Apostila Resumida de Matrizes e Determinantes

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Cap´ıtulo 1
Matrizes
1.1 Definic¸a˜o de Matriz
Chamamos de Matriz a uma colec¸a˜o de nu´meros dispostos em forma de tabela, isto
e´, nu´meros dispostos em linhas e colunas. Dados dois nu´meros inteiros m e n dizemos que uma
matriz tem ordem m × n (leˆ-se m por n), quando ela possui m linhas e n colunas. Abaixo
temos exemplos de matrizes com a sua ordem indicada: 1 3−1 2
0 4

3×2
,
[
5
√
3 −6 −1]
1×4 ,
[
e 3
0 4
]
2×2
,
79
pi

3×1
,
[
5
]
1×1
Aos nu´meros da matriz, chamamos de entradas ou elementos da matriz. Cada
entrada de uma matriz A e´ representada por dois ı´ndices aij, em que i indica a linha e j indica
a coluna em que ele se encontra. Assim, podemos representar uma matriz A gene´rica m×n da
seguinte forma:
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn

Como voceˆ poˆde notar, usaremos letras maiu´sculas para representar matrizes e letras
minu´sculas para representar suas entradas. Representaremos, tambe´m de forma abreviada uma
matriz como A = [aij]m×n. Duas matrizes sa˜o consideradas iguais se, e somente se, todas as
suas entradas sa˜o iguais. Em notac¸a˜o matema´tica, dadas A = [aij]m×n e B = [bij]m×n,
A = B ⇔ aij = bij para todos i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
Uma matriz pode ser determinada em func¸a˜o da sua posic¸a˜o como no exemplo seguinte:
Exemplo 1.1 Considere a matriz A = [aij]4×3 em que cada elemento e´ dado por aij = i + j.
Seguindo esta lei obtemos as entradas
a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a13 = 1 + 3 = 4,
a21 = 2 + 1 = 3, a22 = 2 + 2 = 4, a23 = 2 + 3 = 5,
a31 = 3 + 1 = 4, a32 = 3 + 2 = 5, a33 = 3 + 3 = 6,
a41 = 4 + 1 = 5, a42 = 4 + 2 = 6, a43 = 4 + 3 = 7.
1
CAPI´TULO 1. MATRIZES 2
Assim, a matriz e´ A =

2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
.
A lei pode ser dada condicionalmente com relac¸a˜o a` posic¸a˜o.
Exemplo 1.2 Considere a matriz B = [bij]3×3 dada por bij =
{
0, se i < j
ij(−1)i+j, se i ≥ j . Da´ı
temos
b11 = 1 · 1 · (−1)1+1 = (−1)2 = 1, b12 = 0, b13 = 0
b21 = 2 · 1 · (−1)3 = −2, b22 = 2 · 2 · (−1)4 = 4, b23 = 0
b31 = 3 · 1 · (−1)4 = 3, b32 = 3 · 2 · (−1)5 = −6, b33 = 3 · 3 · (−1)6 = 9.
Assim, a matriz e´ B =
 1 0 0−2 4 0
3 −6 9
. /
Atividade 1.1 Escreva as matrizes A = [aij]2×5 e B = [bij]3×2 de forma que suas entradas
satisfac¸am
aij =
{
(−1)j+1 · (i2 + j), se j > i+ 1
j − i, se j ≤ i+ 1 e bij =
{
i2, se i = j
ij, se i 6= j .
Se uma matriz possui somente uma linha, dizemos que ela e´ uma matriz linha e
quando ela possui somente uma coluna, dizemos que ela e´ uma matriz coluna.
matriz linha 1× n matriz coluna n× 1
[
a1 a2 a3 · · · an
]

a1
a2
a3
...
an

Se uma matriz possui o mesmo nu´mero de linhas e colunas, dizemos que ela e´ uma matriz
quadrada. Abaixo temos uma matriz quadrada de ordem n× n, ou simplesmente, n.
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
...
an1 an2 an3 · · · ann

