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Cálculo_I_-_Diva_Flemming22

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MAKRON
Books
CAPÍTULO 1 EDITORA
NÚMEROS REAIS
Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de
números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses con-
juntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções,
usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais.
Neste 1 2 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos
os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo
estas propriedades.
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros
positivos ou naturais. Temos então o conjunto
N = {1, 2, 3, ...}.
Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos
números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números
inteiros que denotamos por
Z={0,±1,±2,±3,...}.
2 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o
conjunto dos números racionais. Denotamos:
Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.
Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln,
n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números
formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'.
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por
1? = Qu Q'
A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao
conjunto dos números reais.
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adi-
ção e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:
1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado
por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por
ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.
1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e a-b=b-a.
1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então
a + (b + c) = (a + b) + c e a (b - c) = (a•b) • c.
1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então
a• (b + c) = ab + ac.
1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a
e a • 1= a, para qualquer a E R.
Números reais 	 3
1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a,
tal que a + (—a) = O.
1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a � O tem um inverso, denotado por
1/a, tal que a • 1—
a 
= 1.
Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida
por a — b = a + (—b).
1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb � O, o quociente de a e b é definido por —a = a 
b•
1.2 DESIGUALDADES
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, deve-
mos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.
1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto
denominado de números positivos, tal que:
(i) se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo;
— a é positivo;
(ii) a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é . positivo.
1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo.
1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos:
(i) a < b <=> b — a é positivo;
(ii) a > b .:;=> a — b é positivo.
4 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos:
(i) a 5_ b <=> a < b ou a =-- b;
(ii) a � b<=>a>boua=b.
Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI-
GUALDADES. a<bea>b são desigualdades estritas enquanto a ^ bea � b são
desigualdades não estritas.
1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N.
(i) Sea>b eb>c, então a > c.
(ii) Se a>bec> O, então ac > bc.
(iii) Se a>be c< O, então ac < bc.
(iv) Se a > b, então a+c>b+c para todo real c.
(v) Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d.
(vi) Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd.
As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as
definições anteriores. Por exemplo:
Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c).
(def)
Se a > b 	 (a — b) > O.
(def)
Se b > c 	 (b — c) > O.
Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) > O
(def)
ou 	 a—c>0a>c.
Números reais 	 5
Prova da Propriedade ii). (Se a > b e c > O, então ac > bc).
(def.)
Se a > b	 (a — b) > O.
Usando 1.2.1 (iii) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela
definição, ac > bc.
1.3 VALOR ABSOLUTO
1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como
lal = a, se a O
lal = — a, se a < O.
1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também
chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então
lal = .
1.3.3 Propriedades.
(i) lxl < a <=> —a < x < a, onde a > O.
(ii) >a<=>x>aoux<—a, onde a > O.
(iii) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl.
(iv) Se a,bEReb � O, então ab
lal
Ibl 	 •
(v) (Desigualdade triangular)
Se a, b e IR, então la + bl lal +
(vi) Se a, b E R, então la — bl 5 lal + Ibl.
(vii) Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl.
la 1 ).lb 1
a
b
6 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Vamos provar algumas das propriedades citadas.
Prova da Propriedade i). (Ix1 < a <=> — a < x < a, onde a > 0).
Provaremos por partes:
Parte 1: — a < x < a, com a > O	 Ixl < a.
Se x �_ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x < a, vem que Ixl < a.
Se x < O, lxl = — x. Como — a < x, aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluí-
mos que — x < a.
Assim, lx1 = — x < a ou seja Ixl < a.
Parte 2: lxl < a onde a > O — a < x < a.
Se x .� 0, então Ixl = x. Como lx1 < a, concluímos que x < a. Como a > 0,
segue que — a < O e então — a < O x < a ou seja —a<x<a.
Se x < O, lxl = — x. Como por hipótese Ixl < a, temos que —x < a. Como x < 0,
segue que — x > 0. Portanto, — a < 0 < — x < a ou de forma equivalente — a < x < a.
Prova da Propriedade iii). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl).
Usando 1.3.2, vem
labl = I(ab)2 = 'Va2 • b2 = .Va2 • 'NFTo	 lal • Ibl.
Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então
Usando 1.3.2, vem
= "\I	 =	 —	 —	 b O.
*NW 1 a 1 
b2 	I b 1
a
b
Números reais 	 7
Prova da Propriedade v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1).
Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em
qualquer caso vale,
ab	 labl = tal Ibl. 	 (1)
Multiplicando (1) por 2, temos
2ab 2 lal IbI. 	 (2)
Da igualdade (a + b)2 a2 + 2ab + b2 e de (2)
vem que
	
(a + b)2 a2 + 2 lal Ibl +b2
(a + b)2 la12 + 2 lal Ibl + Ib12
(a + b)2 5_ (Ial + 1b1)2 . 	 (3)
Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos
la + bl 5_ lal + Ibl.
Prova da Propriedade vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1).
Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v).
Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl
lal + Ibl.
Prova da Propriedade vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl 	 la — b1).
Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem
lal = Ic + bl
	 Icl + 1bl
lal — Ibl 	 Icl
lal — Ibl 	 la — bl .
8 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.4 INTERVALOS
Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:
1.4.1 Intervalo Aberto. {xl a < x < b} denota-se (a, b) ou ]a, b[.
1.4.2 Intervalo Fechado. fx1 a x b) denota-se [a, b].
1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. {xl a < x b} de-
nota-se (a, b] ou ]a, b].
1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. {xl a x < b} de-
nota-se [a, b) ou [a, b[.
1.4.5 Intervalos Infinitos.
(i) {x I x > a} denota-se (a, + oo) ou ] a, + oo[;
(ii) {x 1 x a} denota-se [a, + o.) ou [a, + oo [;
(iii){x 1 x < b} denota-se (-00, b) ou ]— ao, b{;
(iv) {x 1 x b} denota-se (— co, b] ou ]- .0, b].
Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos
que seguem:
ex. 1.4.1 — (2, 3)
ex. 1.4.2 — [O, 3]
ex. 1.4.3 — (1, 4]
ex. 1.4.4 — [O, 4) 
O	 1	 2 3	 4
E	
O	 1 	 2 3	 4
O	 1	 2 3	 4
O	 1	 2 3	 4 
Números reais	 9
ex. 1.4.5 —
(i) (O, + ao) O 1 2 3 4
(ii) [1, +
O 1 2 3 4
(iii) (-0., 3) 4
O 1 2 3 4
(iv) (-00, 4] 4 3--
0 1 2 3 4
1.5 EXEMPLOS
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo.
Fazer a representação gráfica.
3+7x < 8x+9
3+7x-3 < 8x+9-3
7x < 8x + 6
7x-8x < 8x + 6 — 8x
—x < 6
x >
(propriedade 1.2.5 iv)
(propriedade 1.2.5 iv)
(propriedade 1.2.5 iii)
Portanto, {x I x > —6} = (— 6, + 00) é a solução,
e graficamente
6
10 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7 < 5x+35.9
7-3 < 5x+3-3 ^ 9-3
4 < 5x<_6
4
	6< x5 	 5
(propriedade 1.2.5 iv)
(propriedade 1.2.5 ii)
Portanto, {x 1 4/5 < x 6/5} = (4/5, 6/5] é a solução,
e graficamente
4/5	 6/5
(iii) x + 7 < 5 , x � —7.
Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos.
então, considerar dois casos:
Caso].
Então,
x + 7 > O ou x>-7	 (propriedade 1.2.5 iv)
x < 5 (x + 7)	 (propriedade 1.2.5
x < 5x + 35
x — 5x < 5x + 35 — 5x 	 (propriedade 1.2.5 iv)
— 4 x < 35
x > — 35/4 	 (propriedade 1.2.5 iii)
Portanto, {x I x > —7} n {xl x > —35/4} = (-7, + 00) é a solução do 4:354? 1.
Caso 2.
Então,
x+7 < O ou x< —7.
5(x + 7)
x > 5x + 35
x < —35/4
Portanto, {x I x < —7} n {x 1 x < —35/4} = (— 00, —35/4) é a solução do caso 2.
Números reais	 11
A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co)
ou ainda x e [-35/4, —7].
Graficamente,
-35/4
(iv) (x + 5) (x — 3) > O.
A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:
Caso 1. 	 (x + 5) > O e (x — 3) > O ou
x > — 5 	 e x> 3
ou
x >
Caso 2. 	 x + 5 < Oex-3<0
ou
x < —5 e x < 3
ou
x < — 5.
A solução final será a união entre (3, + 	 e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3].
Geometricamente,
4	
-5
2. Resolva as equações:
(i) I5x — 31 = 7.
Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2
ou x = — 4/5.
12 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, as duas soluções da equação dada são:
x = 2 e x = - 4/5.
(ii) I7x - 11 = I2x + 51.
Esta equação será satisfeita se:
Caso 1.	 7x-1 = 2x + 5
7x-2x = 5 +1
5x = 6
x = 6/5.
Caso 2.	 7x -1 = -(2x +5)
7x -1
	 -2x-5
7x +2x = -5 +1
9x	 -4
x = - 4/9.
Portanto, a solução final é x = 6/5 e x = - 4/9.
(iii) 1 9x + 71 = -7.
Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode
ser negativo.
3. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
(i) 17x- 21<4.
Aplicando a propriedade 1.3.3 (i),
-4 < 7x-2<4
-4+2 < 7x-2+2<4+2
Números reais 	 13
-2 < 7x < 6
2 	 6
7 	
x <	 .
Portanto, x E (-2/7, 6/7).
7 - 2x
4 + x
s 2, x o - 4. 
Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv),
17 - 2x1 
14 + 	 ^
 2.
17 - 2x1 s 214 + xl.
Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, vem
49-28x+4x2 s4(16+8x:Fx2)
49-28x+ 4x2 s64+32x+4x2
49 -28x + 4x2 - 64 -32x - 4x2 s 0
- 60x - 15 s O
- 60x 5 15
60x - 15
- 15/60
x z - 1/4 ou x E [-1/4, +
(iii) 3 - 2x s 4, x -2.
2 + x
1 3 - 2x1 s 4 12 + xl
9 - 12x + 4x2 s 16(4+ 4x+x2)
9 - 12x + 4x2 s 64 + 64x + 16x2
-12x2 - 76x -55 s O
14 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
	12x2 +76x+55	 O
12(x + 5/6) (x + 11/2) .� O
(x + 5/6) (x + 11/2) � O.
Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a
união de (— 00 , —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6).
4. Mostre que, se a,bERea<b, então
(i) (x — a) (x — b) > O	 x [a, b].
(ii) (x — a) (x — b) O 	 x (a, b).
(iii) (x — a) (x — b) <O 	 x E (a, b).
