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Conjuntos numéricos - ensino fundamental

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Os conjuntos
Consideraçõe finais
Cálculo I
Aula 1.1 – Conjuntos
Junior R. Ribeiro
MathProg
Atualizado em 24 de Fevereiro de 2017
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
1 Os conjuntos
2 Consideraçõe finais
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Conjunto dos naturais (N)
O conjunto dos números naturais é o primeiro
a se tomar ideia, quando o ser humano ainda
contava seu rebanho com entalhos em ossos e
pedras. Por isso foi dado o nome de Conjunto
dos Números Naturais, representado pelo sím-
bolo N.
Esse conjunto foi criado para contar elemen-
tos da natureza, como por exemplo: 5 gatos, 1
oceano, 12 árvores, 3 montanhas, etc. Não exis-
tem valores decimais, como metade, 80%, etc.
Esse conceito é muito sofisticado ainda.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Observação: Zero é natural?
Até hoje não foi decidido se o número “zero”
se encaixa nesse conjunto. Há autores que
defendem que zero é um numeral natural, en-
quanto que outros afirmam que zero não o é.
Existem outros ainda que são neutros quanto a
essa questão e definem-no como natural apenas
quando convém, ou seja, quando for apropriado
considerá-lo um natural, o autor deixa indicado
no começo de seu texto.
Portanto, podemos escrever:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7, · · · } ou N = {1,2,3,4, · · · }
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Conjunto dos inteiros (Z)
Após a evolução do ser humano, apresentou-
se a necessidade de fazer os primeiros cálculos.
Somar e subtrair tornou-se algo importante e ro-
tineiro. O homem se deparou com a seguinte
questão: por exemplo, quanto é
5 − 7 = ?
A resposta não era tão óbvia.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Como (5) é natural, (7) é natural, esperava-se
que o resultado também estivesse no conjunto
dos naturais, mas a Natureza das coisas não era
assim. O jeito foi ampliar o conjunto dos núme-
ros naturais para outro conjunto onde pudesse
ser efetuado esse cálculo. Foram introduzidos
os números “negativos”. Então ficou assim:
(5) − (7) = (−2),
onde (−2) é um número que pertence a esse
“novo conjunto”, que foi batizado de “Inteiros”.
Dessa forma, a operação “Subtração” ficou bem
definida.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
A operação “Soma” já estava bem definida
no velho conjunto dos naturais, pois a soma en-
tre dois naturais quaisquer sempre resulta em
um natural. Mas a subtração tinha um problema,
que foi corrigido no conjunto dos naturais “ampli-
ado” – os inteiros, representado por Z. Assim,
escrevemos:
Z = {· · · ,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5, · · · }
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Conjunto dos racionais (Q)
Mais adiante, o mundo do cálculo para o ser
humano teve outros problemas e outras ques-
tões a serem tratadas. Para tanto, surgiram as
operações de “Multiplicação” e “Divisão”.
Novas tecnologias surgiram para solucionar pro-
blemas e elas mesmas são um novo problema
a ser desvendado. Como seria possível atribuir
um número e um símbolo para representar quan-
tidades fracionárias? Como explicar numerica-
mente a ideia de metade, por exemplo?
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Qual seria o resultado de
(2) ÷ (4) = ?
A “multiplicação” não é problemática, pois o pro-
duto de dois números inteiros também é um nú-
mero inteiro. Mas o mesmo não acontece para a
operação de “divisão”.
Como esperado, o homem teve a ideia de am-
pliar novamente o conjunto dos inteiros para um
novo conjunto batizado de conjunto dos núme-
ros “Racionais”, que vem da palavra “razão”, que
significa algo como “divisão”.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
O novo conjunto passou a conter todos os ti-
pos de frações, isto é, qualquer razão (divisão)
entre dois números inteiros foi definida nesse
novo conjunto, representado por Q. Assim, a “di-
visão” ficou bem definida. E podemos escrever:
Q = {· · · ,−4.5, · · · ,−2.1, · · · ,−1, · · · ,−1
2
,
· · · ,0, · · · ,0.8, · · · , 9
4
, · · · ,3, · · · }
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Conjunto dos irracionais (I)
Os matemáticos que, até então explicavam o
mundo com frações e razões, quando tentaram
escrever uma razão para o tamanho da diago-
nal de um quadrado em função de seu lado, se
depararam com um impasse: ainda que tentas-
sem, não existiria uma fração que explicasse essa
proporção “estranha”!
Por mais que tentavam fazer aproximações,
como era de costume na época, nunca chega-
vam ao valor exato (que é 1 :
√
2)!
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Foi um choque para todos da época. Perce-
beram que necessitavam de um novo conjunto
para conter esse número esquisito e começaram
a investigar outros parecidos.
Surgem então as operações Potenciação e
Radiciação. Nesse caso, ambas as operações
ficaram indefinidas em Q. Foi necessário criar
um novo conjunto para conter esses valores.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Quanto vale
(
−1
2
)−1
2 = ?
Hoje os matemáticos sabem que não é possível
dar um valor para essa expressão nos números
reais (que vamos explicar no próximo tópico). Os
números complexos (que não trataremos nessa
disciplina) explicam sim esse valor, mas não os
reais. Por isso falaremos apenas de bases e ra-
dicandos positivos.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Para bases racionais positivas podemos dar
uma definição no “novo” conjunto. A questão en-
tão é (
+
1
2
)−1
2 = ?