Numa matriz quadrada A = [aij]n, os elementos em que i = j constituem a diagonal principal.
Assim, a diagonal principal e´ formada pelos elementos a11, a22, a33, . . . , ann. A outra diagonal
e´ denominada diagonal secunda´ria. Matematicamente sa˜o os elementos aij tais que i + j =
n+ 1, ou seja ela e´ formada pelos elementos a1n, a2 (n−1), a3 (n−2), . . . , an1.
CAPI´TULO 1. MATRIZES 3
1.2 Operac¸o˜es com matrizes
1.2.1 Multiplicac¸a˜o por escalar
Antes de definirmos esta operac¸a˜o e´ importante ressaltar que frequentemente nos
referiremos a um nu´mero real como sendo um escalar. Da´ı podemos definir a multiplicac¸a˜o de
um escalar por uma matriz.
Definic¸a˜o 1.1 Se A e´ uma matriz e c e´ um escalar, enta˜o o produto cA e´ a matriz obtida pela
multiplicac¸a˜o de cada entrada de A por c. Assim, se A = [aij]m×n, enta˜o cA = [caij]m×n. A
matriz cA e´ chamada mu´ltiplo escalar de A.
Exemplo 1.3 Dada a Matriz A =
[
2 −1 4
0
√
2 −5
]
podemos obter
3A =
[
6 −3 12
0 3
√
2 −15
]
, −2A =
[−4 2 −8
0 −2√2 10
]
e
1
2
A =
[
1 −1
2
2
0
√
2
2
−5
2
]
.
/
Exemplo 1.4 A multiplicac¸a˜o por escalar nos permite ainda simplificar a notac¸a˜o de matrizes,
colocando o fator comum em evideˆncia, como nos casos
A =
[−1.000 3.000
50.000 2.500
]
e B =
[−2
5
12
5−3 6
5
]
,
em que podemos simplificar como
A = 1.000
[−1 3
50 2, 5
]
e B =
1
5
[ −2 12
−15 6
]
.
/
Sendo A e B matrizes e c, d ∈ R um escalar, a multiplicac¸a˜o de uma matriz por um
escalar satisfaz as seguintes propriedades
1. (cd)A = c(dA) (associatividade para o escalar)
2. (c+ d)A = cA+ dA (distributividade para a matriz)
3. c(A+B) = cA+ cB (distributividade para o escalar)
4. 1A = A (elemento neutro)
1.2.2 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o
Como os nu´meros reais, e´ interessante que possamos somar e subtrair matrizes. Entre-
tanto, isto so´ e´ poss´ıvel se ambas as matrizes teˆm exatamente a mesma ordem.
Definic¸a˜o 1.2 Se A e B sa˜o matrizes de mesma ordem, entao a soma A+B e´ a matriz obtida
somando as entradas de B a`s entradas correspondentes de A, e a diferenc¸a A−B e´ a matriz
obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A. Em notac¸a˜o matricial,
se A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, enta˜o
A+B = [aij + bij]m×n e A−B = [aij − bij]m×n.
CAPI´TULO 1. MATRIZES 4
Exemplo 1.5 Considere as matrizes
A =
 2 1 0−1 0 2
4 −2 7
 , B =
−4 3 52 2 0
3 2 −4
 e C = [1 1
2 2
]
.
Deste modo
A+B =
−2 4 51 2 2
7 0 3
 e A−B =
 6 −2 −5−3 −2 2
1 −4 11
 ,
e A+ C, A− C, B + C e B − C na˜o esta˜o definidas. /
Definidas estas operac¸o˜es, podemos definir a matriz nula ou matriz zero como sendo
aquela que tem todas as suas entradas nulas e podemos denota´-la como
0 = [0]m×n =

