Execícios de Química do estado sólido Callister 9ª ed. Cap. 5 - Difusão em Semicondutores

Prévia do material em texto

MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
RESOLUÇÃO DE EXÉRCICIOS 
5.6 Átomos de boro devem difundir em uma pastilha de silício usando tratamentos térmicos de 
pré-disposição e de redistribuição; sabe-se que a concentração de fundo do B nessa pastilha de 
silício é de 1,0 × 1020 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚³. O tratamento de pré-disposição deve ser conduzido a 900ºC 
durante 30 minutos; a concentração de B na superfície deve ser mantida em um nível constante 
de 3,0 × 1026 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚³. A Difusão de redistribuição será conduzida a 1100ºC por um período 
de 2 horas. Para o coeficiente de difusão do B no Si, os valores de 𝑄𝑑 e 𝐷0 são 3,87 ev/átomo e 
2,4 × 10−3𝑚2/𝑠, respectivamente. 
a) Calcule o valor de 𝑄𝑜. 
Solução: 
Para calcularmos 𝑄𝑜 usamos 
𝑄𝑜 = 2𝐶𝑠 √
𝐷𝑝 ∙ 𝑡𝑝
𝜋
 
Mas antes de calcularmos 𝑄𝑜 faz-se necessário obtermos o valor do coeficiente de difusão à temperatura 
do tratamento de pré-deposição (𝐷𝑝). O qual pode ser obtido por 
𝐷𝑝 = 𝐷0 ∙ 𝑒
(−
𝑄𝑑
𝑘𝑇) 
Então 
𝐷𝑝 = 2,4 × 10
−3(𝑚² 𝑠⁄ ) ∙ 𝑒
(
−3,87(𝑒𝑣/á𝑡𝑜𝑚𝑜)
8,62×10−5(𝑒𝑣 á𝑡𝑜𝑚𝑜∙𝐾)⁄ ∙1173 𝐾
)
 
𝐷𝑝 = 2,4 × 10
−3(𝑚² 𝑠⁄ ) ∙ 2,386 × 10−17 
𝐷𝑝 = 5,73 × 10
−20(𝑚² 𝑠⁄ ) 
Logo para 𝑄𝑜 temos: 
𝑄𝑜 = 2𝐶𝑠 √
𝐷𝑝 ∙ 𝑡𝑝
𝜋
 
𝑄𝑜 = 2 ∙ 3 × 10
26(á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚3⁄ ) ∙ √
5,73 × 10−20(𝑚² 𝑠⁄ ) ∙ 30 𝑚𝑖𝑛 ∙
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
𝜋
 
𝑄𝑜 = 2 ∙ 3 × 10
26(á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚3⁄ ) ∙ 57,297 × 10−10 ⋯ 𝑚 
∴ 𝑄𝑜 ≅ 3,44 × 10
18(á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²)⁄ 
b) Determine o valor de 𝑥𝑗 para o tratamento de difusão de redistribuição. 
Solução: 
Para 𝑥𝑗 temos que 
𝑥𝑗 = [(4𝐷𝑟𝑡𝑟) ln (
𝑄𝑜
𝐶𝐹√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
)]
1
2
 
Como não temos o valor de 𝐷𝑟 na temperatura de redistribuição, devemos antes calcula-la por 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
𝐷𝑟 = 𝐷0 ∙ 𝑒
(−
𝑄𝑑
𝑘𝑇) 
Então 
𝐷𝑟 = 2,4 × 10
−3(𝑚² 𝑠⁄ ) ∙ 𝑒
(
−3,87(𝑒𝑣/á𝑡𝑜𝑚𝑜)
8,62×10−5(𝑒𝑣 á𝑡𝑜𝑚𝑜∙𝐾)⁄ ∙1373 𝐾
)
 
𝐷𝑟 = 2,4 × 10
−3(𝑚² 𝑠⁄ ) ∙ 6,296 × 10−15 
𝐷𝑟 ≅ 1,51 × 10
−17 (𝑚² 𝑠⁄ ) 
Para 𝑥𝑗 teremos: 
𝑥𝑗 = √
[
 
