enta˜o y = ±b
√
x2
a2
− 1. Ale´m disso,
x2
a2
= 1 +
y2
b2
≥ 1 o que implica que x
2
a2
≥ 1. Assim x2 ≥ a2 e, portanto, |x| ≥ a, ou seja, x ≥ a ou x ≤ −a.
Se o sistema ortogonal de coordenadas tiver origem no centro da hipe´rbole e F1 = (0,−c) e F2 = (0, c)
enta˜o X = (x, y) pertence a` hipe´rbole se, e somente se,
−x
2
b2
+
y2
a2
= 1. (2.5)
A equac¸a˜o (2.5) e´ chamada equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole de centro na origem e focos em Oy. (A
demonstrac¸a˜o e´ ana´loga a` de (2.4).)
20
Proposic¸a˜o 2.3.2. Uma equac¸a˜o da forma
x2
p
+
y2
q
= 1 (2.6)
descreve uma hipe´rbole em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas se, e somente se, os nu´meros
reais p e q sa˜o de sinal contra´rio.
Corola´rio 2.3.3. Fixado um sistema ortogonal de coordenadas de origem O, sejam p e q nu´meros reais de
sinal contra´rio, e seja H a hipe´rbole de equac¸a˜o
x2
p
+
y2
q
= 1 com paraˆmetros geome´tricos a e b.
• Se p > 0 e q < 0 enta˜o a2 = p, b2 = −q e H tem centro O e focos em Ox.
• Se p < 0 e q > 0 enta˜o a2 = q, b2 = −p e H tem centro O e focos em Oy.
Exemplo 2.3.4. Mostre que a equac¸a˜o 25x2 − 144y2 = 9 descreve uma hipe´rbole de centro O e focos em
Ox ou Oy. Calcule as medidas dos eixos transverso e conjugado e a distaˆncia focal. Escreva as coordenadas
dos ve´rtices, dos focos e das extremidades do eixo conjugado. Esboce a hipe´rbole.
Exemplo 2.3.5. Obtenha uma equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole cujo foco F1 = (0,−
√11), o centro e´ a origem
e o eixo conjugado mede 2
√
7.
2.4 Para´bola
Definic¸a˜o 2.4.1. Dados um ponto F e uma reta d de um plano, F na˜o pertencente a d, chama-se para´bola
o conjunto dos pontos X do plano que equidistam de F e d.
Denotemos d(F, d) = 2p. Seja r a reta que conte´m F e e´ perpendicular a d e seja H o ponto de
intersec¸a˜o de r e d. Denotemos por V o ponto me´dio do segmento HF . Observe que V pertence a` para´bola
pois d(V, F ) = p = d(V, d).
21
Usaremos a seguinte nomenclatura:
• Foco: F
• Diretriz: d
• Eixo: r
• Ve´rtice: V
• Paraˆmetro: p
Vamos deduzir uma equac¸a˜o para a para´bola P . Para isso, tomemos um sistema ortogonal de coorde-
nadas de modo que sua origem seja o ve´rtice da para´bola e que F = (0, p), como na figura abaixo. Com
relac¸a˜o a esse sistema de coordenadas, a diretriz d tem equac¸a˜o d : y = −p (ou seja, d :
{
x = λ
y = −p ,
λ ∈ R; ou ainda, d : X = (0,−p) + λ(1, 0), λ ∈ R).
Se X = (x, y) e´ um ponto do plano, e´ fa´cil verificar (verifique!) que
d(X, d) =
{
y + p, se y + p ≥ 0
−(y + p), se y + p < 0 = |y + p|.
Ale´m disso,
d(X,F ) =
√
(x− 0)2 + (y − p)2 =
√
x2 + (y − p)2.
Logo, X = (x, y) e´ um ponto da para´bola se, e somente se,
d(X, d) = d(X,F )⇔ |y + p| =
√
x2 + (y − p)2
⇔ (y + p)2 = x2 + (y − p)2
⇔ y2 + 2py + p2 = x2 + y2 − 2py + p2
⇔ 4py = x2
⇔ y = 1
4p
x2.
22
A equac¸a˜o
y =
1
4p
x2 (2.7)
e´ chamada equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice na origem e foco em Oy+. Denotaremos
P : y =
1
4p
x2.
Observe que x pode ser qualquer, portanto a para´bola na˜o e´ limitada!