0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 0

m×n
.
Dadas as matrizes m× n A, B e C e a matriz nula 0, a soma e subtrac¸a˜o de matrizes
satisfazem as seguintes propriedades:
1. A+B = B + A (comutatividade)
2. A+ (B + C) = (A+B) + C (associatividade)
3. A− A = −A+ A = 0 (elemento sime´trico)
4. A+ 0 = 0 + A = A (elemento neutro da soma).
Atividade 1.2 Dadas as matrizes
A =
[
2 3 4
1 3 1
]
, B =
[
0 2 7
−1 3 −5
]
e C =
[
9 −6 3
3 0 12
]
determine a matriz D = 2A−B + 1
3
C.
1.2.3 Multiplicac¸a˜o
Vamos definir agora a multiplicac¸a˜o ou o produto entre duas matrizes. Por mais
estranha que possa parecer, a principio, tal operac¸a˜o, ela fara´ mais sentido quando trabal-
hamos com espac¸os vetoriais e produtos escalares entre vetores. Entretanto ha´ diversas outras
aplicac¸o˜es que na˜o cabem neste texto. Para entendermos melhor a multiplicac¸a˜o, comecemos
por um exemplo.
CAPI´TULO 1. MATRIZES 5
Exemplo 1.6 Considere as matrizes A =
[
1 2 4
2 6 0
]
e B =
4 1 4 30 −1 3 1
2 7 5 2
. Observe que A
e´ uma matriz 2 × 3 e que B e´ 3 × 4, o resultado da multiplicac¸a˜o das duas matrizes sera´
uma matriz C2×4. Veja como se faz. Para determinarmos, por exemplo, a entrada c23 no´s
multiplicamos cada termo da linha 2 de A com seu correspondente na terceira coluna da coluna
3 de B. Abaixo, destacamos a operac¸a˜o.
[
2 6 0
] 43
5
 = [� � � �� � 26 �
]
.
A operac¸a˜o feita foi c23 = (2 · 4) + (6 · 3) + (0 · 5) = 26. Procedemos da mesma maneira para
todas as entradas de C de forma a obtermos
c11 = (1 · 4) + (2 · 0) + (4 · 2) = 12 c21 = (2 · 4) + (6 · 0) + (0 · 2) = 8
c12 = (1 · 1)− (2 · 1) + (4 · 7) = 27 c22 = (2 · 1)− (6 · 1) + (0 · 7) = −4
c13 = (1 · 4) + (2 · 3) + (4 · 5) = 30 c23 = (2 · 4) + (6 · 3) + (0 · 5) = 26
c14 = (1 · 3) + (2 · 1) + (4 · 2) = 13 c24 = (2 · 3) + (6 · 1) + (0 · 2) = 12.Portanto a matriz resultante e´ C = AB =
[
12 27 30 13
8 −4 26 12
]
. /
A partir dai podemos definir a multiplicac¸a˜o entre duas matrizes quaisquer.
Definic¸a˜o 1.3 Se A e´ uma matriz m × p e B e´ uma matriz p × n, entao o produto AB e´
a matriz C de ordem m × n em que a entrada cij e´ obtida multiplicando-se os elementos da
i-e´sima linha de A pelos elementos correspondentes da j-e´sima coluna de B e somando-se os
produtos resultantes. Isto e´, AB = C = [cij]m×n tal que
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj =
p∑
k=1
aikbkj.
1
Observe que e´ estritamente necessa´rio que o nu´mero de colunas de A seja igual ao
nu´mero de linhas de B. Caso contra´rio na˜o seria possivel fazer o produto. O produto invertido
BA, por exemplo, na˜o poderia ser efetuado se m 6= n, como no exemplo 1.6. Podemos ver
ainda que a matriz C resultane tem o mesmo nu´mero de linhas que A e o mesmo nu´mero de
colunas de B, isto e´, Am×pBp×n = Cm×n. Assim podemos determinar se e´ poss´ıvel efetuar o
produto entre duas matrizes conhecendo a ordem delas.
Exemplo 1.7 Considere as matrizes A3×4, B4×7 e C7×3. Enta˜o, o produto AB esta´ bem
definido e tem ordem 3 × 7; BC esta´ definido e tem ordem 4 × 3 e CA esta´ definido e tem
ordem 7× 4. Ja´ os produtos AC, CB e BA na˜o esta˜o definidos. /
Atividade 1.3 Dadas as matrizes A4×5, B4×5, C5×2 e D4×2, determine quais produtos esta˜o
definidos e quando estiver, determine a sua ordem.
1Na˜o e´ necessa´rio dominar a notac¸a˜o de somato´rio apresentada aqui numa primeira leitura. O mais impor-
tante e´ saber como e´ feita a operac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. MATRIZES 6
Como definimos a operac¸a˜o de produto, gostar´ıamos que esta operac¸a˜o tivesse tambe´m
um elemento neutro, como no conjunto R em que o 1 multiplicado por qualquer nu´mero resulta
no pro´prio nu´mero, isto e´, 1 · x = x · 1 = x para todo x ∈ R. De fato existe tal matriz. E´ uma
matriz quadrada em que a diagonal principal e´ toda igual a 1 e todos os outros elementos sa˜o
nulos. Ela e´ chamada de matriz identidade ou matriz unidade e a denotaremos por In,
quando ela tiver ordem n. Ou seja,
I2 =
[
1 0
0 1
]
, I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 , . . . , In =

