Princípio da Incerteza de Heisenberg

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Princípio de Incerteza 
Aula 9 
Incerteza 
• Na física clássica as leis básicas são determinísticas e a análise 
estatística é apenas artifício prático para tratar sistemas complicados. 
• Conhecidas as forças atuantes num sistema, conseguimos encontrar a 
posição e o momento precisos da partícula. 
• Tudo que precisamos é da posição e do momento num certo instante t 
= 0 e assim o movimento futuro fica determinado de forma exata. 
 
 
 Podemos determinar precisamente a posição e o momento de um 
partícula microscópica, por exemplo, o elétron? 
Heisenber e Bohr questionaram essa hipótese. 
Relações de Incerteza Clássicas 
Se a extensão no espaço é pequena, a faixa de números de onda necessários 
para completa descrição da onda é grande. 
Isto implica que o produto delas deve ser limitado e não pode ter qualquer valor. 
Suponha 
 
Da mesma forma, se a duração do pulso é pequena, o pacote deve ocupar um 
grande intervalo de frequências, 
 
Isto não significa o valor, apenas a ordem de grandeza. O valor exato depende da 
forma como os intervalos são definidos e da forma do pacote. 
 
 
Relações de Incerteza Clássicas 
→ 
O Princípio da Incerteza 
Para ondas de matéria, a posição mais provável do elétron é o valor de x no qual 
 é máxima. Como é diferente para vários valores de x, existe 
uma indeterminação na posição do elétron. 
 
Se medirmos as posições de vários elétrons sob as mesmas condições, não 
encontraremos sempre os mesmos resultados. A função de distribuição dos 
resultados das medidas será . 
 
Se o pacote for estreito, a incerteza será pequena, no entanto, pacotes estreitos 
possuem muitos números de onda, ou seja, muitos valores de momento. 
 
Assim, para ondas de matéria , e as relações de incerteza em ordem de 
grandeza são 
 e 
O produto das incertezas sobre o valor de uma coordenada e sobre o momento 
associado a ela não pode ser inferior, em ordem de grandeza a , 
 
 
 
 
E a energia de um sistema que tenha vida média , não pode ser determinada 
com incerteza inferior a , tal que 
O Princípio da Incerteza 
O Princípio da Incerteza 
Vamos considerar a função de onda resultante da combinação de ondas de 
frequências e comprimentos de ondas diferentes 
 
 
 
Pela transformada de Fourier, chegamos ao seguinte resultado 
 
 e 
O Princípio da Incerteza de Heisenberg 
Uma experiência não pode determinar 
simultaneamente o valor exato de uma 
componente do momento de uma partícula e 
também o valor exato da coordenada 
correspondente. 
 
A precisão da medida está inerentemente 
limitada pelo processo de medida em si. 
Se conhecermos p exatamente, nada saberemos sobre x. 
O princípio da incerteza de Heisenberg tem duas parte: 
1. Relacionada à medida simultânea da posição e momento. 
 
A restrição não é em relação à precisão de 
o ou x, e sim ao produto numa medida 
simultânea de ambos. 
O Princípio da Incerteza de Heisenberg 
2. Relacionada com a medida da energia E e do tempo t necessário à medida 
Medidas física envolvem necessariamente uma interação entre o observador e 
o observável. Matéria e radiação são os entes disponíveis para as medidas e 
combinando as relações de de Broglie, chegamos na incerteza de Heisenberg. 
 
O Princípio da Incerteza de Heisenberg é uma consequência necessária da 
dualidade onda-partícula. É a base para a afirmação de Heisenberg e Bohr de 
que a probabilidade é fundamental para a física quântica. 
Vamos considerar um experimento (imaginário!) no qual tentamos observar o 
elétron. 
 
Microscópio de Heisenberg/Bohr 
• O fato de observarmos o elétron o 
perturba: no instante que iluminamos o 
elétron, ele recua, devido ao efeito 
Compton, de uma forma que não pode 
ser completamente determinada. 
• Mas se não iluminarmos, não o 
veremos (detectaremos). 
O princípio da incerteza diz respeito ao processo de medida em si, 
e expressa o fato de que sempre existe uma interação não 
determinável entre o observador e o que é observado. Não 
podemos fazer nada para evitar a interação ou para corrigir seus 
efeitos. 
Vamos considerar que poderemos ver o elétron usando uma fonte muito fraca, se 
apenas 1 fóton espalhado por ele atingir a lente do microscópio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Microscópio de Heisenberg/Bohr 
Este fóton pode ser espalhado em 
qualquer direção dentro da região 
angular subentendida pela lente. Por 
isto a interação não pode ser 
previamente calculada. 
P/ diminuir a incerteza podemos aumentar o comprimento de onda da luz. 
Se tomarmos a largura do máximo central da figura de difração, como sendo a 
incerteza em x, 
 
 
P/ diminuir podemos usar luz com comprimento de onda mais curto (ex: raios 
gama). 
 
 
 
Não podemos simultaneamente tornar e tão pequenos quanto queiramos. 
O procedimento que diminui um, aumenta o outro. 
 
A interação perturba a partícula de forma que não pode ser exatamente prevista ou 
controlada. As coordenadas e momento não podem ser completamente 
conhecidos após a medica. 
 
Microscópio de Heisenberg/Bohr 
Condorda ~ 
com o limite 
mínimo. 
Microscópio de Heisenberg/Bohr 
Se a física clássica fosse válida: poderíamos reduzir a iluminação usando 
comprimentos de onda pequenos e dar um momento ao elétron razoavelmente 
pequeno, para obter uma resolução perfeita. 
Não haveria limite mínimo simultâneo para a resolução e o momento transferido e 
não existiria incerteza. 
A constante de Planck é uma medida da 
menor perturbação não controlável que 
distingue a física quântica da física 
clássica. 
É o fato de h ser pequeno que tira o princípio da 
incerteza do alcance de nossas experiências cotidianas. 
Microscópio de Heisenberg/Bohr 
Vamos considerar agora uma partícula livre, um elétron movendo-se ao longo do 
eixo x com energia 
 
A incerteza em E é 
 
 
A incerteza na posição é 
 
 
Assim, 
O princípio da incerteza nos permite compreender a dualidade onda-partícula. 
 
Se tentarmos determinar experimentalmente se a radiação é onda ou partícula, 
veremos que um caráter suprime o outro. 
 
O princípio da incerteza nos impede de observar ao mesmo tempo os dois 
comportamentos. 
 
Devido a incerteza na posição e momento, podemos apenas prever o 
comportamento provável das partículas, o que torna claro que a mecânica 
quântica deve ser necessariamente expressa em termos de probabilidades. 
Consequências 
Interpretação de Copenhagem 
• Interpretação atual da mecânica quântica, feita por Bohr. 
 
• Einstein foi o principal crítico, inventando desafios imaginários. 
 
• Einstein se convenceu da consistência, mas não se convencia de que ela 
representava a realidade. “Deus não joga dados com o universo”. 
 
• Heisenberg discutiu que não era apenas uma formulação estatística. “Na 
formulação da lei causal, se soubermos o presente exatamente, podemos 
prever o futuro, o que está errado não é a conclusão, mas sim a premissa. 
Nós não podemos, por uma questão de princípio, conhecer o presente em 
todos os seus detalhes.”