manual de analise de circuitos

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PROGRAMA TEMÁTICO 
 
 
CURSO: Licenciatura em Engenharia Informática 
 
 DISCIPLINA: Análise de Circuitos DISCIPLINA DE FORMAÇÃO 
 ANO: 
1º 
PESO: 3 GERAL 
 
BÁSICO-
ESPECÍFICA 
x 
 
 
 SEMESTRE: 2º CRÉDITOS: 6 BÁSICA ESPECÍFICA 
 
 
 
OBJECTIVOS GERAIS: 
No fim desta disciplina os estudantes devem ser capazes de: 
 Analisar os circuitos eléctricos lineares de corrente contínua e corrente alternada; 
 Analisar e calcular os circuitos trifásicos; 
 Analisar e calcular os processos transitórios nos circuitos eléctricos; 
 Analisar e calcular circuitos com quadrípolos. 
 
 
TEMAS 
HORAS 
TEOR. PRÁT. SEMIN. LAB. TOTAL 
1 Conceitos básicos 2 4 0 0 6 
2 Comportamento dos elementos dos circuitos 
eléctricos: Fontes de energia; Resistência, 
Capacitaria e Indutância 
4 6 0 0 10 
3 Análise de Circuitos lineares de corrente 
contínua 
8 10 0 4 22 
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4 Análise de Circuitos lineares de corrente 
alternada sinusoidal 
10 12 0 4 26 
5 Circuitos Acoplados e Transformadores 
monofásicos 
4 6 0 4 14 
6 Fenómenos transitórios 6 8 0 4 18 
TOTAL DE HORAS 34 46 0 16 96 
 
 
 
 
1. BIBLIOGRAFIA: 
 
1. Notas do docente 
2. Bartkowiak, Robert A. Circuitos eléctricos, Makron Books, 1994, São Paulo, Brasil. 
3. Edminister, Joseph A. Circuitos eléctricos (350 probl. resolvidos), 2ª edição, Macron, McGraw-
Hill, 1991, São Paulo, Brasil.—(Coleção Schaum). 
4. Edminister, Joseph A. Circuitos eléctricos (280 probl. resolvidos), 2ª edição, McGraw-Hill, 
1985, São Paulo, Brasil. 
5. Bessonov L. Electricidade aplicada para engenheiros, 1ª edição , Edições Lopes da Silva, 1975, 
Porto/Portugal. 
 
 
2. LECCIONAÇÃO: 
 
1 REGENTE: Prof. engº Afonso Lobo : alobo@uem.mz 
 →→ Aulas Teóricas e Teórico-Práticas 
1 ASSISTENTE Engº Gerson Zango 
 →→ AULAS PRÁTICAS E LABORATORIAIS 
 
 
3. AVALIAÇÃO: 
 
 3 TESTES 
 4 LABORATÓRIOS 
 4 TPCS: 
 
TPCSMÉDIAx10LABSxMÉDIA20TESTESMÉDIAx70Frequência ,,, 
 
 
DISCIPLINAS PRECEDENTES: DISCIPLINAS SUBSEQUENTES: 
 Física Electrónica Básica 
 
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AVALIAÇÃO SEMANA CAPÍTULOS 
 
TESTE 1 
 
5ª 
Conceitos básicos 
Resistência, capacitaria e indutância 
Análise de Circuitos Lineares de corrente contínua 
TESTE 2 
9ª 
Circuitos Lineares de corrente alternada sinusoidal 
TESTE 3 15ª Circuitos acoplados e Transformadores monofásicos 
Fenómenos transitórios 
LABS A PARTIR DA 8ª 
SEMANA 
TODOS CAPÍTULOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEMA 1- CONCEITOS BÁSICOS 
 
1. Definições: 
Newton : 
È a força produzida por uma aceleração de 1 m/s
2
 sobre uma massa de 1 kg, isto é: 
 
    






2s
m
axkgmNF
 
Joule: 
É o trabalho realizado por uma força de 1 N para deslocar uma massa de 1 kg numa distância de 1 
m, isto é: 
     mdxNFJW  
watt: 
É a energia transferida durante o intervalo de tempo de 1 s, isto é: 
   
 sdt
JdW
wp 
 
Carga Eléctrica
 
 
Existem 2 tipos de carga eléctrica carregada por partículas elementares chamadas de portadores 
de carga: positiva e negativa. Os portadores de carga positiva são protões e os de carga negativa, 
electrões. Todas as demais cargas são múltipos inteiram destas cargas elementares. Repelem-se 
se forem do mesmo sinal e atraem-se se forem de sinais contrarios. 
A unidade da carga é o Coulomb (C). 
A carga Transportada por um electrão(-e) e um protão (+e) é 1,602x10
-19
 C . 
Submúltiplos usuais do Coulomb:
 
Submúltiplo Símbolo Factor de Multiplicação 
Micro-Coulomb μC 10-6 
Nano-Coulomb ηC 10-9 
Pico-Coulomb pC 10
-12
 
 
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Lei de Coulomb 
 
A lei de Coulomb governa a força de interacção de duas cargas num determinado meio 
homogéneo. 
 
Força entre duas cargas no vácuo 
2
21
0 r
QQ
4
1
F 







 
Onde: 
Q1 e Q2→ são duas cargas puntiformes; 
r→ a distância entre as duas cargas; 
ε0→ Permissividade do vácuo que depende das unidades usadas para Q1 , Q2 , r e F. 
Se F[N]; r[ m]; Q1 [C] e Q2 [C], Então: ε0=8,85x10
-12
 [ C
2
/N.m
2
 ] 
Entretanto, se definir-se: 
04
1
k


 
Então: 
 2
21
r
QQ
kF 
onde 
 
k→ É uma constante de proporcionalidade que depende também das unidades usadas 
para Q1 , Q2 , r e F. 
 
Se F[N]; r[ m]; Q1 [C] e Q2 [C] k=9x10
9
[ N.m
2
/C
2
] 
 
Força entre duas cargas em meio diferente do vácuo: 
 
Para um meio diferente do vácuo as forças causadas pelas cargas induzidas no meio reduzem a 
força resultante entre as cargas livres mergulhadas no meio. A força resultante é dada por: 
 
2
21
r
QQ
4
1
F 







 
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Onde ε é a permissividade de qualquer meio circundante. Em geral, para um meio circundante 
arbitrário diferente do ar, ε>ε0. Para o ar, ε é apenas ligeiramente maior que ε0 e para a maioria 
dos propósitos é considerado igual a ε0 . Para os demais materiais, 
0r
 
Onde εr é uma constante adimensional, chamada de constante dieléctrica relativa ou capacidade 
indutiva específica do material entre as cargas. 
Diferença de Potencial (d.d.p.) V ou Tensão Eléctrica
 
 
A diferença de potencial entre dois pontos V, é a medida do trabalho necessário para transferir 
uma carga unitária de um ponto para o outro. A d.d.p. entre dois pontos é medida em [ Volts ]. O 
volt é a diferença de potencial entre dois pontos quando é necessário o trabalho de um Joule para 
a transferência de 1 Coulomb de um ponto para o outro. Portanto, 
 
  






C
J
1V1
 
Corrente i 
 
O material que contém electrões livres, capazes de se deslocarem de um átomo para o seguinte, é 
um condutor. Aplicando-se nele uma d.d.p., os electrões ganham energia cinética e se deslocam. 
 
Quando uma carga Q está sendo transferida de um ponto para o outro de um condutor, existe nele 
uma corrente eléctrica. Se a carga é transferida na razão constante de 1 C/s, a corrente constante 
existente é 1 Ampère. Portanto, 
  






s
C
1A1
 
 
Em geral, a corrente eléctrica instantânea i num condutor é dada por: 
   
 sdt
CdQ
Ai 
 
O sentido da corrente positivo é, por convenção, oposto àquele em que se deslocam os electrões. 
Sentido da Corrente
Movimento de Electrões
 
Figura Corrente eléctrica num condutor 
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Potência, p 
A potência eléctricap é por definição a taxa de transferência de energia em função de tempo. 
Num circuito eléctrico ela é dada pelo produto da tensão aplicada v pela corrente resultante i, isto 
é: 
     AixVvWp 
 
Por definição, a corrente positiva sai do terminal positivo da fonte, como mostrado na figura a 
seguir. Assim, quando p é positiva, a fonte transfere energia para o circuito e quando é negativa, 
recebe energia do circuito. 
i
v
 
Figura - Sentido da corrente 
Se a potência p é uma função periódica de tempo t, de Período T, a potência média é dada por : 

T
0
dtp
T
1
P
 
Energia , W 
Sendo a potência a taxa de transferência de energia em função de tempo, 

2
1
t
t
dtpW
dt
wd
p
 
Onde W é a energia transferida durante o intervalo de tempo considerado. 
Circuito e elementos de um circuito eléctrico 
Um circuito eléctrico é um caminho fechado por onde circula uma corrente eléctrica e o seu 
objectivo é fornecer energia eléctrica a um consumidor de energia eléctrica. A corrente eléctrica 
circula partindo da fonte, passando pelos elos de ligação que ligam a fonte ao consumidor 
retornando finalmente à fonte. Qualquer circuito eléctrico é composto de elementos activos e 
passivos. 
 