Se o sistema ortogonal de coordenadas tiver origem no ve´rtice da para´bola e F = (0,−p) (neste caso, a
diretriz d tem equac¸a˜o d : y = p) enta˜o X = (x, y) pertence a` para´bola se, e somente se,
y = − 1
4p
x2. (2.8)
A equac¸a˜o (2.8) e´ chamada equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice na origem e foco em Oy−.
Se o sistema ortogonal de coordenadas tiver origem no ve´rtice da para´bola e F = (p, 0) (neste caso, a
diretriz d tem equac¸a˜o d : x = −p) enta˜o X = (x, y) pertence a` para´bola se, e somente se,
x =
1
4p
y2. (2.9)
A equac¸a˜o (2.9) e´ chamada equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice na origem e foco em Ox+.
Se o sistema ortogonal de coordenadas tiver origem no ve´rtice da para´bola e F = (−p, 0) (neste caso, a
23
diretriz d tem equac¸a˜o d : x = p) enta˜o X = (x, y) pertence a` para´bola se, e somente se,
x = − 1
4p
y2. (2.10)
A equac¸a˜o (2.10) e´ chamada equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice na origem e foco em Ox−.
Proposic¸a˜o 2.4.2. Em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, as equac¸o˜es x2 = qy e y2 = qx
descrevem para´bolas se, e somente se, q 6= 0.
Exemplo 2.4.3. Obtenha o foco e a diretriz da para´bola P : y2 = 5x.
Exemplo 2.4.4. Obtenha a equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice (0, 0), paraˆmetro igual a 2 e cujo foco
esta´ no semieixo positivo das abscissas.
2.5 Translac¸a˜o de eixos
Uma translac¸a˜o de eixos consiste em substituir um dado sistema ortogonal de coordenadas do plano
(O,B), B = (−→i ,−→j ), por um outro (O′,B), mantendo a base, ou seja, mantendo as direc¸o˜es dos eixos. Se
O′ = (x0, y0) com relac¸a˜o ao sistema de coordenadas (O,B), temos:
Seja P um ponto do plano. Sejam (x, y) suas coordenadas no sistema (O,B) e (u, v) suas coordenadas
no sistema (O′,B).
24
Observe que
u = x− x0
v = y − y0.
Essas equac¸o˜es sa˜o chamadas equac¸o˜es de translac¸a˜o de eixos.
Por exemplo, considere uma elipse de centro no ponto C = (x0, y0) em relac¸a˜o ao sistema ortogonal de
coordenadas (O,B), B = (−→i ,−→j ), com eixo maior paralelo a Ox, como na figura abaixo. Introduzimos um
novo sistema de coordenadas com origem no ponto C, (C,B).
Em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas (C,B) temos uma elipse de centro na origem e focos no eixo Cu,
cuja equac¸a˜o reduzida e´
u2
a2
+
v2
b2
= 1.
Usando as equac¸o˜es de translac¸a˜o de eixos, obtemos
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1,
que e´ a equac¸a˜o da elipse de centro no ponto C = (x0, y0) e eixo maior paralelo ao eixo Ox, em relac¸a˜o
ao sistema ortogonal de coordenadas (O,B). Ale´m disso, em relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas
(O,B), temos:
F1 = (x0 − c, y0)
F2 = (x0 + c, y0)
A1 = (x0 − a, y0)
A2 = (x0 + a, y0)
B1 = (x0, y0 − b)
B2 = (x0, y0 + b)
Portanto, usando as equac¸o˜es de translac¸a˜o de eixos, podemos escrever equac¸o˜es da elipse, da circun-
fereˆncia, da hipe´rbole e da para´bola transladadas, em relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas (O,B).
Temos assim:
• Elipse com centro em (x0, y0) e eixo maior paralelo a Ox:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
• Elipse com centro em (x0, y0) e eixo maior paralelo a Oy:
(x− x0)2
b2
+
(y − y0)2
a2
= 1
• Hipe´rbole com centro em (x0, y0) e eixo transverso paralelo a Ox:
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1
25
• Hipe´rbole com centro em (x0, y0) e eixo transverso paralelo a Oy:
−(x− x0)2
b2
+
(y − y0)2
a2
= 1
• Para´bola com ve´rtice em (x0, y0) e eixo paralelo a Oy:
y − y0 = ± 1
4p
(x− x0)2
• Para´bola com ve´rtice em (x0, y0) e eixo paralelo a Ox:
x− x0 = ± 1
4p
(y − y0)2
• Circunfereˆncia com centro em (x0, y0) e raio r:
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
2.6 Equac¸a˜o geral do 20 grau
Definic¸a˜o 2.6.1. Uma coˆnica e´ um conjunto de pontos X = (x, y) do plano que satisfazem uma equac¸a˜o
de 20 grau
Ax2 +By2 + Cx+Dy + E + Fxy = 0. (2.11)
Observac¸a˜o 2.6.2. Como a equac¸a˜o (2.11) e´ de 20 grau, devemos ter A 6= 0 ou B 6= 0 ou F 6= 0.
