Aprenda a utilizar a equação de Bernoulli para jato livre

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
 Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
 
Dinâmica dos Fluidos Elementar 
Equação de Bernoulli 
 
 
 
 
JATO LIVRE 
 
 
Prof. Roberto Vieira Pordeus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mossoró-RN 
 
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
 
 
 
Jato Livre 
 
Uma das equações mais antigas da mecânica dos fluidos é aquela que descreve 
a descarga de líquido de um grande reservatório (veja a Fig.). Um jato de líquido, 
com diâmetro d, escoa no bocal com velocidade V. A aplicação da Equação de 
Bernoulli entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ) da linha de corrente fornece 
2
2
221
2
11 2
1
2
1 zVpzVp γργρ ++=++ ( 1 ) 
2
2
1 Vh ργ = 
 
 
 
 
 
Figura. Escoamento vertical no bocal de um tanque 
 
Nós utilizamos a hipótese que z1 = h, z2 = 0, que o reservatório é grande 
(V1 = 0) e está exposto à atmosfera (p1 = 0) e que o fluido deixa o bocal como um 
jato livre (p2 = 0). Assim, 
hghV 22 == ρ
γ
 ( 2 ) 
 
Esta equação é uma versão moderna do 
resultado formulado em 1643 pelo físico italiano 
Torricelli (1608-1647). 
 
Figura. Escoamento horizontal no bocal de um tanque 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
2
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
O escoamento se comporta como um jato livre, com pressão uniforme e igual a 
atmosférica (p5 = 0), a jusante do plano de descarga do bocal. Aplicando a equação 
( 1 ) entre os pontos ( 1 ) e ( 5 ) nós identificamos que a velocidade aumenta de 
acordo com 
( )HhgV += 2 ( 3 ) 
onde H é a distância entre a seção de descarga do bocal e o ponto ( 5 ). 
 
Escoamento Confinado 
É comum encontrarmos situações onde o escoamento está confinado 
fisicamente (por exemplo, por paredes) e a pressão não pode ser determinada a 
priori como no caso do jato livre. Dois exemplos típicos destas situações são os 
escoamentos nos bocais e nas tubulações que apresentam diâmetro variável. Note 
que, nestes casos, a velocidade média de escoamento varia porque a área de 
escoamento não é constante. 
 
 
 
 
 
Figura. Escoamento em regime permanente num tanque 
 
Para a resolução destes escoamentos confinados é necessário utilizar o conceito 
da conservação da massa (ou equação da continuidade) juntamente com a equação 
de Bernoulli. 
A vazão em volume é e a vazão em massa é AVQ = VAm ρ= . Para que a 
massa no volume considerado permaneça constante, a vazão em massa na seção 
de alimentação deve ser igual àquela na seção de descarga. Logo, 
 
222111 VAVA ρρ = ( 4 ) 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
3
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
Se a massa específica do fluido permanecer constante, ρ1 = ρ2, a equação 
anterior se torna igual a 
 
 212211 QQouVAVA == ( 5 ) 
 
Por exemplo, se a área da seção de descarga é igual a metade da área da seção 
de alimentação, segue que a velocidade média na seção de descarga é igual ao 
dobro daquela na seção de alimentação (i.e., 12112 2VA/VAV == ). 
 
Exemplo 1. A Figura abaixo mostra um tanque (diâmetro D = 1,0 m) que é 
alimentado com um escoamento de água proveniente de um tubo que apresenta 
diâmetro, d, igual a 0,10 m. Determine a vazão em volume, Q, necessário para que 
o nível da água no tanque (h) permaneça constante e igual a 2 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Se modelarmos o escoamento como invíscido, incompressível e em 
regime permanente, a aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos ( 1 ) e 
( 2 ) resulta em 
2
2
221
2
11 2
1
2
1 zVpzVp γργρ ++=++ ( 1 ) 
 
 
Admitindo que p1 = p2 = 0, z1 = h e z2 = 0, temos 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
4
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
2
2
2
1 2
1
2
1 VhV ργρ =+ ( 6 ) 
 
O nível da água pode permanecer constante (h = constante) porque existe uma 
alimentação de água no tanque. A Eq. 5, que é adequada para escoamento 
incompressível, requer que Q1 = Q2, onde VAQ = . Assim, 2211 VAVA = , ou 
 
2
2
1
2
44
VdVD ππ = 
Assim, 
 2
2
1 VD
dV ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ( 7 ) 
 