 
 
4 ∙ (1,51 × 10−17 (𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ 2ℎ ∙
3600𝑠
1ℎ
) ln
(
 
3,44 × 1018(á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²)⁄
𝐶𝐹√𝜋 ∙ 1,51 × 10−17 (𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ 2ℎ ∙
3600𝑠
1ℎ )
 
]
 
 
 
 
= √43488 × 10−17𝑚2 ln (
3,44 × 1018 (á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²)⁄
58,44 × 1012 (á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²⁄ )
) 
𝑥𝑗 = 2,19 × 10
−6 𝑚 
∴ 𝑥𝑗 ≅ 2,19 𝜇𝑚 
c) Além disso, para o tratamento de redistribuição, calcule a concentração de átomos de B em uma camada 
de 1 𝜇𝑚 abaixo da superfície da pastilha de silício. 
Solução: 
Podemos calcular essa concentração por 
𝐶(𝑥, 𝑡) =
𝑄𝑜
√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
∙ 𝑒
(−
𝑥2
4𝐷𝑟𝑡𝑟
)
 
Então: 
𝐶(𝑥, 𝑡) =
3,44 × 1018 (á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²)⁄
√𝜋 ∙ 1,51 × 10−17 (𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ 7200𝑠
exp (−
(1 × 10−6 𝑚)²
4 ∙ 1,51 × 10−17(𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ 7200 𝑠
) 
𝐶(𝑥, 𝑡) = 0,05886 × 1026 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ ∙ exp (−
1 × 10−12 𝑚²
4,3488 × 10−13(𝑚2 𝑠⁄ )
) 
𝐶(𝑥, 𝑡) = 0,05886 × 1026 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ ∙ 0,100 
 
∴ 𝐶(𝑥, 𝑡) = 5,90 × 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ 
 
 
 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
5.42 Para o tratamento de térmico de pré-deposição de um dispositivo semicondutor, átomos de 
gálio devem difundir para o interior do silício a uma temperatura de 1150ºC durante 2,5 h. Se a 
concentração de Ga necessária em uma posição 2 𝜇𝑚 abaixo da superfície é de 8 ×
1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ , calcule a concentração de Ga na superfície que é exigida. Considere o 
seguinte: 
i) A concentração da superfície permanece constante. 
ii) A concentração de fundo é 2 × 1019 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ . 
iii) Os valores para a constante pré-exponencial e a energia de ativação são 3,74× 10−5 e 3,39 
ev/átomo. 
Solução: 
Para 𝐶𝑠 temos que: 
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 − erf (
𝑥
2√𝐷𝑡
) ⟹
𝐶𝑥
𝐶𝑠
− 1 = erf (
𝑥
2√𝐷𝑡
) 
Para 𝐷 á 1150ºC 
 
𝐷 = 𝐷𝑜 exp (
𝑄𝑑
𝑘𝑇
) 
𝐷 = 3,74 × 10−5 (
𝑚2
𝑠
) ∙ exp(−
3,39 𝑒𝑣 á𝑡𝑜𝑚𝑜⁄
8,62 × 10−5(𝑒𝑣 á𝑡𝑜𝑚𝑜 ∙ 𝐾⁄ ) ∙ 1423 𝐾
) 
𝐷 = 3,72 × 10−17 (
𝑚2
𝑠
) 
Então: 
𝐶𝑥
𝐶𝑠
− 1 = erf
(
 
2 × 10−6
2 ∙ √3,72 × 10−17 (
𝑚2
𝑠 ) ∙ 9000 𝑠)
 = erf (
2 × 10−6
1,16 × 10−6
) = erf(1,72) 
𝐶𝑥
𝐶𝑠
− 1 = 0,985 ⟹
𝐶𝑥
1,985
= 𝐶𝑠 
 