E há também o problema de responder à ques-
tão
−2/3
√
+
3
5
= ?,
onde o radicando também precisa ser positivo.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Enfim, o novo conjunto, chamado de conjunto
dos números irracionais (I), foi criado para con-
ter esses números estranhos. Eles não podem
ser escritos como uma fração (uma divisão de
números inteiros). Então I não compartilha
elementos com os demais conjuntos, ficando
totalmente separado dos demais vistos anterior-
mente. Vejamos como ficou:
I = {· · · ,−√15, · · · ,−pi, · · · ,− 3√9, · · · , sen300◦,
· · · ,−
√
1
2
, · · · ,
√
1
2
, · · · , sen60◦, · · · , pi, · · · }
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Conjunto dos reais (R)
Como os conjuntos Q e I são disjuntos, isto é,
não têm elementos em comum, os matemáticos
criaram mais um conjunto que reunisse todos
esses tipos de números. Foi criado o conjunto
dos números “reais”, que são frutos de todas es-
sas experiências que acabamos de ver, repre-
sentado por (R). Mais à frente surgiram outros
problemas e outras questões que resultaram no
conjunto dos números “Complexos” (C), que é
uma ampliação dos reais.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Considerações finais
Cabem aqui umas observações finais para fim
desta aula.
Notação de conjunto
Representamos um conjunto por uma letra
maiúscula e seus elementos são escritos entre
chaves (“{ }”), separados por vírgulas ou ponto-
e-vírgula. Costuma-se escrever os elementos
literais com letras minúsculas para diferenciar
dos conjuntos que os contêm. Assim, Con-
junto: (A, B, C, etc.) ; Elemento de um conjunto:
(a, b, c, etc.).
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõefinais
Notação de Pertinência
Quando um elemento pertence a um conjunto,
escrevemos a ∈ A ou I 3 √2, por exemplo.
Leia-se: “a” está em A/pertence a A ou
I tem raiz quadrada de 2.
Quando não pertence, escrevemos a < A ou
Q =
√
2.
Leia-se: “a” não está em A/pertence a
A ou Q não tem raiz quadrada de 2.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Notação de Continência
Quando um conjunto contém outro conjunto,
escrevemos A ⊂ B ou R ⊃ Z, por exemplo.
Leia-se: A está contido em B ou R con-
tém Z.
Quando não contém, escrevemos A 1 B ou
I 2 {0,2,5}.
Leia-se: A não está contido em B ou I
não contém o conjunto {0,2,5}.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Eis um resumo:
Hierarquia dos conjuntos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
I ⊂ R
Isto significa que TODOS os números naturais
são também números inteiros, e são também nú-
meros racionais, e são também números reais.
TODOS os números inteiros são também raci-
onais e reais. TODOS os racionais são reais.
TODOS os irracionais são reais.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Hierarquia dos conjuntos
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Observação 1
Esses conjuntos (N,Z,Q, I,R,C) são conjuntos
específicos, com as propriedades que estuda-
mos. Você pode criar seus próprios conjuntos,
com quaisquer elementos que quiser, não ape-
nas números, podem ser letras, nomes, cores
objetos, etc. Lembre-se que os nomes são da-
dos por letras maiúsculas.
Existem outros tantos conjuntos famosos e im-
portantes que não mencionamos até aqui. Esta
observação é apenas para alertar o leitor a não
limitar sua ideia de conjuntos apenas aos apre-
sentados aqui.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Observação 2: subconjuntos
Costumamos representar alguns subconjuntos
de (N,Z,Q, I,R,C) apenas acrescentando uma
indicação:
Um asterisco (“ * ”) indica que excluímos o
zero do conjunto.
Um sinal positivo (“ + ”) indica que
excluímos os números negativos do
conjunto.
Um sinal negativo (“ - ”) indica que
excluímos os números positivos do
conjunto.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Observação 2: subconjuntos
Costumamos representar alguns subconjuntos
de (N,Z,Q, I,R,C) apenas acrescentando uma
indicação:
Um asterisco (“ * ”) indica que excluímos o
zero do conjunto.
Um sinal positivo (“ + ”) indica que
excluímos os números negativos do
conjunto.
Um sinal negativo (“ - ”) indica que
excluímos os números positivos do
conjunto.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Observação 2: subconjuntos
Costumamos representar alguns subconjuntos
de (N,Z,Q, I,R,C) apenas acrescentando uma
indicação:
Um asterisco (“ * ”) indica que excluímos o
zero do conjunto.
Um sinal positivo (“ + ”) indica que
excluímos os números negativos do
conjunto.
Um sinal negativo (“ - ”) indica que
excluímos os números positivos do
conjunto.
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Os conjuntos
Consideraçõe finais
Exemplos:
Z = {· · · ,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · }
Z∗ = {· · · ,−3,−2,−1,1,2,3,4, · · · }
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, · · · }
Z− = {· · · ,−4,−3,−2,−1,0}
Z∗+ = {1,2,3,4,5,6, · · · }
Z∗− = {· · · ,−4,−3,−2,−1}
Fizemos aqui para o conjunto Z, mas o mesmo
vale para os demais conjuntos (exceto o N, que
não tem números negativos e (não?) tem o zero).
O conjunto I também não tem zero.
Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos
Os conjuntos
Consideraçõe finais
Obrigado!
FIM
Junior R. Ribeiro
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	Consideraçõe finais

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