1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 1

n×n
.
Quando na˜o houver du´vida quanto a` ordem da identidade vamos denota´-la apenas por I.
Atividade 1.4 Efetue o produto entre as matrizes A =
 1 −2 3−4 5 −6
7 10 −8
 e I3 e verifique que
AI3 = I3A = A.
Uma vez definida a matriz identidade, e´ interessante definirmos uma matriz inversa.
Deste modo, dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz inversa de A a matriz que
denotaremos por A−1 e que satisfaz
AA−1 = A−1A = I.
Exemplo 1.8 Dada a matriz 2× 2 A =
[
11 3
7 2
]
, para encontrar a inversa de A, escrevemos a
matriz A−1 =
[
x y
z w
]
com as inco´gnitas x, y, z, w e escrevemos a equc¸a˜o matricial AA−1 = I:
[
11 3
7 2
] [
x y
z w
]
=
[
1 0
0 1
]
⇒
[
11x+ 3z 11y + 3w
7x+ 2z 7y + 2w
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Da´ı, pela igualdade de matrizes obtemos os sistemas{
11x+ 3z = 1
7x+ 2z = 0
e
{
11y + 3w = 0
7y + 2w = 1
.
Resolvendo estes sistemas, obtemos x = 2, y = −3, z = −7 e w = 11. Logo, a matriz
inversa de A e´ A−1 =
[
2 3
−7 11
]
. Para verificar que esta e´ realmente a inversa, basta efetuar a
multiplicac¸a˜o AA−1. /
De fato, e´ possivel encontrar a matriz inversa de qualquer ordem resolvendo uma quantidade
de sistemas igual ao nu´mero de entradas. Nos pro´ximos cap´ıtulos, mostraremos maneiras mais
pra´ticas de determinar a inversa para ordens maiores.
Dadas as matrizes A, B e C com ordens apropriadas e α ∈ R um escalar, a multiplicac¸a˜o
de matrizes satisfaz as seguintes propriedades:
1. (AB)C = A(BC) (associatividade)
CAPI´TULO 1. MATRIZES 7
2. A(B + C) = AB + AC (distributividade)
3. (A+B)C = AC +BC (distributividade)
4. AI = IA = A (elemento neutro da multiplicac¸a˜o)
5. (αA)B = A(αB) = α(AB). (homogeneidade para o escalar)
Note que na˜o mencionamos a propriedade comutativa. Na verdade, em geral ela e´ falsa, isto e´,
dadas duas matrizes quadradas de mesma ordem A e B, em geral temos que
AB 6= BA.
Claro que existem excec¸o˜es, como vimos acima os exemplos da identidade AI = IA = A e da
inversa AA−1 = A−1A = I. Ale´m dessas existem ainda outras ocasionais excec¸o˜es.
Atividade 1.5 Dadas as matrizes A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
5 7
6 8
]
, mostre que na˜o vale a pro-
priedade comutativa para elas, isto e´, que AB 6= BA.
Na˜o e´ dificil ver que se as duas matrizes na˜o forem quadradas, nem mesmo e´ poss´ıvel efetuar a
multiplicac¸a˜o nos dois sentidos.
1.2.4 Matriz Transposta
Definic¸a˜o 1.4 A matriz transposta de uma matriz Am×n e´ a matriz que denotaremos por
AT de ordem m × n que se obte´m da matriz A trocando-se as linhas pelas colunas de mesmo
ı´ndice. Assim, se A = [aij]m×n, enta˜o AT = [aji]n×m.
Exemplo 1.9 Considere as matrizes
A =
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
, B =
2 31 4
5 6
 , C = [1 3 5] e D = [4] .
Suas transpostas sa˜o, respectivamente,
AT =
a11 a21a12 a22
a13 a23
 , BT = [2 1 5
3 4 6
]
, CT =
13
5
 e DT = [4]
/
Observe que na˜o somente as linhas de AT sa˜o as colunas de A, mas tambe´m as colunas de AT
sa˜o as linhas de A, por isso as inversa˜o dos sub´ındices na definic¸a˜o.
Se uma matriz e´ quadrada, observe que pode acontecer de a transposta ser igual a`
pro´pria matriz. Veja, por exemplo a matriz quadrada A =
1 2 32 4 5
3 5 6
. Para ela temos que
aij = aji para todos i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3. Isto implica que A
T = A. Quando isto acontece,
dizemos que A e´ uma matriz sime´trica. Na matriz sime´trica podemos ver que as entradas
sa˜o espelhadas com relac¸a˜o a` diagonal principal.
Dadas as matrizes A e B de ordens apropriadas e um escalar α ∈ R, a transposic¸a˜o de
matrizes satisfaz as seguintes propriedades:
CAPI´TULO 1. MATRIZES 8
1. (A+B)T = AT +BT
2. (αA)T = αAT
3. (AT )T = A
4. (AB)T = BTAT .
Na˜o e´ nossa intenc¸a˜o demonstrar a veracidade dessas propriedades, entretanto sugerimos que
voceˆ verifique a veracidade de 1, 2 e 3 para matrizes particulares, como faremos para a pro-
priedade 4 no exemplo a seguir.
Exemplo 1.10 Considere as matrizes A =
1 30 2
2 4
 e B = [1 2
3 4
]
. Vamos mostrar que para
estas duas matrizes vale a propriedade 4. Primeiro, calculamos o lado esquerdo da igualdade.
Temos
AB =
1 30 2
2 4
 · [1 2
3 4
]
=
10 146 8
14 20
 , logo (AB)T = [10 6 14
14 8 20
]
.
Para o lado direito temos AT =
[
1 0 2
3 2 4
]
e BT =
[
1 3
2 4
]
, assim
BTAT =
[
1 0 2
3 2 4
]
·
[
1 3
2 4
]
=
[
10 6 14