Combinando as equações ( 1 ) e ( 7 ), obtemos 
 
( )42 1
2
Dd
ghV
−
= ( 8 ) 
 
Aplicando os dados fornecidos na formulação do problema, temos 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) s/m,,,
,,V 266
01101
028192
42 =−
= 
e 
( ) ( ) s/m,,,VAVAQ 322211 04920266104 ====
π
 
Neste exemplo não foi desprezado a energia cinética da água no tanque 
(V1 ≠ 0), se o diâmetro do tanque for muito grande ( ), a velocidade (VdD >> 1) 
pode ser considerado igual à zero. 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
5
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
 
Exemplo 2. A Fig. abaixo mostra o esquema de uma mangueira com diâmetro 
D = 0,03 m que é alimentada, em regime permanente, com ar proveniente de um 
tanque. O fluido é descarregado no ambiente através de um bocal que apresenta 
seção de descarga, d, igual a 0,01 m. Sabendo que a pressão no tanque é 
constante e igual a 3,0 kPa (relativa) e que a atmosfera apresenta pressão e 
temperatura padrões, determine a vazão em massa e a pressão na mangueira. 
 
 
 
 
Solução: Se nós admitirmos que o escoamento ocorre em regime permanente 
é invíscido e incompressível, nós podemos aplicar a equação de Bernoulli ao longo 
da linha de corrente que passa por ( 1 ), ( 2 ) e ( 3 ). Assim, 
 
3
2
332
2
221
2
11 2
1
2
1
2
1 zVpzVpzVp γργργρ ++=++=++ 
 
Se nós admitirmos que z1 = z2 = z3 (a mangueira está na horizontal), que V1 = 
0 (o tanque é grande) e que p3 = 0 (jato livre), temos que 
 
ρ
1
3
2 pV = ( 9 ) 
2
212 2
1 Vpp ρ−= ( 10 ) 
A massa específica do ar no tanque pode ser obtida com a lei dos gases perfeito 
(utilizando temperatura e pressão absoluta). Assim, 
 
( )[ ]
( )( ) 3
3
1 261
273159286
101013 m/kg,
,RT
p =+
+==ρ 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
6
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
 
Assim, nós encontramos que 
 
( ) s/m,
,
.,V 069
261
10032 3
3 == 
e 
( ) ( ) s/m,,,VdVAQ 33232333 1042506901044 −====
ππ
 
 
O valor de V3 independe do formato do bocal e foi determinado utilizando 
apenas o valor de p1 e as hipóteses envolvidas na equação de Bernoulli. 
A pressão na mangueira pode ser calculada utilizando a Eq. 10 e a equação da 
conservação da massa (Eq. 5). 
 
3322 VAVA = 
assim, 
( ) s/m,,
,,V
D
dA/VAV 677069
030
010 2
3
2
2332 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== 
e da Eq. 10 
 ( )( ) 2232212 29636772612
11003
2
1 m/N,,,Vpp =−=−= ρ 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
7
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
Medida e Controle de Fluidos 
 
Introdução. Numerosos dispositivos são usados na prática para medir o 
escoamento de fluidos. As medições de velocidade são feitas com tubos Pitot, 
medidores de corrente, anemômetros rotativos e outros. As medições de 
vazão são feitas através de orifícios, tubos, bocais, medidores Venturi e 
vertedores, cotovelos e numerosas modificações de medidores anacrônicos e de 
patentes diversas. 
 
Um método primário é o de medição direta de volume em certo tempo. A fim 
de se aplicar inteligentemente os dispositivos hidráulicos, é necessário fazer uso da 
equação de Bernoulli e do conhecimento adicional das características e 
coeficientes de cada dispositivos. As fórmulas desenvolvidas para fluidos 
incompressíveis poderão ser usadas para fluidos compressíveis onde o diferencial 
de pressão é muito pequeno em relação à pressão total. 
Coeficiente de descarga. O coeficiente de descarga ( c ) é a relação da 
descarga real através do dispositivo para a descarga ideal. 
 
