O Poço Quadrado Infinito e suas Propriedades

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A equação de Schroedinger II 
Aula 11 
O poço quadrado infinito 
Para ilustrar várias propriedades das funções de onda, vamos estudar a o poço 
quadrado infinito, ou uma partícula em uma caixa. Para isto vamos construir a 
caixa usando eletrodos e grades em um tubo evacuado. 
 
 
 
 
 
 
 
P/ tornar as paredes mais altas e mais 
íngremes, basta aumentar o potencial V e 
diminuir a distância entre os eletrodos C e 
as grades G. 
Como a energia potencial é infinita fora do poço, a função de onda é 
necessariamente nula nesta região, isto é, a partícula não pode deixar o poço. 
Devemos resolver a equação apenas para o interior do poço e a função de onda deve 
ser nula em x = 0 e x = L. Esta imposição chama-se condição de contorno. 
A equação de Schroedinger independente do tempo, p/ V(x) = 0 é 
 
 
 
Onde 
 
A equação possui solução da forma 
 
O poço quadrado infinito 
O poço quadrado infinito 
No limite, a energia potencial tem o aspecto 
Um problema assim é claramente artificial, mas serve para obter as soluções da 
equação de Schroedinger, está relacionado ao problema da corda vibrante, ilustra 
aspectos gerais dos problemas em quântica, serve como boa aproximação para 
situações reais, como o elétron livre no interior de um metal. 
Em x = L, 
 
 
Tal que 
 
 
Os níveis de energia quantizados são 
 
 
 
 
 
 
O poço quadrado infinito 
Para determinar o valor de A, vamos usar a condição de normalização 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
As funções ficam 
 
 
 
Exatamente iguais às ondas estacionarias de uma corda vibrante. 
 
O poço quadrado infinito 
O poço quadrado infinito 
Cada função está associada a um valor de 
energia específico. 
 
 
 
 são chamadas autofunções ou autoestados. 
 são chamadas autovalores de energia. 
 
O número n é chamado número quântico e 
especifica tanto a energia quanto a função 
de onda. 
 
E1 é denominado estado fundamental. 
 
 
As funções de onda e as densidades de probabilidades são mostradas abaixo 
rápida. 
O poço quadrado infinito 
A equação de Schroedinger completa envolve a parte temporal 
 
 
 
Usando 
 
 
Podemos escrever 
 
 
 
Exatamente o caso de onda estacionária numa corda vibrante. Esta função de onda 
estacionária pode ser considerada como superposição de duas ondas de mesma 
frequência e amplitude, se propagando em sentidos opostos. 
 
O poço quadrado infinito 
Um elétron viajando em um fio de metal é uma aproximação razoável para uma 
partícula em um poço quadrado infinito unidimensional. O potencial no interior do 
fio é constante mas aumenta bruscamente nas extremidades. Suponha que o fio 
tenha 1,0 cm de comprimento. Suponha que a posição do elétron possa ser medida 
enquanto o elétron se encontra no estado fundamental. 
(a) Calcule a energia do estado fundamental do elétron. 
(b) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região 0 < x < L/4 ? 
(c) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região com 
de largura e centro em x=5L/8? 
Exercício 
Vamos considerar agora o comportamento qualitativo da função de onda para uma 
função energia potencial mais geral, a do poço quadrado finito. 
As soluções são diferentes pois a partícula não está confinada e qualquer valor de 
energia é permitido, ou seja, não existe quantização da energia. 
Vamos supor que E < V0 . 
 
 
 
 
 
 
No interior do poço (II), V(x) = 0, e a equação de Schroedinger é 
 
 
O poço quadrado finito 
III I II 
Fora do poço (I) e (III), para 0 > x > L 
 
 
 
Sendo 
 
 
A solução é da forma 
 
 
A condição de contorno exige que e sejam contínuas nas paredes do 
poço. A função de onda também deve tender a zero nos extremos para garantir 
convergência (valor finito da área sob a curva), assim, . 
 
 
 
O poço quadrado finito 
O poço quadrado finito 
 Vamos estudar o comportamento da equação de Schroedinger independente do tempo. 
 
 
 
As propriedades dependem de V(x), pois ela que determina a força que atua no sistema. 
 
Representa a e energia potencial de um 
átomo que pode estar ligado a um átomo 
semelhante, formando uma molécula 
diatômica. 
O poço quadrado finito 
Precisamos encontrar um valor de E como algo que determine o valor de e 
preserve as propriedades de . 
O poço quadrado finito 
Vamos escolher um valor de energia tal que a molécula esteja ligada. 
• 
 
 
 
Não há solução da eq. de 
Schroedinger independente do 
tempo. 
 
• 
Há solução para a eq. de 
Schroedinger. 
 
Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial é tal que 
classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do espaço, pois 
senão a energia potencial excederia a energia total fora da região, então a teoria de 
Schroedinger prevê que a energia total é quantizada. 
 
Quando esta relação é tal que a partícula não estaria confinada em uma região limitada, 
então a teoria prevê que a energia total pode ter qualquer valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O poço quadrado finito 
Um poço de potencial unidimensional é um filme fino de uma substância condutora que 
limita o movimento dos elétrons na direção perpendicular à superfície, mas não 
restringe nas outras direções. 
 
Nos poços tridimensionais, chamados pontos quânticos, os movimentos são limitados 
nas 3 direções. 
 
Poços bidimensionais, ou fios quânticos, oferecem a possibilidade de aumentar a 
velocidade com que os elétrons se movem em uma direção, aumentando a 
velocidade de transmissão de dados. 
 
Poços são usados nos lasers semicondutores (CD, DVD, leitor de código de barra). 
 
Os pontos quânticos poderão ser usados como memórias de computador e em 
computadores quânticos, que seriam mais velozes. 
 
Poços Quânticos 
O oscilador harmônico simples 
Seja uma partícula sujeita ao potencial do oscilador harmônico simples (vibração de 
moléculas em gases e sólidos) 
 
 
Na mecânica clássica, a partícula está confinada na região entre os pontos de retorno. 
As soluções permitidas da equação de Schroedinger 
 
 
Hn são polinômios de Hermite. 
O oscilador harmônico simples 
As funções de onda para n = 0, 1 e 2 são 
 
 
 
 
 
 
 
 As funções de onda são simétricas p/ 
valores pares de n e antissimétricas p/ 
valores ímpares de n. 
O oscilador harmônico simples 
Estas funções de onda apresentam a propriedade 
 
 
 
A menos que n = m ± 1. O que implica numa condição para que as transições entre os 
estados sejam permitidas. Esta condição é chamada regra de seleção, que 
estabelece que em uma radiação emitida ou absorvida por um oscilador 
harmônico simples: 
 
A diferença entre os números quânticos do estado final e inicial deve ser igual a + 1 
ou -1. 
 
 
 
 
 
O oscilador harmônico simples