(iv) (x — a) (x — b) < O 	 x E [a, b].
	Prova de (i). ((x — a) (x — b) > O 	 x [a, b]).
Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos:
Caso 1. x — a > O e x — b > O
ou
x > a 	 e	 x > b.
A solução deste caso será x > b ou (b, + 00).
Caso 2. x—a < O e x—b<0
ou
x < a 	 e	 x < b.
A solução deste caso será x < a ou (— 0 , a).
Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 00) ou seja x g [a. b]
Números reais 	 15
De maneira análoga pode-se provar as demais relações.
1.6 EXERCÍCIOS
1. 	 Determinar todos os intervalos de números que
representação gráfica.
a) 	 3 —x < 5 + 3x 	 b)
c) 	 2 > — 3 — 3x � —7
satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a
1 	 3x 	 —2x 	 5 1 	 x— < — + 	 +
3 	 4 	 3
5 	 3
x 
< —4
e) x2 _^ 9 1) x2 -3x+2>0
g) 1— x — 2x2
	O h) x + 1 	 x2 — x 	 3 + x
i) x3 +1>x2 +x (x2— 1) (x +4) 5_ O
k) 2 	 x + 2 1) x4 > x2< 1x — 2 — x — 2
x 4<4 n) 1/2 x —rn) x — 3 > 14 + x
o) 3 p) x3 — x2 — x —2>0<2x — 5
q) x3 -3x+ 2 50 r) 1 	 3
x + 1
	 x — 2
s) 8x3 — 4x2 — 2x + 1 < O t) 12x3 — 20x2 _� — 11x + 2.
2. Resolver as equações em R.
a) 15x — 3 I = 12
c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I
b) 	 I —4+12x1=7
d) x + 2
x — 2
=5 
16 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3x + 8
e) — 4 f) 13x+2I=5—x2x — 3
g) I9x1-11 = x h) 2x-7=Ix1+1.
3. Resolver as inequações em R.
a) I x + 121<7 b) 13x-41.<2
c) 15-6x1 � 9 d) 12x-51>3
e) 16+2x1<14—xl f) lx+415.12x-61
• g) 13x1>15-2x1 h) 7 — 2x < 
5 + 3x — 2
i) lx-11+1x+21>4 j) _1<lx+21<4 
k) 2 +x
3 —x
> 4 1) 5 2x— 1 
1 
x — 2 
m) lx1+1<x
	 n). 31x-11+1xl<1
o) 12x2 +3x+3I ^ 3 	 p)	 lx-11+1x-31<14x1
1 
	1
lx+ 111x — 31 — 5 r)
x— 1/2
x + 1/2 <1 
s) 3 — 2x
1 +x
<4 
Números reais
	 17
4. Demonstrar:
a) Se a � Oeb � O, então a2 = b2 se e somente se a = b.
1b) Se x < y, então x < —
2
(x+ y)< y.
c) 1 xl > a se e somente se x > a ou x < — a, onde a> O.
d) Se O < a < b, então "■,/, < a ± 12
2
CAPÍTULO 2 EDITORA
DAMAKRONBooks
FUNÇÕES
Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da mate-
mática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência
entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro
conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de R.
As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real.
2.1 DEFINIÇÃO
Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que
a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é
chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de
valores de f.
Escrevemos:
	 f:. A —> B
x —> f (x)
ou
f
A —> B
x — > y = f (x).
18
Funções	 19
2.2 EXEMPLOS
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
(i) f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.
(ii) g: A --> B
x --> x + 1
é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama.
2.3 CONTRA-EXEMPLOS
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
(i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois
o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B.
20 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) g: A — B
x --> x - 3
não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B.
Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama.
2.4 DEFINIÇÃO
Seja f: A —> B.
i) Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f-unçãof no ponto
x ou imagem de x por f.
ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado
conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).
Funções	 21
2.5 EXEMPLOSejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A —> B definida pela regra
que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.
Então: 	 — a regra que defmef é y = 2x;
—a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.;
—o domínio de f, D(f) = A;
—a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}.
2.6 EXEMPLO
Seja f. R —> R
x —> x2 .
Então, D(f) = R,
Im(f) = [0, + 00).
Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função
apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f
é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida.
2.7 EXEMPLOS
Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo:
(i) f (x) = 1/x.
Esta função só não é definida para x = 0. Logo, D(f) = R — { 0 }.
Im(f) = 1? — {0}.
22 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) f (x) =
Para x < O, f (x) não está definida. Então, D(f) = [o, + 00) e Im(f) = [O, + 00).
(iii) f (x) = 	 — 1.
f (x) não está definida para x < 1. D(f) = [1, 00) e Im(f) = (— 00, O].
(iv) f (x) = lxl.
D(f) = R e Im(f) = [O, + 00).
2.8 GRÁFICOS
2.8.1 Definição. Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos
(x,f (x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos,
fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe
outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. No Capítulo 5,
desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos.
2.8.2 Exemplos
(i) O gráfico da função f (x) = x2 consiste em todos os pares (x, y) E R2 tais
que y = x2. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares (x, x 2) do plano xy. A
Figura 2.1 nos mostra o gráfico desta função, onde salientamos alguns pontos, de acordo
com a tabela.
Figura 2-1
Funções, 	 23
= x2
—2 4
—1 1
o o
1 1
2 4
(ii) Consideremos a função f (x) = x. Os pontos de seu gráfico são os pares
(x, x) e E2 . A Figura 2.2 mostra este gráfico.
Figura 2-2
(iii) Seja f: IR—> IR definida por
-2, se x _^ -2
f(x) = 2, se — 2 < x .^ 2
4, se x > 2.
O gráfico de f pode ser visto na Figura 2.3.
24 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 2-3
(iv) Seja f(x) = lxl. Quando x .� O, sabemos que f(x) = x. Quando x < O,
f (x) = —x. O gráfico de lx1 pode ser visto na Figura 2.4.
Figura 2-4
(v) Seja f(x) = 1 Então, D(f) = IR — { O } . A Figura 2.5 mostra o gráfico
de f (x) = 1/x.
Podemos nos perguntar se, dada uma curva c no plano xy, ela sempre repre-
senta o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um
ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva c só representa o
gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um
ponto.
Funções
Figura 2-5
Na Figura 2.6 a curva c 1 representa o gráfico de uma função enquarito a curva
c2 não representa.
Figura 2-6
2.9 OPERAÇÕES
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números,
também podemos produzir novas funções através de operações. Estas operações são
definidas como segue:
26 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.9.1 Definição. Dadas as funções f e g, sua soma f + g, diferença f — g.
produto f • g e quociente flg, são definidas por:
(i) (f + g) (x) = f (x) + g (x);
(ii) (f — g) (x) f (x) — g (x);
(iii) (f g) (x) =.f (x) g (x);
(iv) (flg) (x) = g(x) .
O domínio das funçõesf + g, f— g e f • g é a intersecção dos domínios de f
e g. O domínio de flg é a intersecção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x
onde g (x) = O.
2.9.2 Exemplo. Sejam f (x) =	 — x e g (x) =	 — 3. Então,
	(f + g) (x) =	 — x +
	 — 3 ;
(f— g) (x) =AIS —x — 'x — 3 ;
	g) (x) =	 — x	 — 3 	 e
.\/5 —(fl g) (x) —
Como D(f) = (— 00, 5] e D(g) = [3, + 00), então o domíniof g,f—g e f. g
é [3, 5].
O domínio de flg é (3, 5]. O ponto 3 foi excluído porque g(x) = O quando
x = 3.
2.9.3 Definição. Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por
(kf) (x) = kf (x)
O domínio de kf coincide com o domínio de
"Vx —
Funções 	 27
2.9.4 Exemplo. Seja f (x) = I x2 — 4 e k = 3.
Então, (kf) (x) = 3 'Vx2 — 4 e D(kf) = (— .0, —2] u [2, + 00).
2.9.5 Definição. Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada
por g 0 f, é definida por
(g o f) (x) g (f (A)•
O domínio de g o f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que
f (x) está no domínio de g.
Simbolicamente,
D(g o f) = {x E D(f) / f (x) E D(g)} .
Em diagrama,
2.9.6 Exemplos
(i) Sejam f (x) = -Cyc e g (x) = x — 1. Encontrar g o f .
Temos,
(g o f) (x) = g (f(x)) = g Wc) = 	 —1.
Como D(f) = [O, + .0) e Im(f) = [O, + o.) c D(g) = 	 Do), então,
D(g o f) = D(f) = [O, + co).
28 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Sejam f (x) = 2x - 3 e g (x) = 	 Encontrar: a) g 0 f, b) f 0 g; c) f 0 f e
d) g o g-
a) (g o (x) = g (f (x)) = g (2x 3) = -\12,x - 3.
O domínio de f é D(f) = (- Ge, + oe) e o domínio de g é D(g) = [O, + 00). Assim, o
domínio de g o féo conjunto de todos os números reais x, tais que f (x) E [O, +
isto é, todos os números reais tais que 2x - 3 O. Logo, D(g o f) = [3f2, + ao).
b) (f o g) (x) = f(g(x)) =f(L) = 2 '\F-x-- - 3 e
D(f o g) = {x E D(g) [O, + ao) / g (x) E D(f) 	 ao)} = [O, +
c) (f of) (x) = f (f (x)) =f -3)
= 2(2x - 3) - 3
= 4x - 9.
D(f 0 .f) 	 00, 00) •
d) (g o g) (x) =- g (g (x)) = g (\rx-) ‘ .Nr -c =
D o g) = [O, +
	
{O, 	 se x < O
(iii) Sejam.fix) = 	 x2, 	 se O < x < 1
	O,	 se x > 1
1, se x < O
e g(x) = 2x, se O < x < 1
1, se x > 1 .
Determinar fo g.
Sex<0 	 , (f o g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1 2 =1 .
Se O x 1, (f o g) (x) =f (g (x)) =f (2x).
Para O x -1 ' temos O 2x 5. 1. Logo, neste caso, (f 0 g) (x) = (242 = 4x2 .2
Funções 	 29
Para 2 < x 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f 0 g) (x) = O. Se x > 1,
(f0 g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1.
1, se x < O
Logo, To g) (x) = 4x2,O,
se
se
O < x	 1/2
1/2 < x 5. 1
1, se x > 1
O domínio de f o g é D(f o g) = (— + ..).
O gráfico de f 0 g pode ser visto na Figura 2.7.
