nota aula 3 22-06-17--1 engenharia econômica

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Notas de aula para o curso de Engenharia Econômica 
Nota 3: Análise de projetos, fluxos de caixa com séries uniformes 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
 
0 Motivação 
Para motivar o conteúdo a ser introduzido, cabe tomar um exercício como exemplo. 
[Bueno et al., 2011] Um imóvel foi colocado à venda pelo preço de $ 120 mil. São 
oferecidas duas alternativas de pagamento: (a) $ 10 mil de entrada + 1 prestação de $ 60 
mil e outra de $ 50 mil; (b) $ 35 mil de entrada + 1 prestação de $ 55 mil, e outra de $ 
30 mil. Qual é a melhor alternativa de pagamento sabendo-se que um fundo de renda 
fixa paga uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? 
R: O exercício não é claro quanto à perspectiva que de ser tomada em conta para 
avaliar as alternativas, do comprador ou do proprietário. Serão consideradas as duas 
e, no que segue, cada proposta será avaliada em separado. 
(Proposta 1) 
O fluxo de caixa do proprietário é como segue: 
 
O proprietário vende o imóvel no período presente, t = 0, e, portanto, abre mão de algo 
que vale $120.000 em troca de três pagamentos parcelados. O proprietário, portanto, 
atua como credor e o comprador como tomador. O fluxo de caixa do tomador é tal 
como segue. 
10,000.00$ 60,000.00$ 50,000.00$ 
↑ ↑ ↑
0 1 2 3
↓
120,000.00$ 
2 
 
 
Ou seja, trata-se da inversão do fluxo de caixa do credor, uma vez que os fluxos 
monetários que aparecem como despesa no primeiro, se tornam receitas no segundo. 
Então basta considerar apenas um dos dois fluxos de caixa e consideraremos o do 
tomador. A alternativa que se mostrar a melhor para o tomador será, automaticamente, 
a pior para o credor. 
Do ponto de vista do tomador, há três pagamentos a serem realizados. Vamos supor 
que ele tem um capital inicial, que está destinado ao pagamento do imóvel. Para 
realizar este pagamento há duas opções: (i) ter um capital equivalente à soma do valor 
total das obrigações em t = 0, i.e., R$120.000,00, e reservar este valor para realizar os 
pagamentos nos instantes correspondentes, (ii) ter um capital inferior ao necessário 
para honrar as obrigações, utilizando um investimento financeiro para aumentar tal 
capital para o nível compatível com o das obrigações em cada um dos instantes em que 
elas se manifestarem. 
Será que a primeira opção representa a melhor decisão retomando o princípio de custo 
de oportunidade do dinheiro1? A resposta é não, pois, se é possível alugar, em t = 0, o 
capital possuído, aumentando-o até o momento de pagamento da primeira obrigação 
(t= 1), está-se abrindo mão de obter este aumento, i.e., optando-se por amargar uma 
perda. Cabe, pois, considerar a segunda opção, i.e., aplicar o capital no título de 
renda fixa que rende 1,5% ao mês de maneira a poder resgatar, nos períodos t = 1 e t = 
2 os valores exatos aos pagamentos previstos. 
A questão a responder, do ponto de vista do tomador, é: qual é o valor do capital 
inicial necessário para realizar os três pagamentos, utilizando, para isso, o título de 
renda fixa como meio de capitalização? Para responder, basta calcular quanto tem de 
ser depositado neste fundo de maneira a ter montantes equivalentes aos valores a serem 
pagos em cada um dos períodos. O que será calculado passo a passo a seguir. 
(a, primeiro pagamento em t = 0) 
No período inicial, t = 0, é preciso pagar a entrada e isso tem de ser feito 
imediatamente, de modo que não é possível utilizar a aplicação a juro para a primeira 
prestação. A primeira porção do capital inicial é, portanto, de R$10.000,00. 
(b, segundo pagamento em t = 1) 
 
1 Outra maneira de colocar: será que se trata de uma decisão que maximiza o lucro financeiro? 
120,000.00$ 
↑
0 1 2 3
↓ ↓ ↓
10,000.00$ 60,000.00$ 50,000.00$ 
3 
 
Para obter R$60.000 em t = 1, é preciso aplicar um capital inicial, C0, que gere este 
montante após um período de capitalização. I.e., C1 =60.000 = C0(1+0,015)  C0 = 
60.000/(1+0,015) = R$59.113,3. 
(c, terceiro pagamento em t = 2) 
Para obter R$50.000 após dois períodos, é preciso aplicar 50.000/(1+0,015)2 = 
R$48.533,1. 
(d, capital inicial total) 
Considerando a soma dos capitais iniciais exigidos por cada prestação, tem-se o valor 
total que o tomador precisa ter em sua posse em t = 0 para honrar a dívida, 10.000 + 
59.113,3 + 48.533,1 = R$117.646,4. 
(2, segunda alternativa) 
O fluxo de caixa do ponto de vista do tomador segue abaixo. 
 