𝐶𝑠 =
𝐶𝑥
1,7761
=
8 × 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄
1,985
≅ 4,0 × 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ 
∴ 𝐶𝑠 = 4,0 × 10
23 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ 
 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
4.43 Átomos de antimônio devem ser difundidos para o interior de uma pastilha de silício usando 
tratamentos térmicos tanto de pré-deposição quanto de redistribuição; sabe-se que a concentração 
de fundo de Sb nesse material à base de silício é 2 × 1020 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ . O tratamento de pré-
deposição deve ser conduzido a 900ºC durante 1 hora; a concentração de Sb na superfície deve 
ser mantida em um nível constante de 8 × 1025 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ . A difusão de redistribuição será 
conduzida a 1200º durante um período de tempo de 1,75 h. Para a difusão do Sb no Si, os valores 
de 𝑄𝑑 e 𝐷𝑜 são de 3,65 eV/átomo e 2,14 × 10
−5 m²/s, respectivamente. 
a) Calcule o valor de 𝑄𝑜 
Solução: 
Para o valor de 𝑄𝑜 temos que: 
𝑄𝑜 = 2𝐶𝑠√
𝐷𝑝 ∙ 𝑡𝑝
𝜋
 
Para 𝐷𝑝, tem-se que: 
𝐷𝑝 = 𝐷𝑜 ∙ exp (−
𝑄𝑑
𝑘𝑇
) = 2,14 × 10−5 (
𝑚2
𝑠
)exp (−
3,65 𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜⁄
8,62 × 10−5 (𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜 ∙ 𝐾⁄ ) ∙ 1173 𝐾
) 
 
𝐷𝑝 = 4,50 × 10
−21 (
𝑚2
𝑠
) 
Logo: 
𝑄𝑜 = 2 ∙ 8 × 10
25 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚3⁄ ∙ 
√4,50 × 10
−21 (
𝑚2
𝑠 ) ∙ 3600 𝑠
𝜋
 
 
∴ 𝑄𝑜 = 3,63 × 10
17𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚² 
b) Determine o valor de 𝑥𝑗 para o tratamento de difusão de redistribuição 
Solução: 
Temos que para 𝑥𝑗 
𝑥𝑗 = [4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ ln (
𝑄𝑜
𝐶𝐹√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
)]
1
2
 
Para 𝐷𝑟 a 1200ºC temos que: 
𝐷𝑟 = 𝐷𝑜 ∙ exp (−
𝑄𝑑
𝑘𝑇
) = 2,14 × 10−5 (
𝑚2
𝑠
) exp(−
3,65 𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜⁄
8,62 × 10−5 (𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜 ∙ 𝐾⁄ ) ∙ 1473 𝐾
) 
𝐷𝑟 = 7,02 × 10
−18 (
𝑚2
𝑠
) 
Então: 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
𝑥𝑗 =
[
 
 
 
4 ∙ 7,02 × 10−18 (
𝑚2
𝑠
)
∙ 6300𝑠 ln
(
 
3,63 × 1017 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²⁄
2 × 1020 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚3⁄ ∙ √𝜋 ∙ 7,02 × 10−18 (
𝑚2
𝑠 ) ∙ 6300𝑠)
 
]
 
 
 
1
2
 
 
𝑥𝑗 ≅ 1,23 × 10
−6 𝑚 ≅ 1,23 𝜇𝑚 
∴ 𝑥𝑗 = 1,23 𝜇𝑚 
c) Para o tratamento de redistribuição, calcule, ainda, a posição 𝑥 na qual a concentração de 
átomos de Sb é de 5 × 10 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ . 
Solução: 
Temos que: 
𝐶(𝑥, 𝑡) =
𝑄0
√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
exp(−
𝑥2
4𝐷𝑟𝑡𝑟
) ⟹ exp(−
𝑥2
4𝐷𝑟𝑡𝑟
) =
𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
𝑄0
 
ln 𝑒
(−
𝑥2
4𝐷𝑟𝑡𝑟
)
= ln(
𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
𝑄0
) ⟹ −
𝑥2
4𝐷𝑟𝑡𝑟
= ln(
𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
𝑄0
) 
 