 
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Elementos activos ou fontes de energia 
Os elementos activos são aqueles que podem fornecer energia eléctrica ao circuito. 
Fontes de energia independentes
Bateria ou Pilha
Gerador de
tensão Contínua
ou Dínamo
Gerador de
tensão alternada
ou alternador
Fonte de corrente
 
Figura. Fontes de energia independentes 
Elementos passivos e comportamento 
São aqueles que absorvem a energia fornecida pelas fontes ou elementos activos. Estão neste 
grupo os resistores, os indutores ou bobinas e os capacitores ou condensadores. 
Um elemento de circuito eléctrico recebendo energia eléctrica pode comportar-se de cada uma 
das seguintes formas: 
 
 Consumir energia: O elemento de circuito é um elemento resistivo, ou simplesmente 
resistor puro; 
 Armazenar energia num campo magnético: O elemento de circuito é um elemento 
indutivo, ou apenas, Indutor puro; 
 Armazenar energia num campo eléctrico: O elemento de circuito é um elemento 
capacitivo ou em outras palavras, um Capacitor puro. 
Resistor e Resistência, R 
 
Aplicando-se uma diferença de potencia v(t) entre os terminais de um resistor puro, uma corrente 
i(t) proporcional àquela irá circular no elemento resistivo. A constante de proporcionalidade R é 
designada de resistência eléctrica sendo expressa em volts/ampère ou Ohms [Ω]. Efectivamente 
ela representa a oposição que o elemento oferece ao estabelecimento de uma corrente eléctrica. A 
relação entre a diferença de potencial e a corrente eléctrica é conhecida por Lei de Ohm que no 
caso do resistor é dada por: 
 
)t(iR)t(v 
 
 
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i(t)
v(t)
+
-
R
 
 
Figura - Elemento Resistivo 
 
Resistividade, condutividade e condutância 
 
A resistência eléctrica de um condutor depende do material de que o mesmo é feito. A resistência 
do condutor é dada pela seguinte expressão: 
 
A
l
R 
 
Onde: 

 é uma constante de proporcionalidade e designa-se resistividade. Na verdade é 
uma característica que mede a dificuldade com que o material de que é feito o condutor deixa 
passar a corrente eléctrica. 
l
 é o comprimento do condutor e 
A
 a secção transversal do condutor. 
 
O recíproco da resistividade se chama condutividade do material e representa-se por 

. Assim, 
a resistência do condutor pode ser calculada a partir da fórmula: 
 
A
l
A
l1
R
.
.




 onde 

 é a condutividade do material que mede a facilidade com 
que o material deixa passar a corrente eléctrica. 
 
Por outro lado, define-se como condutância de um condutor ao inverso da sua resistência 
eléctrica e representa-se por 
"" g
. Assim,: 
 
l
A
R
g .
1

 
A tabela a seguir mostra a resistividade de diferentes materiais 
 
Tabela 1.4 Resistividade de diferentes materiais 
Material Resistividade a 20ºC 
 m.
 
Prata 1,64.10
-8
 
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Cobre recozido 1,72.10
-8
 
Alumínio 2,83.10
-8
 
Ferro 12,3.10
-8
 
Constantan 49.10
-8
 
Nicromo 100.10
-8
 
Silício 2500 
Papel 10
10
 
Mica 5.10
11
 
Quartzo 10
17
 
 
Influência da temperatura na resistência 
 
Conhecendo-se a resistência do material a uma determinada temperatura a resistência em 
qualquer outra temperatura é dada por: 
 
 
1
01
02
2 R
TT
TT
R .



 , 
onde: 
 
1R
 É a resistência à temperatura 
1T
 e 
2R
 é a resistência à temperatura 
2T
 
0T
 á temperatura em que teoricamente a resistência eléctrica do material é nula. 
Naturalmente esta temperatura é uma característica do material condutor. A tabela 1.5 
mostra os valores de 
0T
 para diferentes materiais. 
 
Tabela 1.6 Temperatura absoluta para diferentes materiais : 
Material Temperatura absoluta 
0T
 
 Cº
 
Tungsténio -202 
Cobre -234,5 
Alumínio -236 
Prata -243 
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Constantan -125.000 
 
A resistência em função da temperatura também pode ser calculada a partir da expressão: 
 
 
  121T12 TT1RR 
 
Onde 
1T
 é o coeficiente de temperatura do material à temperatura 
1T
. Normalmente 
1T
 é 
tomado igual a 20ºC. A tabela 1.7 a seguir mostra coeficientes de temperatura para diferentes 
materiais. 
 
Tabela 1.7 Coeficientes de temperatura para diferentes materiais : 
Material Coeficiente de Temperatura 
1T
 a 20ºC 




C
1
º
 
Tungsténio 0,0045 
Cobre 0,00393 
Alumínio 0,00391 
Prata 0,0038 
Constantan 0,000008 
Carbono -0,0005 
O coeficiente de temperatura de um material a qualquer temperatura pode ser também 
determinado através da expressão: 
 
01
1
TT
1


 
 
Consumo de potência no resistor 
 
Uma característica muito importante de um resistor é a sua capacidade de dissipação de potência 
eléctrica ou potência máxima. Esta depende da sua capacidade de isolamento, isto é, voltagem 
máxima suportada e corrente máxima permissível. O consumo real de potência depende da 
voltagem aplicada aos seus terminais e da corrente que o atravessa e é dada pela expressão: 
 
 
 
R
V
R
V
VRIIIRIVP
2
2 





 ....
 
Circuito aberto e curto-circuito 
 
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Por definição, um circuito aberto é aquele que possui uma resistência infinita. Portanto, não 
circula corrente nele quando aplicada uma voltagem finita aos seus terminais. Diagramaticamente 
ele é representado por dois terminais não ligados. 
 
Pelo contrário, um curto-circuito possui uma queda de tensão nula, qualquer que seja a corrente 
finita nele circulando. Diagramaticamente é representado por um condutor ideal, istoé, com 
resistência nula. Os terminais ficam conectados sem resistência alguma. 
 
Nem o curto-circuito, nem o circuito aberto são desejáveis. A sua ocorrência indica um defeito ou 
mau funcionamento do circuito. 
 
Resistência interna de uma fonte 
 
Qualquer fonte de energia real possui uma determinada resistência correspondente aos processos 
intrínsecos de funcionamento. A esta resistência intrínseca se chama de resistência interna da 
fonte. Ela interfere no funcionamento da fonte. A fonte de corrente possui uma resistência interna 
que tende ao infinito. 
 
 
Fonte de
corrente ideal
Resistência
interna Terminais
Fonte de tensão
ideal
Resistência
interna
Terminais
Fonte de
corrente real
Fonte de tensão
real
 
Figura. Representação de fontes de energia reais. 
 
 
Indutor (Bobina) e Indutância (L) 
 
À constante de proporcionalidade è chamada de coeficiente de auto-indução, auto-indutância, 
indutância - própria ou simplesmente indutância do elemento indutivo ou indutor. Fisicamente 
ela representa a oposição que o elemento oferece à variação do fluxo. A relação entre a tensão 
induzida e a taxa de variação da corrente que a provoca é dada por: 
 
dt
id
L)t(v 
 
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 Ou ainda, 
 
 dtvL
1
)t(i
 
i(t)
v(t)
+
-
L
 
Figura - Elemento Indutor 
 
Sendo v expresso em volts; di/dt em àmperes/segundo; L será expresso em Volt-segundo/àmpere, 
ou Henry (H). 
 
