3ª prova de Cálculo II - 2017/1

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② +86/1/20+ ②
As pro´ximas duas questo˜es versam sobre o valor ma´ximo da func¸a˜o f(x, y, z) = x+ y + z restrita
a` esfera x2 + y2 + z2 = 25.
Question 1 (10 pontos) O valor ma´ximo de f sujeita a` restric¸a˜o elencada e´
A 2 +
√
3
B 1/4
C 1/2
D 5
√
3
E
√
5
F 4
Question 2 (10 pontos) O nu´mero de pontos na esfera em que o ma´ximo e´ atingido e´
A nenhuma das outras res-
postas
B 4
C 2
D 1
E 8
Question 3 (10 pontos) Os nu´meros de pontos de ma´ximos locais, mı´nimos locais, e pontos de
sela de f(x, y) = x4 + y3 + 32x− 9y − 3 sa˜o, RESPECTIVAMENTE:
A 0, 1 e 1
B 1, 2 e 0
C 1, 0 e 1
D 1, 1 e 1
E 2, 1 e 1
F 0, 1 e 2
Question 4 (10 pontos)
A figura acima exibe o gradiente de uma func¸a˜o diferencia´vel f em um ponto P e um vetor unita´rio
~u. E´ correto afirmar que a derivada de f na direc¸a˜o de ~u e´ APROXIMADAMENTE:
A 1
B −2
C −1
D 3
E −3
F 2
G 0
② ②
② +86/2/19+ ②
Question 5 (10 pontos)
A temperatura em um ponto de um bola de metal e´ inversamente proporcional a sua distaˆncia ao
centro da bola. E´ sabido que, em um sistema de coordenadas com a origem no centro da bola, no
ponto (2, 1,−2) a temperatura e´ T = 5
√
11. Calcule a derivada da temperatura T (x, y, z) no ponto
(3, 1,−1), na direc¸a˜o do ponto (1, 1, 2).
A −3
B 20
√
3
3
C 10
D 40
3
√
11
E 135
11
√
13
F −5
2
Question 6 (10 pontos)
Os ma´ximos e mı´nimos globais de f(x, y) = x3 + 3xy − y3 restrita a` regia˜o triangular A delimitada
pelos ve´rtices (1, 2), (1,−2) e (−1,−2), sa˜o, RESPECTIVAMENTE:
A 14 e 0
B 12 e −∞ (na˜o existe ponto
de mı´nimo)
C ∞ (na˜o existe ponto de
ma´ximo) e −3
D 9 e −
√
2
E 2
√
3 e −3
F 5 e −2
G 13 e −1
Question 7 (10 pontos)
Suponha que no ponto (1, 3) uma func¸a˜o diferencia´vel f tem derivada igual a 1 na direc¸a˜o do ponto
(1, 6) e igual a 4√
2
na direc¸a˜o do ponto (3, 5). Podemos afirmar que o vetor gradiente de f em (1, 3) e´:
A 2√
2
~i+ 1√
2
~j
B ~i+ 3~j
C 3√
2
~i− 4√
2
~j
D 8~i+ 3~j
E (
√
2 + 1)~i− (
√
2 + 1)~j
F
√
3~i− 2
√
3~j
② ②