Na equac¸a˜o (2.11), Ax2, By2 e Fxy sa˜o chamados termos quadra´ticos e, para distinguir Fxy dos outros
dois, referimo-nos a ele como termo quadra´tico misto. Por sua vez, Cx e Dy sa˜o os termos lineares e E e´ o
termo independente.
Exemplos de coˆnicas 2.6.3. (a) Conjunto vazio x2 + y2 + 1 = 0. (Na˜o existe (x, y) que satisfac¸a a
equac¸a˜o.)
(b) Conjunto formado por um u´nico ponto: x2 + y2 − 2x+ 1 = 0.
x2 + y2 − 2x+ 1 = 0⇔ (x− 1)2 + y2 = 0⇔ x− 1 = 0 e y = 0⇔ x = 1 e y = 0.
Logo x2 + y2 − 2x+ 1 = 0 admite apenas a soluc¸a˜o (1, 0).
(c) Uma reta: x2 + 2xy + y2 = 0.
x2 + 2xy + y2 = 0⇔ (x+ y)2 = 0⇔ x+ y = 0⇔ y = −x.
Logo x2 + 2xy + y2 = 0 tem como soluc¸a˜o a reta r : y = −x (isto e´, r :
{
x = λ
y = −λ , λ ∈ R).
(d) Circunfereˆncia: x2 − 2x+ y2 − 1 = 0 (isto e´, (x− 1)2 + y2 = 2).
(e) Para´bola: x = y2.
(f) Elipse:
1
2
x2 +
1
3
y2 = 1.
Proposic¸a˜o 2.6.4. Um conjunto de pontos de um plano e´ uma coˆnica se, e somente se: ele e´ o conjunto
vazio, ou o conjunto formado por um u´nico ponto, ou uma reta, ou a reunia˜o de duas retas (paralelas ou
concorrentes), ou uma circunfereˆncia, ou uma elipse, ou uma hipe´rbole, ou uma para´bola.
26
Algumas informac¸o˜es podem ser obtidas sobre a coˆnica dada pela equac¸a˜o (2.11) se olharmos para os
coeficientes C, D e F :
• Se C 6= 0, a coˆnica representada por (2.11) foi transladada paralelamente ao eixo Ox.
• Se D 6= 0, a coˆnica representada por (2.11) foi transladada paralelamente ao eixo Oy.
• Se F 6= 0, a coˆnica representada por (2.11) foi rotacionada, ou seja, a presenc¸a do termo misto Fxy
nos indica a ocorreˆncia de uma rotac¸a˜o de eixos.
Por hora, consideraremos apenas coˆnicas na˜o rotacionadas, ou seja, equac¸o˜es do tipo (2.11) em que
F = 0. Neste caso, para identificarmos a coˆnica dada por (2.11), utilizaremos o me´todo do completamento
de quadrados.
O me´todo do completamento de quadrados consiste em reescrever uma expressa˜o da forma x2 +Cx em
uma forma equivalente contendo o termo quadra´tico
(
x+ C2
)2
. Para isso, devemos observar dois fatos:
1. A segunda parcela do termo
(
x+ C2
)2
e´ a metade do coeficiente de x na expressa˜o x2 + Cx;
2. Na expansa˜o
(
x+C2
)2
= x2 + Cx + C
2
4 surge o termo
C2
4 , que na˜o ocorre em x
2 + Cx. Entretanto,
podemos verificar que (
x+
C
2
)2
− C
2
4
= x2 + Cx.
O exemplo a seguir ilustra o procedimento.
