Lista 3 gabarito (2)

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1 
 
Engenharia Econômica 
Lista de exercícios # 3 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
A resolução desta lista deve ser escrita à mão e entregue ao professor, na sala de 
aula, até no máximo dia 27 de Junho. 
Apenas será dada nota não-nula aos exercícios cuja resolução estiver detalhada. A 
mera indicação da alternativa correta em questões de múltipla escolha receberá 
nota nula. 
Todos os exercícios têm o mesmo valor, 2,5 ponto. 
(Q.1) (Blank e Tarquin, 2.20, adaptado) Uma empresa (...) planeja adquirir novos 
equipamentos de linha de produção em 3 anos. Se as novas unidades custam US$ 
350.000, quanto a empresa deveria depositar em uma conta-poupança remunerada à 
taxa de 10% a.a [assumir que o primeiro depósito é feito em t = 0]? 
R: o fluxo de caixa representando os depósitos (D) a serem feitos na conta poupança e 
o saque segue abaixo. Assume-se que a empresa realiza depósitos de valor fixo de t = 0 
a t = 4. 
 
O valor de D tem de ser tal que a soma dos montantes gerados por cada depósito seja 
igual à despesa programada para t = 5, de $350.000. O montante recuperável referente 
a um depósito feito em t é CT = D(1+i)T-t, pois o tempo de aplicação se inicia no final 
do instante t e termina no final do instante T. Com isso, considerando t = 0,...,4, tem-se: 
D(1+i)5 + D(1+i)4 + D(1+i)3 + D(1+i)2 + D(1+i)1 = 350.000. 
Ou seja, o valor futuro da série de depósitos tem de ser igual à despesa programada. O 
valor de D pode ser calculado a partir da fórmula do valor presente de uma série 
uniforme, desde que seja feito o ajuste abaixo: 
 (1+i)[D(1+i)4 + D(1+i)3 + D(1+i)2 + D(1+i)1 + D(1+i)0] = 350.000. 
350.000,00$ 
+ ↑
Anos
- 0 1 2 3 4 5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
D D D D D
2 
 
Pois a fórmula derivada na nota de aula 3 é válida para uma soma da forma abaixo: 
A[(1+i)T-1 + (1+i)T-2 +...+ (1+i)0] 
Ou seja, o expoente do primeiro termo é T-1 = 4, o do segundo T -2 = 3,...,0. 
Enfim, chega-se a (1 + ݅)஽ (ଵା௜)೅ିଵ
௜
 = 350.000  
ܦ = 350.000(1 + ݅) (1 + ݅)் − 1݅ = 350.000 ݅(1 + ݅)்ାଵ − (1 + ݅)= 350.000 0,1(1 + 0,1)଺ − (1 + 0,1) = 	52.117,38	 
 
(Q.2) (Blank e Tarquin, 2.19) A empresa Henry Mueller Supply Co. fornece 
termostatos. Abaixo há o fluxo de caixa da empresa nos últimos 8 anos. Determine o 
valor futuro do fluxo de caixa líquido para uma taxa anual de juro de 10% ao ano. 
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 
Receita 200 200 200 200 200 200 200 200 
Despesa 90 90 90 90 90 90 90 90 
 
R: É pedido que se calcule VF(R-D,i,T) = VF(110;0,1;8) = 110(1+i)7 + 110(1+i)7 + ... 
+ 110(1+i)0 = 110 (ଵା଴,ଵ)ఴିଵ
଴,ଵ =2347,95. 
(Q.3) Uma loja de departamentos vendia, no dia 13/Julho/2017, uma geladeira 
oferecendo três planos de pagamento: (a) à vista por R$1.699,00, (b) a prazo em 24 
parcelas (mensais) de R$125,02, (c) a prazo em 14 parcelas mensais de R$121,36. 
(Q.3.a) Calcule o valor absoluto do juro pago nos planos a prazo. Considere uma taxa 
de juro de 4,99% a.m. e assuma que o plano (a) não contém juro. 
(Q.3.b) A loja informa que a taxa de juro embutida no plano (b) é de 4,99% a.m e que 
não há juro embutido no plano (c). Verifique se essas informações são verdadeiras. 
R (a): 
[juro, plano (b)] A série de pagamentos está abaixo. 
 