2.10 EXERCÍCIOS
—x21.	 Se f (x) — — 1 
4
 ' achar:
(a) f (0)
(c) f (11t)
(e) f (1/2)
(b) f (-2)
(d) f (x — 2)
(f) f (ê)
30	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3x — 1 2. 	 Se f (x) —x — 7 , determine:
(a) 5fl— 1) — 2f(0) + 33f(5) 7
(c) f (3x — 2)
(e) f(h) — f(0) h
(b) [f(-1/2)12
(d) f (t) f
(t) f Lf (5)1.
3. Dada a função f (x) xl — 2x, calcular f (-1), f (12) e f (-2/3). Mostrar que f (I al) = —1 ai.
4. Se f (x) — ax d
+ b e d = — a, mostre que f (f (x)) x.
cx + 
5. Se f (x) =	 f(a + h) — f(a)+ 2x, achar 	 , h # O e interpretar o resultado geometricamente.h
x — 1 6. Dada (x) = 	 + , forme as expressões 4) (1/x) e 1/4) (x).2x 7
7. Dada a função f (x) = x2 + 1, mostrar que, para a � 0,f (1/a) =f (a)/a2.
8. Dada a função f (x) = 1/x, mostrar que f (1 + h) — f (1) — h / (1 + h). Calcular f (a + h) — f (a).
9. Seja f (n) a soma dos n termos de urna progressão aritmética. Demonstrar que
f (n + 3) — 3f (n + 2) + 3f (n + 1) — f (n) = O.
10. Exprimir como função de x:
a) A área de uma esfera de raio x.
b) A área de um cubo de aresta x.
c) A área total de uma caixa de volume dado V, sabendo-se que a base é um quadrado de
lado x.
11. Exprimir o comprimento 1 de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como uma função de sua
distância x cm ao centro do circulo.
b) y =114 — x2
d) y= -■ix — 2
f) 	 y 	 + x + 4'N/7 x
a) y = x2
1 c) y — 
x — 4
e) y= I x2 — 4x + 3
12. Seja f (x) = (x — 2) (8 — x) para 2 5_ x 5_ 8.
a) Determine f (5), f (-1/2) e f (1/2). 	 b) Qual o domínio da função f (x)?
c) Determine f (1— 2t) e indique odomínio.
d) Determine f (3)] e f (5)]. 	 e) Trace o gráfico de f (x).
13. Determinar o domínio das seguintes funções:
h) y x + a
g) 	 3'Nix + 7 — 5\ix + 8 x — a
i) y=lx+21 + 4, —5 < x < 2
	
i) Y= 	 x + 1
k) y = x — 1 	 1 Y —x 	 1 +
14. Construir o gráfico cias seguintes funções:
a) f (x) = x2 + 8x + 14
c) y = (x — 2)2
e) y = x3
g) f (x) = 1 xl, —3 5 x < 3
f (x) = — x2 + 4x — 1
y = — (x + 2)2
y = 4 — x3
h) f (x) — 	 1 
x — 2
c) f (x) —
1
d) f (x)= "Nix + 1
x
1 + x2
32 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
O, se x < O
f(x) = 1/2,
1,
se
se
x = O
x > O
i) 	 f (x) — x + 3
—k) 	 f(x) =
	 x'x,
— 2 5 x 5 O
O < x < 2 1) f(x) =
x3 ,
1,
se
se
x 5_ O
O < x < 2
x2, se x > 2
m) f 	 2px .
15. Para cada uma das seguintes funções f (x) esboce primeiro o gráfico de y = f (x), depois o
x)( 	 I f (x) gráfico de y = If (x)1 e fmalmente o gráfico de y = f 2 + 2
a) f (x) (x — 2) (x + 1); 	 b) f (x) = x2;
c) f (x) = —x2 ; 	 d) f (x) ,-- 4 —x2 .
{x
2 — 9
' x 
# — 3
16. Sejam g (x) = x — 3 e f (x) = x+ 3
Calcule k tal que f (x) = g (x) para todo x.
17. Para cada item, calcule f + g, f—g, f- g, fl g, f o g, g of, Ic-f, onde k é uma constante.
k, x = —3 .
yk
a) f (x) =- 2x
b) f (x) 3x — 2
, 	 g(x)=x2+1
g (x) I xl
g (x)= 1/x
g (x) x — 2
Funções 	 33
e) f (x) = 'lx — 2 	 g (x) = lx — 3
f(A= X3 g (x) = 1/ 
f--
18. Seja h definida por h(x) = 2x — 7. Calcule h o h, h2 e h + h.
19. Sabendo que f = g o h, nos itens (a), (c) e (d) encontre a função h e no item (b) a função g.
a) f (x) = x2 + 1 	 g(x)=x+1
b) f (x) = 'lx + 2 	 h(x) = x + 2.
c) f (x) = a + bx 	 g(x)=x+a.
d) f(x)=1x2 -3x+51 , 	 g(x)=Ixl.
20. Sendo f (x) = ax + b, para quais valores de a e b tem-se (f o f) (xj = 4x — 9?
21. Sejarnf (x) = 'lx — 4 e g (x) = 1/2x + 1, x � 3. Calcule f o g . Dê o domínio e o conjunto
imagem de f (x), g (x) e (f o g) (x).
22. Sejam f(x) =
5x, x O
—x, O < x 8 e g (x). x3. Calculef o g.
-Cx , x > 8 
23. A função g é definida por g (x) = x2. Defma uma funçãof tal que (f 0 g) (x) = x, para x O e
uma função h, tal que (h o g) (x) = x, para x O.
24. Se f (x) = x2, encontre duas funções g para as quais (f o g) (x) = 4x2 — 12x + 9.
25. Se f (x) = x2 — 2x + 1, encontre uma função g (x) tal que (f / g)(x) = x — 1.
34 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
26. Dadas as funçõesf (x) = x2 — 1 e g (x) = 2x — 1:
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f (x).
(b) Determine o domínio e o conjunto imagem de g (x).
(c) Construa os gráficos de f (x) e g (x).
(d) Calcule f+ g, f— g, g• f, flg,f o g e g o f.
(e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d).
2.11 FUNÇÕES ESPECIAIS
A seguir vamos relacionar algumas funções que chamaremos de funções es-
peciais.
2.11.1 Função Constante. É toda função do tipo f (x) k, que associa a qualquer
número real x um mesmo número real k.
A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x, passando
por y = k.
O domínio da função f (x) = k é D(f) =
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f) = {k}.
Exemplos.
(i) f (x) = 2	 [Figura 2.8.(a)].
(ii) f (x) = —3	 [Figura 2.8 .(b)].
Funções 	 35
♦ Y
X
-3
(b)
2
X
(a)
Figura 2-8
2.11.2 Função Identidade. É a função fl. 1? 1? definida por f (x) = x.
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes
(Figura 2.9).
Figura 2-9
O domínio de f (x) = x é D(f) = 1?.
O conjunto imagem é Im(f) = E.
36 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.11.3 Função do 1 2 Grau. Função do 1 2 grau é toda função que associa a cada
número real x, o número real ax + b, a # O. Os números reais a e b são
chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear.
Quando a > O a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce,
f (x) também cresce. Quando a < O a função f (x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida
que x cresce, f (x) decresce.
O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coorde-
nados.
O domínio de f (x) = ax + b é D(f) =
O conjunto imagem é Im(f) = 1?.
Exemplos.
(i) f (x) = 2x + 3 é uma função do P grau crescente porque a > O (Figura
2.10).
Figura 2-10
(ii) A função f (x) = — 3x + 1 é uma função do 1 2 grau decrescente
porque a < 0 (Figura 2.11).
Funções 	 37
Figura 2-11
(iii) No movimento retilíneo uniforme, o espaço percorrido é uma função
do tempo, expresso pela fórmula s = so + vt, onde 3'0 e v são
constantes e v O. Esta função é do P grau.
2.11.4 Função Módulo. A função definida por y = lx 1 chama-se função módulo.
O seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [O, +
O gráfico desta função está ilustrado na Figura 2.12.
Figura 2-12
2.11.5 Função Quadrática. A função f: IR —> R definida por f (x) = ax2 + bx + c,
a � O é chamada função do r grau ou função quadrática. Seu domínio é
D(f) = R.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria
• paralelo ao eixo dos y. Se o coeficiente de x 2 for positivo (a > O), a parábola tem a
Figura 2-13
s s
A = b2-4ac = O
a parábola inter-
cepta o eixo dos
x em um único
ponto.
A = 11-4ac <O
a parábola não
intercepta o eixo
dos x.
A = tf-4ac> O
a parábola inter-
cepta o eixo dos x
em dois pontos
distintos.
38 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 
concavidade voltada para cima. Se a< O, a parábola tem a concavidade voltada para
baixo.
A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice.
A intersecção da parábola com o eixo dos x define os zeros da função. No
quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades (Figura 2.13).
2.11.6 Função Polinomial. É a funça".0- 3f: I? -->1? definida porflx) agn+ a ix" 1 +
...+an1 x+atz onde a0' a 1, • •' a,, a0 � O, são números reais chamados
coeficientes e n, inteiro não negativo, determina o grau da função.
Funções 	 39
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos
de máximos e mínimos Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções
com auxilio das derivadas.
O domínio é sempre o conjunto dos números reais.
Exemplos.
(i) A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
(ii) A função f (x) = ax + b, a # O é uma função polinomial do 1 2 grau.
(iii) A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a # O é uma função
polinomial do r grau.
(iv) A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
(v) A função f (x) = 5x5 — 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
2.11.7 Função Racional. É a função definida como o quociente de duas funções
polinomiais, isto é 4 f(x) = p(x) , 	 p(x) e q(x) são polinômios e q(x) # O.
q(x)'
O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais
que q(x) = O.
Exemplos.
x — 1 (i) A funçãoftx) — 	 é função racional de domínio D(f) = R — (-1 }
(Figura 2.14). x
Figura 2-14
D(f) = R — {-4, —3, 3} (Figura 2.15 ►.
-4 -3
Figura 2-15
2.12 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Dizemos que uma função f (x) é par se, para todo x no domínio de f, f (—x) = f (x).
Uma função f (x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f (—x) = — f (x).
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico
de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Exemplos.
(i) A função f (x) = x2 é par, já que f (—x) = (-42 = x2 = f (x).
(ii) A função f (x) = x5 + x3 é ímpar, já que f (—x) = (—x)5 + (—x)3 =
— x5 — x3 = — (x5 + x3) = — f (x).
(iii) A função f (x) = x3 + 4 não é par nem ímpar.
40 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(x2 + 3x — 4)(..x= — 9) (ii) A função f(x) — (f. + x — 12)(x — 3) é racional de domínio
Funções 	 41
2.13 FUNÇÕES PERIÓDICAS
Dizemosque uma função f(x) é periódica se existe um número real T O tal
que f (x + T) = f (x) para todo x E D(f).