14 8 20
]
.
Portanto, verificamos que (AB)T = BTAT . /
Atividade 1.6 Escolha algumas matrizes apropriadas e um escalar para verificar as propriedades
1, 2 e 3.
1.3 Determinantes
Quando trabalhamos com matrizes quadradas, definimos uma func¸a˜o chamada deter-
minante que identifica cada matriz quadrada com um nu´mero real. Tal valor tem importantes
significados no tratamento das matrizes, especialmente no estudo da A´lgebra Linear.
1.3.1 A Func¸a˜o Determinante
Para definirmos a func¸a˜o determinante, vamos denotar por Mn(R) como sendo o con-
junto de todas as matrizes quadradas de ordem n, em que as entradas esta˜o em R. Em notac¸a˜o
de conjuntos,
Mn(R) = {[aij]n×n; aij ∈ R}.
Isto e´, M1(R) e´ o conjunto das matrizes 1 × 1, da forma [a]; M2(R), das matrizes 2 × 2, da
forma
[
a b
c d
]
; M3(R), das matrizes 3× 3 da forma
a b cd e f
g h i
 e assim por diante, sempre com
entradas reais.
CAPI´TULO 1. MATRIZES 9
O determinante e´ uma func¸a˜o que associaa cada matriz no conjunto Mn(R) um nu´mero
real. Denotamos a func¸a˜o por det. Assim em notac¸a˜o matema´tica, det : Mn(R) → R. Deste
modo, dada uma matriz A ∈Mn(R), existe a ∈ R tal que det(A) = a.
Vamos comec¸ar definindo o determinante para matrizes 1 × 1. Dada uma matriz
A = [a] ∈ M1(R), definimos o determinante de A como sendo det(A) = a. Exemplificando,
se A = [7], det(A) = 7. Ou seja, como a matriz tem somente uma entrada, ela e´ o pro´prio
determinante da matriz. Para matrizes 2 × 2, definimos da seguinte maneira: e´ o produto da
diagonal principal menos o produto da diagonal secunda´ria. Isto e´,
det(A) = det
[
a11 a12
a21 a22
]
= a11a22 − a12a21.
Exemplo 1.11 Dada A =
[
3 2
−3 −4
]
, temos det(A) = 3(−4)− 2(−3) = −12 + 6 = −6. /
Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, precisamos definir o que sa˜o os
cofatores de uma matriz.
Me´todo dos cofatores
Dada uma matriz A + [aij]n×n, o determinante menor ou simplesmente menor do
elemento aij, que denotaremos por Dij, e´ o determinante da submatriz obtida retirando-se a
i-e´sima linha e a j-e´sima coluna de A.
Exemplo 1.12 Para uma matriz 3 × 3 qualquer, A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, vamos calcular D23.
Para isso eliminamos a 2a linha e a 3a coluna de A. Assim, D23 = det
[
a11 a12
a31 a32
]
. /
A partir dos determinantes menores definimos os cofatores. o cofator do elemento aij, denotado
por Cij e´ definido por
Cij = (−1)i+jDij. (1.1)
Exemplo 1.13 No exemplo 1.12, o cofator de a23 e´
C23 = (−1)2+3D23 = (−1)5 det
[
a11 a12
a31 a32
]
= −(a11a32 − a31a12) = a31a12 − a11a32.
/
Com isso definimos o determinante de uma matriz n×n, com n ≥ 3 como sendo a somas dos
produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos seus cofatores. Podemos escolher uma
linha ou coluna que seja mais conveniente. Se escolhermos a primeira linha, podemos escrever
o determinante de uma matriz A = [aij]n×n como
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + · · ·+ a1nC1n, (1.2)
ou, em notac¸a˜o de somatorio,
det(A) =
n∑
k=1
a1kC1k.
CAPI´TULO 1. MATRIZES 10
Exemplo 1.14 Considere a matriz A =
 3 1 0−2 −4 3
5 4 −2
. Para calcular det(A) por expansa˜o
em cofatores ao longo da primeira linha, precisamos calcular cada um dos cofatores C11, C12 e
C13. Temos
C11 = (−1)2 det
[−4 3
4 −2
]
= (−4)(−2)− 3 · 4 = −4
C12 = (−1)3 det
[−2 3
5 −2
]
= −[(−2)(−2)− 3 · 5] = 11
C13 = (−1)4 det
[−2 −4
5 4
]
= (−2)4− (−4)5 = 12
Da´ı, da definic¸a˜o (1.2), o determinante de A e´
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 3(−4) + 1 · 11 + 0 · 12 = −1.
/
E´ comum, dada uma matriz A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, denotarmos o determinante de A por
det(A) =
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ . (1.3)
Usaremos esta notac¸a˜o no pro´ximo exemplo e constantemente ao longo do texto. Observe que
na˜o e´ correto escrever
[
1 2
3 4
]
= 1 · 4− 2 · 3, ja´ que a notac¸a˜o com colchetes representa a matriz
e na˜o o seu determinante. O correto, e´ escrever
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣ = 1 · 4 − 2 · 3 = −2. E´ claro, tambe´m
que esta notac¸a˜o se estende para matrizes quadradas de qualquer ordem.
Exemplo 1.15 No exemplo 1.14, calculamos o determinante com a expansa˜o por cofatores
ao longo da primeira linha, mas como foi dito, podemos escolher qualquer linha ou coluna da
matriz para fazer a expansa˜o por cofatores. Tomemos a matriz
A =