...
0 1 2 3 4 5 24
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
125,02$ 125,02$ 125,02$ 125,02$ 125,02$ 125,02$ 
3 
 
Para calcular o juro é preciso comparar subtrair o valor presente da série do valor à 
vista. I.e., J(b) = VP(b) – 1699 = 125,02 (ଵା଴,଴ସଽଽ)మరିଵ
଴,଴ସଽଽ(ଵା଴,଴ସଽଽ)మర − 1699 = 1.726,79 −1699 = 27,29. 
Cabe um comentário: há de fato um problema conceitual (como bem notado pelo aluno 
Vitor da turma matutino 2017Q.2) na resolução acima. Se chama-se de juro a diferença 
entre o valor presente da série de prestações e o valor do principal, então não está a 
rigor correto dizer que há juro caso estes dois valores coincidam. Porém, tal 
coincidência apenas pode ocorrer para uma taxa de juro positiva. Ou seja, o que se 
chamou de “juro” acima seria nulo mesmo havendo juro embutido nas prestações. 
Uma maneira (imperfeita) de debelar (parcialmente) tal inconsistência seria alterar o 
enunciado para se referir a uma parcela implícita (escondida) do lucro financeiro (ou 
do juro). Tal parcela tem como fundamento o fato de a loja ter divulgado uma taxa de 
juro inferior à realmente cobrada, que está embutida nas parcelas. Ao final deste 
exercício há um comentário mais rigoroso acerca de como resolvê-lo. 
[juro, plano (c)] A série de pagamentos está abaixo. 
 
J(c) = VP(c) – 1699 = 121,36 (ଵା଴,଴ସଽଽ)భరିଵ
଴,଴ସଽଽ(ଵା଴,଴ସଽଽ)భర − 1699 = 1.202,0675 − 1699 =
−496,9325. Neste caso de fato não há juro. É possível ver isso de maneira mais direta, notando 
que, não havendo juro nem no plano c e nem no a, a soma das prestações do plano c deve ser 
equivalente ao valor à vista, i.e., R1 + R2 + ...+ RT = Rc + Rc + ...+ Rc = VAV, em que Rt é a 
prestação a ser paga no t-ésimo instante VAV é o valor à vista. Como VAV = 1699, então Rc = 
1699/14 = 121,36, exatamente o valor da prestação. Não há, pois, juro no plano c. 
R (b): 
[plano b] Uma maneira de obter a taxa de juro embutida nas prestações dos planos de 
pagamento é considerando que a loja, para calcular o valor das prestações, tomou 
como base de comparação um investimento financeiro que geraria a mesma série de 
recebimentos a uma taxa de juro satisfatória para a loja, i. Desta maneira, pois, valeria 
a pena para a loja prestar o serviço de venda parcelada, ao invés de aplicar o capital 
C0 = 1699 financeiramente, desde que VP(R,i,T) ≥ 1699 – isso quer dizer que o 
investimento financeiro requer capital no mínimo equivalente ao requerido pelo 
“investimento comercial”. Em que VP(R,i,T) é o valor presente da série de prestações. 
O valor mínimo da prestação que atende a condição anterior é Rmin tal que 
VP(Rmin,i,T) = 1699. O segundo passo a ser dado consiste em assumir que Rmin é igual 
ao valor da parcela que define os planos. No caso do plano B, pois, Rmin = 125,02. 
Basta seguir os passos adiante. 
...
0 1 2 3 4 5 24
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
121,36$ 121,36$ 121,36$ 121,36$ 121,36$ 121,36$ 
4 
 