𝑥 = √−4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ ln (
𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
𝑄0
) = √−4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ {ln[𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟] − ln(𝑄𝑜)} 
 
𝑥 = √4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ {[ln(𝑄𝑜) − ln[𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟]} = √4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ ln (
𝑄𝑜
𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
) 
 
𝑥 = √4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ ln (
𝑄𝑜
𝐶(𝑥, 𝑡)√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
) 
𝑥 = √4 ∙ 7,02 × 10−18 (
𝑚2
𝑠
) ∙ 6300𝑠 ∙ ln
(
 
3,63 × 1017𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚²
5 × 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ √𝜋 ∙ 7,02 × 10−18 (
𝑚2
𝑠 ) ∙ 6300𝑠)
 
𝑥 = √4 ∙ 7,02 × 10−18 (
𝑚2
𝑠
) ∙ 6300𝑠 ∙ ln 1,9477 = 3,434 × 10−7 𝑚 = 0,3434 𝜇𝑚 
∴ 𝑥 = 0,3434 𝜇𝑚 
 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
5.32 Átomos de fósforo devem ser difundidos em uma pastilha de silício usando tratamentos térmicos 
tanto de pré-deposição quanto de redistribuição; sabe-se que a concentração de fundode P nesse material 
à base de silício é de 5 × 1019 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ . O tratamento de pré-deposição deve ser conduzido a 950ºC 
durante 45 minutos; a concentração de P na superfície de mantida em um nível constante de 1,5 ×
1026 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ . A difusão de redistribuição será conduzida a 1200ºC durante um período de 2,5 h. 
Para a difusão do P no Si, os valores de 𝑄𝑑 e 𝐷0 são de 3,40 𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜⁄ e 1,1 × 10
−4 𝑚² 𝑠⁄ 
respectivamente. 
a) Calcule o valor de 𝑄𝑜 
Solução: 
𝑄𝑜 = 2𝐶𝑠√
𝐷𝑝𝑡𝑝
𝜋
 
Antes devemos calcular 𝐷𝑝, então: 
 
𝐷𝑝 = 𝐷𝑜 exp (−
𝑄𝑑
𝑘𝑇
) = (1,1 × 10−4 𝑚2 𝑠⁄ ) exp [−
3,4 (𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜⁄ )
8,64 × 10−5(𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜 ∙ 𝐾⁄ ) ∙ 1223𝐾
] 
 
𝐷𝑝 = 1,17 × 10
−18 𝑚2 𝑠⁄ 
Então: 
𝑄𝑜 = 2 ∙ (1,5 × 10
26 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ ) ∙ √
1,17 × 10−18(𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ 40min ∙
60 s
1min 
𝜋
 
 
𝑄𝑜 = 3 × 10
26 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ ∙ 2,99 × 10−8 𝑚 
𝑄𝑜 ≅ 9 × 10
18 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚2 
 
b) Determine o valor de 𝑥𝑗 para o tratamento de difusão de redistribuição. 
Solução: 
𝑥𝑗 = [4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ ln (
𝑄𝑜
𝐶𝐹√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
)]
1
2
 
Antes calculemos o valor de 𝐷𝑟: 
𝐷𝑟 = 𝐷𝑜 exp (−
𝑄𝑑
𝑘𝑇
) = 1,1 × 10−4(𝑚² 𝑠⁄ ) exp(−
3,4(𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜⁄ )
8,64 × 10−5(𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜 ∙ 𝐾⁄ ) ∙ 1473 𝐾
) 
 
𝐷𝑟 = 1,1 × 10
−4(𝑚² 𝑠⁄ ) ∙ exp(−26,71⋯03) 
 
𝐷𝑟 ≅ 2,75 × 10
−16 𝑚² 𝑠⁄ 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
Para 𝑥𝑗 teremos: 
 
𝑥𝑗 =
[
 
 
 