Exemplo 2.6.5. (a) x2 + 6x =
(
x+
6
2
)2
− 6
2
4
= (x+ 3)2 − 9
(b) x2 − 8x =
(
x+
(−8)
2
)2
− (−8)
2
4
= (x− 4)2 − 16
Exemplo 2.6.6. Esboce as coˆnicas dadas pelas seguintes equac¸o˜es.
(a) 25x2 + 9y2 + 200x− 90y + 400 = 0
(b) 4x2 − 9y2 − 16x− 20 = 0
(c) y2 − 2y − 4x− 7 = 0
(d) x2 − y2 − 2x+ 2y = 0
27
Cap´ıtulo 3
Qua´dricas
De agora em diante, utilizaremos apenas sistemas ortogonais de coordenadas do espac¸o.
Definic¸a˜o 3.0.7. Chama-se qua´drica qualquer subconjunto de pontos X = (x, y, z) do espac¸o que possa ser
descrito, em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, por uma equac¸a˜o de 20 grau
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0. (3.1)
Observac¸a˜o 3.0.8. Como a equac¸a˜o (3.1) e´ de 20 grau, devemos ter pelo menos um dos nu´merosA,B,C,D,E, F
diferente de zero.
Toda qua´drica e´ um dos tipos abaixo:
1. Elipso´ide.
2. Superf´ıcie esfe´rica.
3. Hiperbolo´ide de uma folha.
4. Hiperbolo´ide de duas folhas.
5. Parabolo´ide (el´ıptico ou de rotac¸a˜o).
6. Parabolo´ide hiperbo´lico.
7. Qua´drica cil´ındrica (el´ıptica, de rotac¸a˜o, hiperbo´lica ou parabo´lica).
8. Qua´drica coˆnica (el´ıptica ou de rotac¸a˜o).
9. Conjunto vazio.
10. Conjunto formado por um so´ ponto.
11. Reta.
12. Plano.
13. Reunia˜o de dois planos paralelos.
14. Reunia˜o de dois planos transversais.
28
3.1 Elipso´ide
Definic¸a˜o 3.1.1. Uma qua´drica Ω e´ um elipso´ide se existem nu´meros reais positivos a, b, c, pelo menos dois
deles distintos, e um sistema ortogonal de coordenadas em relac¸a˜o ao qual Ω pode ser descrita pela equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 (3.2)
chamada equac¸a˜o reduzida de Ω. Indica-se
Ω :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
Vamos agora examinar as intersec¸o˜es do elipso´ide com planos paralelos aos planos coordenados. Isso nos
permitira´ fazer um esboc¸o do elipso´ide Ω.
Consideremos primeiramente um plano pi paralelo ao plano Oxy, isto e´, pi : z = k. Enta˜o
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
x2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1
z = k
⇔
{
x2
a2
+ y
2
b2
= 1− k2
c2
z = k
.
Temos enta˜o treˆs possibilidades:
• k2 > c2: Neste caso, |k| > c (isto e´, k < −c ou k > c) e 1 − k2
c2
< 0. Portanto o sistema na˜o admite
soluc¸a˜o.
• k2 = c2: Neste caso, k = ±c e 1− k2
c2
= 0. Da´ı, z = ±c e x = y = 0. Assim,
- Se k = c, Ω ∩ pi = {(0, 0, c)};
- Se k = −c, Ω ∩ pi = {(0, 0,−c)}.
• k2 < c2: Neste caso, |k| < c (isto e´, −c < k < c) e 1 − k2
c2
> 0. Escrevendo p = 1 − k2
c2
e dividindo a
primeira equac¸a˜o do sistema por p, obtemos
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
x2
pa2
+ y
2
pb2
= 1
z = k
Assim,
- Se a = b, Ω ∩ pi e´ a circunfereˆncia contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e raio a√p;
- Se a > b, Ω ∩ pi e´ a elipse contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e eixo maior paralelo a Ox;
- Se a < b, Ω ∩ pi e´ a elipse contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e eixo maior paralelo a Oy.
Se tomarmos planos paralelos ao plano Oxz (pi : y = k) ou planos paralelos ao plano Oyz (pi : x = k)
chegaremos a concluso˜es semelhantes. Podemos assim esboc¸ar o elipso´ide x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1.
Se a = b 6= c ou a = c 6= b ou b = c 6= a o elipso´ide x2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1 e´ chamado elipso´ide de rotac¸a˜o (ou
de revoluc¸a˜o).
29
Exemplo 3.1.2. Esboce o elipso´ide x
2
4 +
y2
9 +
z2
25 = 1.