Este coeficiente pode ser expresso como: 
HgA
Q
Qidealfluxo
Qatualfluxoc
2
== 
Quando o coeficiente de descarga ( c ) for determinado experimentalmente, 
 HgAcQ 2= (m3 s-1) 
onde A = seção reta do dispositivo (m2) 
 H = altura de carga total que causa o escoamento, em metros de fluido 
O coeficiente de descarga também poderá ser escrito em termos do coeficiente 
de velocidade e do coeficiente de contração, a saber, 
 cv c.cc =
O coeficiente de descarga não é constante. Para um dado dispositivo, ele varia 
com o número de Reynolds. 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
8
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
Coeficiente de velocidade. O coeficiente de velocidade ( cv) é a razão da 
velocidade média real na seção reta de um fluxo (jato) para a velocidade média 
ideal que ocorreria se não houvesse atrito. 
 
Hg
Vcv 2ideal média velocidade
atual média velocidade == 
Coeficiente de contração. O coeficiente de contração ( cc ) é a relação da 
área da seção contraída de um fluxo (jato) para a área da abertura através da qual 
o fluido se escoa. 
 
 
( )
o
jato
c A
A
c ==
abertura da área
jato fluxo do área
 
Perda de carga. A perda de carga em orifícios, tubos, bocais e medidores 
Venturi é expressa como: 
 ( )
g
V
c
fluidodometroemaargCdePerda jato
c 2
11
2
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 
Quando esta expressão é aplicada a um medidor Venturi, Vjato = velocidade na 
garganta e, cv = c. 
Equacionamento básico. O equacionamento básico é válido para os aparelhos 
medidores de vazão, que propiciam um aumento de energia cinética em 
conseqüência da diminuição de pressão estática. 
As variações são originadas por uma variação de área transversal, como 
observado no tubo Venturi, nos bocais de fluxo e nas placas de orifício. 
 
Medidores de Diferencial de Pressão. O princípio de funcionamento baseia-
se no uso de uma mudança de área de escoamento, através de uma redução de 
diâmetro ou de um obstáculo, ou ainda através de uma mudança na direção do 
escoamento. Estas mudanças 
de área ou de direção provocam uma aceleração local do escoamento, 
alterando a velocidade e, em conseqüência, a pressão local. A variação de pressão 
é proporcional ao quadrado da vazão. São medidores já bastante conhecidos, 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
9
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
normalizados e de baixo custo. Estima-se que abranjam 50% de utilização na 
medição de vazão de líquidos. 
São compostos de um elemento primário e um elemento secundário. O 
elemento primário está associado à própria tubulação, interferindo com o 
escoamento e fornecendo o diferencial de pressão. O elemento secundário é o 
responsável pela leitura deste diferencial e pode ser um simples manômetro de 
coluna líquida, em suas diferentes versões, ou até mesmo um transdutor mais 
complexo, com aquisição e tratamento eletrônico do valor de pressão lido. 
 
Equação para o Cálculo da Vazão. As equações para o cálculo da vazão 
podem ser obtidas genericamente para os medidores que apresentam variação de 
pressão e velocidade. Aplica-se a Equação de Conservação da Massa, bem como a 
Equação da Conservação da Energia, sendo esta última na sua forma simplificada, 
que é a Equação de Bernoulli. Assim para o escoamento através de uma redução de 
área, considerando-o ideal e tomando uma linha de corrente entre os pontos 1 e 2, 
conforme a Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
Figura. Escoamento com estrangulamento 
 
A equação de Bernoulli aplicada ao escoamento ideal, entre os pontos 1 e 2 da 
figura, resulta na equação seguinte: 
 2
2
2
2
1
1
2
1
22
zp
g
vzp
g
v ++=++ ρρ 
onde o primeiro termo representa a energia cinética, o segundo a energia de 
pressão, proveniente do trabalho de escoamento, enquanto o terceiro termo 
representa a energia potencial. Idênticas parcelas existem do lado direito da 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
10
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
equação, para o ponto 2. Esta igualdade significa que a soma das três parcelas é 
uma constante ao longo de uma linha de corrente, não havendo perdas por atrito. 
 
Através da equação da continuidade, obtemos a equação seguinte, 
 22
2
1
22
1 vA
Av ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
 
Das duas equações acima, obtemos a velocidade teórica na seção (2), que é 
representada pela equação 
 ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
= γ
21
212
1
2
2 2
1
1 ppZZg
A
A
v t 
 
MEDIDORES. A normalização dos medidores de vazão permite que se construa 
um destes medidores sem a necessidade de uma calibração do mesmo, recorrendo-
se aos valores publicados do coeficiente de correção (cc). 
A obtenção dos coeficientes de correção para todos os medidores requer um 
trabalho extenso, com a utilização de medidores de diferentes tamanhos, em suas 
amplas faixas de vazão. Deste modo há interesse no medidor que possua um 
coeficiente de correção o mais constante possível, o que facilita na obtenção, 
apresentação e utilização de seus valores. Em geral tem-se o coeficiente como 
função da relação de diâmetros β e do número de Reynolds. 
 