VP(125,02;i,T) = 1699 ↔125,02 (ଵା௜)మరିଵ
௜(ଵା௜)మర = 1699 
O taxa “i” não pode ser isolada desta equação, mas é possível, por tentativa e erro, 
descobrir a taxa implícita, em torno de 5,16%, maior do que 4,99%. Era possível inferir 
do item anterior que a taxa implícita ao plano B não era de 4,99% pois o valor presente 
dos pagamentos a tal taxa (1.726,79) não foi equivalente ao valor à vista. Outra 
maneira de ver isso é calcular o valor da prestação mínima para i = 0,0499, como 
segue: 
VP(Rmin,0,0499,T) = 1699 ↔ܴ
(ଵା଴,଴ସଽଽ)మరିଵ
଴,଴ସଽଽ(ଵା଴,଴ସଽଽ)మర = 1699 ↔ 1699 ଴,଴ସଽଽ(ଵା଴,଴ସଽଽ)మర(ଵା଴,଴ସଽଽ)మరିଵ =123 < 125,02. 
 [plano c] Para o plano c não é necessário fazer a conta pois o item (a) já revelou que 
não há juro implícito. E, portanto, a informação fornecida pela loja é verdadeira. 
Esclarecimento: deve ser assinalado que os dados do problema são verídicos. A 
resolução apresentada anteriormente é rigorosamente incorreta ou pelo menos 
incompleta. A bem do rigor é impossível calcular o juro pago nos planos pois não há 
informação acerca do sistema de amortização subjacente à dívida (nota de aula 4). 
Deste modo é impossível saber qual parcela das prestações corresponde a juro e qual 
corresponde à amortização do principal. Contudo, é possível tomar por base algumas 
hipóteses sobre a amortização de maneira a calcular o juro para um sistema de 
amortização que gere um plano de pagamento financeiramente equivalente, i.e., cuja 
série de prestações tenha o mesmo valor presente. P.ex., poderia-se calcular o juro 
assumindo, comonos sistemas de amortização Price, SAC e SAA, Jt = iPt_1, em que Jt 
é o juro pago em t e Pt-1 é o saldo devedor da dívida, com Pt = Pt-1 – At, At a 
amortização. O sistema Price talvez proporcione a solução mais rápida para o 
problema, dado que pressupõe prestações calculadas exatamente com base na 
equivalência entre o VP delas e o principal. Nele, At = Rt – Jt. 
Segue abaixo tabela de amortização para um plano de pagamento Price com valor 
valor presente das prestações equivalente ao valor presente das prestações do plano b. 
 
5 
 
 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor 
[A = iD(t-1)] [B = C - A] [C] [D = D(t-1) - B] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = R(t) - J(t) R(t) = P(0).FRC P(t) = P(t-1) - A(t) 
0 1.726,79 
1 86,17 38,85 125,02 1.687,93 
2 84,23 40,79 125,02 1.647,14 
3 82,19 42,83 125,02 1.604,31 
4 80,06 44,96 125,02 1.559,35 
5 77,81 47,21 125,02 1.512,14 
6 75,46 49,56 125,02 1.462,57 
7 72,98 52,04 125,02 1.410,54 
8 70,39 54,63 125,02 1.355,90 
9 67,66 57,36 125,02 1.298,54 
10 64,80 60,22 125,02 1.238,32 
11 61,79 63,23 125,02 1.175,09 
12 58,64 66,38 125,02 1.108,71 
13 55,32 69,70 125,02 1.039,01 
14 51,85 73,17 125,02 965,84 
15 48,20 76,82 125,02 889,02 
16 44,36 80,66 125,02 808,36 
17 40,34 84,68 125,02 723,67 
18 36,11 88,91 125,02 634,77 
19 31,67 93,35 125,02 541,42 
20 27,02 98,00 125,02 443,42 
21 22,13 102,89 125,02 340,52 
22 16,99 108,03 125,02 232,50 
23 11,60 113,42 125,02 119,08 
24 5,94 119,08 125,02 0,00 
Total 1.273,69 1.726,79 3.000,48 NA