Capacitor (Condensador) e Capacitância (C) 
Foi já referido que um capacitor é um elemento que armazena energia eléctrica num campo 
eléctrico. Esta energia apresenta-se na forma de uma carga entre dois pontos com potenciais 
diferentes, sendo que a diferença de potencial, v, entre os terminais do capacitor é proporcional à 
carga eléctrica, q, armazenada. A constante de proporcionalidade C é designada de capacitância 
do capacitor. A relação entre a carga e a tensão é: 
)t(vC)t(q 
 
Sendo, 
dt
)t(dq
)t(i 
 
Vem, 
dt
tdv
Cti
)(
)( =
 
Ou ainda, 
 dtiC
1
)t(v
 
 
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i(t)
v(t)
+
-
C
 
Figura - Elemento Capacitivo 
Com Coulomb; v em volts, C é expresso em Coulomb/volt ou Farads [ F ]. 
F10microfarad1F1
6
 
F10picofarad1pF1
12
 
 
Topologia dos circuitos eléctricos 
No que concerne à topologia ou configuração um circuito eléctrico é uma combinação de 
elementos activos e passivos de modo a formarem um ou mais caminhos fechados. Quando é 
constituído por vários caminhos, cada um deles chama-se malha ou laço. O ramo é uma 
combinação de um ou mais elementos que são atravessados pela mesma corrente. Os pontos de 
convergência ou junção de 2 ou mais ramos chamam-se nós. 
Nós
MalhaFonte
de
corrente
Ramo
Ramo
Fonte
de
tensäo
Circuito eléctrico
Malha
 
Leis de Kirchhoff 
1
a
 Lei: 
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1
a
 Formulação - A soma das correntes que chegam a um nó é igual a soma das correntes que dele 
saem, esta regra é também conhecida como lei dos nós. 
2
a
 Formulação - O somatório das correntes que chegam e saem de um nó é nula. 
Resumidamente, 
 
i
1
i
2 i
3
i
4
i
5
 
 
 


 saindocorrentes
entrandocorrentes
 
0
54321
54231


iiiii
Ou
iiiii
 
2
a
 Lei: 
1
a
 Formulação - A soma das elevações de potencial ao longo de qualquer circuito fechado é igual 
à soma das quedas de potencial nesse mesmo circuito. 
2
a
 Formulação - A soma algébrica das diferenças de potencial, ao longo de um circuito fechado, 
é nula. Se existir mais de uma fonte e os sentidos não forem iguais, será considerada positiva a 
tensão da fonte cujo sentido coincidir com o admitido para a corrente. Esta regra é conhecida por 
Lei de Malhas. 
v
A
v
B
R L
i
 
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

 potencialdequedas
potencialdeelevações
 
0

dt
di
LiRVV
Ou
dt
di
LiRVV
BA
BA
 
Associação dos elementos num circuito 
Ligação de resistores em série 
R
1
R
2
R
3
R
n
V
1
V
2
V
3 Vn
V
T
I I I I
 
Figura. resistores associados em série 
Com efeito, vem:: 
 













nn RIV
RIV
RIV
RIV
...
33
22
11
 
Por outro lado, 
 
 
eqsnnT RIRRRRIVVVVV  ...... 321321
 
Onde Req é o valor da resistência do resistor que substitui o conjunto de todos os resistores da 
associação. 
Pela lei de Ohm, vem: 
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n
T
eqs RRRR
I
V
R  ...
321
 
Generalizando, a resistência equivalente de uma associação de n resistores associados em série é 
dada pela seguinte fórmula: 
 



N
n
neqs RR
1 
Divisor de tensão: 
A queda de tensão sobre cada elemento do grupo pode ser encontrada a partir de: 
 
T
n
n
T
eqs
n
n
eqs
T
nn V
RRRR
R
V
R
R
R
R
V
RIV


...
321
 
À relação entre a queda de tensão sobre cada elemento e a tensão total aplicada ao conjunto 
TN
n
n
n
n V
R
R
V



1
 é conhecida como Lei ou Regra do Divisor de Tensão. 
Ligação de resistores em Paralelo 
R
1
R
2
R
3
R
n
I
1
I
2
I
3
I
n
I
T
V
V
 
Figura. Associação de resistores em paralelo 
Com efeito, partindo da figura ( ) vem: 
 nn R
V
I
R
V
I
R
V
I
R
V
I  ....
3
3
2
2
1
1 
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 Por outro lado, 
 nnT R
V
R
V
R
V
R
V
IIIII  ......
321
321
 
 
Ou, 
 
 eqPn
T
R
V
RRRR
VI 








1
...
111
321 
Onde Req p é o valor da resistência do resistor que substitui o conjunto de todos os resistores da 
associação. 
Pela lei de Ohm, vem: 
 nPeq RRRRR
1
...
1111
321

 
No caso particular de dois resistores em paralelo a respectiva resistência equivalente será dada 
por: 
 
21
21
2
RR
RR
R
eqp


 
Divisor de corrente 
A corrente transportada por cada elemento do grupo de resistores em paralelo pode ser encontrada 
a partir de: 
  
  
TN
n
nRexcepto
n
nRexcepto
n
T
n
eqP
n I
RΠ
RΠ
I
R
R
I



1
 
À esta relação entre a corrente total do combinado paralelo e a corrente que atravessa cada 
elemento da associação é conhecida como Lei ou Regra do Divisor de Corrente. 
Transformação Delta (∆) - Estrela (Y) 
 
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312312
3112 *
RRR
RR
Ra


 
312312
23*12
RRR
RR
Rb


 
3123123123 *
RRR
RR
Rc


 
Transformação Estrela (Y) - Delta (∆) 
b
ac
ac
a
cb
cb
c
ba
ba
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
*
*
*
31
23
12



 
 
 
 
 
 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 20 
 
Exercícios. 
1. Encontre a carga em Coulomb de: 
a) 5.31*10
20
 electrões; 
b) 2.9*10
22
 protões. 
Sabendo que a carga de um electrão e de um protão é igual a 1.602*10
-19
C, isto é, 
1(-e) = -1.602*10
-19
C 
1(e) = +1.602*10
-19
C. 
a) 
 
CQ 066.8510*31.5*10*602.1 2019  
 
b) 
CQ 8.464510*9.2*10*602.1 2219  
 
2. Qual é o valor da energia Química gasta para bateria do carro de 12V, para mover 8.93*10
20
 electrões 
do terminal positivo para o terminal negativo? 
KjVneW
VQW
717.112*10*602.1*10*3.9.8**
*
1920 

 
3. Encontre o valor da corrente através do bulbo de uma lâmpada causado pelo movimento constante de: 
a) 60C em 4segundos; 
b) 15C em 2minutos; 
c) 10
22
 electrões em 1h. 
Resolução: 
a) 
AsC
t
Q
I 15/15
4
60

 
b) 
AsC
t
Q
I 125.0/125.0
2*60
15

 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 21 
 
c) 
AsC
t
Q
I 45.4/45.4
1*3600
10*602.1*10 1922


 
4. Qual é o trabalho necessário para erguer um elevador vertical de 4500Kg a uma distância de 50m? 
MJdgmdFW 21.250*8.9*4500*** 
 
5. Se o deslocamento de uma carga positiva de 9.9875*10
19
 electrões de um ponto "B" para um ponto "A" 
requer a energia de 0.8J, encontre a queda de potencial. 
VCJ
Q
W
VVQW oaEnt 05.0/05.0
10*9875.9*10*602.1
8.0
*
1919
~
 
 
6. Encontre a energia armazenada em uma bateria de carro de 12V/650Ah 
ChshAAhtIQ 2340000/3600*1*650650* 
 
MJVQW 08.2812*2340000* 
 
7. Uma bateria de 6V/20Ah, é usada para deslocar uma carga de 2000Kg. 
a) Qual será a velocidade constante da carga se deslocarmos a horizontalmente? 
b) Quanto tempo irá a bateria permanecer carregada se tiver que deslocar a carga a uma 
velocidade constante de 10m/s fornecendo 15A? 
c) Consegue esta bateria deslocar a mesma carga para uma altura de 150 metros em menos de 5 
minutos, fornecendo 10A? 
Resolução: 
a) 
sm
m
VQ
vVQ
vm
WW
VQW
vm
W
oaEnt
/785.20
2000
6*3600*20*2**2
*
2
*
*
2
*
~
2
2
 


 
b) 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 22 
 
hs
VI
vm
tVtIVQ
vm oaEnt
31.0min52.18111.1111
6*15*2
10*2000
**2
*
***
2
* 22~2
 
c) 
hs
VI
hgm
tVtIVQhgmW oaEnt 6.13min7.81649000
6*10
150*8.9*2000
*
**
*****
~
 
* Esta bateria não irá conseguir deslocar a carga a uma altura de 150 metros em menos de 
5minutos. 
7. Dado o circuito da figura, encontre a tensão aos terminais da resistência de 2Ω usando divisor de 
tensão. 
 
Resolução: 



 667.4
25410
)25(*)410(
equR
 
VUequ 066.18
16667.4
667.4
*80 


 
VU 162.5
52
2
*066.182 


 
8. Dado o circuito da figura a seguir, encontre a corrente I1 e I2 usando o divisor de corrente. 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 23 
 
Resolução: 


 667.0
21
2*1
equR
 
AI 6.21
667.0425
25
*361 



 
AI 4.14
25667.04
667.04
*362 



 
9. 
 
10. 
 
 
11. 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 24 
 
 
12. 
Determina a resistência equivalente vista dos terminais AB do circuito resistivo mostrado 
na figura a seguir.
 
 
A
B
a
b
d
c
4,5 Ω
3 Ω
6 Ω
9 Ω
3 Ω
 
13. 
 
