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Aula 05 
 
Modelo de Bohr e 
Átomo de Hidrogênio 
 
 
 
 
 
 
Correção para a massa nuclear finita 
Nos cálculos anteriores, supusemos que a massa do núcleo fosse infinitamente 
grande comparada à do elétron, de forma que o núcleo permanecesse fixo no espaço. 
Por isto, vamos representar a cte de Rydberg por . 
 
No entanto, a massa do núcleo é finita. Neste caso, o elétron e o núcleo se movem 
em torno de seu centro de massa comum. A energia cinética total é 
O elétron se move em relação ao núcleo como se o núcleo 
estivesse fixo e massa do elétron fosse ligeiramente 
reduzida a μ, a massa reduzida do sistema, 
 
 
 
E o momento angular orbital total do átomo (núcleo + 
elétron) fica 
Correção para a massa nuclear finita 
Em termos da massa reduzida, a fórmula para os números de onda das linhas 
espectrais se torna 
 
 
Onde RM é a constante de Rydberg para o núcleo, 
 
 
A correção para a massa nuclear finita está de acordo com os dados 
experimentais com precisão de 3 partes em 100000. 
 
Em 1931, aplicando a correção para a massa às linhas da série de Balmer, Urey 
descobriu um hidrogênio com massa 2x maior. A forma pesada do 
hidrogênio é conhecido como deutério. 
 
Átomos com mesmo Z e massas diferentes são chamados isótopos. 
 
Princípio de correspondência 
Se os níveis de energia estão muito próximos, a quantização não é importante e os 
cálculos clássicos e quânticos devem conduzir aos mesmos resultados. 
• As previsões da teoria quântica para o comportamento de um sistema físico deve 
corresponder às previsões da física clássica no limite de grandes números 
quânticos. 
 
Vamos comparar a freq. de transição entre n e (n-1), p/ n>>1, com a freq. clássica: 
A freq. clássica de revolução do elétron é 
 
 
 
Lembrando que e 
 
 
 
 
O princípio da correspondência garante que as leis quânticas convergem para 
as clássicas, quando os sistemas aumentam de tamanho. 
 
Isto explica o fato de não observarmos efeitos quânticos no dia-a-dia. 
Princípio de correspondência 
Aplicação do Modelo 
 
 
O modelo de Bohr não permitia obter os níveis de energia p/ átomos com mais 
de um elétron. 
 
No entanto, os experimentos de Moseley (1913) e Franck-Hertz (1914), 
confirmaram o modelo de Bohr-Rutherford, como um núcleo positivo 
cercado por elétrons se movendo em órbitas quantizadas. 
Espectros de Raios X 
• Moseley mediu os espectros característicos de raios X de 40 
elementos. 
 
• Diferentemente do caso ótico, as posições das linhas nos 
espectros de raios X variavam de forma regular de elemento p/ 
elemento. → As linhas deviam estar associadas a transições de 
elétrons situados nas órbitas mais próximas do núcleo. 
 
• Estes elétrons estão isolados de interferências externas e não 
sofrem efeitos das forças interatômicas responsáveis pelas 
ligações químicas em sólidos e líquidos. 
 
 
Se o elétron incidente em um tubo de raios X arranca 
elétrons da órbita mais interna, são emitidos fótons 
correspondentes às transições de elétrons de outras 
órbitas p/ preencher a lacuna deixada na órbita n=1. 
E assim sucessivamente. 
 
camada K: n=1 (série K – linhas associadas a transições p/ n=1) 
camada L : n=2 (série L – linhas associadas a transições p/ n=2) 
 
P/ n=1, substituindo Z por (Z-1) 
 
 
O fato da freq. depender de (Z-1)2 e não de Z2 é explicado pela blindagem parcial da 
carga do núcleo pelo elétron que permanece na camada K quando a parte central 
do átomo é vista pelos elétrons da camada L. 
Espectros de Raios X 
Experimento de Franck-Hertz 
Estudando o espalhamento inelástico de elétrons, Franck e Hertz, confirmaram 
através de observações diretas a hipótese de Bohr de que os níveis de 
energia são quantizados. 
O experimento consiste em medir a corrente da placa P em função de V0. 
O tubo contém um 
gás do elemento a ser 
estudado – mercúrio. 
Quando V0 aumenta, a corrente aumenta até um 
valor crítico. P/ tensões maiores, a corrente 
começa a diminuir. Mas se a tensão aumenta ainda 
mais, a corrente volta a aumentar. 
 
Vamos considerar o tubo preenchido por 
hidrogênio. 
 
Os elétrons acelerados pelo potencial que colidem 
com os elétrons do átomos de hidrogênio não 
podem transferir energia para esses elétrons a 
menos que tenham energia igual a diferença entre 
as duas órbitas. → não podem ocupar estados 
intermediários (quantizada!) 
Experimento de Franck-Hertz 
Quando V0 aumenta, a corrente aumenta até um 
valor crítico. P/ tensões maiores, a corrente 
começa a diminuir. Mas se a tensão aumenta ainda 
mais, a corrente volta a aumentar. 
 