3.2 Superf´ıcie esfe´rica
Definic¸a˜o 3.2.1. Dado um ponto C e um nu´mero real positivo r, a superf´ıcie esfe´rica S de centro C e raio
r e´ o conjunto dos pontos X do espac¸o tais que d(X,C) = r.
Se considerarmos um sistema ortogonal de coordenadas com origem no ponto C, enta˜o
X = (x, y, z) ∈ S ⇔ d(X,C) = r ⇔
√
(x− 0)2 + (y − 0)2 + (z − 0)2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2,
que e´ a equac¸a˜o reduzida da superf´ıcie esfe´rica de centro na origem e raio r. Notac¸a˜o
S : x2 + y2 + z2 = r2.
Exemplo 3.2.2. Determine a intersec¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica S : x2 + y2 + z2 = 1 com o plano pi : y = 1.
3.3 Hiperbolo´ide de uma folha
Definic¸a˜o 3.3.1. Uma qua´drica Ω e´ um hiperbolo´ide de uma folha se existem nu´meros reais positivos a, b
e c e um sistema ortogonal de coordenadas em relac¸a˜o ao qual Ω pode ser descrita pela equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 (3.3)
chamada equac¸a˜o reduzida de Ω (ao longo do eixo Oz). Indica-se
Ω :
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1.
Vamos agora examinar as intersec¸o˜es do hiperbolo´ide de uma folha com planos paralelos aos planos
coordenados.
Seja pi um plano paralelo ao plano Oxy, pi : z = k.
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 + k
2
c2
z = k
.
Dividindo a primeira equac¸a˜o do sistema por p = 1 + k
2
c2
, obtemos
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
x2
pa2
+ y
2
pb2
= 1
z = k
.
Assim,
• Se a = b, Ω ∩ pi e´ a circunfereˆncia contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e raio a√p;
• Se a > b, Ω ∩ pi e´ a elipse contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e eixo maior paralelo a Ox;
• Se a < b, Ω ∩ pi e´ a elipse contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e eixo maior paralelo a Oy.
Seja agora pi um plano paralelo ao plano Oxz, pi : y = k.
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
x2
a2
− z2
c2
= 1− k2
b2
y = k
.
Temos enta˜o treˆs possibilidades:
30
• k2 = b2: Neste caso, k = ±b e a primeira equac¸a˜o do sistema fica (xa − zc )(xa + zc ) = 0. Logo Ω ∩ pi e´ a
reunia˜o de duas retas concorrentes
r :
{
x = ac z
y = k
e s :
{
x = −ac z
y = k
ou seja,
r :

x = acλ
y = k
z = λ
e s :

x = −ac λ
y = k
z = λ
.
• k2 6= b2: Neste caso, podemos dividir a primeira equac¸a˜o do sistema por p = 1− k2
b2
e, assim, obtemos
que
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
x2
pa2
− z2
pc2
= 1
y = k
.
Logo,
- Se k2 > b2, isto e´, k < −b ou k > b, enta˜o p < 0. Da´ı, Ω ∩ pi e´ a hipe´rbole contida em pi : y = k, de
centro (0, k, 0) e eixo transverso paralelo a Oz;
- Se k2 < b2, isto e´, −b < k < b, enta˜o p > 0. Da´ı, Ω ∩ pi e´ a hipe´rbole contida em pi : y = k, de centro
(0, k, 0) e eixo transverso paralelo a Ox.
Se tomarmos planos paralelos ao plano Oyz (pi : x = k) chegaremos a concluso˜es semelhantes a`s que
obtivemos tomando planos paralelos ao plano Oxz. Observe ainda que a intersec¸a˜o de Ω com o eixo Oz e´
vazia. Podemos assim esboc¸ar o hiperbolo´ide de uma folha x
2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 1.
Se a = b o hiperbolo´ide de uma folha x
2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 1 e´ chamado hiperbolo´ide de uma folha de rotac¸a˜o
(ou de revoluc¸a˜o).
Fazendo algumas mudanc¸as no sistema de coordenadas, obtemos outras duas formas de equac¸a˜o do
hiperbolo´ide de uma folha:
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1 e − x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
(ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente).
Exemplo 3.3.2. Considere o hiperbolo´ide de uma folha H : x2 − y24 + z
2
4 = 1.