Determina a potência fornecida à rede da figura a seguir. 
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100 V
a
b
c
6 Ω
6 Ω
3 Ω
9 Ω
3 Ω
9 Ω
 
 
 
 
TPC - 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 26 
 
TEMA 2 - ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE CONTÍNUA 
Neste capítulo vamos apresentar e discutir algumas Leis, Teoremas e procedimentos que 
governam a análise dos circuitos eléctricos de corrente contínua. Juntamente com as leis de Ohm 
e Kirchoff para Correntes e Tensões estes procedimentos são também válidas para a análise de 
circuitos de corrente alternada contendo indutâncias e Capacitância. Também são válidas para a 
análise de circuitos no domínio de frequência 
De que maneira marcamos o sentido da corrente e da tensão em um ramo? 
A corrente em um ramo é marcado através de uma seta, do potencial mais alto ao potencial mais 
baixo. 
A tensão em um ramo é marcado também através de uma seta, do potencial mais alto ao potência 
mais baixo. 
 
Análises de quedas de tensão e correntes em um ramo 
Caso a) Ramo sem fonte de tensão e de corrente: 
 
IRba 
 
Sendo que a condutância é: 
 S
R
g ,
1

, então: 
gU
R
U
R
I ab
abba *


 
Caso b) Ramo com fonte de tensão geradora 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 27 
 
 
gEUgEIIRE abba
oaEnt
ba *)(*)(
~
   
Caso c) Ramo com fonte de tensão consumidora 
 
gEUgEIIRE abba
oaEnt
ba *)(*)(
~
   
Caso d) Ramo com fonte de corrente 
Para estes ramos, a corrente que neles circulam é a corrente gerada pela fonte de corrente. 
A análise de queda de potencial que se realiza é aos terminais da própria fonte: 
 
Substituição da fonte de corrente real pela fonte de tensão real e vice-versa 
 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 28 
 
Métodos de cálculos de circuitos complexos de Corrente Contínua (CC) 
Calcular um circuito eléctrico significa determinar todas as correntes em todos os seus 
ramos. 
Método das equações de Kirchoff para circuitos complexos de CC. 
Passos principais deste método: 
1. Determinar o número de nós do circuito (N), o número de ramos do circuitos (r) e o 
número de ramos contendo fontes de corrente (rc); 
2. Marcar arbitrariamente os sentidos das correntes em todos os ramos; 
3. Construir as equações pela 1
a
 Lei de Kirchoff, sendo o número de equações igual a: 
11
0  NN Leiequ a
 
4. Determinar o número de equações pela 2
a
 Lei de Kirchoff, sendo o número de 
equações igual a: 
)1()(2
0  NrrN cLeiequ a
 
5. Escolher as malhas respectivas, marcar nelas os percursos pelas malhas escolhidas e 
construir as equações de acordo com a 2
a
 Lei de Kirchoff para todas as malhas. 
Nota A: Cada malha deve conter no mínimo um ramo o qual nenhuma outra malha 
contem. 
Nota B: Qualquer malha escolhida não deve conternenhuma fonte de corrente 
6. Resolver o sistema de equações obtidas; 
7. Se a corrente em um ramo for negativa, significa que na realidade o sentido da corrente 
é o oposto. 
8. Fazer a prova das resoluções pela equação do balanço de potência. 
Exemplo: 
Para o circuito da figura a seguir, determine as expressões para o cálculo das correntes 
usando o método de Kirchoff. 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 29 
 
 
N = 4; r = 6; rc = 1 
equNN Leieq a 31411
0 
 
452
531
21
:3
:2
:1
IIINo
IIINo
IIJNo



 
equNrrN cLeiequ
a 2)14()16()1()(2
0 
 
0:2
:1
554433
552211


RIRIRIM
ERIRIRIM 
Equações do equilíbrio de potencia 
Quando a corrente passa através de uma resistência liberta-se energia sob a forma de 
calor. 
Com base na Lei de Conservação de energia, a quantidade de energia fornecida a um 
circuito eléctrico deve ser igual a quantidade de energia dissipada. 
 
 

n
K
m
i
iesconsumidorKfontes PP
1 1
,,
 
Para as fontes: 
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 
 

n
K
L
l
llab
N
j
jjKfontes JUIEP
1 1
,
1
,
 
Para os consumidores: 
 
 

m
i
m
i
iiiesconsumidor RIP
1 1
,
 
Exemplo: 
Para o circuito da figura a seguir: 
 
 
 foram calculadas e encontradas as seguintes correntes: 
AI
AI
4
1
3
2

 
Faça a prova do balanço de potência. 
Resolução: 
Para as fontes: 
Para a fonte de tensão: 
Esta fonte é geradora pois a corrente I3 entra nela a partir do terminal negativo (-) e sai a 
partir do terminal positivo (+), por isso na equação do balanço, a sua potência vem com o 
sinal positivo. 
WEIPE 804*203 
 
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Para a fonte de corrente: 
É necessário encontrar a tensão aos terminais "ab" desta fonte. 
 
Seguindo a malha "Uab", temos: 
VJIUJIU ab
oaEnt
ab 142*54*12*4*02*4* 2
~
2  
 
Logo: 
WJUP abJ 705*14* 
 
Fazendo a soma das potências das duas fontes existentes no circuito: 
  WPPP JEfontes 1507080
 
Para os consumidores: 
WIP
WIP
WJP
966*46*
44*14*
502*52*
22
36
22
24
22
2






 
Fazendo a soma das potências dos três consumidores existentes no circuito: 
   WPPPP esconsumidor 15096450642
 
Logo vemos que satisfaz a condição: 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 32 
 
WWPP
n
K
m
i
iesconsumidorKfontes 150150
1 1
,,  
 
 
 
Método de sobreposição 
Baseia-se no principio de sobreposição. A corrente em qualquer ramo de uma rede é a 
soma algébrica das correntes devido a cada uma das fontes consideradas separadamente, 
mas deixando no circuito as resistências internas respectivas. Este teorema é valido para 
todos os circuitos eléctricos lineares. 
Exemplo: 
Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de sobreposição. 
 
Resolução: 
Caso 1) Sem a fonte de tensão 
Retiramos a fonte de tensão, mais deixando no circuito a sua resistência interna: 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 33 
 
AJI
AJI
36.0*5
64
6
*
24.0*5
64
4
*
'
2
'
3






 
Caso 2) Sem a fonte de corrente 
Retiramos a fonte de corrente no circuito mas deixamos a sua resistência interna. A 
resistência interna de uma fonte de corrente tende a infinito, logo este ramo pode ser 
desprezado pois a corrente que flui nele é próxima a zero. 
 
AI
AII
2
2
46
20
"
2
"
2
"
3



 
Caso 3) Com a fonte de tensão e a fonte de corrente 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 34 
 
Finalmente, fazemos a soma algébrica para ter a corrente devido as duas fontes nos 
ramos: 
AIII
AIII
422
1)2(3
"
3
'
33
"
2
'
22

 
Método das malhas independentes 
a) Neste método supõe-se que em cada malha flui a corrente própria chamada corrente de 
malha; 
b) As incógnitas deste método são as correntes de malha; 
c) Neste caso as equações constituem-se relativamente a estas correntes de malha de 
acordo com a 2
a
 Lei de Kirchoff; 
d) Como resultado desta imaginação não se constituem as equações de acordo com a 1
a
 
Lei de Kirchoff. 
Passos principais deste método: 
1. Determinar o número de equações necessárias que o constituem pela expressão: 
)1()(0  NrrN cequ
 
2. Escolher as malhas independentes de acordo com o número determinado no ponto 1 e 
marcar arbitrariamente os sentidos das correntes de malha em cada malha; 
Nota A: Qualquer malha escolhida não deve conter fonte de corrente; 
Nota B: Para levar em conta as influencias das fontes de correntes sobre a distribuição de 
potenciais e correntes no circuito eléctrico, é preciso marcar também as correntes de 
malha conhecidas; 
Nota C: Uma malha com corrente de malha conhecida deve conter só uma fonte de 
corrente. 
3. Constituir as equações pela 2
a
 Lei de Kirchoff para cada malha escolhida; 
4. Resolver o sistema das equações obtidas, isto e, determinar todas as correntes de 
malhas incógnitas. Se a corrente de malha é negativa, significa que na realidade o seu 
sentido é contrario; 
5. Determinar as correntes reais nos ramo escolhendo aleatoriamente os seus sentidos; 
Nota A: Nos ramos comuns a corrente real é a soma algébrica das correntes de malha que 
passam através destes ramos; 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 35 
 
Nota B: Nos ramos comuns a corrente real é a soma algébrica das correntes de malha que 
passam através destes ramos. 
6. Fazer a prova das resoluções pela equação do balanço de potência. 
Exemplo: 
Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de malhas independentes. 
 