4 ∙ (2,75 × 10−16 𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ (2, 5 h ∙
3600 s
h
)
∙ ln
(
 
9 × 1018 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²⁄
5 × 1019 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚3⁄ ∙ √𝜋 ∙ (2,75 × 10−16 𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ (2, 5 h ∙
3600 s
h ))
 
]
 
 
 
1
2
 
 
𝑥𝑗 = [99000 × 10
−16 𝑚2 ∙ ln (
9 × 1018 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚2⁄
5 × 1019 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚3⁄ × √𝜋 ∙ 24750 × 10−16𝑚2
)]
1
2
 
𝑥𝑗 = [99000 × 10
−16 𝑚2 ∙ ln (
9 × 1018
5 × 1019 1 𝑚⁄ × 2,788⋯37 × 10−6 𝑚
)]
1
2
𝑚 
 
𝑥𝑗 = [99000 × 10
−16 𝑚2 ∙ ln (
9 × 1018
13,94 × 1013 
)]
1
2
 
𝑥𝑗 = [99000 × 10
−16 𝑚2 ∙ ln(0,6456⋯12 × 105)]
1
2 
𝑥𝑗 = [99000 × 10
−16𝑚2 ∙ 11,075⋯67]
1
2 ≅ 10,47 𝜇𝑚 
 
c) Para o tratamento de redistribuição, calcule, ainda, posição 𝑥 na qual a concentração de 
átomos de P é de 1024 𝑚−3 . 
Solução: 
𝑥 = [4𝐷𝑟𝑡𝑟 ∙ ln (
𝑄𝑜
𝐶√𝜋𝐷𝑟𝑡𝑟
)]
1
2
=
[
 
 
 
4 ∙ (2,75 × 10−16 𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ (2, 5 h ∙
3600 s
h
)
∙ ln
(
 
9 × 1018 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²⁄
1 × 1024 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚 ∙ 𝑚2⁄ ∙ √𝜋 ∙ (2,75 × 10−16 𝑚2 𝑠⁄ ) ∙ (2, 5 h ∙
3600 s
h ))
 
]
 
 
 
 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
= [99000 × 10−16 𝑚2 ∙ ln (
9 × 1018
1 × 1024 1 𝑚⁄ × 2,788⋯37 × 10−6 𝑚
)]
1
2
= [99000 × 10−16 𝑚2 ∙ ln (
9 × 1018
2,788 × 1018
)]
1
2
= [99000 × 10−16 𝑚2 ∙ ln (
9
2,788
)]
1
2
= [99000 × 10−16 𝑚2 ∙ 1,1719⋯13]
1
2
= √1,16⋯05 × 10−11 𝑚2 ≅ 3,41 × 10−6 = 3,41 𝜇𝑚 
𝑥 = 3,41 𝜇𝑚 
5.33 Átomos de alumínio devem ser difundidos em uma pastilha de silício usando tratamentos 
térmicos tanto de pré-deposição quanto de redistribuição; sabe-se que a concentração de fundo de 
Al nesse material a base de silício é de 3 × 1019 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚3⁄ . O tratamento de difusão de 
redistribuição deve ser conduzido a 1050ºC durante um período de 4,0 h, o que dá uma 
profundidade de junção 𝑥𝑗 de 3,0 𝜇𝑚. Calcule o tempo de da difusão de pré-deposição a 950ºC 
se a concentração na superfície for mantida sob nível constante de 2,0 × 1025 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚³⁄ . Para 
a difusão do Al no Si, os valores de 𝑄𝑑 e 𝐷𝑜 são 3,41 𝑒𝑉 á𝑡𝑜𝑚𝑜⁄ e 1,38 × 10
−4 𝑚² 𝑠⁄ . 
Respectivamente. 
Solução: 
Temos que para o tempo de pré-deposição 
Qo = 2Cs√
Dptp
π
⇒
Qo
2Cs
= √
Dptp
π
⇒ (
Qo
2Cs
)
2
=
Dptp
π
 
tp =
π
Dp
(
Qo
2Cs
)
2
(I) 
Para Qo temos que: 
C(x, t) =
Qo
√πDrtr
exp(−
x2
4Drtr
) ⇒ Qo =
C(x, t)√πDrtr
exp (−
x2
4Drtr
)
 (II) 
Para Dp e Dr teremos que: 
 