O número T é chamado período da função f (x).
O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento ITI.
Exemplos.
(i) Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas f(x) = sen x
e f (x) = cos x são periódicas de período T = 2n.
(ii) A função constante é periódica e tem como período qualquer número
T O.
(iii) A Figura 2.16 mostra gráficos de outras funções periódicas.
Figura 2-16
2.14 FUNÇÃO INVERSA
Seja y = f (x) uma função de A em B ou f: A —> B. Se, para cada y E B, existir
exatamente um valor x E A tal que y = f (x), então podemos definir uma função
g: B —> A tal que x = g (y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa
de f e denotada por f -1 .
42 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Exemplos.
(i) A função f: R -' E definida por y = 2x - 5 tem como função inversa
f -1 : 1?-> R, definida por x = 	 (y + 5).
-
(ii) A função f: - {3} -' 	 3 - 
1- {-1} definida por y -
	 admite x
a função inversa f -1: E - {-1} -' R - {3} definida por
1 + 3y x = y + 1
Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando
uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto. A Figura
2.17 ilustra a função f: E-> E dada por y = x2 que não possui inversa. Fazendo uma
restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por
exemplo, para x z O existe a inversa x1 = .6 e para x s O existe a inversa x2 = - V.
Figura 2-17
Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y = x e
observarmos a simetria.
Exemplos.
(i) A função f: [O, + 00) -> [O, + 00), definida por f (x) = x2 tem como inversa
a função g: [O, + 00) -0 [O, + 00) dada por g (x) = Vi (ver Figura 2.18).
Funções 	 43
(ii) A função f: I? ---> 11? dada por y = x3 admite a função inversa
g:	 R dada por g (x)= 3'\11x (ver Figura 2.19).
Figura 2-18 Figura 2-19
2.15 ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES
2.15.1 Função Exponencial. Chamamos de função exponencial de base a, a fun-
ção f de IR em I? que associa a cada x real o número real ax, sendo a um
número real, 0 < a � 1,
ou, f: R — > R
x ---> y = ax.
O domínio da função exponencial é D(f) = R. A imagem é Im(f) = (0, o.).
Podemos também denotar Im(f) = (0, = R+*.
Com relação ao gráfico da função f (x) = ax (Figura 2.20) podemos afirmar:
1) a curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois
y = ax > O para todo x e R;
2) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
3) f (x) = a' é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a <
44 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
A y
Y = ax
(0<a<1) 
(0,1) 
Figura 2-20
2.15.2 Função Logarítmica. Dado um número real a (O < a � 1), chamamos
função logarítmica de base a a função de R +* em R que associa a cada x o
número logo x, isto é,
f: R±* -*R
x —> y = loga x.
As funções f de R+4, em R definida porf (x) = logo x e g de R em R4,* definida
por g (x) = ax; O < a � 1, são inversas uma da outra.
Temos D(f) = R±* e Im(f) R.
Com relação ao gráfico da função f (x) = logax (O < a � 1) (Figura 2.21),
podemos afirmar:
1) está todo à direita do eixo y;
2) corta o eixo das abscissas no ponto (1, O);
3) f (x) = logax é crescente se a > 1 e decrescente se O < a < 1;
4) é simétrico ao gráfico da função g (x) = ax em relação a reta y = x.
01= ax Y
(0<a<1)
X
Y= log x
/' 	 (0<a<1)
Funções 	 45
Figura 2-21
2.15.3 Funções Trigonométricas
FUNÇÃO SENO
Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na
circunferência unitária com centro na origem (ver Figura 2.22). Seja P o ponto de
intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência.
Figura 2-22
Denominamos seno de x a ordenada OP 1 do ponto P em relação ao sistema
U O V.
46 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Definimos a função seno como a função f de 1? em 1? que a cada x e I? faz
corresponder o número real y = sen x, isto é,
f: R -› R
x ---> y = sen x.
O domínio da função seno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
A função y = sen x é periódica e seu período é 2n, já que sen (x + 27t) = sen x.
Em alguns intervalos sen x é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo,
nos intervalos [O, ic/2] e [31c/2, 2n] sen x é crescente. Já no intervalo [7c/2, 37t/2] ela é
decrescente.
O gráfico da função f (x) = sen x, denominado senóide, pode ser visto na
Figura 2.23.
Figura 2-23
FUNÇÃO COSSENO
Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abcissa OP2 do ponto P
em relação ao sistema U O V (Figura 2.22). Definimos a função cosseno como a função
f de 1? em I? que a cada x E R faz corresponder o número real y = cos x, isto é,
f: I? -- I?
x y = cos x.
O domínio da função cosseno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
t -
sen x
tg x — cos x
1
sec x — cos x
Funções 	 47
Para todo x E 1?, temos cos (x + 27c) = cos x. Portanto, a função cosseno é
periódica e seu período é 27c.
Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente.
Por exemplo, no intervalo [O, 7c] a função f(x) = cos x é decrescente. Já no intervalo
[n, 27c] ela é crescente.
O gráfico da função f (x) = cos x, denominado cossenóide, pode ser visto na
Figura 2.24.
Figura 2-24
FUNÇÕES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE
Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno.
As funções tangente e secante são, respectivamente, denotadas pelos símbolos
tg e sec e definidas por:
para todos os números reais x tais que cos x O.
cotgx = cos x
sen x
cosec x —
1 
sen x
48 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
As funções cotangente e cossecante são, respectivamente, denotadas por cotg 1
e cosec e definidas por: 	 1
para todos os números reais x tais que sen x # O.
O domínio das funções tg x e sec x é o conjunto de todos os números reais x
—25E 	 37c—2 ± 7cpara os quais cos x # O. Como cos x = O quando x for ± —2 ± 	 , 	 , ..., isto é,
quando x = —
2 
+ mc, n E Z, temos D(tg) = D(sec) = {x E R lx# ic12 + nn, n E Z}.
Analogamente, o domínio das funções cotangente e cossecante é o conjunto
de todos os números reais x para os quais sen x # O. Como sen x = O para x =
n E Z, temos:
D(cotg) = D(cosec) = {x e 1?Ix � nn,neZ}.
Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.25. Podemos observar
que as funções tangente e cotangente são periódicas de período E e que as funções
secante e cossecante são periódicas de período 27c.
2.15.4 Funções Trigonométricas Inversas.
COnforme definição da seção 2.14, sabemos que é impossível definir uma
função inversa para a função y sen x, porque a cada valor de y corresponde uma
infinidade de valores de x.
Portanto, para definirmos a função inversa de y = sen x necessitamos restringir
o domínio.
Este fato ocorre com todas as demais funções trigonométricas.
y = sec x y = cosec x
y = tg x
♦Y
-3n./2 -n12 n/2 3n/2o
Figura 2-25
X
Funções
FUNÇÃO ARCO SENO
Seja f: [-7t/2, n/2] —> [—I, 1] a função definida por f (x) = sen x. A função
inversa da f (x), será chamada arco seno, e denotada por
[-1, 1] —> [—n/2, 7t/2], onde f -1 (x) = arc sen x.
Simbolicamente, para —2
	 2y —7t ' escrevemos a equivalência:
y = arc sen x <=> sen y = x
O gráfico desta função nos mostra uma função crescente (Figura 2.26).
Y
7c/2
-7c/2
Figura 2-26
50 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Observamos que na definição da função arco seno poderíamos ter restringido
o domínio de y = sen x a qualquer dos seguintes intervalos:
[7c/2, 37t/2] , [37c/2, Sic/2] , [57E/2, 7/r/2], ..., ou
[-37c/2, -7c/2] , [-57c/2, -37c/2] , [-77c/2, -57c/2], 	 .
FUNÇÃO ARCO COSSENO
Seja f: [O, it][-1, 1] a função definida por f (x) = cos x. A função
inversa de f será chamada arco cosseno, e denotada por f -1 : [-1, 1] —> [O, n].
onde f -1 (x) = arc cos x.
Simbolicamente, para O .^ y S TC, escrevemos:
y= arc cos x <=> x = cos y
O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente (Figura 2.27).
Observação:
A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação
arc cos x = 2 - arc sen x
Funções 	 51
Figura 2-27
De fato, utilizando o triângulo retângulo (Figura 2.28), temos:
Figura 2-28
Os ângulos a e 13 são complementares, ou
o 	7ca + p = —2
x = sen a = cos 13.
Portanto, a = arc sen x e = arc cos x. Concluímos que
Itarc cos x = 2 — arc sen x.
52	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
FUNÇÃO ARCO TANGENTE
A função inversa da tangente é definida para todo número real.
Seja f:	 it12) ----> /2 a função definida por f (x) = tg x. A função inversa
de f, será chamada função arco tangente e denotada por f -1 : 1? (-n/2, +n/2), onde
f-1 (x) = arc tg x.
Simbolicamente, para -n/2 < y < n/2, escrevemos
y = arc tg x <=> x = tg y
O gráfico nos mostra que quando x se toma muito grande, arc tg x aproxima-se
de n/2. Quando x se toma muito pequeno, arc tg x se aproxima de -n/2.
É uma função crescente (ver Figura 2-29).
Figura 2-29
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Podemos definir a função inversa da cotangente como
y = arc cotg x = —
2 
- arc tg x
onde O < y < 7C.
X
y
n/2
X
y = are cotg x
-1
y = are sec x
Ay
Tu/2 
-1
1
--a/2
y = arc cosec x
Figura 2-30
X
Funções 	 53
As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de x no domínio
1 xl z 1, desde que adotemos as definições:
y = arc sec x = arc cos (1/x)
y = arc cosec x = arc sen (1/x).
A Figura 2.30 mostra o gráfico dessas funções trigonométricas inversas.
54 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.15.5 Funções Hiperbólicas
As expressões exponenciais
e ex + 
2
ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada.
Estas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de x
e cosseno hiperbólico de x.
O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as
funções trigonométricas.
SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO
A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico,
denotada por cosh, são definidas, respectivamente, por:
senhx -" - x
2 	
'+ e e 	 cosh x=
2
O domínio e imagem das funções senh e cosh são:
D (senh) (- + °°),
D (cosh) = (- 00, °°),
Im (senh) = (- + .0) e
Im (cosh) = [1, +
O gráfico da função senh é dado na Figura 2.31(a). Pode ser obtido pelo
método chamado adição de ordenadas. Para usar essa técnica, esboçamos os gráficos
1
das funções -2 e' e - e' (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas.2
Da mesma forma obtemos o gráfico da função cosh [Figura 2.31 (b)].
Funções 	 55
(a) (b)
Figura 2-31
A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um
cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.
Na Figura 2.32 desenhamos um fio de telefone ou de luz. Observamos que a
curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível
mostrar que a equação correspondente é:
y = cosh (x/a), a E R.