Resolução: 
 
N = 2; r = 3; rc = 1 
equNrrN cequ 1)12()13()1()(
0 
 
Para a malha de corrente de malha "Ia": 
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AIEJI a
oaEnt
a 4
64
4*520
)4()64(
~



 
 
Finalmente as correntes nos ramos: 
AII
AJII
a
a
4
154
3
2

 
Método de análise nodal 
a) Este método tem vantagens para circuitos eléctricos com muitos ramos e poucos nós; 
b) Neste método as incógnitas são os potenciais dos nós. 
 Passos principais deste método: 
1. O potencial de um nó deve ser igualado a zero; 
2. Determinar o número das equações a resolver pela expressão: 
10  NN equ
 
Nota A: Quando em alguns ramos contém a fonte de tensão ideal, o número das equações 
necessárias determina-se pela expressão: 
itfrnNN equ ....1
0 
 
itrn ...
- Número de ramos com fonte de tensão ideal.3. Constituir as equações de acordo com o método de análise nodal; 
Nota A: Para cada nó de potencial incógnito, escrever uma equação que consiste em: 
Na parte esquerda: O produto do potencial do nó em questão e condutância própria deste 
nó com o sinal positivo (+) e a soma dos produtos entre potenciais de nós vizinhos e 
condutâncias mútuas respectivas com o sinal negativo (-). 
Na parte direita: A soma algébrica dos produtos (
KK gE *
) ligadas com o nó em 
questão, e a soma algébrica das fontes de correntes (J) ligadas com o mesmo nó. 
4. Resolver o sistema das equações obtidas, isto é, determinar os potenciais do esquema; 
5. Marcar arbitrariamente os sentidos das correntes em todos os ramos e depois calcula-
las conhecendo os potenciais. 
6. Fazer a prova das resoluções pela equação do balanço de potência. 
Exemplo: 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 37 
 
Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de análise nodal. 
 
Resolução: 
 
N = 3; n.r.f.t.i = 1 
equitfrnNN equ 1113....1
0 
 
O potencial aterrado foi o potencial do nó 3, então: 
V
V
4040040
0
32
3



 
Ficamos somente com o nó 1 como incógnita. 
Cálculo das condutâncias 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 38 
 
Sg
Sg
Sg
Sg
Sg
0
10
1
1667.0
6
1
25.0
4
1
5.0
2
1
1.0
46
1
10
6
4
2
)64(














 
Cálculo do potencial incógnito 
Jgggggg   )()()()( 103)64(222102)64(1  
Sabendo que g10Ω = 0,S e que 
V03 
, a equação acima fica ainda mais reduzida 
Jgggg   )()()( )64(2222)64(1  
Calculando o potencial 
V333.48
5)1.0(*40)5.0(*40)5.01.0(
1
1




 
Cálculo das correntes nos ramos 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 39 
 
AIIIIIINo
AIIIIIIIIIINo
AgII
AgII
AgII
AgII
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
002.1555:3
002.15:2
002.10)20(
6
)20(
)6(20
10)(
4
)(
)4(
167.4)(
2
)(
)2(
833.0)(
46
)(
)46(
326
~
632
54326
~
32654
632
32
3
~
332
432
32
2
~
232
221
21
4
~
421
)64(21
21
5
~
521
 
 


 


 


 



 
















 
Prova pelo balanço de potencias 
Para as fontes: 
Primeiro é necessário encontrar a tensão aos terminais da fonte de corrente 
 
Seguindo a malha do Uab 
VU
IIUIIU
ab
ab
oaEnt
ab
334.9810*54*102*167.4
)10(5)4()2(0)10(5)4()2( 24
~
24

  
  WPfontes 79.1291002.15*40002.10*205*334.98
 
Para os consumidores: 
WPcons 91.129110*56*002.104*102*167.4)64(*833.0
22222 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 40 
 
Verifica-se: 
WWPP
n
K
m
i
iesconsumidorKfontes 91.129179.1291
1 1
,,  
  
%009.0%100*
79.1291
79.129191.1291
% 

Erro
 
Erro aceitável pois é menor a 3%. 
Método do gerador equivalente ou teorema de Thévenin 
Este teorema estabelece que qualquer rede linear activa contendo resistências e fontes de 
energia com terminais de saída 1 e 2 como mostra a figura pode ser substituído por um 
circuito contendo uma fonte de tensão de valor Uth em série com uma resistência de valor 
Rth como mostra a figura 
Rede
Linear A
com
Fontes de
Tensão e
Corrente
Rede B
1
2
a
 
Rede B
1
2
b
R
th
V
th
 
Redes A e B originais Rede B original e A reduzida a Thévenin 
Figura – Redução de circuito pelo Teorema de Thévenin 
A tensão equivalente de Thévenin, Vth , é a tensão em circuito aberto medida aos 
terminais 1-2 e a resistência equivalente, Rth, é a resistência da rede, vista dos terminais 
1-2, quando todas as fontes internas independentes são anuladas, isto é, substituídas pelas 
respectivas impedâncias internas. Havendo fontes de tensão dependentes, estas são 
mantidas activas no circuito. O Teorema de Thévenin é importante na simplificação de 
circuitos, particularmente na determinação da corrente num ramo de uma rede complexa. 
Passos principais deste método: 
1. Determinar a tensão Uab de marcha em vazio que aparece aos terminais "ab" quando o 
respectivo ramo é removido; 
2. Determinar a resistência Requ que o bípolo apresenta quando vista entre 2 terminais; 
Nota A: Neste caso para as fontes de tensão é necessário curto circuita-las deixando 
somente no esquema as suas resistências internas. As fontes de corrente devem ser 
desligadas pois as suas resistências internas tendem ao infinito. 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 41 
 
3. Calcular a corrente no ramo que se removeu pela formula: 
nequ
mvab
n
RR
U
I


,
 
Exemplo: 
Para o circuito da figura a seguir, encontre a corrente pela resistência de 4Ω usando o 
método de Thévenin. 
 
Resolução: 
Primeiro encontramos a resistência equivalente vista dos terminais da resistência de 4Ω. 
Para tal curto circuitamos as fontes deixando somente as suas resistências internas. 
Para a fonte de corrente, removemos o ramo, pois a sua resistência interna tende ao 
infinito. 
 


 75.3
106
10*6
equR
 
Calculamos a tensão de marcha em vazio 
Esta é a tensão que aparece entre os terminais da resistência ou ramo removido. 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 42 
 
 
Vamos usar o método de malhas independentes para retirar as correntes nos ramos neste 
regime de funcionamento 
N = 2; r = 3; rc = 1 
equNrrN cequ 1)12()13()1()(
0 
 
AIJI a
oaEnt
a 625.10
106
10*1520
20)10()106(
~



 
 
As correntes nos ramos 
AIJI
AII
a
a
375.4)625.10(15
625.10)625.10(
2
1

 
Calculamos a tensão Uab,mv seguindo a sua malha apresentada no esquema 
VUIU mvab
oaEnt
mvab 75.4310*375.40)10( ,
~
2,  
 
Calculamos a corrente pretendida 
A
RR
U
I
equ
mvab
645.5
475.3
75.43
4
,
4 






 
Potência transferida de um bípolo activo a uma carga 
Determina a potência máxima realizada na resistência R 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 43 
 
 
RIP RR
2

 
RR
U
I
equ
mvab
R


,
 
R
RR
U
P
equ
mvab
R *
)( 2
2
,


 
Vamos derivar a potência em função da resistência: 
4
,
22
,
)(
)(2)(
RR
RRRURRU
dR
dP
equ
equmvabequmvab



 
Pelo domínio da expressão: 
RRRRRR equ
oaEnt
equ
aotEn
equ   
~~
0
 para que a potencia dissipada seja 
a máxima. 
Se 
RRequ 
 então 
 Tende
dR
dP
 
Logo: 
equ
mvab
R
equequequ
mvab
R
R
U
P
R
RR
U
P
4
*
)(
2
,
max
2
2
,
max



 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 44 
 
Exemplo: 
Determinar o valor da resistência R5 para que a potência dissipada nela seja a máxima 
 
R1 = 1Ω; R2 = 2Ω; R3 = 3Ω; R4 = 5Ω; R6 = 5Ω; J = 10A; E = 10V 
Resolução: 
Cálculo da resistência equivalente vista dos terminais da R5 
Para tal curto circuitamos as fontes deixando somente as suas resistências internas. 
Para a fonte de corrente, removemos o ramo, pois a sua resistência interna tende ao 
infinito. 
 



 308.2
)(*)(
2
346
346 R
RRR
RRR
Requ
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 45 
 
Calculamos a tensão de marcha em vazio 
Esta é a tensão que aparece entre os terminais da resistência ou ramo removido. 
 