Tubo de Pitot. É um instrumento utilizado para a medição de velocidade de 
escoamento, tanto internos quanto externos, para liquido ou gases. O tubo de Pitot 
indica a velocidade em um ponto, em virtude do fato de que ele mede a pressão de 
estagnação que excede a pressão local estática de ( )[ ]g/V 22ρ . Em um 
escoamento aberto, uma vez que a pressão manométrica é nula, a altura que o 
liquido sobe no tubo mede a taquicargaou pressão cinética. 
 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
11
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
Pressão estática. É a pressão real ou a pressão termodinâmica que atua no 
fluido. 
Pressão Dinâmica. É a pressão decorrente da transformação da energia 
cinética do fluido em pressão, através de uma desaceleração isoentrópica do 
mesmo. 
Pressão Total, de Impacto ou de Estagnação. É a soma da pressão estática 
com a dinâmica. A sua medição é feita através de uma tomada de pressão voltada 
contra o escoamento e alinhada com a linha de corrente, de forma a receber o 
impacto do fluido. 
Tubo de Venturi. Este é constituído por uma entrada cilíndrica, de uma seção 
convergente (cone de entrada), uma segunda região cilíndrica (garganta ou 
entrangulamento) e um cone divergente (difusor). Após este último cone, há um 
encaixe com a tubulação normal. As tomadas de pressão são colocadas na entrada 
e na garganta, conforme figura abaixo. A relação entre os diâmetros podem variar 
de 0,3 e 0,7, sendo o mais comum o valor médio de 0,5. As tomadas de pressão 
situam-se no meio de cada parte cilíndrica do medidor. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura. Tubo de Venturi 
 
Observa-se que, o tubo de Venturi, causador de menor perda de carga, tem 
uma utilização mais restrita, provavelmente em virtude de seu formato, que 
necessita de usinagens internas mais complicadas, comparadas com outros 
medidores. 
 
 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
12
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
13
 
Placa de Orifício. De concepção mais simples que o tubo de Venturi, este 
medidor é formado por uma placa com um orifício, instalada transversalmente à 
tubulação, de modo a causar uma mudança brusca de seção. Esta mudança brusca 
de seção implica em uma aceleração do escoamento principal, com o aparecimento 
de regiões de escoamento secundário, antes e depois da placa. O escoamento 
principal possui um diâmetro igual ao do orifício da placa, mas em função da 
separação, sofre uma redução de seção ainda maior a jusante da placa. Forma-se 
então a “vena contracta”, conforme a Figura 1. Esta é a região de menor diâmetro, 
de maior velocidade e de menor pressão. 
Bocais de Fluxo. É um dispositivo que apresenta uma redução progressiva de 
área, de modo a apresentar o jato de saída já no seu diâmetro final, sem a 
formação da vena contracta. Este tipo de medidor de vazão é praticamente 
intermediário, tanto em relação a custo, como em relação a dissipação de energia 
comparado ao tipo Venturi e ao tipo placa de orifício. Bocal ou tubo adicional é um 
tubo curto adatado a um orifício. Tem, quase sempre, secção transversal circular e 
é disposto normalmente à parede dos reservatórios. Serve para regularizar e dirigir 
o jato. O seu comprimento deve estar compreendido entre 1,5D d 5,0D (sendo D o 
diâmetro). 
Os bocais geralmente são classificados em: cilíndricos: interiores e exteriores; 
cônicos: convergentes e divergentes. 
Dois padrões são os mais utilizados: os bocais ASME (EUA), que possuem um 
arredondamento elíptico, e os bocais ISA (Europa), com arredondamento pseudo-
elíptico. Este último é formado pela combinação de dois arredondamentos 
circulares. 
Vertedores. Os vertedores são simples aberturas sobre os quais um líquido se 
escoa. Os vertedores são utilizados na medição da vazão de pequenos cursos 
d’água e canais, assim como no controle do escoamento em condutos livres. Os 
vertedores medem o fluxo de líquidos em canais abertos, usualmente água. O 
número de equações empíricas encontrada na literatura especializada é bastante 
considerável, cada uma delas com suas limitações. Muitos vertedores são 
retangulares: os vertedores submersos sem contração alguma, geralmente usados 
para grandes escoamentos, e vertedores contraídos, para pequenos escoamentos. 
Outros tipos de vertedores são triangular, trapezoidal, parabólico e de escoamento 
proporcional. Para resultados de precisão o vertedor deveria ser calibrado no lugar, 
sob condições para as quais foi planejada sua utilização. 
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
O principal problema prático de um vertedor é a determinação de sua lei de 
vazão, isto é, (HfQ )= . Entre outros, têm influência na vazão, os seguintes 
fatores: carga, forma do vertedor, forma da soleira, rugosidade das paredes, altura 
p do vertedor, nível d’água à jusante p’, ventilação sob a veia efluente, forma da 
veia líquida efluente. 
Entre as várias equações de vertedores podemos citar como as mais utilizadas 
as de Francis, Bazin e Renbock. 
 
