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A equação de Schroedinger IV 
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Reflexão e Transmissão 
Vamos estudar agora estados não ligados, ou seja, estados para os quais E > V(x) 
quando x tende a ±∞. Funções de onda nesta situação não são normalizáveis, pois a 
probabilidade tende a ∞. 
 
Para solucionar isto, precisaríamos de um número infinito de ondas planas em um 
pacote de ondas de largura finita que seja normalizável. Ou podemos limitar a 
integral a dois limites arbitrários finitos a e b, o que faz a função normalizável. 
 
Funções de onda deste tipo são encontradas no espalhamento de feixes de partículas por 
potenciais, assim, normalizamos em termos da densidade de partículas do feixe. 
 
 
 
Mesmo neste caso, que a energia não é quantizada, a eq. de Schroedinger apresenta 
comportamento ondulatório. 
 
 
Reflexão e Transmissão 
Potencial Degrau 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos o que acontece com uma partícula que se move da esquerda para a direita e 
encontra o degrau. 
 
 
 
Reflexão e Transmissão 
Potencial Degrau 
 
Para E > V0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na região I, o primeiro termo representa o feixe original, um feixe de partículas se 
movendo para a direita. O segundo termo representa partículas se movendo para a 
esquerda. 
 
A mecânica quântica prevê que ao chegar em x = 0, a partícula tem uma possibilidade 
apreciável de ser refletida pelo degrau de volta para a região x < 0. 
• Região I 
 
 
 
• Região II 
Reflexão e Transmissão 
Potencial Degrau 
 
Como a onda incide no sentido crescente de x, o segundo termo na solução da região I 
indica que a onda é refletida em algum ponto com x grande, bem depois de x =0. Há 
então uma onda transmitida na região II e podemos fazer D = 0. 
Combinando as soluções podemos encontrar as constantes A, B e C, que podem ser 
usadas para calcular as amplitudes relativas da onda refletida e da onda transmitida. 
Também é possível definir os coeficientes de reflexão (R) e transmissão (T), como as 
intensidades relativas dos feixes refletido e transmitido: 
 
 
 
 
 
 
 
Reflexão e Transmissão 
Potencial Degrau 
 
R não é nulo para E > V0. Ao contrário do caso clássico, algumas partículas são 
refletidas pelo degrau do potencial mesmo que tenham energia suficiente para 
ultrapassá-lo (Análogo à reflexão de ondas na interface entre meios com índice de 
refração diferentes). 
R depende da diferença entre k1 e k2, mas não depende do sinal da diferença. O 
coeficiente seria o mesmo se as partículas estivessem se movendo de uma região de 
potencial maior para uma região de potencial menor. 
 
Como , o comprimento de onda muda quando as partículas passam pelo 
degrau. As partículas se movem mais lentamente na região II pois k2 < k1. 
 
 
 
 
Reflexão e Transmissão 
Potencial Degrau 
 
 
Para E < V0 
 
Classicamente, em x = 0, todas as partículas são refletidas, pois R = 1 e T = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reflexão e Transmissão 
Potencial Degrau 
 
 
 
 
Em concordância com o resultado clássico, todas as partículas são refletidas de volta 
para a região I, no entanto nem todas as partículas são refletidas no ponto x = 0. 
 
A função de onda não se anula para x > 0, mas a amplitude diminui exponencialmente. 
A onda penetra ligeiramente na região classicamente proibida (x > 0), mas em 
seguida é totalmente refletida. 
 
Esta situação é semelhante ao caso de reflexão interna total na ótica clássica. 
 
 
Reflexão e Transmissão 
Barreira de Potencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar uma partícula que se move da esquerda p/ direita, na região I. 
 
No caso clássico, se E > V0 a partícula continua a se mover da região I para II, 
com velocidade menor, e ao chegar na região III, recupera a velocidade inicial. 
Ela é totalmente transmitida. 
 
Se E < V0, a partícula não consegue penetrar a região II, mas é refletida na 
fronteira e passa a se mover da direita para esquerda. 
Reflexão e Transmissão 
Barreira de Potencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso quântico, quando E > V0 a partícula tem probabilidade de se refletida. 
Se E < V0 quando a partícula encontra a barreira de potencial: 
Reflexão e Transmissão 
Barreira de Potencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A amplitude da função de onda não cai 
bruscamente para zero na fronteira das 
regiões I e II, mas sofre um decaimento 
exponencial. 
 
A partir da fronteira das regiões II e III, 
a função de onda volta a apresentar 
comportamento senoidal, o que significa 
que existe uma probabilidade finita de 
que a partícula seja encontrada no outro 
lado da barreira. 
- Efeito túnel ou tunelamento. 
Reflexão e Transmissão 
Barreira de Potencial 
Probabilidade de que o tunelamento ocorra é expressa através do coeficiente de 
transmissão. 
 
 
 
 
 
Para 
Reflexão e Transmissão 
Barreira de Potencial – Análogo Clássico 
No primeiro prisma espera-se ter reflexão interna total da luz e não teríamos luz sendo 
transmitida. 
 
Colocando outro prisma próximo, o espaço vazio funciona como uma barreira de 
potencial, e a luz é transmitida através do segundo prisma. 
 
Este fenômeno é chamado reflexão interna total frustrada.