Antes de escolher um método alternativo de resolução, vamos analisar certas correntes e 
nós no circuito. 
O ramo da corrente IE está aberto, logo por definição de ramos abertos não circula 
corrente por este ramo. Logo: 
AIE 0
 
Como o IE = 0A, os pontos "T" e "H", deixam de ser nós, pois não existem repartições de 
correntes nestes pontos, ficamos somente com o nó 1 e o nó 2. 
Consequentemente como o IE = 0A, pela 1
a
 Lei de Kirchoff, faz com que( I3 = I4). 
Consequentemente como o IE = 0A, pela 1
a
 Lei de Kirchoff, faz com que (I2 = J). 
Agora usamos o método de malhas independentes para encontrar o valor das correntes 
nos ramos neste regime de funcionamento. 
N = 2; r = 3; rc = 1 
equNrrN cequ 1)12()13()1()(
0 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 46 
 
AIRJRRRI a
oaEnt
a 846.3
553
5*10
0)()(
~
6643 

 
 
Calculo das correntes pelos ramos 
AJII
AIII
AJI
a
a
154.610846.3
846.3
10
6
43
2



 
Calculo do Uab,mv 
VUERIRIU mvab
oaEnt
mvab 538.412*103*846.310,
~
2233,  
 
O sinal negativo da tensão quer dizer que na realidade o seu sentido é o contrario ao 
sentido escolhido no esquema. 
W
R
U
P
equ
mvab
R 894.186
308.2*4
)538.41(
4
22
,
max 


 
 
 
 
Exercícios. 
FICHA DADA PELO DOCENTE. 
TPC - 2 
 
 
 
 
 
 
 
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TEMA 3 - ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE ALTERNADA 
No capítulo anterior, as tensões e correntes de alimentação dos circuitos eram grandezas 
contínuas ou unidireccionais. Em contraste, a maior parte das redes de utilidade prática são 
alimentadas por fontes de tensão e corrente alternada. O exemplo mais comum são as redes 
eléctricas de energia que contêm centrais eléctricas, linhas de transmissão, subestações, etc. 
Apesar de o termo tensão e corrente alternada se referir a uma série de grandezas com variação 
periódica a análise neste capítulo restringe-se a grandezas variando sinusoidalmente. 
 
Expressões de corrente e tensão alternada na forma sinusoidal 
A corrente na forma sinusoidal: 
AtIi t ),sin(*max)(  
 Onde: 
maxI
 é a corrente máxima; 

 é a frequência angular; 
t
é o tempo; 

é o ângulo da corrente. 
A tensão na forma sinusoidal: 
VtUu t ),sin(*max)(  
 Onde: 
 VUmax
 é a tensão máxima; 
 srad /
 é a frequência angular; 
 st
é o tempo; 
 0
é o ângulo da tensão. 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 48 
 
0o
T
22

T
mV
t
v
2
3
 
Figura... Representação de uma tensão sinusoidal e valores característicos 
 
Alguns dos valores característicos das tensões sinusoidais são: 
 O Período, 
T
, definido como o intervalo de tempo em que a função se repete. Em geral, 
o período de qualquer função periódica sinusoidal é dado por 
ω
π2
T
. 
 A frequência 
f
, medida em ciclos por segundo ou Hertz, sendo que: 
π2
ω1

T
f
. 
Ângulo de fase (

) 
 
Definido como o desfasamento entre duas grandezas sinusoidais, por exemplo entre a tensão e a 
corrente quando representadas sobre a mesma escala de tempo como mostrado na figura a seguir. 
Na verdade este ângulo representa o passo ou afastamento entre as duas grandezas no tempo, ela 
tem a fórmula: 
 
 
 
v
i
θ ω t
 
Figura .... Ângulo de fase 
 
Valor instantâneo 
 
Valor instantâneo de uma grandeza qualquer ,v, variável no domínio do tempo, t, é o valor dessa 
grandeza num dado instante de tempo, t. 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 49 
 
 
Valor médio 
 
Valor médio de uma grandeza variável no tempo, periódica, é por definição: 
 
 









Tt
t
médio dttu
T
U
0
0
)(
1
 
Obviamente, o valor médio de uma função sinusoidal num período é nulo. Por isso, um novo 
conceito, o valor médio quadrático ou eficaz é mais útil. 
 
Valor médio quadrático ou Eficaz 
 
O valor médio quadrático de uma função qualquer variável no tempo, periódica, é dado por: 
 
  
2
sin
2
1
)(
1 max2
2
0
22
0
0
U
dttUdttu
T
U m
Tt
t
eficaz 












 












 
 
Elementos R,L e C em circuitos de corrente alternada 
 
Resistência (R) 
 
R
U
I
R



 
A corrente e a tensão estão em fase 
 
Indutância (L) 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 50 
 
 
L
L jX
U
I 


 Onde 
  ,LX L 
 
A corrente está atrasada 90
0
 em relação a tensão 
 
Capacidade (C) 
 
C
C jX
U
I

 

 Onde 
  ,1
C
X C 
 
A corrente adiantada 90
0
 em relação a tensão 
 
 
Impedância Complexa 
 
Consideremos o circuito R-L-C série a seguir. 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 51 
 
tωsenV)t(v m
 θtωsenI)t(i m 
RL
C
 
Figura...Circuito R-L-C-série para Impedância Complexa 
 
Escrevendo a equação de malha obtêm-se: 
tj
mm eVtVdtti
Cdt
tdi
LtiR    sin)(1)()(
 
Esta equação diferencial tem uma solução particular da forma 
tjKeti )(
. 
Substituindo esta solução na equação geral vem: 
    tjmtj
tj
tj eVdtKe
Cdt
Ked
LKeR 
  
1
 
Ou, 
tj
m
tjtjtj eVKe
Cj
KeLjKeR   
1
 
Donde 
 
Cj
LjR
V
e
Cj
eLjeR
eV
K m
tjtjtj
tj
m



11




 
 E portanto, 
tjm e
Cj
LjR
V
ti 

 1
)(


 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 52 
 
À relação entre a tensão e a corrente, isto é: 
 CL
tjm
tj
m
XXjR
C
jLjR
Cj
LjR
eCj
LjR
V
eV
ti
tv












1
1
1
)(
)(
 
Então: 
 

),( CL XXjRZ
 




,
)(
arctan()(( 22
R
XX
XXRZ CLCL
 
Se: 
 
 oaEntCL
R
XX ~
0)arctan( 
 Impedância com característica capacitiva 
 
 oaEntCL
R
XX ~
0)arctan( 
 Impedância com característica indutiva. 
Se designa Impedância, e sendo esta número complexo. Daí designar-se de Impedância 
Complexa. Na verdade, ela representa a reacção dos elementos R-L-C do circuito face à 
excitação por uma tensão sinusoidal. A representação da impedância no plano complexo é 
mostrada na figura a seguir. 
Z
Z
R
X
j
0
Zθ
 
Figura....... Representação de Impedância no Plano Complexo 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 53 
 
Impedância com característica indutiva: 
CL XX 
 Então 
 

,LjXRZ
 
Impedância com característica capacitiva: 
CL XX 
 Então 
 

,CjXRZ
 
Impedância com característica resistiva: 
 ,0LX
 
 ,0CX
 Então 
 

,RZ
 
 
Admitância complexa 
A admitância complexa será dada pela seguinte expressão: 
 S
XXjRZ
Y
CL
,
)(
11




 
Susceptância 
A susceptância será dada pela expressão: 
 S
XXj
b
CL
,
)(
1


 
Fasores 
 
Sabemos já, que uma tensão ou corrente sinusoidais com uma frequência constante podem ser 
caracterizados por dois parâmetros: O valor da amplitude máxima (crista ou pico) e o ângulo de 
fase. Isto é, uma tensão dada por: 
VtUu t ),sin(max)(  
 
tem a amplitude máxima Umax e o ângulo de fase referido a ωt igual a δ . O valor 
médio quadrático, também chamado valor eficaz, será: 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 54 
 
 V
U
U eficaz ,
2
max
 
Usando a equação de Euler,
 sincos je j 
 
 
A corrente ou tensão sinusoidal podem ser representadas sob a forma de fasores, isto é, um vector 
rotativo representado por uma amplitude constante U, igual ao seu valor eficaz e um ângulo de 
fase, δ . No caso dado, 

2
maxUU
 Forma
 Forma polar; 
  Forma
U
j
U
U  sin*
2
cos*
2
maxmax
Forma rectangular 
  Formaje
U
U 
2
max
Forma exponencial. 
 