A análise é equivalente a empreendida para a primeira alternativa e os cálculos estão 
detalhados abaixo. 
Primeiro pagamento = R$35.000,00 
Segundo pagamento = 55.000/(1+0,015) = R$ 54187.2 
Terceiro pagamento = 30.000(1+0,015)2 = R$ 29119.9 
Capital inicial total = 118.307 
Fica claro, portanto, que, da perspectiva do comprador/tomador a primeira alternativa 
é a melhor, pois requer um menor investimento inicial (menor desembolso). Do ponto 
de vista do proprietário/credor, a segunda alternativa é a melhor (maior receita em 
retorno ao imóvel vendido). 
1 Teoria 
1.1 Conceitos básicos 
1.1.1 Séries de fluxos monetários 
Um projeto de investimento pode ser entendido como uma sequência de fluxos 
monetários negativos e positivos, i.e., de receitas e despesas. O investimento em si é um 
120,000.00$ 
↑
0 1 2 3
↓ ↓ ↓
35,000.00$ 55,000.00$ 30,000.00$ 
4 
 
efluxo e ele é feito com vistas à geração de lucro e, portanto, de influxos monetários. 
Este tópico do curso apresenta técnicas de análise de projetos de investimento visando 
dar embasamento objetivo à tomada de decisão entre (escolha de) projetos alternativos. 
O passo crucial que as técnicas permitem é reduzir a um denominador comum os 
múltiplos projetos que competem pelos fundos do investidor, de modo a torna-los 
comparáveis, o que não é trivial, dado que os projetos diferem em função do fluxo de 
caixa. Como comparar um projeto de investimento que gera, a partir do investimento de 
R$100.000, receita de R$25.0000 em cada um dos cinco períodos subsequentes, com 
um projeto de investimento que, a partir do mesmo capital inicial, gera uma receita de 
R$125.000 após cinco períodos? Reduzindo tais fluxos de caixa a indicadores de 
performance financeira e (este é o ponto nevrálgico) utilizando, para isso, o mesmo 
valor para o custo de oportunidade do dinheiro. Esta é a resposta que poderá ser 
encontrada neste tópico do curso. 
Os fluxos de caixa de projetos de investimento podem ser classificados em três 
categorias, fluxos em séries uniformes, fluxos em séries desuniformes periódicas e 
fluxos heterogêneos. No primeiro caso, tem-se uma série de despesas ou de receitas com 
valor constante no tempo, no segundo caso os fluxos variam no tempo seguindo uma 
progressão matemática (aritmética ou geométrica) e, no terceiro, os fluxos variam no 
tempo sem seguir um padrão específico. 
1.1.2 Resultado útil: soma de uma PG 
Uma fórmula matemática bastante utilizada na análise de fluxos em séries uniformes é a 
da soma de uma progressão geométrica (PG). Esta última é uma série de números em 
que um determinado número, ai, corresponde ao produto de seu antecessor, ai-1, por um 
fator fixo, denotado por q. Ou seja, {a1,a2,a3,...,aN} com ai/ai-1 = q, qualquer que seja i 
=1,...,N. E, portanto, ai = qai-1. Considerando este fato, a soma da série, S = a1 + a2 +...+ 
aN pode ser escrita como S = a1 +a1q + a1q2.+ a1q3+...+ a1qN-1. O “truque” para reduzir 
esta última expressão a uma forma sintética está realizar os passos a seguir. 
(Passo 1) Multiplicar S por q: qS = a1q +a1q2 + a1q3.+ a1q4+...+ a1qN 
(Passo 2) Perceber que é possível eliminar a maior parte da série subtraindo qS de S: S– 
qS = 
a1 +{a1q + a1q2.+ a1q3+...+ a1qN-1}– (a1q +a1q2 + a1q3.+ a1q4+...+ a1qN) = a1 - a1qN. A 
expressão entre chaves é a parte da série eliminada pela operação. Chega-se, pois, a S – 
qS = a1 - a1qN e basta resolver para S: S = (a1 - a1qN)/(1 – q) ou S = a1(1- qN)/(1 – q). 
1.1.3 Convenção de final de período 
Será considerado no curso, a menos que seja dito o contrário, que os fluxos monetários 
ocorrem no final dos instantes de tempo. Seja considerada uma série de fluxos 
monetários {F1,F2,F3,...,FT}, em que o índice t =1,2,3,...,T indica o instante de tempo em 
que o fluxo ocorre. Seja assumido, sem perda de generalidade, que os fluxos são todos 
positivos. Neste caso eles podem ser associados aos momentos finais dos instantes a que 
5 
 