Dp = D0 exp (−
Qd
kTp
) (III) 
Dp = 1,38 × 10
−4 m² s⁄ ∙ exp(−
3,41 (eV átomo)⁄
8,64 × 10−5 eV átomo ∙ K ∙ 1223 K⁄
) 
Dp = 1,38 × 10
−4 m² s⁄ ∙ exp(−32,27⋯98) 
Dp = 1,38 × 10
−4 m² s⁄ ∙ exp(−32,27⋯98) 
Dp = 1,33 × 10
−18 m² s⁄ 
 
Dr = D0 exp (−
Qd
kTr
) 
MAURÍCIO DOS SANTOS PEREIRA / QUÍMICA DO ESTADO SÓLIDO 
 
Dr = 1,38 × 10
−4 m² s⁄ ∙ exp(−
3,41 (eV átomo)⁄
8,64 × 10−5 eV átomo ∙ K ∙ 1323 K⁄
) 
Dr = 1,38 × 10
−4 m² s⁄ ∙ exp(−29,83⋯39) 
Dr = 1,38 × 10
−4 m² s⁄ ∙ 1,107 × 10−13 
Dr = 1,5277 × 10
−17 m² s⁄ 
Logo: 
Qo =
3,0 × 1019 átomos m3⁄ √π ∙ (1,5277 × 10−17 m² s⁄ ) ∙ (14400 s)
exp (−
(3,0 × 10−6 m)2
4(1,5277 × 10−17 m² s⁄ )(14400 s)
)
 
Qo =
3,0 × 1019 átomos m3⁄ √π ∙ (1,5277 × 10−17 m² s⁄ ) ∙ (14400 s)
exp(−10,22779⋯15)
 
Qo =
3,0 × 1019 átomos m3⁄ √π ∙ (1,5277 × 10−17 m2 s⁄ ) ∙ (14400 s)
3,615 × 10−5
 
Qo = 0,8298755 × 10
24 átomos m3⁄ √π ∙ (1,5277 × 10−17 m2 s⁄ ) ∙ (14400 s) 
Qo = 0,8298755 × 10
24 átomos m3⁄ ∙ √6,9111⋯56 × 10−13 m² 
Qo = 0,8298755 × 10
24 átomos (m ∙ m2)⁄ ∙ 8,31⋯74 × 10−7m 
 
𝑄𝑜 = 6,899 × 10
17 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²⁄ 
Logo para o tempo de pré-deposição: 
𝑡𝑝 =
π
Dp
(
Qo
2Cs
)
2
=
𝜋
𝐷𝑝
[
6,899 × 1017 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚²⁄
2 ∙ (2 × 1025 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚 ∙ 𝑚2⁄ )
]
2
=
𝜋
𝐷𝑝
[
6,899 × 1017
2 ∙ (2 × 1025 ∙ 1 𝑚⁄ )
]
2
=
𝜋
𝐷𝑝
[1,72475 × 10−8 𝑚]2 =
𝜋
𝐷𝑝
× 2,97 ∙ 10−16 𝑚2
=
9,34549⋯82 × 10−16 𝑚2
𝐷𝑝
=
9,34549⋯82 × 10−16 𝑚2
1,33 × 10−18 𝑚2 𝑠⁄
=
7,026685⋯31 × 102
1
𝑠
= 7,026685⋯31 × 102 ∙
𝑠
1
= 702,6685⋯31 𝑠 
𝑡𝑝 = 702,6685⋯31 s ∙
1 min
60 s
= 11,7111⋯33min = 11min42 s 
𝑡𝑝 ≅ 11min42 s