Operações com números complexos 
 
Sejam dados os números complexos: 
 
0
1
204

A
 e 
43
2
jA 

 
 
a) Represente A1 na forma rectangular 
 
368.1759.3)20sin20(cos4
1
jjA 

 
 
b) Determine A2 na forma polar 
 
022
2
13.535)
3
4
tan(43 

acA
 
 
c) Determine a soma entre A1 e A2 
 
36.576.6)436.1()376.3(
213
jjAAA 

 
 
d) Multiplique A1 e A2 
 
0
214
13.7320)13.5320()5*4(13.535*204* 

AAA
 
 
e) Determine o conjugado de A1 
 
0*
1
204 

A
 
 
f) Determine a divisão entre A1 e A2
*
 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 55 
 
0
*
2
1
5
13.738.0)13.53(20
5
4
13.535
204






 A
A
A
 
 
Potência Real e Reactiva 
 
 
Seja : 
 
VtUu
AtIi
t
t
),sin(
),sin(
max)(
max)(



 
 
Então a potência instantânea será: 
 
)()()()()()()(
)()()()( )(
tCtLtRtCtLtRt
tCLRttt
pppiuiuiup
iuuuuip

 
 
)2sin(
)2sin()2sin(*)
2
sin(
)2cos1(
max)()(
)(
tIUp
tIUtItUiup
tIUp
LL
CCtCtC
RtR






 
 
Somando a potência da indutância e capacidade: 
 
)2sin(*)sin()2sin()2sin()()( tUItIUtIUpp CLtCtL   Então: 
 
)2cos()cos()(   tUIUIp t
 
 
Potência Activa: 
 
 WgURIUIP ,)cos( 22   
 
Potência Reactiva: 
 
 VARbUXIUIUIQ X ,)sin(
22   
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 56 
 
como se sabe, o ângulo 

pode ser positivo (+) ou negativo (-), para: 
  LogooaEnt Q 00
~
 Potência Reactiva com característica indutiva 
  LogooaEnt Q 00
~
 Potência Reactiva com característica capacitiva. 
 
Potência aparente: 
 
 VAUIS , 
 
 
Factor de Potência (f.p) 
 
O termo 
)cos(  
 chama-se factor de potência (f.p). O ângulo de fase 
)(  
que é o ângulo 
entre a tensão e a corrente, é chamado de ângulo do factor de potência. Para circuitos de corrente 
continua, a potência absorvida pela carga é o produto da tensão contínua pela corrente. Para 
circuitos em corrente alternada, a potência média absorvida pela carga é o produto dos valores 
eficazes da tensão e corrente e o factor de potência (f.p) 
)cos(  
. Para cargas capacitivas, a 
corrente está adiantada em relação a tensão o que significa que 

 é maior do que 

 e o factor de 
potência diz-se adiantado. 
 
 
 
Triângulo de potências 
 
É comum representar as três formas de potência envolvidas num circuito, nomeadamente 
aparente, activa e reactiva num mesmo diagrama de potências. A este diagrama dá-se o nome de 
triângulo de potências. A figura a seguir mostra um diagrama deste tipo. 
 
 
θ
P=VIcosθ [ W ]
Q=VI senθ [ VAR ]
S=VI [ VA ]
 
22
22
cos..tan
arctan
QP
P
S
P
pfPQ
P
Q
QPS











 
Potência Complexa 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 57 
 
Para circuitos operando com tensão alternada sinusoidal estacionária, as potências activa e 
reactiva podem ser facilmente calculadas a partir da potência complexa a partir dos fasores 
tensão e corrente. 
A potência complexa 
S
, é por definição, o produto da tensão pelo conjugado da corrente, isto é: 
 
 
 VAjQPsenIjVIVIVIVIVS o ,cos0
*
  
 Ou seja: 
  
 





SIsenIVQ
SRIVP
m
e

cos 
As relações entre a tensão, corrente, potência complexa e as potências activa e reactiva são 
apresentadas na figura a seguir. 
 
I
V
-θ
θ
*IVS 
P=VIcosθ
S=VI
Q=VI senθ
jQ ( eixo imaginário )
P ( eixo real )
 
Figura--- Potência Complexa 
 
Equilíbrio ou balanço de potência em circuitos de corrente alternada 
 
O equilíbrio de potências em circuitos trifásicos deve obedecer também a Lei de 
conservação de energia: 
 
 
 

m
i
M
k
Kesconsumidorifontes PP
1 1
,,
 
 
 

J
j
L
l
lesconsumidorjfontes QQ
1 1
,,
 
 
As fórmulas são: 
 
Para as fontes: 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 58 
 
     
    


S
s
C
c
G
g
m
i
J
j
jfontesifontes
ggabccsfontes
VAjalQjPJUIES
1 1 1 1 1
,,
*
,
*
,
Im,Re
 
 
 




S
s
sfontes
ifontes
m
i
WSalP
1
,
,1
),(Re
 
  
 

J
j
S
s
sfontesfontes VARSQ
1 1
, ),Im(Para os consumidores: 
 
  
 

M
k
M
k
kkkesconsumidor WRIP
1 1
2
, ,
 
 
  
 

L
l
L
l
lllesconsumidor VARXIQ
1 1
2
, ,
 
 
 
 
Exemplo de resoluções de circuitos complexos de corrente alternada: 
 
Exemplo 1: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo método de Kirchoff 
 
 
DADOS: 
AJ ,01 0

 ; 
VE ,010 0

 ; 
 31X
; 
 52X
; 
 53X
; 
104X
; 
 51R
 
 
Nota A: Por ser um circuito de corrente alternada a simbologia das fontes vêem com o sinal de um 
número complexo; 
Nota B: As impedâncias indutivas em qualquer circuito de corrente alternada vêem sempre com um 
ângulo de +90
0
 que está simbolizado pela letra "j" no esquema. É o caso de (X2 e X4); 
Nota C: As impedâncias capacitivas em qualquer circuito de corrente alternada vêem sempre com um 
ângulo de -90
0
 que está simbolizado pela letra "-j" no esquema. É o caso de (X1 e X3). 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 59 
 
Resolução: 
 
 
 
N = 4; r = 6; rc = 1 
 
equNN Leiequ a 31411
0 
 
 
43
21
31
:4
:2
:1






IIINo
IIINo
IIJNo
E
E
 
 
equNrrN cLeiequ
a 2)14()16()1()(2
0 
 
 




EjXIjXIM
EjXIRIM
)()(:2
)(:1
4
4
2
2
3
3
1
1
 
 
Resolvendo todas as equações em um único sistema de equações: 
 
0
42
0
31
43
21
0
31
010105
01055
0
0
01










IjIj
IjI
III
III
II
E
E
 
 
A solução do sistema de equações na formas polar é: 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 60 
 
AI
AI
AI
AI
AI
E
,309.11849.0
,435.63745.0
,135707.0
,135943.0
,435.18581.1
0
0
4
0
3
0
2
0
1










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo malhas independentes 
 
 
 
DADOS: 
AJ ,01 0

 ; 
VE ,010 0

 ; 
 31X
; 
 52X
; 
 53X
; 
104X
; 
 51R
 
 
Resolução: 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 61 
 
 
N = 4; r = 6; rc = 1 
 
equNrrN cequ 2)14()16()1()(
0 
 
 




EjXJjXjXI
ERJjXRI
b
a
)()(
)()(
242
131 
 
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas acima escrita: 
 
)5(*01010)105(
5*01010)55(
00
00
jjjI
jI
b
a



 
 
As correntes de malha são: 
 
AI
AI
b
a
,435.63745.0
,135707.0
0
0



 
 
Cálculo das correntes pelos ramos na forma polar: 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 62 
 
AIIIIIINo
AII
AII
AJII
AIJI
E
oaEnt
E
b
a
b
a
,297.11849.0135707.0435.63745.0:2
,435.63745.0
,135707.0
,021.135943.001435.63745.0
,433.18581.1135707.001
000
34
~
43
0
4
0
3
000
2
000
1
 









 
Exemplo 3: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo método de analise nodal 
 
Aterre o nó 2. 
 
 
DADOS: 
AJ ,01 0

 ; 
VE ,010 0

 ; 
 31X
; 
 52X
; 
 53X
; 
104X
; 
 51R
 
 
 
Resolução 
 
N = 4; n.r.f.t.i = 1 
equitfrnNN equ 2114....1
0 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 63 
 
VE
V
10100
0
24
2





 
 
Calculo das admitâncias 
 
S
jX
Y
Sj
jX
Y
Sj
jX
Y
Sj
jX
Y
S
R
Y
J
,0
1
,1.0
1
,2.0
1
,2.0
1
,2.0
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1














 
 
Calculo do sistema de equações 
 




JYYY
JYYY
44423
34311
)(
)(


 
Vj
Vj
,45714.4333.3333.3
,43.18906.75.25.7
0
3
0
1






 
 
Cálculo das correntes pelos ramos 
AIIINo
AjYIjXI
AjYIjXI
AjYIjXI
AjYIRI
E
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
,30.11849.0:4
,135707.05.05.0)()(
,44.63745.0667.0333.0)()(
,135943.0666.0666.0)()(
,43.18581.15.05.1)(
0
34
0
3413
~
3
341
0
4344
~
4
443
0
2232
~
2
223
0
1211
~
1
121

 
 
 
 









 
 
 
Exemplo 4: Dado o circuito da figura a seguir, determine a corrente pela resistência R1 pelo método de 
Thévenin 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 64 
 
 
 
DADOS: 
AJ ,01 0

 ; 
VE ,010 0

 ; 
 31X
; 
 52X
; 
 53X
; 
104X
; 
 51R
 
 
Resolução 
 
Cálculo da impedância equivalente 
 
 





5
0
0*)(
33
42
42 jjXjX
jXjX
jXjX
Z
equ
 
 
Cálculo da tensão Uab,mv 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 65 
 
