Cálculo 1 pt 4

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Produção: Profª Maria Cristina Kessler
Designer: Betina Palma
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Neste caderno de exercícios você pode escrever nestas caixas. 
Note que Isto só é possível no modo de apresentação.
Se o tamanho da caixa parecer pequeno para o que você pretende escrever, não se preocupe pois ela irá se adequar ao texto.
Para salvar o que escreveu você deve:
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Taxas de Variação Média e Instantânea
 
Uma taxa expressa a variação de uma determinada situação/fenômeno e, portanto, é utilizada em muitas situações cotidianas. 
Exemplos:
Dengue: Os registros dos casos de dengue em São Paulo aumentaram em relação ao último balanço da Secretaria Municipal de Saúde. São 1.745 casos, registrados no dia 10 de abril de 2014, contra os 1.166 de 3 de abril. 
Enchente: O rio Madeira permanece mantendo sua continuidade de recuo do nível apresentada durante toda a semana. Na manhã deste sábado (5/04/14) o rio Madeira registrou a marca de 19,50 metros, seis centímetros a menos da marca registrada na última sexta-feira.
As taxas podem ser divididas em: Taxas de Variação Média 
 Taxas de Variação Instantânea
 
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Taxas de Variação Média e Instantânea
 
Se, por exemplo, x e y forem quantidades relacionadas por uma equação y=f(x), é possível determinar a taxa segundo a qual y varia em relação ao x.
Há distinção entre taxa média de variação, representada pela inclinação da reta secante, e taxa instantânea de variação, representada pela inclinação da reta tangente.
Vejamos cada uma delas...
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Taxa média de Variação
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y éuma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de para , então a variaçãode x ( também chamada de
incremento
de x) é :e a variação correspondente de y é :O quociente de diferenças:É denominado de
Taxa Média de Variação de y em relação a x
no intervaloe pode ser interpretado como a inclinação da reta secante (reta queintersecta 2 pontos de uma curva).
Taxa (instantânea) de Variação
Consideramos a taxa média de variação em intervalos cada vez menores fazendotender a e, portanto, fazendo tender a 0 . O limite dessas taxas médias devariação é chamado
taxa( instantânea) de variação de y
em relação a x empara , que é interpretada como a inclinação da tangente á curva y = f(x) emP
, .
 Taxa de instantânea de variação:
Obs.:
Gráfico que será explicado
                                                                                                                                              
 
Para lembrar a relação entre taxa de variação e declividade da reta! 
 clique aqui
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Taxa média de Variação
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y éuma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de para , então a variaçãode x ( também chamada de
incremento
de x) é :e a variação correspondente de y é :O quociente de diferenças:É denominado de
Taxa Média de Variação de y em relação a x
no intervaloe pode ser interpretado como a inclinação da reta secante (reta queintersecta 2 pontos de uma curva).
Taxa (instantânea) de Variação
Consideramos a taxa média de variação em intervalos cada vez menores fazendotender a e, portanto, fazendo tender a 0 . O limite dessas taxas médias devariação é chamado
taxa( instantânea) de variação de y
em relação a x empara , que é interpretada como a inclinação da tangente á curva y = f(x) emP
, .
 Taxa de instantânea de variação:
Obs.:
Gráfico que será explicado
                                                                                                                                              
 
h
x1= x0+h
f(x1) = f(x0+h)
Veja a animação a seguir...
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Clique aqui
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Exercícios
1 - Uma peça metálica quadrada é submetida a aquecimento de modo que seu perímetro, medido em mm, varia de acordo com a equação P = 8 + 4t² , na qual a variável t representa o tempo, medido em minutos. Determine:
A taxa de variação média do perímetro desta peça no intervalo de tempo [1,4]; 
b) A taxa de variação do perímetro dessa peça quando t = 2. 
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Exercícios
1 - Uma peça metálica quadrada é submetida a aquecimento de modo que seu perímetro, medido em mm, varia de acordo com a equação P = 8 + 4t² , na qual a variável t representa o tempo, medido em minutos. Determine:
A taxa de variação média do perímetro desta peça no intervalo de tempo [1,4]; 
b) A taxa de variação do perímetro dessa peça quando t = 2. 
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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4 - Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: 
a) A variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia de 2,5 a 3,0 m; 
b) A taxa de variação da área, em relação ao lado, 
quando este mede 4 m. 
Exercícios
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4 - Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: 
a) A variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia de 2,5 a 3,0 m; 
b) A taxa de variação da área, em relação ao lado, 
quando este mede 4 m. 
Exercícios
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5 - Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo de horas este volume diminuiu 2500 t²litros, determinar: 
 
a)tempo necessário para o esvaziamento da piscina; 
b)taxa média de escoamento no intervalo [2,5]; 
c)taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo. 
Exercícios
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5 - Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo de horas este volume diminuiu 2500 t²litros, determinar: 
 
a)tempo necessário para o esvaziamento da piscina; 
b)taxa média de escoamento no intervalo [2,5]; 
c)taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo. 
Exercícios
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Fim
Exercícios
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Fim
Exercícios
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Observe a reta y = 2x + 3, representada no gráfico abaixo 
Agora observe a variação do y em relação a x, ou seja, a taxa de variação de y em relação a x:
Quando x varia de 1 unidade (se desloca 1 unidade para a direita), y varia 2 unidades (sobe 2 unidades) .
A interpretação da inclinação como taxa de variação é de importância fundamental no Cálculo. 
A declividade/inclinação da reta é 2, ou seja, a tangente do ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo x é 2.
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