Esta curva recebe a denominação catenária.
Figura 2-32
As quatro funções hiperbólicas restantes podem ser definidas em termos de
senh e cosh.
56 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 	 I
TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE HIPERBÓLICAS
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas, denotadas
respectivamente por tgh, cotgh, sech e cosech são definidas por:
— tgh x = senh x
coshx ex + e- x
coshx 	 + cotghx — 	 —
senhx ex — e- x
sechx = 1 = 	 2
coshx ex + e
cosechx = 	 1 	 2 
senhx eX _ e-x
Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.33.
Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são
válidas para as funções hiperbólicas. Por exemplo, pode-se verificar que
cosh2u — senh2u = 1.
Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos eu + sen2u = 1 e pode
ser usada para justificar o adjetivo "hiperbólico" nas definições.
De fato, a identidade cosh 2u — senh2u = 1 mostra que o ponto P de coordenadas
(cosh u, senh u) está sobre a hipérbole unitária x2 — y2 = 1.
Fazendo u variar no conjunto dos reais, o ponto P descreve o ramo direito
da hipérbole. Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo, como
acontece nas funções trigonométricas. No entanto, pode-se estabelecer uma relação
interessante, que fornece uma interpretação geométrica para o parâmetro u.
Na Figura 2.34(a), representamos o círculo unitário, onde demarcamos um
ponto P (cos t, sen t). A área Ac do setor circular QOP é dada por
1
AC = 2 t (1)2
1= —2 t
e portanto, t = 2Ac.
-1
y = tgh x	 y = cotgh x
(a)	 (b)
X X
-1
y = sech x
(c)
Figura 2-33
y = cosech x
(d)
A Y
Funções 	 57
Uma relação análoga a esta, é válida para as funções hiperbólicas. De fato,
é possível mostrar que a área Ah , do setor hiperbólico QOP da Figura 2.34(b), é dada
por
A =2 u
e dessa forma, u = 2Ah .
P (cosh u, senh u)
58	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a)	 (b)
Figura 2-34
Relacionamos abaixo, outras identidades que podem facilmente ser verificadas:
1 tgh u — cotgh u
1 — tgh2 u = sech2 u e
1 — cotgh2 u = —cosech2 u.
2.15.6 Funções Hiperbólicas Inversas
Nesta seção estudaremos as funções hiperbólicas inversas. Para isso, devemos
nos lembrar das definições da seção 2.15.5 e observar os gráficos das Figuras 2.31(a)
e (b) e 2.33.
FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO
Analisando o gráfico da função y = senh x [Figura 2.31 (a)], vemos que a cada
valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio. Assim, podemos
definir a sua função inversa.
A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico
e denotada por arg senh, é definida como segue:
y = arg senh x <=> x = senh y
Funções 	 59
Temos D(arg senh x) = Im (arg senh x) = R.
O gráfico da função arg senh pode ser visto na Figura 2.35. Ele é obtido
fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x.
Figura 2-35
FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO
Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir
o seu domínio, pois como podemos ver no seu gráfico, Figura 2.31(b), a cada valor de
y na imagem, exceto y = 1, correspondem dois valores de x no domínio
Seja f: [O, + 	 -4 [1, +	 a função dada por f (x) = cosh x. A sua função
inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh.
Simbolicamente, para y O, escrevemos
y = arg cosh x <=> x = cosh y
Temos D(arg cosh x) = [1, + 	 e Im(arg cosh x) = [O, + oo).
O gráfico pode ser visto na Figura 2.36.
60 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
AY
X
Figura 2-36
INVERSAS DAS FUNÇÕES TANGENTE HIPERBÓLICA, COTANGENTE
HIPERBÓLICA E COSSECANTE HIPERBÓLICA
Para definirmos as inversas destas funções não necessitamos restringir os seus
domínios, pois a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no
domínio [ver Figura 2.33,(a), (b) e (d)].
As funções inversas da tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica e cosse-
cante hiperbólica, denotadas respectivamente por arg tgh, arg cotgh e arg cosech, são
definidas como segue:
y = arg tgh x <=> x = tgh y
y = arg cotgh x <=> x = cotgh y
y = arg cosech x <=> x = cosech y
A Figura 2.37 mostra um esboço dos gráficos dessas funções.
y= arg cosech xy= arg cotgh x	 Jay
Funções 	 61
y= arg tgh x
Figura 2-37
INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA
Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cossenohiperbólico, para
definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio
Seja f: [O, + co) --> [O, 1] a função dada por f (x) = sech x. A sua função inversa
é denotada por arg sech. Para y O, temos
y = arg sech x <=> x = sech y
Na Figura 2.38 podemos ver um esboço do gráfico da função arg sech.
arg senti x = ln (x + 11x2 + 1 ), x qualquer;
arg cosh x = ln (x + 11x2 — 1), x �. 1;
arg tgh x = 2— ln 1 — x
1 	 (1 + x — 1 < x < 1 ;
arg sech x = In + -‘11 - X2 , O<X.^ 1;
62 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Y
X
Figura 2-38
Podemos exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos
naturais. Isso decorre do fato das funções hiperbólicas serem definidas em termos da
função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa.
A seguir apresentamos essas expressões, que aparecem freqüentemente na
integração.
arg cotgh x = 2— ln x
x
 + 
1
r 	 1 , 	 lx I > 1 ;1
[1 	 -1 + x2 \arg cosech x = ln —
x 
+ 1 lx1 )
, x 	 O.
Funções 	 63
EXEMPLO. Mostrar que arg senh x = ln (x + •NI x2 + 1 ), para todo valor de x.
Sejam xeRey= arg senh x.
Então, x = senh y —
e portanto,
eY — e-Y
2
- 2x — = O.
Multiplicando ambos os membros da igualdade por e, temos
e2Y — 2xeY — 1 = O.
Resolvendo esta equação para eY pela fórmula quadrática, obtemos
2x + •Ni 4x2 + 4_ 	 _ x ± x2+ 1 .
2
Como e > O para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser
descartada. Portanto,
ey = x + x2 + 1 .
Tomando o logaritmo natural, temos
y = ln (x + x2 + 1 ) , ou seja,
arg senh x = ln (x + x2 + 1 ) .
2.16 EXERCÍCIOS
1. Construir os gráficos das funções de 1 9 grau. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = kx ; se k = O, 1, 2, 1/2, — 1, —2
(b) y=x+b, se b=0,1,-1
(c) y = 1,5x + 2.
64	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = ax2, se a = 1, 1/2 e -2
(b) y = x2
 + c, se c = O, 1, 1/2, -3
(c) y = yo + (x- 1)2, se yo = O, 1, -1
(d) y = ax2
 + bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5.
3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = 2 + (x - 1)3 (b) y = x4 	(c) y = 2x2 - 4.
4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
	
. 1 	 x - 1 (a) y = -
	
2
	(b) y =	 (c) y -(x - 1)2 	X 	 X -I- 4
5. A função f (x) é do 1 2 grau. Escreva a função se
f(-1)= 2 e f (2) = 3.
6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares
(a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1	 (b) f (x) = 5x3 - 2x
(c) f (s) = s2
 + 2s -I- 2 	 (d) f (t) = t6 - 4
3
	f(y) - Y	 Yy2 +1
1(h) .ft
	 -2x) = (a' + a-x)
(j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2 ) .
(e) f (x) =I xl
x - 1 (g) f(x) =
x + 1
(i) f(x) = ln 1 + x
1 - x
x + 1(c) f(x) — 
x — 1 (d) f(x)=Ix1+Ix-11.
Funções 	 65
7. Demostre que sef e g são funções ímpares, então (f + g) e (f — g) são também funções ímpares.
8. Demonstre que se f e g são funções ímpares, então f-g e flg são funções pares.
9. Mostre que a função —1 [f(x) + f(—x)] é par e que a função —1 ff (x) — f (—x)] é ímpar.2 	 2
10. Demonstre que qualquer função f: R R pode ser expressa como a soma de urna função par
com uma função ímpar.
11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a) f (x) = x2 2 	 (b) 	 (x) = x3 — 1
12. Seja f (x) uma função, cujo gráfico para x O, tem o aspecto indicado na figura. Completar
esse gráfico no domínio x < O, se:
a) f (x) é par;
b) f (x) é ímpar.
13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função
dada e de sua inversa.
(a) y = 3x + 4 (b) y — 	 1x — a
(c) y= X+ a+ (d) y = 1, 	x> Ox a
66 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(e) y = .Nrx - 1, x>_1	 (f) y = -
	 - x, x5 a
x2 
(g) Y - 1
 x O 	 (h) y = x2 - 4 , 	 O
x- + 
(i) y = x2 - 4 , x 	 O.
14. Mostrar que a função y = f(x) - x + 2
- 1 coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y)2x ou f (f (x)) = x.
15. Dada a função y = f(x) = 
1 +
	 definida para todo x real, demonstrar que sua inversa
"\1 
é a função x = g (y) \h. 	 y2 	definida para ly I < 1.
se x < 1
16. Seja f(x) = x2, 	 se 1 .^ x 5 9
27 -\rx- , 	 se x > 9 .
Verifique que f tem uma função inversa e encontre! 1 (x).
17. Se f (x) e g (x) são periódicas de período T, prove que:
(a) h(x) = f (x) + g (x) tem período T.
(b) h(x) = f (x) • g (x) é periódica de período T.
(c) h(x) = g() , g (x) # O V x, é periódica de período T.
18. Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f
19. Sabendo que f (x) é uma função par e periódica de período T = 4, complete o seu gráfico.
Funções	 67
20. Se f (x) = 2x, mostrar que
f (x + 3) -f (x -1) = 15/2f (x).
21. Seja 4)(x) = 1/2 (ax + a-x) e 111(x) = 1/2 (a' - a-x) .
Demostrar que
4T(x + y) =4)(x) 4)(Y) + Ni(x) • NI(Y) e
ni(x + =4)(x) - V(Y) +4)(Y) • 111(x).
22. Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais.
(a) y = ax, se a = 2, 1/2, e (e = 2,718 ...)
(b) y = 10 1 Ix
(c) y = e-x2
(d) Y = - 2x
23. Dada 4)(x) = ln 1 - x1 + x verifique a igualdade 4)(a) + 4)(b) -
24. Sejam f (x) = log x e g (x) = x3 .
r 
a + b 
1 + ab
68	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Forme as expressões
(a) f [g (2)]
(c) g[f (a)], a > O.
(b) f [g (a)], a > O
25. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas.
(a) y =ln (—x)
(c) y=ln(x+1)
(e) y=x1nx.