(a) Determine a intersec¸a˜o de H com o plano pi : x = 0 (ou seja, com o plano Oyz).
(b) Esboce H.
31
3.4 Hiperbolo´ide de duas folhas
Definic¸a˜o 3.4.1. Uma qua´drica Ω e´ um hiperbolo´ide de duas folhas se existem nu´meros reais positivos a, b
e c e um sistema ortogonal de coordenadas em relac¸a˜o ao qual Ω pode ser descrita pela equac¸a˜o
−x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 (3.4)
chamada equac¸a˜o reduzida de Ω (ao longo do eixo Oy). Indica-se
Ω : −x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1.
De modo ana´logo ao que fizemosantes, e´ poss´ıvel verificar que as intersec¸o˜es de Ω com planos paralelos
a Oxy ou a Oyz resultam em hipe´rboles; e que a intersec¸a˜o de Ω com planos paralelos a Oxz resultam em
elipses, circunfereˆncias, um ponto, ou no conjunto vazio. (Verifique!) Destacamos que
Ω ∩Ox = ∅, Ω ∩Oz = ∅ e Ω ∩Oy = {(0,−b, 0), (0, b, 0)}.
Se a = c o hiperbolo´ide de duas folhas −x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 1 e´ chamado hiperbolo´ide de duas folhas de
rotac¸a˜o (ou de revoluc¸a˜o).
Fazendo algumas mudanc¸as no sistema de coordenadas, obtemos outras duas formas de equac¸a˜o do
hiperbolo´ide de duas folhas:
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1 e − x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
(ao longo dos eixos Ox e Oz, respectivamente).
Exemplo 3.4.2. Considere o hiperbolo´ide de duas folhas H : −x2 − y2 + z2 = 1.
(a) Determine a intersec¸a˜o de H com o plano pi : z =
√
10.
(b) Esboce H.
3.5 Parabolo´ides el´ıptico e de revoluc¸a˜o
Definic¸a˜o 3.5.1. Se existem nu´meros reais positivos a e b e um sistema ortogonal de coordenadas em
relac¸a˜o ao qual uma qua´drica Ω seja descrita pela equac¸a˜o
z =
x2
a2
+
y2
b2
(3.5)
enta˜o:
32
(a) Se a 6= b, Ω e´ um parabolo´ide el´ıptico;
(b) Se a = b, Ω e´ um parabolo´ide de rotac¸a˜o (ou de revoluc¸a˜o).
Em qualquer um dos casos, (3.5) e´ chamada equac¸a˜o reduzida do parabolo´ide. Indica-se
Ω : z =
x2
a2
+
y2
b2
.
Seja pi : x = k um plano paralelo ao plano Oyz. Enta˜o
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
z = x
2
a2
+ y
2
b2
x = k
⇔
{
z − k2
a2
= y
2
b2
x = k
⇔
 z −
k2
a2
= 1
4
(
b2
4
)y2
x = k
.
Logo Ω ∩ pi e´ uma para´bola no plano pi : x = k, com ve´rtice em (k, 0, k2
a2
) e eixo paralelo a Oz.
Se tomarmos planos paralelos a Oxz, chegaremos a uma conclusa˜o semelhante.
Se pi : z = k e´ um plano paralelo a Oxy, enta˜o
X = (x, y, z) ∈ Ω ∩ pi ⇔
{
x2
a2
+ y
2
b2
= k
z = k
.
Assim:
• Se k = 0, Ω ∩ pi = {(0, 0, 0)}.
• Se k < 0, Ω ∩ pi = ∅.
• Se k > 0, temos:
- Se a < b, Ω ∩ pi e´ uma elipse contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e eixo maior paralelo a Oy;
- Se a > b, Ω ∩ pi e´ uma elipse contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e eixo maior paralelo a Ox;
- Se a = b, Ω ∩ pi e´ a circunfereˆncia contida em pi : z = k, de centro (0, 0, k) e raio a√k.
Podemos assim esboc¸ar o parabolo´ide el´ıptico ou de rotac¸a˜o Ω : z = x
2
a2
+ y
2
b2
.
Fazendo algumas mudanc¸as no sistema de coordenadas, obtemos outras formas de equac¸a˜o do parabolo´ide
el´ıptico ou do de rotac¸a˜o:
z = −x
2
a2
− y
2
b2
x =
y2
a2
+
z2
b2
y =
x2
a2
+
z2
b2
x = −y
2
a2
− z
2
b2
y = −x
2
a2
− z
2
b2
Exemplo 3.5.2. Considere o parabolo´ide el´ıptico Ω : x = y
2
1
4
+ z2.