1 2 3 4
−1 3 2 5
0 0 0 −3
2 1 −2 0
 .
Neste caso e´ conveniente fazermos a expansa˜o ao longo da terceira linha, ja´ que ela tem somente
uma entrada na˜o nula. Sendo assim, 3 cofatores sera˜o nulos, o que facilita a conta. Calculando
temos
det(A) = 0 ·D31 + 0 ·D32 + 0 ·D33 + (−1)3+4 · (−3) ·D34 = 3D34.
Ou seja, agora resta-nos calcular D34 =
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−1 3 2
2 1 −2
∣∣∣∣∣∣. Esta e´ a matriz obtida de A eliminando-se
a 3a linha e a 4a coluna. Agora, basta repetir o procedimento para calcular este determinante.
CAPI´TULO 1. MATRIZES 11
Fazendo a expansa˜o por cofatores na primeira linha temos
D34 = 1(−1)1+1
∣∣∣∣3 21 −2
∣∣∣∣+ 2(−1)1+2 ∣∣∣∣−1 22 −2
∣∣∣∣+ 3(−1)1+3 ∣∣∣∣−1 32 1
∣∣∣∣
= 1(−8)− 2(−2) + 3(−7)
= −8 + 4− 21 = −25.
Portanto, det(A) = 3D34 = 3(−25) = −75. /
Atividade 1.7 Escolha uma linha ou coluna conveniente para calcular o determinante da ma-
triz B =
1 6 10 5 3
9 7 4
 pela expansa˜o por cofatores. Se quiser, fac¸a uma expansa˜o por linhas e em
seguida uma expansa˜o por colunas para verificar que o resultado sera´ o mesmo.
Me´todo de Sarrus
Para as matrizes 3× 3 existe tambe´m o me´todo de Sarrus (pronuncia-se ’Sarri’). Este
consiste em reescrever as duas primeiras colunas a` frente da matriz. Em seguida multiplica-
se os termos de cada diagonal ’principal’ e soma-se os resultados. Fazemos o mesmo com as
diagonais ’secundarias’ e subtra´ımos do resultado anterior. Assim, a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

(...)
1.3.2 Propriedades do Determinante
Veremos agora algumas propriedades da func¸a˜o determinante. Para tanto, vamos
definir mais alguns tipos de matrizes.
Dizemos que uma matriz A = [aij]n×n e´ triangular inferior quando aij = 0 para
i < j. Assim,
A =

a11 0 0 · · · 0
a21 a22 0 · · · 0
a31 a32 a33 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
an1 an2 an3 · · · ann
 .
Analogamente, dizemos que uma matriz e´ triangular superior quando aij = 0 para i > j. Deste
modo,
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · ann
 .
CAPI´TULO 1. MATRIZES 12
Dizemos que uma matriz D = [dij]n×n e´ diagonal quando dij = 0 para todo i 6= j.
D =