(b) y= ln I xl
(d) y = logax se a = 10, 2 e 1/2
26. Se f (x) = arc tg x prove que
.f(x) + KY) — f (ir	 x yY ) •
27. Prove que arc tg a — arc tg b = arc cotg b — arc cotg a.
28. Sejaft0) = tg O . Verifique a igualdade f (2 O) = 	 2 f (0)
29. Seja f (x) = arc cos (log 10 x).
Calcular f (1110), f (1) e f (10).
30. Determinar o domínio das seguintes funções:
x(a) y = arc cos 2 +1 	 x (b) y = arc sen (log 10 x/10)
(c) y = Nisen 2x . 
31. Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e em
caso afirmativo determinar o período.
I.
1 — LAO) 1 2
Funções 	 69
(a) y = sen kx, k = 2, 3, 1/2 e 1/3
(c) y=kcos 2x, k=2,-1 e 1/2
(e) y = cos (x + n12)
(g) y = cotg (x + rc/4)
(i) y = 1 + sen x
(b) y = k cos x, k = 2, 3, 1/2, 1/3 e —1
(d) y =- sen (x — rc/2)
(I) y = tg (x — 37r/2)
(h) y = tg 2x
(j) y=l+Isen2x1
32. Dada a função f (x) = 2 senh x — 3 tgh x, calcule f (2),f (-1) e f (0).
33. Prove as identidades:
(a) 1 — tgh2 u = sech2 u 	 (b) 1 — cotgh2 u = cosech2 u.
34. Defina uma função inversa para y = cosh x, para x O. Esboce o gráfico.
35. Mostre a validade das expressões:
(a) arg cosh x = ln (x + "si x2 — 1), x 1;
(b) arg tgh x = 1/21n
1 + x )
1 — x , —1 < x < 1;
(c) arg sech x = ln r i+ ,11 — x2 \
x
, O < x 1.
36. Sendo f (x) = cosh x, mostre que
f [In ( x + "\Ix2 — 1)] = x
37. Mostre que as funções senh x, tgh x, cotgh x e cosech x são ímpares.
38. Mostre que as funções cosh x e sech x são pares.
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CAPÍTULO 3 EDITORA
DAU
LIMITE E CONTINUIDADE
O objetivo deste capítulo é dar uma definição de LIMITE de uma maneira
intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos analisar propriedades e
teoremas referentes a' limites de funções. Finalmente, definiremos a continuidade das
funções usando limites.
3.1 NOÇÃO INTUITIVA
Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos
números reais, podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer
regra pré-estabelecida.
Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas.
(1) 1, 2, 3, 4, 5, ...
(2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
(3) 1, 0, —1, —2, —3, ...
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
Na sucessão (1), os termos tornam-secada vez maiores sem atingir um
LIMITE. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encon-
70
Limite e continuidade	 71
trar na sucessão, um termo maior. Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem
para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito.
Denota-se
X -> 00 .
Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números
aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Dizemos que
De maneira análoga, dizemos que na sucessão (3)
x —> — 00 .
Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE para os diversos casos de Limite
de uma função.
Observemos as seguintes funções:
Exemplo 1.
Seja y = 1 — 1/x (ver Figura 3.1 e Tabela 3.1).
Tabela 3.1
x 1 2 3 4 5 6 500 1000
y O 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 499/500 999/1000	 . . .
x —1 —2 —3 —4 —5 . —100 —500
2 3/2 4/3 5/4 6/5 .	 . 101/100 501/500
X
72 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3-1
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as
tabelas e o gráfico para constatar que:
y -4 1 quando x —> + 00 .
Denota-se 	 lim (1 - 1/x) = 1.
X
Exemplo 2.
A função y = x2 + 3x - 2 tende para + ao quando x --> ±
Denota-se 	 lim (x2 + 3x - 2) = +
X —) ± 00
De fato, intuitivamente, basta analisar o gráfico (Figura 3.2) e as sucessões da
tabela (Tabela 3.2).
Tabela 3.2
x 1 2 3 4 5 6 7 100 1000
2 8 16 26 38 52 68 10298 1002998
	 ..
x -1 -2 -3 -4 -5 -6 . 	 . 	 . -100 -500
- 4 - 4 - 2 2 8 16 . 	 . 	 . 9698 248498
Limite e continuidade 	 73
Figura 3-2
Exemplo 3.
2x 1
A função y = 	
+ 
 tende para 2 quando x —> ± co, e escrevemos
x — 1
. 	 2x + 1 hm 	 — 2.
x— 1
Tabela 3.3
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001
y 3,5 5 8 14 32 302 3002 30002
x — 1 O 0,9 0,99 0,999 0,9999
y 0,5 —1 — 28 — 298 — 2998 — 29998
74 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3-3
Observando a Figura 3.3 e a Tabela 3.3 ainda podemos dizer que y —> +
quando x —> 1 através de valores maiores do que 1 e que y —> — 00 quando x —> 1 através
de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais
denotados por:
lim
x 1+
lim
x
+00 	 e
-00,
respectivamente chamados limite à direita e limite à esquerda.
Exemplo 4.
A Figura 3.4 nos mostra o gráfico da função
1 
Y — (x + 1)2
Esta função tende para o infinito quando x tende para —1, e escrevemos
1 
11111	 - Ce
x _>	 (x + 1)2
1
lim 1 — +00.
+ 1)2
lim
x->-1+ 	+ 1)2
-1
Limite e continuidade
	 75
ou ainda,
Tabela 3.4
x —3 2 —1,5 —1,25 —1,1 —1,01 —1,001
y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000
x O — 0,5 — 0,75 — 0,9 — 0,99 — 0,999
y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000
Figura 3-4
Exemplo 5.
A Figura 3.5 mostra o gráfico da função
-1 
Y = (x - 2)2
Escrevemos lim
x->2 
— — 00 ou y —> — oo quando x —> 2.- 2)2
x
y
3 	 2,5 	 2,1 	 2,01 	 2,001
—0,25 	 — 4 	 — 100 	 — 10000 — 1000000
76	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Tabela 3.5
2
1 	 1,5 	 1,9
	 1,99 	 1,999
—0,25 	 — 1 	 — 4 	 — 100 	 — 10000 — 1000000y
x
Figura 3-5
Exemplo 6.
Na Figura 3.6 temos o gráfico da função y = 3x -1. De modo análogo aos
exemplos anteriores, observando esse gráfico e a Tabela 3.6, podemos escrever que
lim (3x - 1) = lim (3x - 1) = 2,
x-41+
	x-41
ou ainda,
lim (3x -1) = 2.
x-41
Limite e continuidade 	 77
Tabela 3.6
x 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999
y — 1 — 0,25 0,5 1,25 1,7 1,97 1,997 1,9997
x 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001
y 4,25 3,5 2,75 2,3 2,03 2,003 2,0003
Figura 3 -6
Podemos agora analisar os exemplos dados de outro modo.
No Exemplo 3.6, observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de
2 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas não necessaria-
mente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença y — 2 tão pequeno quanto
desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença x — 1 suficientemente pequeno.
(Observe a Tabela 3.6.)
Estamos agora aptos a formular as definições formais.
78 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.2 DEFINIÇÃO
Seja f (x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente
no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos
lim j(x) = L
x a
se para todo - e > 0, existe um 8 > 0, tal que If (x) — LI < e sempre que 0 < lx — al < 8.
3.3 EXEMPLOS
Usando a definição 3.2 provar que:
(i)	 lim (3x — 1) = 2.
x-->1
De acordo com a definição 3.2 devemos mostrar que, para todo E > 0, existe
um 5 > 0, tal que
I (3x — 1) — 2 I < E sempre que 0<lx—ll< 8.
O exame da desigualdade envolvendo E proporciona uma chave para a escolha
de 8.
As seguintes desigualdades são equivalentes:
13x-1-21 < E
I3x — 3 I < e
I3(x — 1) I < E
3 lx — 1 I < E
Ix — 1 I < e/3.
A última desigualdade nos sugere a escolha do 8.
Fazendo 50 = E/3, vem que
I (3x — 1) — 2 I < e sempre que O < lx — 1 I < 8.
Limite e continuidade 	 79
Portanto, hm (3x — 1) = 2.
—> 1
(i) 	 lim x2 = 16.
x—>4
Vamos mostrar que dado e > O, existe 3 > O, tal que
1x2 — 16 1 < e sempre que O < Ix — 4 1 < 6.
Da desigualdade que envolve E, temos
lx2 — 16 1 < E
IX-41 IX+ 4 1 < E
Necessitamos agora substituir Ix + 41 por um valor constante. Neste caso,
vamos supor
O < 8 	 1,
e então, de O < Ix — 4 1 < 8, seguem as seguintes desigualdades equivalentes:
lx — 4 1 	 < 1
—1 <x-4 	 < 1
3 <x 	 < 5
7 <x + 4 9
Portanto, Ix + 4 1 < 9.
Escolhendo 6 = min (e / 9,1), temos que se Ix — 4 1 < 8
então
Lx2 — 161= Ix— 411x + 41 	 < 	 6. 9
< 9 9
= 	 e.
Logo lim x2 = 16.
x —>4
80 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.4 PROPOSIÇÃO (UNICIDADE DO LIMITE)
Se lim f(x) = L1 e lim f(x) = L2, então L 1 = L2.
x —> a 	 x -) a
Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim f(x) = L 1, existe 8 > O tal que
x-> a
I f (x) - L 1 1 < E /2 sempre que O < lx - a 1 < S i .
Como lim f(x) = L2, existe 52 > O tal que
-) a
I f (x) - L21 < E /2 sempre que O < Ix - a I < 8 2 .
Seja 8 = min {8 1 , S2 }. Então, If(x) - L 1 1 < E/2 e If(x) - L21 < E./2 sempre que
0 < ix - al < 8.
Seja x tal que O < lx - al < S. Então, podemos escrever
IL i - L2I = IL 1 - f (x) + f (x) - L2I ^ If (x) - L 1 1 + If (x) - L21 < E/2 + e/2 = e.
Como e é arbitrário, temos IL 1 - L2I = O e portanto L 1 = L2 .
3.5 PROPRIEDADES DOS LIMITES
- ,
Na Seção 3.3, usamos a definição de limite para provar que um dado número
era limite de uma função. Foi um processo relativamente simples para funções lineares,
que se tornou complicado para funções mais elaboradas. A seguir introduziremos
propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa
do número 8 que aparece na definição 3.2.
3.5.1 Proposição. Se a, m e n são números reais, então
lim (mx + n) = ma + n.
x —> a
Limite e continuidade
	 81
Prova. Caso I: m O. De acordo com a definição 3.2, dado e > O, devemos mostrar
que existe 8 > O, tal que
1 (m x + n) — (m a + n)I < e sempre que O < 1 x — al < 8.