1. A tubulação de 2 cm de diâmetro da Figura abaixo é usada para transportar 
água a 20°C. Qual é a velocidade média máxima que pode existir na tubulação, 
para a qual é garantido um escoamento laminar? 
 
RESOLUÇÃO: 
v
VDRe = 
A viscosidade cinemática é encontrada no Apêndice B como sendo v = 10-6 m2/s. 
Usando o número de Reynolds de 2000, garantindo assim, um escoamento laminar, 
temos 
D
V = v2000 
 m/s10
020
102000 6x ,
,
V ==
−
 
Esta velocidade média é bem pequena. Velocidades assim pequenas não são 
geralmente encontradas em situações reais. 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 2
2
2
2
1
1
2
1
22
ghPVghPV ++=++ ρρ (1) 
Esta é a conhecida equação de Bernoulli, em homenagem a Daniel Bernoulli (1700-
1782). 
 
Note as suposições: 
Escoamento não-viscoso (não há tensões de cisalhamento) 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
14
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
Escoamento permanente ( )0=∂∂ tV 
Ao longo de uma linha de corrente ( )sVVas ∂∂= 
Massa específica constante ( )0=∂∂ sρ 
Referência inercial ( )angular e velocidadde Eq.naaA = 
Se a Equação 1 é dividida por g, ela se torna 
 2
2
2
2
1
1
2
1
22
hP
g
VhP
g
V ++=++ γγ 
 
A soma dos dois termos ( hp + )γ é chamada de carga piezométrica e a soma dos 
três termos é a carga mecânica total. A pressão p é muitas vezes chamada de 
pressão estática, a soma dos dois termos 
 Tp
Vp =+
2
2
ρ 
É chamada de pressão total pT ou pressão de estagnação, a pressão em um 
ponto de estagnação. 
Pressão estática: Pressão p, geralmente expressa como pressão manométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura. Medidores de pressão: ( a ) tubo piezométrico; ( b ) tubo de pitot; ( c ) 
tubo de pitot estático 
 
Tubo piezométrico: Medidor projetado para medir pressão estática. 
Tubo de pitot: Medidor projetado para medir a pressão total. 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
15
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 
Tubo de pitot estático: Medidor projetado para medir a diferença entre a pressão 
total e a pressão estática. 
 
2. A carga de pressão estática em uma tubulação de ar (figura abaixo) é medida 
com um tubo piezométricoe acusa 16 mm de água. Um tubo pitot na mesma localização indica 24 m
 
 
 
 
Solução: A equação de Bernoulli é aplicada entre dois pontos de uma linha de 
corrente que termina no ponto de estagnação do tubo de pitot. O ponto 1 está 
corrente a montante e p2 é a pressão total no ponto 2; então, sem nenhuma 
mudança na elevação. 
 γγ
TPP
g
V =+ 1
2
1
2
 
A pressão medida com o tubo piezométrico é 
Pa15701609810 x1 === ,hp γ .Usando a lei de gás ideal para calcular a 
densidade: 
 ( ) 3x kg/m203120273287
000101157 ,
RT
p =+
+==ρ 
Em que a pressão padrão atmosférica padrão, que é 101 000 Pa (se nenhuma 
elevação é dada, assumir condições normais) é somada já que a pressão absoluta é 
necessária na equação anterior. As unidades são verificadas usando-se Pa = N/m2 e 
J = N . m. Então, a velocidade é 
 ( )11 2 ppV T −= ρ 
 
( ) m/s4211
2031
9810016002402 x
1 ,,
,,V =−= 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
16
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Em que as unidades podem ser verificadas usando kg = N.s2/m. Para encontrar o 
número de Mach, demos calcular a velocidade do som, dada por 
 kRTc= 
 m/s34329328741 xx == ,c 
O número de Mach é, então, 
 03340
343
4411 ,,
c
VM === 
Obviamente o escoamento pode ser assumido como incompressível, já que M < 
0,3. A velocidade teria de ser maior antes que a compressibilidade fosse 
significativa. 
 
