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Aluno: Caderno de Exercícios Produção: profª Maria Cristina Kessler Designer Betina Palma Taxas Relacionadas 1 Muitas situações práticas envolvem variáveis e taxas que variam com o tempo. Se duas variáveis estão relacionadas, suas taxas de variação em relação ao tempo também se relacionam, justificando o título desse assunto: Taxas Relacionadas. Considere a seguinte situação: Um navio sofre acidente em alto mar e começa a perder óleo, por uma abertura no casco. O combustível se espalha, de forma circular, de modo que o raio da mancha cresce a uma taxa constante de 4m/s. Calcule com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o raio da mancha for de 100 m. 3 R Expressar os dados fornecidos pelo problema. O que está sendo solicitado pelo problema? Fazer um esquema/desenho associando, nele, os valores das variáveis envolvidas. Utilize símbolos (letras) para representá-las. Passo 1: Passo 2: Taxa de variação do raio em relação ao tempo. Velocidade com que a área está crescendo, ou seja, a taxa de variação da área em relação ao tempo. 4 Relembrando... Expressar a relação entre as taxas. Notação de Leibniz As taxas relacionadas na situação descrita no problema são: A área varia em relação ao raio e, o raio, varia em relação ao tempo. Temos, então, duas taxas que se relacionam (taxas relacionadas). Passo 3: Taxa de variação do raio em relação ao tempo. 5 Derivar utilizando a regra da cadeia. Como a taxa solicitada depende do raio e o raio = 100m : Passo 4: 6 Uma escada de 5m de comprimento está recostada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2m/seg. Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a 3m da parede ? 7 Fazer um esquema/desenho explicitando, nele, os valores das variáveis envolvidas. Utilize símbolos (letras) para representá-las. Expressar os dados fornecidos pelo problema. Escreva nas caixas a taxa que está sendo solicitada pelo problema: Passo 1: Passo 2: Taxa de variação da base em relação ao tempo, ou seja, velocidade de afastamento da base da escada. Expresse nesta caixa, em linguagem simbólica, a respectiva taxa. 8 Um míssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação de rastreamento, e a mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundos de vôo seu ângulo de elevação θ varia à razão constante de 2°por segundo. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for 30°. 13 Usar o desenho para determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema. 5 y x x²+ y² = 25 Vamos direto ao passo 3: Esta função está escrita na forma implícita mas, pode ser escrita explicitamente. Forma explícita. 11 A velocidade com que o topo da escada desliza é: Derivar utilizando a regra da cadeia. Passo 4: 12 RESPOSTA: Para salvar suas respostas você precisa: Clicar em esc , para sair do modo de apresentação. Salvar. 25 Construir um esquema/desenho associando nele, os valores das variáveis envolvidas. Utilize símbolos (letras) para representá-las. 8 km y θ Passo 1: Passo 2: Expressar os dados fornecidos pelo problema. Passo 2: Expresse nesta caixa, em linguagem simbólica, a respectiva taxa. Taxa de variação do ângulo de elevação em relação ao tempo. 14 RESPOSTA: Não esqueça de transformar a taxa de variação de 2°/s para rad/s. Para salvar suas respostas você precisa: Clicar em esc , para sair do modo de apresentação. Salvar. 24 Passo 4: Derivar utilizando a regra da cadeia. A taxa solicitada é quando = 30°, logo: Veja a RESPOSTA 16 Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone no qual a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m³/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m? 17 Construir um esquema/desenho associando, nele, os valores das variáveis envolvidas. Utilize símbolos (letras) para representá-las. Volume do cone Passo 1: 18 Determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema a partir do desenho construído. Passo 2: Expressar os dados fornecidos pelo problema. Como R = h Volume do cone Passo 2: Passo 3: Taxa de variação do volume em relação ao tempo. Expresse nesta caixa, em linguagem simbólica, a respectiva taxa. 19 Trabalhando os dados do problema: taxa de variação do volume em relação ao tempo. A taxa solicitada é quando h=r=4: 1 2 Teremos que trabalhar com as expressões 1 e 2. Ainda no Passo 3: Taxa de variação do raio em relação ao tempo. Taxa de variação do volume em relação ao raio. Taxa de variação do raio em relação ao tempo. Taxa de variação da área em relação ao raio. 20 Derivar (1) utilizando a regra da cadeia. Podemos encontrar quando h=r=4: 1 2 “Entrando” com este valor em “2” encontra-se a taxa solicitada. Passo 4: Veja a RESPOSTA 21 APOIO 22 Exercícios resolvidos em vídeo: Exercícios resolvidos: 23
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