Podemos obter a chave para a escolha de 8 examinando a desigualdade que
envolve E. As seguintes desigualdades são equivalentes:
1 (m x + n) — (m a + n)I < E
iM X — m al < E
Iml I x — al < E
1 x — al < 	 E 1 m 1
A última desigualdade sugere a escolha 8 = 
	 1m 1
E 
1De fato, se 8 = 1m ' temos
e1(m x + n) — (m a + n)I = Iml lx — al < Iml • —Iml sempre que O < lx — al < 8,
e portanto,
lim (mx + n) = ma + n.
x —> a
Caso 2: m = O. Se m = O, então 1 (m x + n) — (m a + n)I = O para todos os valores de x.
Logo, tomando qualquer 8 > O, a definição de limite é satisfeita.
Portanto, lim (mx + n) = ma + n, para quaisquer a, m e n reais.x a
Da proposição 3.5.1, decorre que:
(a) Se c é um número real qualquer, então
lim C = C.
.x -4 a
(d) lim
x -4 a
lim f(x)
x-->a , desde que lim g(x) � O;
x —> a
f(x) 
g(x) Hm g(x)
x-4 aa
82 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(b) lim x = a.
x -› a
3.5.2 Proposição. Se lim f(x) e lim g(x) existem, e c é um número real
qualquer, então: x -4 a 	x a
(a) lim [f(x) ± g(x)1 = lim f(x) ± Hm g(x);
—)(1 	 x—>a 	 x—>a
(b) lim cf(x) = c • lim f(x);
x-->a 	 x—>a
(c) 	 lim f(x) • g(x) = Hm f(x) • lim g(x);
x—>a
	 x—>a 	 x-->a
(e) 	 lim [Rx)]n = [lim f(x)]" para qualquer inteiro positivo n;
x—>a 	 x-->a
(t)	 lim V.gx) = 	 lim f(x) , se lim f(x) > O e n inteiro ou se
x-4a 	 x-4a 	 x—>a
lim f(x) 5 O e n é um inteiro positivo ímpar;
x -› a
(g) lim ln [f(x)] = ln [ Hm f(x)], se lim f(x) > O;
x—>a 	 x—>a 	 x—>a
(h) lim cos [fix)] = cos [ lim f(x)];
x-->a 	 x—>a
(i) 	 lim sen [f(x)] = sen [ lim f(x)];
x—>a 	 x—>a
lim f (x)
(i) 	 lim e f (x) = e x—'a
x—>a •
Limite e continuidade
Provaremos o item (a) desta proposição usando o sinal positivo.
Prova do item (a).
Sejam lim f(x) = L, lim g (x) =M e E > 0 arbitrário. Devemos pro-
x a 	 x—>a
var que existe S > 0 tal que
(f (x) + g (x)) — (L + M)1 < E sempre que 0 < k - ai < 8.
Como lim f (x) = L e E/2 > 0, existe S i
 > 0 tal que [f(x) —Li < E/2
x—>a
sempre que 0 < — ai < S i
Como lim g (x) = M, existe 82 > O tal que 1g(x) — Al < E/2 sempre
x—>a
que 0 <ix—al < 82 .
Seja S o menor dos números S i e 82 .
Então 8 s Si
 e s 82
 e assim, se O < — ai < 8, temos
1g(x) —	 < E/2 e [1(x) — Li < E/2.
Logo,
(gx) + g(x)) — (L + M)1 = 1 (gx) —L) + (g(x) —M)1
s 1 f(x) — L1 + 1g(x) — M 1
< 612 + cI2
= E
sempre que 0 < x — ai < S e desta forma lim (j(x) + g(x)) = L + M.
x —>a
3.5.3 Proposição. Se f(x) s h(x) s g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo
a, exceto possivelmente em x = a, e se
lim f(x) = L = lim g(x)
x—►a 	 x—>a
84 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
então,
lim h(x) = L.
x —> a
Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim flx) = L, existe S i > O tal que If (x) — LI <
x —> a
sempre que O < Lr — al < 8 1 . Como lim g(x) = L, existe 32 > O tal que Ig (x) — LI < e
X a
sempre que O < lx — al < 82 .
Seja 8 = min {8 1 , 82 }.
Então, se O < Lr — a! < 8 temos que If (x) — LI < e e Ig (x) — LI < e, ou de forma
equivalente, L — e < g (x) <L-i-eeL—E<f(x)<L+ E.
Assim, usando a hipótese, concluímos que se O < lx — al j< 8, então,
L 	 < f (x) 5. h(x) g (x) < L
	 + E ,
isto é,
L — e < h(x) < L + e.
Logo, se O < Lr — al < 8, temos que Ih(x) — LI < e e, portanto, lim h(x) = L .
x a
3.5.4 Exemplos.
(i) Encontrar lim (x2 + 3x + 5).
x—> 2
Temos,
hm (x2 + 3x + 5) = lim x2 + lim 3x+ lim 5
x —> 2 	 x —> 2 	 x —+ 2 	 x --)22
= lim x2 + 3 lim x + lim 5
	2 	 x-422 	 x 2
= 22 + 3 2 + 5
= 15.
Limite e continuidade	 85
(ii) Encontrar lim
x-93
x — 5 
x3 — 7 
Hm
x-, 3
x — 5
lim (x — 5)
x->3 	3 — 5 	—1
lim (x3 — 7) 	 27 — 7 	 10
x->3
— L1 < e x3 — 7
L1 <e 
(iii) Encontrar lim -‘ix4 — 4x + 1 .
x-4-2
de forma
Hm \ix4 — 4x + 1 	 \I Hm (X4 - 4x + 1)
x -> - 2 	 x ->- 2
= -\](-2)4 —4(-2) + 1
= 5.
X2(iv) Encontrar hm 	 - 1 
— 1
1(x) =
	 im (x — 1) = O .
-41
Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois
Porém, se fatoramos o numerador obtemos
x2 — 1 	(x — 1)(x + 1) 
— x + 1 para x # 1.
x — 1 	 x —1
Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1,
ias diferentes de 1, temos
lim X2 - 1- 1) (X + 1) 
	- 11111	 - Hm (x + 1) = 2
x — 1
	 x —x-,1 	 x->1 	 x-41
(v) Encontrar Hm x2
x
sen —1
x 
Vamos usar a proposição 3.5.3. Como todos os valores da função seno estão
tre —1 e 1, temos
0 < sen 1x 1, V x O.
sen 1
x
o x2 x2, V x O.
=0.sen -1
x
lim x2
x->I3
.(d) lim f(x).
x -> 4
lim f(x).
x ->
(e) 	 lim f(x).
x->
86 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Multiplicando a desigualdade por x2, temos
Como lim 0 = O e lim x2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que
x->I3 	 x->0
3.6 EXERCÍCIOS
1. 	 Seja f (x) a função defmida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e(a) lim flx).
	 6 (b) 	 lim f(x).
x->3 -
e(c) 	 lim f(x).x->1+
	 x -> 3
Limite e continuidade 	 87
2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
',(a) lim f(x).
	
(b) 	 lim f(x).
x -> -2+ 	x -> -2
c (c) 	 lim f(x). 	 .(d) 	 lim f(x).
x -> -2 	 X ->
3. Sejafix) a função defmida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e (a) lim f(x). 	 (b) 	 lim f(x).
x->0+0+ 	x -> O- 	x O
(c) 	 lim f(x).
b(d) lim f(x).
x -> +
$(e) 	 lim f(x).
X -3 -
lim f(x).
x -> 2
88 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e (a) lim f(x).
x 2+
(d) lim f(x).
.(b) 	 lim f(x).
x
0(e) 	 lim f(x).
x
(c) 	 lim f(x).
x -ì +
5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
., (a) 	 lim ,fix).
x -4 1 +
((d) 	 lim f(x).
x -9 + m
(b) 	 lim f(x).
x-) 1
o (e) 	 lim f(x).
x--t- oo
'(c) 	 lim f(x).
1
Limite e continuidade
	 89
u6. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x — 5 em x = 3 e que é igual a 7.
7. Mostrar que lim x2 = 9.
x —› 3
Nos exercícios 8 a 12 é dado lim f(x) = L. Determinar um número 8 para o E dado
x —> a
tal que If(x) — LI < e sempre que O < I x — al < S.
8. lim (2x + 4) = 8 	 e 	 = 	 0,01.
x 2
9.	 lim (-3x + 7) = 10 , 	 e 	 = 	 0,5.
x-*-1
	e 	 = 	 0,1.
x —> —2 X + 2
2 
1 	 —
x 	 3
1 
	limE
	 = 	 0,25.— x —> 5
X2 — 1 12.	 lim
1 x— 1 
— 2 	 e 	 = 	 0,75.
X —> 
13. Demonstrar que lim x sen 1/x = 0.
x —> O
14. Mostrar que:
(0 Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = fia) para todo real a.
x -4a
(ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então
lim g(x) = g(a)•
x —> a
Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites.
45.	 lim (3 — 7x — 5x2). 	 16. lim (3x2 — 7x + 2).
x —> O 	 x —> 3
10. lim x2 — 4 — —4
11.
x 	 -- 30. Hm
3x -32 	 x - 4
.31. 	 lim [2 sen x - cos x + cotg x].
x -37c/2
032. lim (ex + 4x). ,21 i
x->4
90	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
	17.	 Em (-x5 + 6x4 + 2).
x->-1-1
	19.	 Hm [(x + 4)3
 (x + 2)-11.
x- -1
18. Hm (2x. + 7).
x -> 1/2
20. lim [(x - 2) 10 (x + 4)].
x ->
x + 4
	t + 3 21. 	 lim 	 22. Em3x -x ->2 	 t->2 t + 2 .
X223.
	 lim 	 -1 
x -)1 x 	 1.
+St + 6.	 t2 24. hm
t + 2t->2
t225.
	 lint 	 - 5t + 6
	26.	 s + 4 
t-2 	 t - 2 s -3 1/2 2s
27. 	 lim 3N2x + 3.
x -34
28. fim (3x + 2)2/3 .
x -37
2x229. 	 lim 	 - x
x -) .5/1 	 3x
33. Em (2x + 3) 1/4 . senil x 34. lim
4x ->2
3.7 LIMITES LATERAIS
3.7.1 Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos
que um núMero L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e
escrevemos
lim f(x) = L,
x a-F
Limite e continuidade	 91
se para todo e > O, existe um 8> O, tal que f(x) - LI < e sempre que
a < x < a + 8.
Se Hm f(x) = L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela
x _> a+
direita. Usamos o símbolo x a+ para indicar que os valores de x são sempre maiores
do que a.