3. Considere o escoamento de ar em torno do ciclista que se move em ar 
estagnado com velocidade V0 (veja Figura). 
Determine a diferença entre as pressões nos 
pontos (1) e (2) do escoamento. 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
17
 
Solução: Para um sistema de coordenadas 
fixo na bicicleta, o escoamento de ar ocorre 
em regime permanente e com velocidade ao 
longe igual a V0. Se as hipóteses utilizadas na obtenção da equação de Bernoulli 
são respeitadas (regime permanente, escoamente incompressível e invíscido), a 
equação para solucionar o problema é, 
 2
2
21
2
11 2
12
2
1 hVphVp γργρ ++=++ 
Nós vamos considerar que o ponto (1) está posicionado suficiente longe do ciclista 
de modo que V1 = V0 e que o ponto (2) está localizado na ponta do nariz do 
ciclista. Nós ainda vamos admitir que h1 = h2 e V2 = 0 (estas duas hipóteses são 
razoáveis). Nestas condições, a pressão em (2) é maior que a pressão em (1), ou 
seja, 
 20
2
112 2
1
2
1 VVpp ρρ ==− 
 
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
4. A Figura mostra um avião voando a 160 km/h numa altitude 3000 m. 
Admitindo que a atmosfera seja a padrão, determine a pressão ao longo do avião, 
ponto (1), a pressão no ponto de estagnação no nariz do avião, ponto (2), e a 
diferença de pressão indicada pelo tubo de pitot que está instalado na fuselagem 
do avião. 
 
 
 
 
Solução: Nós encontramos na Tab. C.1 os valores da pressão estática e da massa 
específica do ar na altitude fornecida, ou seja, 
 p1 = 70,12 kPa e ρ = 0,9093 kg / m3
Nós vamos considerar que as variações de elevação são desprezíveis e que o 
escoamento ocorre em regime permanente, é invíscido e incompressível. Nestas 
condições, resulta na aplicação da equação de Bernoulli, 
 2
2
21
2
11 2
12
2
1 hVphVp γργρ ++=++ 
 TpVp =+ 211 2
1 ρ 
Com V1 = 160 km/h = 44,4 m/s e V2 = 0 (porque o sistema de coordenadas está 
solidário ao avião), temos 
( ) ( )absPa100271Pa10968101270
2
44490930101270 3x2x3x
2x3x ,,,,,,pT =+=+=
 
Em termos relativos, a pressão no ponto (2) é igual a 0,896 kPa e a diferença de 
pressão indicada pelo tubo de Pitot é 
 kPa,Vpp 8960
2
1 2
112 ==− ρ 
 
5. Por um canal escoa água com uma profundidade de 4 ft (1,22 m) e uma 
velocidade de 8,02 ft/s (2,44 m/s). A água escoa por uma rampa para outro canal 
 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
18
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
 onde a profundidade é 2 ft (0,61 m) e a velocidade de 40,1 ft/s (12,22 m/s). 
Adotando escoamento sem atrito, determinar a diferença de cotas entre os fundos 
dos canais. 
 
Solução: 
Se a diferença de cotas entre os fundos dos canais é h, então a equação de 
Bernoulli, entre a superfície superior e a inferior da água, pode ser escrita como, 
 
2
2
2
2
1
1
2
1
22
hP
g
VhP
g
V ++=++ γγ 
 
Onde V1 e V2 são as velocidades médias. Com a pressão atmosférica nula como 
referência e o fundo do canal inferior como plano de referência, então h1 = h + 4, 
h2 = 2, V1 = 8,02, V2 = 40,1, p1 = p2 = 0 e 
 
( ) ( ) 20
2
14040
2
028 22 ++=+++
g
,h
g
,
 
 (6,7m)ft22=h 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos – Medição de Vazão 
Departamento de Ciências Ambientais. 
Prof. Roberto Vieira Pordeus, rvpordeus@gmail.com/rpordeus@ufersa.edu.br 
 
19