(a) Determine a intersec¸a˜o de Ω com o plano pi : x = 4.
(b) Esboce Ω.
33
3.6 Parabolo´ides hiperbo´lico
Definic¸a˜o 3.6.1. Uma qua´drica Ω e´ um parabolo´ide hiperbo´lico se existem nu´meros reais positivos a e b e
um sistema ortogonal de coordenadas em relac¸a˜o ao qual Ω pode ser descrita pela equac¸a˜o
z = −x
2
a2
+
y2
b2
, (3.6)
chamada equac¸a˜o reduzida de Ω. Indica-se
Ω : z = −x
2
a2
+
y2
b2
.
De modo ana´logo ao que fizemos para as demais qua´dricas, e´ poss´ıvel verificar que a intersec¸a˜o de Ω com
o plano Oxy trata-se de duas retas concorrentes na origem; com os demais planos paralelos a Oxy, pi : z = k,
resulta em uma hipe´rbole (com eixo transverso paralelo a Oy, se k > 0, e paralelo a Ox, se k < 0). Ja´ as
intersec¸o˜es com planos paralelos a Oxz ou a Oyz resultam em para´bolas com concavidade para baixo e para
cima, respectivamente. (Verifique!) Podemos enta˜o esboc¸ar o parabolo´ide hiperbo´lico Ω : z = −x2
a2
+ y
2
b2
.
Pelo seu aspecto, o parabolo´ide hiperbo´lico tambe´m e´ chamado de sela.
Fazendo algumas mudanc¸as no sistema de coordenadas, obtemos outras formas de equac¸a˜o do parabolo´ide
hiperbo´lico:
z =
x2
a2
− y
2
b2
x =
y2
a2
− z
2
b2
y =
x2
a2
− z
2
b2
x = −y
2
a2
+
z2
b2
y = −x
2
a2
+
z2
b2
Exemplo 3.6.2. Considere o parabolo´ide hiperbo´lico Ω : z = −x2 + y2.
(a) Determine sua intersec¸a˜o com os planos pi1 : y = 2, pi2 : y = −2 e pi3 : x = 0.
(b) Esboce Ω.
3.7 Qua´drica coˆnica
Definic¸a˜o 3.7.1. Uma qua´drica Ω e´ uma qua´drica coˆnica se existem nu´meros reais positivos a e b e um
sistema ortogonal de coordenadas em relac¸a˜o ao qual Ω pode ser descrita pela equac¸a˜o
z2 =
x2
a2
+
y2
b2
, (3.7)
chamada equac¸a˜o reduzida de Ω (ao longo do eixo Oz). Se a = b, Ω e´ uma qua´drica coˆnica de rotac¸a˜o e se
a 6= b, uma qua´drica coˆnica el´ıptica. Indica-se
Ω : z2 =
x2
a2
+
y2
b2
.
34
Fazendo intersec¸o˜es de Ω com planos paralelos a Oxy, pi : z = k, e´ fa´cil ver que obtemos elipses, se
a 6= b, ou circunfereˆncias, se a = b, exceto no caso em que pi e´ o pro´prio Oxy; neste caso, a intersec¸a˜o
resulta no ponto (0, 0, 0), isto e´, a origem. Ja´ as intersec¸o˜es com planos paralelos a Oxz ou a Oyz reultam
em hipe´rboloes, exceto no caso em que os planos sa˜o os pro´prios Oxz e Oyz; em cada um desses casos, a
intersec¸a˜o resulta em duas retas concorrentes na origem. Podemos enta˜o esboc¸ar a qua´drica Ω : z2 = x
2
a2
+ y
2
b2
.
Fazendo algumas mudanc¸as no sistema de coordenadas, obtemos outras formas de equac¸a˜o da qua´drica
coˆnica:
y2 =
x2
a2
+
z2
b2
e x2 =
y2
a2
+
z2
b2
(ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente.)
Exemplo 3.7.2. Determine a intersec¸a˜o da qua´drica coˆnica Ω : y2 = x
2
1
9
+ z
2
4
9
com o plano Oyz. Esboce Ω.