Vamos considerar o tubo preenchido por 
hidrogênio. 
 
Os elétrons acelerados pelo potencial que colidem 
com os elétrons do átomos de hidrogênio não 
podem transferir energia para esses elétrons a 
menos que tenham energia igual a diferença entre 
as duas órbitas. → não podem ocupar estados 
intermediários (quantizada!) 
Experimento de Franck-Hertz 
Qualquer colisão entre o elétron incidente com energia menor que 10,2 eV e 
um elétron do átomo de hidrogênio deve ser elástica e a energia do elétron 
incidente continua a mesma após a colisão. Assim, o elétron consegue 
vencer o potencial e contribuir p/ a corrente. 
 
Se eV0 ≥ 10,2 eV, o elétron incidente consegue transferir energia (10,2 eV), 
excitando o elétron do hidrogênio. O elétron incidente sofre redução de 
energia através da colisão inelástica e não contribuem p/ a corrente, que 
sofre redução. 
Experimento de Franck-Hertz 
Mercúrio – 80 elétrons, potencial crítico = 4,9eV. 
O primeiro estado excitado está a 4,9 eV acima do estado fundamental. 
 
Os átomos de Hg que foram excitados p/ o nível de energia 4,9 eV acima do 
estado fundamental, voltarão a esse estado emitindo um fóton de 
 
 
 
Existe realmente uma linha com esse comprimento de onda no espectro de Hg. 
P/ valores maiores que 4,9 eV outras transição podem ocorrer e novas 
quedas da corrente aparecem (excitações e excitações múltiplas). 
 
O experimento foi importante confirmação da idéia de que as linhas discretas 
do espectro de emissão dos átomos estão associadas à existência de níves 
de energia quantizados. 
Experimento de Franck-Hertz 
Experimento de Franck-Hertz 
Pode-se medir a energia fornecida a um 
átomo de Hg de forma a fazer com que 
um elétron vá do estado fundamental a 
um estado de energia nula. 
 
Acima do estado de maior energia 
discreta, em E > 0, estão os estados de 
energia do sistema constituído de um 
elétron não ligado (elétron livre) e um 
átomo de Hg ionizado. 
 
A energia total de um elétron não ligado 
não é quantizada, portanto, o elétron pode 
ter qualquer energia E > 0, e os estados de 
energia formam um contínuo 
n → ∞, En → 0 
(o elétron se libera!) 
 
O elétron 
está preso 
ao núcleo! 
Uma crítica à antiga Teoria Quântica 
• A teoria nos diz como calcular as energias dos estados possíveis e a 
frequência dos fótons emitidos, mas não nos diz como calcular a taxa com 
que essas transições ocorrem. Como calcular a intensidade das linhas 
espectrais? Quais as transições que observamos ocorrem e quais não? 
 
• Bem sucedida para átomos de 1 elétron. Átomos alcalinos podem ser 
tratados de forma aproximada pois em muitos aspectos similares a um 
átomo de 1 elétron. 
 
• Toda a teoria parece de alguma forma não ter coerência! 
 
Compacto dos melhores momentos 
1. Modelo de Thomson: pudimde passas → Os espectros observados não 
concordam com as previsões de Thomson. 
 
2. Modelo de Rutherford: espalhamento das partículas α – Átomo nuclear! → 
Espectros atômicos não concordam com as previsões sobre estabilidade nuclear. 
 
3. Modelo de Bohr: elétron se move em órbitas circular em torno do núcleo, 
somente algumas órbitas são permitidas - o momento angular é quantizado, 
 
 
um elétron só emite radiação quando sofre uma transição de estado p/ outro, 
a energia dos elétrons é quantizada, 
 
 
 
Revisão sobre Ondas 
Definição 
• Onda é uma perturbação contínua ou transitória 
que se propaga com transporte de energia. 
 
 
 
 
• Oscilações correspondem a vibrações localizadas (sai e retorna a posição de 
equilíbrio). 
Tipos de ondas 
• Ondas mecânicas: governadas pelas leis de Newton e existem na 
presença de um meio material, como água, ar, rocha. Ex: ondas de 
água, sonoras, sísmicas, ... 
 
• Ondas eletromagnéticas: não requerem meio material p/ suas 
existências. Ex: luz visível, ultravioleta, ondas de rádio, microondas, ... 
 
• Ondas de matéria: associadas a elétrons, prótons, partículas 
elementares, ... 
 
Ondas transversais e Longitudinais 
Transversais: deslocamento de cada 
elemento oscilante é perpendicular à 
direção de propagação. 
 
 
 
Longitudinais: deslocamento paralelo à 
direção de propagação 
Descrição da onda