d11 0 0 · · · 0
0 d22 0 · · · 0
0 0 d33 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · dnn
 .
Do modo como foram definidas, podemos considerar a matriz diagonal como triangular superior
e inferior ao mesmo tempo.
Teorema 1.8 Seja A uma matriz n × n. Se A e´ triangular superior ou inferior, ou se A e´
diagonal, enta˜o o seu determinante e´ dado pelo produto das entradas da diagonal principal, isto
e´,
det(A) = a11a22a33 · · · ann.
E´ fa´cil vermos que o terema e´ va´lido, aplicando o me´todo dos cofatores ao longo da primeira
linha sucessivamente, se a matriz e´ triangular inferior ou ao longo da primeira coluna se a
matriz e´ triangular superior.
Exemplo 1.16 Pelo teorema acima, o determinante abaixo e´ calculado como se segue.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 7 −3 8 3
0 −3 7 5 1
0 0 6 7 6
0 0 0 9 8
0 0 0 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2 · (−3) · 6 · 9 · 4 = −1296
/
Teorema 1.9 (Propriedades do determinante) Sejam A e B duas matrizes quadradas de
ordem n. Valem as seguintes propriedades.
1. Se B e´ obtida de A multiplicando-se uma linha por um escalar α, enta˜o
det(B) = α det(A);
2. Se B resulta de A pela troca da posic¸a˜o relativa de duas linhas, enta˜o
det(B) = − det(A);
3. Se B e´ obtida de A substituindo a linha i por ela mesma somada a um mu´ltiplo escalar
de uma linha j, com j 6= i, enta˜o
det(B) = det(A);
4. Os determinantes de A e de sua transposta AT sa˜o iguais, isto e´,
det(A) = det(AT );
CAPI´TULO 1. MATRIZES 13
5. O determinante do produto de A por B e´ igual ao produto dos seus determinantes, isto e´,
det(AB) = det(A) det(B).
Exemplo 1.17 Vamos ilustrar os itens 1, 2 e 3 do teromema 1.9 para matrizes 3× 3:
1.
∣∣∣∣∣∣
ka11 ka12 ka13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = k
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ . A primeira linha de A e´ multiplicada por k.
2.
∣∣∣∣∣∣
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ . A primeira e a segunda linha de A sa˜o trocadas.
3.
∣∣∣∣∣∣
a11 + ka21 a12 + ka22 a13 + ka23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32a33
∣∣∣∣∣∣ . Um mu´ltiplo da segunda linha e´
somada a` primeira linha.
/
Temos, ainda alguns resultados que seguem imediatamente destes.
Corola´rio 1.1 1. Se uma matriz An×n tem uma linha (ou coluna) formada inteiramente
por zeros, enta˜o det(A) = 0.
2. Se uma matriz An×n possui duas linhas proporcionais, enta˜o det(A) = 0.
De fato pelo corola´rio acima, se uma matriz tem linhas proporcionais, podemos reduzir
uma das linhas a zero. Como segue no exemplo.
Exemplo 1.18 ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 −2 4
2 6 −4 8
3 9 1 5
1 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
/
Do mesmo modo como fizemos acima, podemos usar as propriedades do teorema 1.9 para
reduzir uma matriz quadrada qualquer a uma triangular inferior ou superior.
Exemplo 1.19
A =
0 1 53 −6 9
2 6 1