 
Vamos usar malhas independentes para as correntes nos ramos 
 
N = 2; r = 3; rc = 1 
equNrrN cequ 1)12()13()1()(
0 
 
 
AjIJI
AjII
AjIEjXJjXjXI
a
a
a
oaEnt
a
,45943.0667.0667.0
,43.63745.0666.0333.0
,43.63745.0666.0333.0)()(
0
2
0
4
0~
242


 



 
 
Então 
 
VUEjXJU
mvab
oaEnt
mvab
,57.2680.11)( 0
,
~
3
,
 

 
 
Cálculo da corrente pretendida 
 
Aj
jZZ
U
I
equ
mvab
,43.18581.150.050.1
55
57.2680.11 0
0
1
,
1









 
 
 
 
 
Exemplo 5: O circuito da figura a seguir foi resolvido pelo método de análise nodal, e obtiveram-se os 
seguintes valores de correntes pelos ramos 
 
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AI
AI
AI
AI
AI
E
,30.11849.0
,135707.0
,44.63745.0
,135943.0
,43.18581.1
0
0
3
0
4
0
2
0
1










 
 
Faça a prova pelas equações do balanço de potência 
 
Resolução 
 
Para as fontes 
 
Cálculo da tensão Uab aos terminais da fonte de corrente 
 
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VjURIjXIjXJU
ab
oaEnt
ab,22.34038.5833.2166.40)()( 0
~
1
1
2
2
1  

 
 
 

VAjIEJUS
Eabfontes
,497.449.12)30.11849.0)(010()01)(22.34038.5(
**
 
  WPfontes 49.12
 
VARQ
fontes
497.4
 
 
Para os consumidores 
 
  WRIP esconsumidor 49.125*581.1 2121
 
 
VARXJXIXIXIQ fontes 497.43*15*707.010*745.05*943.0
2222
1
2
3
2
34
2
42
2
2 
 
 
Logo verifica-se o equilíbrio 
 
   WPWP esconsumidorfontes 49.1249.12
 
 
  VARQVARQ esconsumidorfontes 497.4497.4 
 
 
 
Sobreposição fica para os estudantes 
A Ficha dos métodos deve ser dada pelo docente 
 
 
 
 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 68 
 
Exercícios 
 
1. A tensão e corrente instantânea num circuito de corrente alternada são: 
 
 Vt377sen6155v ,
 
  A8736t377sen077i 0,, 
 
 
Determina: 
a) A frequência em HZ; 
b) O período; 
c) O ângulo de fase entre a tensão e a corrente em radianos. 
 
Resolução 
a) 
srad /377
 
00
 
087.36
 
Hzff oaEnt 60
2
377
2
2
~
  

 
b) 
s
f
T 0167.0
60
11

 
c) 
087.36)87.36(0   
 209.0
180
*87.36
0
0 
 
 
2. Determina a potência média P em uma resistência pura de 10 Ohms, onde circula uma corrente 
tωcos,)t(i 1414
amperes. 
 
Resolução 
W
R
U
R
U
P
ef
media 10
10
)
2
14.14
()
2
( 22max2

 
 
3. A onda de tensão mostrada na figura a seguir é aplicada sobre um Resistor de 20 Ω. Se a tarifa de 
energia for de USD 0,06 por kWh, quanto custará operar a fonte durante 24 horas? 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 69 
 
v [ V ]
t [ s ]0,01 0,02
100
 
Figura... Forma de Onda 
Resolução 
VU 100max 
 
VUeficaz 711.70
2
100

 
WP 250
20
711.70 2

 
KwhWhhorasWtPE 6600024*250* 
 
 
Custo de operação 
USD
Kwh
USDKwh
36.0
1
06.0*6

 
 
3. A corrente no circuito R-L da figura a seguir é 
 tsen,i 50002
. Calcular a tensão total aplicada. 
 )t(vT
)t(i Ω10
mH20
 
 
Resolução 
HmHL
R
srad
3
0
10*2020
10
0
/500






 
A
I
I
eficaz
,0414.10
2
2
2
00max 


 
 
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 70 
 
 

,LjXRZ
 
  1010*20*500 3LX L 
 


,1010 jZ
 
VjjZIU
eficazeficaz
,452014.1414.14)1010(*)0414.1(* 00 

 
Vttu t ),45500sin(284.28)45500sin(*20*2
00
)( 
 
 
 
4. Num circuito R-L série com 
ΩR 20
 e 
HL 06,0
 a corrente está atrasada de 80º em relação à 
tensão. Determina a frequência ângulo ω. 
 
Resolução 
0
0
80
0
06.0
20






HX
R
L
 
080)80(0   
 
R
X
XRZ LL arctan(
22 

 



 




425.113
0603.0
877.775
877.7750603.0
40080sin*80cos*80sin*80cos*
80sin80sin*80cos*80cos*400
)80sin*(()80cos*(()()20(
)80sin80(cos)(
~2
222222222
222222222
22222222
22
L
oaEnt
L
LLL
LLL
LLL
LL
XX
RRXXX
XRXRX
XRjXRjX
jXRjXR
 
srad
L
X
LX LoaEntL /417.1890
06.0
425.113~
   
 
5. No circuito R-C série mostrado na figura a seguir, 
 tsco)t(i 50002
. Determinar a 
tensão total aplicada VT(t) assim como o ângulo de desfasamento entre a tensão 
aplicada e a corrente pelo circuito. Esboçar também 
)t(v
T
e 
)t(i
no mesmo gráfico. 
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)t(VT
Ω5)t(i
Fμ20
 
 
 
6. Dois elementos puros de circuito estão associados em série, possuindo a corrente 
   A,tsen,i 04535004213  para uma tensão aplicada de   Vtsenv 010500150  . 
Determina o tipo e os valores característicos dos elementos do circuito. 
 
Resolução 
 
0
0
0
4.63)4.53(10
4.53
10
/500







 srad
 

é positivo (+), então o circuito tem característica indutiva 
 
A
I
I
ef
,4.53489.94.53
2
42.13
2
0max 


 
V
U
U
ef
,10066.10610
2
150
2
00max 


 
 







0
0
0
4.63178.11105
4.53489.9
10066.106
j
I
U
Z
ef
ef
 


10
5
LX
R 
H
X
LLX LoaEntL 02.0
500
10~
  
 
 
7. Um circuito série constituído de 2 elementos puros tem as seguintes corrente e tensão 
 aplicadas:    Vtsenv 0502000200     A,tcosi 021320004  . Achar os 
elementos que constituem o circuito. 
 
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8. Dados 
   V45t5000sen150v º
 e 
   A15t5000sen150i º
, construir os 
diagramas de fasores da tensão e corrente, e da impedância complexa e determinar os 
valores das constantes (R, L, C) do circuito. 
Nota: Na prática, na representação de fasores são usados valores eficazes para as grandezas 
tensão e corrente no lugar de valores máximos. 
 
9. Dados 
   V170t2500sen311v º
 e 
   A145t2500sen515i º, 
, construir os 
diagramas de fasores da tensão e corrente, e da impedância complexa e determinar os 
valores das constantes do circuito. 
 
10. Um circuito série R-L de 
 20R
 e 
H020L ,
 tem uma impedância 
 40Z
. 
Determinar o ângulo 

 e a frequência hertziana f. 
 
11. Em um circuito série R-C de 
 10R
 e 
F50C 
, a tensão aplicada e a frequência 
 são tais que a corrente está adiantada de 30º em relação à tensão. Qual a mudança 
 de frequência necessária para que a corrente fique avançada de 70º? 
 
12. Sendo 
Hz500f 
, determinar o elemento puro que, em série com uma resistência 
 25R
, produz um atraso de 20º da corrente em relação à tensão aplicada ao 
conjunto. Repetir para um avanço de 20º. 
 
13. Pretende-se utilizar um circuito em série de 
 25R
 e 
H010L ,
 nas frequências de 
 100 Hz, 500 Hz e 1000 Hz. Achar a impedância 
Z
 em cada uma das frequências. 
 
14. Uma tensão 
   V20t2500500tv ºcos)( 
 é aplicada a um circuito em série com 
 10R
 e 
F40C 
 . Achar as correntes 
I
 e 
)(ti
 
 
15. Um circuito em série R-L com 
 8R
 e 
H020L ,
 tem uma tensão aplicada de 
   V90t300sen283tv º)( 
. Achar as correntes 
I
 e 
)(ti
. 
 
16. Num circuito em série R-L com 
 5R
 e 
H030L ,
 a corrente está atrasada de 80º 
em relação à tensão. Determinar as frequências angular e hertziana da fonte. 
 
17. Um Capacitor de 
F25
está em série com um resistor R na frequência de 60 Hz. A 
corrente resultante está avançada de 45º em relação à tensão. Determinar o valor de 
R. 
 
18. A tensão 
   V30t200sen770tv1 º,)( 
 é aplicada a um circuito em série de 
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