3.8 Qua´drica cil´ındrica
Definic¸a˜o 3.8.1. Uma qua´drica Ω e´ uma qua´drica cil´ındrica el´ıptica, ou qua´drica cil´ındrica hiperbo´lica
ou qua´drica cil´ındrica parabo´lica se existem nu´meros reais positivos a, b e c e um sistema ortogonal de
coordenadas em relac¸a˜o ao qual Ω pode ser descrita, respectivamente, pela equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (a 6= b), x
2
a2
− y
2
b2
= 1, y2 = cx. (3.8)
Ω e´ chamada qua´drica cil´ındrica de rotac¸a˜o se existir um nu´mero real positivo a e um sistema ortogonal de
coordenadas em relac¸a˜o ao qual Ω pode ser descrita pela equac¸a˜o
x2 + y2 = a2. (3.9)
Cada uma dessas equac¸o˜es e´ chamada equac¸a˜o reduzida da qua´drica cil´ındrica correspondente.
Para esboc¸ar as qua´drica c´ıl´ındricas, utilizaremos a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 3.8.2. Se Ω e´ um conjunto na˜o vazio de pontos do espac¸o descrito por uma equac¸a˜o da forma
g(x, y) = 0 (da qual esta´ ausente a varia´vel z) e Γ e´ o conjunto dos pontos do plano Oxy que satisfazem a
mesma equac¸a˜o, enta˜o Ω e´ a unia˜o das retas paralelas a Oz que interceptam Oxy nos pontos de Γ. Cada
uma dessas retas e´ chamada geratriz de Γ. Resultado ana´logo vale para equac¸o˜es da forma g(x, z) = 0 ou
g(y, z) = 0.
Segue da proposic¸a˜o acima que, para fazer um esboc¸o das qua´dricas cil´ındricas, basta desenhar no plano
Oxy a curva que, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas (O, (
−→
i ,
−→
j )) do plano Oxy, e´ descrita pela mesma
equac¸a˜o e trac¸ar retas paralelas a Oz por pontos da curva.
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Exemplo 3.8.3. Esboce a qua´drica cil´ındrica parabo´lica Ω : x2 = 2y.
3.9 Translac¸a˜o de eixos
Ate´ o momento, trabalhamos com qua´dricas de centro ou ve´rtice na origem do sistema ortogonal de
coordenadas (O,B), B = (−→i ,−→j ,−→k ). Consideremos, agora, um novo sistema ortogonal de coordenadas
(O′,B), mantendo a base, ou seja, mantendo as direc¸o˜es dos eixos coordenados. Suponhamos que O′ =
(x0, y0, z0) com relac¸a˜o ao sistema de coordenadas (O,B). Se P e´ um ponto qualquer, (x, y, z) sa˜o suas
coordenadas no sistema (O,B)e (u, v, w) sa˜o suas coordenadas no sistema (O′,B), enta˜o temos
u = x− x0
v = y − y0
w = z − z0,
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chamadas equac¸o˜es de translac¸a˜o de eixos.
Usando as equac¸o˜es de translac¸a˜o de eixos, podemos escrever as equac¸o˜es das qua´dricas transladadas em
relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas (O,B). Temos, assim:
• Elipso´ide de centro O′:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
+
(z − z0)2
c2
= 1
• Superf´ıcie esfe´rica de centro O′ e raio r:
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2
• Hiperbolo´ide de uma folha de centro O′:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
− (z − z0)
2
c2
= 1
• Hiperbolo´ide de duas folhas de centro O′:
−(x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
− (z − z0)
2
c2
= 1
• Parabolo´ide el´ıptico ou de rotac¸a˜o de ve´rtice O′:
z − z0 = (x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
• Parabolo´ide hiperbo´lico de centro O′:
z − z0 = −(x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
• Qua´drica coˆnica de ve´rtice O′:
(z − z0)2 = −(x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
• Qua´drica cil´ındrica el´ıptica de centro O′:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1 (a 6= b)
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• Qua´drica cil´ındrica hiperbo´lica de centro O′:
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1
• Qua´drica cil´ındrica parabo´lica de centro O′:
(y − y0)2 = c(x− x0)
• Qua´drica cil´ındrica de rotac¸a˜o de centro O′:
(x− x0)2 + (y − y0)2 = a2
Exemplo 3.9.1. Identifique e esboce a qua´drica dada pela equac¸a˜o x2 + y2 + z2 + 6x− 4y − 12 = 0.
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