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Os conjuntos Consideraçõe finais Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Junior R. Ribeiro MathProg Atualizado em 24 de Fevereiro de 2017 Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais 1 Os conjuntos 2 Consideraçõe finais Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Conjunto dos naturais (N) O conjunto dos números naturais é o primeiro a se tomar ideia, quando o ser humano ainda contava seu rebanho com entalhos em ossos e pedras. Por isso foi dado o nome de Conjunto dos Números Naturais, representado pelo sím- bolo N. Esse conjunto foi criado para contar elemen- tos da natureza, como por exemplo: 5 gatos, 1 oceano, 12 árvores, 3 montanhas, etc. Não exis- tem valores decimais, como metade, 80%, etc. Esse conceito é muito sofisticado ainda. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Observação: Zero é natural? Até hoje não foi decidido se o número “zero” se encaixa nesse conjunto. Há autores que defendem que zero é um numeral natural, en- quanto que outros afirmam que zero não o é. Existem outros ainda que são neutros quanto a essa questão e definem-no como natural apenas quando convém, ou seja, quando for apropriado considerá-lo um natural, o autor deixa indicado no começo de seu texto. Portanto, podemos escrever: N = {0,1,2,3,4,5,6,7, · · · } ou N = {1,2,3,4, · · · } Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Conjunto dos inteiros (Z) Após a evolução do ser humano, apresentou- se a necessidade de fazer os primeiros cálculos. Somar e subtrair tornou-se algo importante e ro- tineiro. O homem se deparou com a seguinte questão: por exemplo, quanto é 5 − 7 = ? A resposta não era tão óbvia. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Como (5) é natural, (7) é natural, esperava-se que o resultado também estivesse no conjunto dos naturais, mas a Natureza das coisas não era assim. O jeito foi ampliar o conjunto dos núme- ros naturais para outro conjunto onde pudesse ser efetuado esse cálculo. Foram introduzidos os números “negativos”. Então ficou assim: (5) − (7) = (−2), onde (−2) é um número que pertence a esse “novo conjunto”, que foi batizado de “Inteiros”. Dessa forma, a operação “Subtração” ficou bem definida. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais A operação “Soma” já estava bem definida no velho conjunto dos naturais, pois a soma en- tre dois naturais quaisquer sempre resulta em um natural. Mas a subtração tinha um problema, que foi corrigido no conjunto dos naturais “ampli- ado” – os inteiros, representado por Z. Assim, escrevemos: Z = {· · · ,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5, · · · } Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Conjunto dos racionais (Q) Mais adiante, o mundo do cálculo para o ser humano teve outros problemas e outras ques- tões a serem tratadas. Para tanto, surgiram as operações de “Multiplicação” e “Divisão”. Novas tecnologias surgiram para solucionar pro- blemas e elas mesmas são um novo problema a ser desvendado. Como seria possível atribuir um número e um símbolo para representar quan- tidades fracionárias? Como explicar numerica- mente a ideia de metade, por exemplo? Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Qual seria o resultado de (2) ÷ (4) = ? A “multiplicação” não é problemática, pois o pro- duto de dois números inteiros também é um nú- mero inteiro. Mas o mesmo não acontece para a operação de “divisão”. Como esperado, o homem teve a ideia de am- pliar novamente o conjunto dos inteiros para um novo conjunto batizado de conjunto dos núme- ros “Racionais”, que vem da palavra “razão”, que significa algo como “divisão”. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais O novo conjunto passou a conter todos os ti- pos de frações, isto é, qualquer razão (divisão) entre dois números inteiros foi definida nesse novo conjunto, representado por Q. Assim, a “di- visão” ficou bem definida. E podemos escrever: Q = {· · · ,−4.5, · · · ,−2.1, · · · ,−1, · · · ,−1 2 , · · · ,0, · · · ,0.8, · · · , 9 4 , · · · ,3, · · · } Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Conjunto dos irracionais (I) Os matemáticos que, até então explicavam o mundo com frações e razões, quando tentaram escrever uma razão para o tamanho da diago- nal de um quadrado em função de seu lado, se depararam com um impasse: ainda que tentas- sem, não existiria uma fração que explicasse essa proporção “estranha”! Por mais que tentavam fazer aproximações, como era de costume na época, nunca chega- vam ao valor exato (que é 1 : √ 2)! Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Foi um choque para todos da época. Perce- beram que necessitavam de um novo conjunto para conter esse número esquisito e começaram a investigar outros parecidos. Surgem então as operações Potenciação e Radiciação. Nesse caso, ambas as operações ficaram indefinidas em Q. Foi necessário criar um novo conjunto para conter esses valores. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Quanto vale ( −1 2 )−1 2 = ? Hoje os matemáticos sabem que não é possível dar um valor para essa expressão nos números reais (que vamos explicar no próximo tópico). Os números complexos (que não trataremos nessa disciplina) explicam sim esse valor, mas não os reais. Por isso falaremos apenas de bases e ra- dicandos positivos. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Para bases racionais positivas podemos dar uma definição no “novo” conjunto. A questão en- tão é ( + 1 2 )−1 2 = ? E há também o problema de responder à ques- tão −2/3 √ + 3 5 = ?, onde o radicando também precisa ser positivo. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Enfim, o novo conjunto, chamado de conjunto dos números irracionais (I), foi criado para con- ter esses números estranhos. Eles não podem ser escritos como uma fração (uma divisão de números inteiros). Então I não compartilha elementos com os demais conjuntos, ficando totalmente separado dos demais vistos anterior- mente. Vejamos como ficou: I = {· · · ,−√15, · · · ,−pi, · · · ,− 3√9, · · · , sen300◦, · · · ,− √ 1 2 , · · · , √ 1 2 , · · · , sen60◦, · · · , pi, · · · } Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Conjunto dos reais (R) Como os conjuntos Q e I são disjuntos, isto é, não têm elementos em comum, os matemáticos criaram mais um conjunto que reunisse todos esses tipos de números. Foi criado o conjunto dos números “reais”, que são frutos de todas es- sas experiências que acabamos de ver, repre- sentado por (R). Mais à frente surgiram outros problemas e outras questões que resultaram no conjunto dos números “Complexos” (C), que é uma ampliação dos reais. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Considerações finais Cabem aqui umas observações finais para fim desta aula. Notação de conjunto Representamos um conjunto por uma letra maiúscula e seus elementos são escritos entre chaves (“{ }”), separados por vírgulas ou ponto- e-vírgula. Costuma-se escrever os elementos literais com letras minúsculas para diferenciar dos conjuntos que os contêm. Assim, Con- junto: (A, B, C, etc.) ; Elemento de um conjunto: (a, b, c, etc.). Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõefinais Notação de Pertinência Quando um elemento pertence a um conjunto, escrevemos a ∈ A ou I 3 √2, por exemplo. Leia-se: “a” está em A/pertence a A ou I tem raiz quadrada de 2. Quando não pertence, escrevemos a < A ou Q = √ 2. Leia-se: “a” não está em A/pertence a A ou Q não tem raiz quadrada de 2. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Notação de Continência Quando um conjunto contém outro conjunto, escrevemos A ⊂ B ou R ⊃ Z, por exemplo. Leia-se: A está contido em B ou R con- tém Z. Quando não contém, escrevemos A 1 B ou I 2 {0,2,5}. Leia-se: A não está contido em B ou I não contém o conjunto {0,2,5}. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Eis um resumo: Hierarquia dos conjuntos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R I ⊂ R Isto significa que TODOS os números naturais são também números inteiros, e são também nú- meros racionais, e são também números reais. TODOS os números inteiros são também raci- onais e reais. TODOS os racionais são reais. TODOS os irracionais são reais. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Hierarquia dos conjuntos Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Observação 1 Esses conjuntos (N,Z,Q, I,R,C) são conjuntos específicos, com as propriedades que estuda- mos. Você pode criar seus próprios conjuntos, com quaisquer elementos que quiser, não ape- nas números, podem ser letras, nomes, cores objetos, etc. Lembre-se que os nomes são da- dos por letras maiúsculas. Existem outros tantos conjuntos famosos e im- portantes que não mencionamos até aqui. Esta observação é apenas para alertar o leitor a não limitar sua ideia de conjuntos apenas aos apre- sentados aqui. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Observação 2: subconjuntos Costumamos representar alguns subconjuntos de (N,Z,Q, I,R,C) apenas acrescentando uma indicação: Um asterisco (“ * ”) indica que excluímos o zero do conjunto. Um sinal positivo (“ + ”) indica que excluímos os números negativos do conjunto. Um sinal negativo (“ - ”) indica que excluímos os números positivos do conjunto. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Observação 2: subconjuntos Costumamos representar alguns subconjuntos de (N,Z,Q, I,R,C) apenas acrescentando uma indicação: Um asterisco (“ * ”) indica que excluímos o zero do conjunto. Um sinal positivo (“ + ”) indica que excluímos os números negativos do conjunto. Um sinal negativo (“ - ”) indica que excluímos os números positivos do conjunto. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Observação 2: subconjuntos Costumamos representar alguns subconjuntos de (N,Z,Q, I,R,C) apenas acrescentando uma indicação: Um asterisco (“ * ”) indica que excluímos o zero do conjunto. Um sinal positivo (“ + ”) indica que excluímos os números negativos do conjunto. Um sinal negativo (“ - ”) indica que excluímos os números positivos do conjunto. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Exemplos: Z = {· · · ,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · } Z∗ = {· · · ,−3,−2,−1,1,2,3,4, · · · } Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, · · · } Z− = {· · · ,−4,−3,−2,−1,0} Z∗+ = {1,2,3,4,5,6, · · · } Z∗− = {· · · ,−4,−3,−2,−1} Fizemos aqui para o conjunto Z, mas o mesmo vale para os demais conjuntos (exceto o N, que não tem números negativos e (não?) tem o zero). O conjunto I também não tem zero. Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais Obrigado! FIM Junior R. Ribeiro MathProg Junior R. Ribeiro Cálculo I Aula 1.1 – Conjuntos Os conjuntos Consideraçõe finais
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