/
Exemplo 1.20
B =

1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 −5

/
CAPI´TULO 1. MATRIZES 14
Atividade 1.10
A =
0 1 53 −6 9
2 6 1

1.3.3 Inversa˜o de matrizes
Teorema 1.11 Seja A uma matriz n× n. A e´ invert´ıvel se, e somente se, det(A) 6= 0.
Exemplo 1.21
det(A−1) = det(A)−1
Exemplo 1.22
A2 = A−1 ⇒ det(A) = 1.
Cap´ıtulo 2
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Muitos problemas de diversas a´reas da cieˆncia recaem na soluc¸a˜o de sistemas lineares.
Veremos algumas formas de resolver sistemas a partir dos conceitos de a´lgebra matricial.
Definic¸a˜o 2.1 Uma equac¸a˜o linear em n varia´veis x1, x2,..., xn e´ uma equac¸a˜o da forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,
em que a1, a2,..., an e b sa˜o constantes reais.
As equac¸o˜es abaixo sa˜o equac¸o˜es lineares.
x+ 2y = 3, 3x− y − z
2
= 9, 4x1 − 6x2 + 5x4 − x6
3
= 0, x = 4.
Exemplo 2.1 Equac¸o˜es lineares em duas varia´veis podem sempre ser representadas como
ax+ by = c com a, b, c ∈ R.
Uma equac¸a˜o deste tipo e´ usada para representar uma reta no plano cartesiano em que x e y
representam as coordenadas dos pontos pertencentes a` reta. /
Definic¸a˜o 2.2 Um conjunto finito de equac¸o˜es lineares nas varia´veis x1, x2, ..., xn e´ chamado
de sistema de equac¸o˜es lineares ou sistema linear . Uma sequeˆncia de nu´meros α1, α2,
..., αn e´ chamada soluc¸a˜o do sistema se e´ soluc¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es do sistema.
Exemplo 2.2 Considere o sistema
{
4x1 − x2 + 3x3 = −1
3x1 + x2 + 9x3 = −4 . O terno de nu´meros x1 = 1,
x2 = 2 e x3 = −1 formam uma soluc¸a˜o para o sistema. No entanto, o terno x1 = 1, x2 = 8 e
x3 = 1 na˜o e´ uma soluc¸a˜o pois satisfaz apenas a primeira das duas equac¸o˜es. /
De modo geral podemos representar um sistema linear de n inco´gnitas e m equac¸o˜es
da seguinte forma. 
a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn = b2
... =
...
am1x1 + am2x2 + · · · amnxn = bm
15
CAPI´TULO 2. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 16
Note que se definirmos as matrizes
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn
 , X =
 x1x2
...xn
 e B =
 b1b2
...bm
 ,
o sistema acima pode ser escrito como a equac¸a˜o matricial AX = B. Uma soluc¸a˜o de
um sistema linear e´ uma matriz S =

α1
α2
...
αn
.
Exemplo 2.3 O sistema linear de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas
{
x+ 2y = 1
2x+ y = 0
pode ser
escrito como [
1 2
2 1
] [
x
y
]
=
[
1
0
]
.
A soluc¸a˜o deste sistema e´ x = −1/3 e y = 2/3 ou S =
[−1/3
2/3
]
. /
2.1 Escalonamento
Um dos me´todos de soluc¸a˜o de sistemas lineares consiste em transformar um sistema em outro
que seja equivalente, isto e´, que tenha o mesmo conjunto soluc¸a˜o. Para isso podemos efetuar
operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es do sistema. Essas operac¸o˜es na˜o alteram o seu conjunto
soluc¸a˜o e permitem chegar a um novo sistema, equivalente ao primeiro, cuja soluc¸a˜o seja mais
simples. As operac¸o˜es elementares sa˜o:
• Trocar a posic¸a˜o de duas equac¸o˜es do sistema.
• Multiplicar uma equac¸a˜o por um escalar diferente de zero.
• Somar a uma equac¸a˜o outra equac¸a˜o multiplicada por um escalar.
Dizemos que uma matriz esta´ na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Se uma linha na˜o consistir so de zeros, enta˜o o primeiro nu´mero na˜o-nulo da linha e´ 1.
Chamamos esse nu´mero de pivoˆ.
2. Se existirem linhas nulas, elas esta˜o agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz.
3. Em quaisquer duas linhas na˜o-nulas sucessivas, o pivoˆ da linha inferior ocorre mais a`
direita que o pivoˆ da linha superior
4. Cada coluna que conte´m um pivoˆ e´ constitu´ıda de zeros nas outras entradas.
Qualquer matriz que satisfaz a`s treˆs primeiras propriedades e´ dita matriz na forma
escalonada.
CAPI´TULO 2. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 17
Exemplo 2.4 
x+ y + 2z = 9
2x+ 4y − 3z = 1
3x+ 6y − 5z = 0
/
Exemplo 2.5 
5x+ 5y = 15
2x+ 4y + z = 10
3x+ 4y = 11
/
Exemplo 2.6 
3z − 9w = 6
5x+ 15y − 10z + 40w = −45
4x+ 12y − 2z + 14w = −24
x+ 3y − z + 5w = −7
/
I´ndice Remissivo
cofator, 9
determinante, 9, 10
determinante menor, 9
diagonal principal, 3
diagonal secunda´ria, 3
entrada de uma matriz, 1
equac¸a˜o linear, 15
escalar, 3
me´todo dos cofatores, 9
mu´ltiplo escalar, 3
matriz, 1
matriz
coluna, 2
diagonal, 12
identidade, 6
inversa, 6
linha, 2
nula, 4
quadrada, 3
sime´trica, 8
transposta, 7
triangular, 11
unidade, 6
zero, 4
menor, 9
multiplicac¸a˜o
de matrizes, 5
multiplicac¸a˜o por escalar, 3
ordem de uma matriz, 1
produto
de matrizes, 5
soma
de matrizes, 4
subtrac¸a˜o
de matrizes, 4
18