De maneira análoga, definimos limite à esquerda.
3.7.2 Definição. Sejaf uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos
que um número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para a, e
escrevemos
lim f(x) = L,
se para todo e > O, existe um 8 > O, tal que If(x) - LI < e sempre que
a - < x < a.
Neste caso, o símbolo x —> a indica que os valores de x considerados são
sempre menoresdo que a.
Observação. As propriedades de limites, vistas nas proposições 3.5.1, 3.5.2 e 3.5.3
continuam válidas se substituirmos x —> a por x --> a+ ou x —> a- .
3.7.3 Exemplos
(i) Dada a função f(x) = (1 + -Vx - 3 ), determinar, se possível,
lim f(x) e lim f(x).
x -)3+ 	x-)3
A função dada só é definida para x 3. Assim, não existe lim f(x).
x-43
Para calcular lim f(x), podemos aplicar as propriedades. Temos,
x->3+
lim f(x)	 lim (1 +	 - 3 )
x -> 3+x-)3+ OCV le4
0.‘ 	-1; 1.6 o 6 CP,
92 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
• lim 1 + lim
	 - 3
x ->3+3+
	x -> 3+
• 1 + 	 lim (x - 3)
3+
• 1 + 0
• (ii) Seja f(x) = 	 x
-cri
	Ose x
1, 	 se x = .
Determinar Hm flx) e lim f(x). Esboçar o gráfico.
	x->o+	 x-r
Se x > O, então Ixl = x e f (x) =	 =
Logo, lim f(x) = Hm -1 = - 1.
x-,o+
Se x < 0, então Ixl = -x e f(x) = = 1.
x
Portanto, Hm f(x) = Hm 1 = 1.
x	 x
O gráfico da função pode ser visto na Figura 3.7. Observamos que
lim f(x) # lim f(x).
x	 x-30
Limite e continuidade 	 93
Figura 3-7
(iii) Seja f(x) = Ixl. Determinar lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico.
x-:■+ 	x-)o
Se x O, então f(x) = x. Logo, lim f(x) = lim x = O.
x-o+ 	x->o+
Se x < O, então f(x) = -x. Logo, lim f(x) = lim (-x) = O.
A Figura 3.8, mostra o esboço do gráfico da função. Neste exemplo, podemos
observar que
lim f(x) = lim f(x).
x o+	 x
Figura 3-8
94 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
O teorema a seguir nos dá a relação existente entre limites laterais e limite de
uma função.
3.7.4 Teorema. Se fé definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivel-
mente no ponto a, então Hm f(x) = L se e somente se lim f(x) L
	
x- a 	 x—►a+
e lim f(x) = L.
x- a-
Prova. Provaremos apenas a condição suficiente. A condição necessária é conseqüência
imediata das definições dos limites envolvidos.
Suponhamos que Hm f(x) = L e Hm f(x) L. Então, dado e > 0 arbitrá-
x -a+
rio, existe S i
 > O tal que if (x) - L < E' sempre que a < x < a + 8 1 e existe 82
 > 0 tal
que tf (x) - Li < e sempre que a - 82 < x < a.
Seja 8 = min {S i , 82}. Então a - 82 s a - 8 e a+Ssa+ 8 1 , e, portanto,
se x � a e a-S<x<a+6, temos que If (x) - Li < E.
De forma equivalente, If (x) - Li < E sempre que O < lx - ai < S e desta forma,
lim f(x) = L.
3.7.5 Exemplos
(i) Analisando os exemplos anteriores, podemos concluir que:
kl -ó - o(a) Também não existe lim -
	x 	 -z
(b) Hm ixi = 0.
x -o
Limite e continuidade 	 95
{x
2 + 1 , para x < .2
(ii) Seja f(x) = 2 	 , para x = 2
9 - x2 , para x > 2 .
Determinar, se existirem, lim f(x), lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico
x-)2+ 	x->2 	 x->2
da função.
Se x > 2, então, f (x) = 9 - x2 .
Assim,
lim f(x) = Hm (9 - x2) = lim 9 - Hm x2 =9 - 4 =
2+ 	x-2+	 x->21- 	 x-42+
Se x < 2, então, f(x) = x2 + 1.
Portanto,
Hm f(x) = lim (x2 + 1) = lim x2 + lim 1 = 4 + .1 = 5.
x->2 	 x->2 	 x-)2 	 x->2
Como Hm f(x) = lim f(x) = 5, concluímos que
x_)2+
lim f(x) = 5.
x->2
A Figura 3.9, mostra o gráfico de f(x).
{x2
 - 2x + 1 , x � 3
.2. 	 Seja h(x) =
7 x 	 3 .
96 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3 -9
3.8 EXERCÍCIOS
1. 	 Seja f(x) =
Calcule:
)(b)	 Em flx).
x -› 3- 	x -) 3+ 	‘""(
,,(d) lim f(x). 	 -(e)	 Hm f(x).
x - > 5 - 	 x_5+
Esboçar o gráfico deflx).
3(a) lim f(x). (c)	 lim fiz).
x -4 3
Em f(x).
x-)5
•Calcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x).
x-)33
Limite e continuidade 	 97
3. Seja F(x) = Lx — 4L Calcule os limites indicados se existirem:
e(a) lim F(x).
x->4+
Esboce o gráfico de F(x).
sa(b) 	 lim F(x). 	 s(c) 	 lim F(x).
x->4 	 x -> 4
4. Seja f (x) = 2 + 15x — 11. Calcule se existir:
(a) 	 lim 	 f(z). 	 (b) hm f(x). e(c) 	 lim 	 Rx).
x —> 1/5+ x —> 1/5 x -> 1/5
Esboce o gráfico de f(x).
Seja g(x) =
— 31
x — 3 	 x 	 3
(a) Esboce
,	 x = 3 .
o gráfico de g(x).
'(b) 	 Achar, se existirem lim 	 g(x),
x > 3+
lim
x —> 3-
g(x) e lim
x -> 3
g(x).
{
e6. 	 Seja h(x) =
x/lx 1 , se x 	 O
O 	 , se x = O .
Mostrar que h(x) não tem limite no ponto O.
el. 	 Determinar os limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x -* O.
a8.	 Verifique se lim 
x 
1
 1 existe.—X >
-5.
- ,00 —oo,O x 3 O° ..°00
o
o '
98 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
9. Seja f(x) =
1/x 	 ,
x2 	,
2 	 ,
2 — x ,
x < 0
O 	 X < 1
x =- 1
x > 1 .
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
é (a) lim f(x).
x —) —1
,*(19) 	 lim f(x). 	 a(c) 	 lim f(x).
x —) 	 x )0+
,(d) lim f(x) .
x—)
'(e) 	 lim f(x). 	 lim f(x).
x —> O 	 x ->2+2+
,(g) lim f(x).
x - 2
•(h) 	 lim f(x).
x— 2
10. Seja f(x) = (x2 - 25)/(x — 5).
Calcule os limites indicados se existirem:
*(a) lim f(x).
x O _
1(b) 	 lim f(x). 	 ,(c) 	 lim f(x).
x -> 5+
	x -> -
((d) lim f(x).
	 s(e) 	 lim f(x).
x —> 5 	 x --> - 5
3.9 CÁLCULO DE LIMITES
Antes de apresentar exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco
sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:
são indeterminadas. O que significa isto?
Limite e continuidade 	 99
Vejamos, por exemplo, O- •
O
Sejam f e g funções tais lim f(x) = lim g(x) = O. Nada se pode afirmar,
x-*a	 x—>a
a priori, sobre o limite do quociente f/g. Dependendo das funções f e g ele pode assumir
qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de
indeterminação.
Para comprovar o que dissemos acima, vejamos dois exemplos:
(i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2 .
Temos, lim f(x) = lim g(x) = O
x 	 x
3e lim 	 = lim x-5 = lim x = O.
g(x) 	 x --)13 	 x
(ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2 .
Temos, lim f(x) = lim g(x) = O e, neste caso,
x-4c■ 	 x->o
lim 	 x.	 f( )	 x2 - lim 	 - lim 1 = -1 -
x 	 g(x) 	 x2x2 x-'0 2 	 2
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios
algébricos são necessários. São os casos de funções racionais em que o limite do
denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero
neste mesmo ponto.
Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0/0.
lim x3Exemplo 1. h 	 - 3x + 2
x -4 -2 	 x2 - 4
100 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a seguir as
simplificações possíveis. Aplicamos então a proposição 3.5.2.
Temos,
lim 	 = hm
- 3x + 2
	 (x2 - 2x + 1)(x + 2)
x---2 	 x2 - 4
	 x--2-2 	 (x - 2)(x+ 2)
= lim x2 - 2x + 1 
	x--2	 x - 2
lim (x2 - 2x + 1)
x->-2 
um (x - 2)
	x 	 2
- 9/4.
+ 2 - Exemplo 2. hm
x-›0
Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da
função.
Segue então,
+ 2 - 
	= lim esix + 2 -	 (Nix + 2 + lim 
x-)o
	 x 	 x->0 	 Xe■ix + 2 +
= lim (Nix + 2 )2 -(Nr2-:)2
x 	 x ( "■ix + 2 +
	 )
= lim 	 x + 2 - 2
x->0 X( . 1.7C 2 +')
Limite e continnifkrk	 101
= lim ,
x—)o "Vx + 2 + N12—
1 
2 *Ni2.--
	Exemplo 3. lim r— 	
x-41 Nx — 1
Neste caso faremos uma troca de variáveis para facilitar os cálculos.
Por exemplo, x = t6, t O.
Quando t6 —+ 1, temos que t -->.1.
Portanto,
3-■&"lim 	 — 1 	 = lim 	— 1
x	 — 1 	 r—› Nt6 — 1
= llim- 1 
t-91 r — 1
lim 	 (t — 1) (t + 1) 
rol
= (t +1) (t2 + t + 1)
lim t+ 1 =
t -41 , + t + 1
= 2/3.
1
3fX —
Exemplo 4. lim 
(x + h)2 — x2
h->0 	 h
Neste exemplo, simplesmente desenvolve-se o numerador para poder realizar
as simplificações.
Obtem-se:
h	x . m ( + h)2 — x2 —lim 	+x2 2xh + h
2 — x2
h->0 	 h 	 h->0 	 h
um 2xh + h2 = 
	h->0	 h
um h(2x + h) 
	h->0	 h
= lim (2x + h)
h->0
2x.
3.10 EXERCÍCIOS
1. Para cada uma das seguintes funções ache
hm f(x) — f(2)
x- 2 — 2x -• 2
?,(u) f(x) = 3x2 . 	 (b) f(x) =

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