correspondem, conforme indicam as setas vermelhas da figura abaixo. Nela a letra “I” 
denota início e “F” final do instante de tempo. 
 
Esta decisão é denominada por “convenção de final de período” e também referida 
como “séries de fluxos postecipadas ou vencidas”. 
Uma convenção alternativa (mas que não será adotada no curso) consiste em associar os 
fluxos ao início do instante em que ocorrem, conforme na figura abaixo. Trata-se do que 
se entende por séries antecipadas. 
 
Outra convenção que será adotada é a de considerar o início do diagrama de fluxo de 
caixa (t = 0) como representando o período corrente, i.e., o presente. 
1.2 Análise de projetos com fluxos de caixa em série uniforme 
1.2.1 Critérios financeiros de decisão acerca de investimentos 
Seja considerado o fluxo de caixa abaixo em que o investimento de R$10.000,00 rende, 
após dois períodos mensais, R$12.000,00. 
t=0
t=1, I
t=1, F
t= 2,I
t=2, F
t= 3,I
t=3, F
t= 4,I
t=4, F
t= 5,I
Ano+
-
F1 F2 F3 F4
t=0
t=1, I
t=1, F
t= 2,I
t=2, F
t= 3,I
t=3, F
t= 4,I
t=4, F
t= 5,I
Ano+
-
F1 F2 F3 F4 F5
6 
 
 
Seja assumido que a operação de investimento acima compreende a compra de uma 
máquina ou equipamento por R$10.000,00 e que o valor de R$12.000,00 é a receita 
gerada pela máquina. Trata-se, pois, de um investimento produtivo. A única maneira de 
saber se tal investimento vale a pena é com base em um critério, mais precisamente um 
critério de escolha entre oportunidades alternativas de investimento. 
O critério geral de decisão é o de maximização de lucro, que consiste em selecionar o 
investimento que proporciona maior lucro. Ou, de maneira equivalente para a maior 
parte dos casos de interesse no curso, selecionar o investimento que permite atingir o 
maior valor final para o capital inicialmente investido. Expressando de maneira talvez 
mais útil para fins práticos, o melhor investimento é sempre aquele que proporciona um 
maior montante, a partir de um dado capital inicial e após um dado período de tempo – 
um princípio próximo à noção de taxa equivalente de juro. 
Deve-se notar a hipótese implícita de que há mais de uma oportunidade de investimento 
sob consideração. E de fato há, conforme a multiplicidade de ativos oferecidos pelo 
setor financeiro sugere. Além disso, a noção de melhor alternativa não se aplica a 
apenas uma alternativa: é obrigatório considerar mais de uma oportunidade de 
investimento para que seja possível saber qual é a melhor maneira de utilizar o capital. 
Voltando ao exemplo, seja assumido que existe um investimento financeiro que consiste 
em aplicar a uma taxa de juro composta de i % ao mês. De fato, em análise financeira a 
base de comparação (o “plano B”) geralmente corresponde a uma oportunidade de 
investimento financeira. 
O critério de “maximização do capital” pode ser aplicado de três formas distintas, a 
depender da base de comparação. Há três bases possíveis, cada uma delas 
correspondendo a um dos três principais componentes da fórmula geral do montante de 
uma aplicação a juro composto, CT, i e C0. 
[Critério do valor futuro] Em primeiro lugar, pode-se considerar um investimento 
financeiro com capital inicial e período de aplicação equivalentes ao do investimento 
produtivo e tomar como base de comparação o valor terminal (montante). Após dois 
períodos, o investimento produtivo paga um “montante” de R$12.000, enquanto que o 
investimento financeiro comparável pagaria C2 = 10.000(1+i)2. O investimento 
produtivo é melhor se e somente se 12.000 > 10.000(1+i)2. Seja assumido um 
investimento financeiro de dois instantes de tempo a uma taxa i = 10% a.m. Então 
10.000(1+i)2 = R$12.100,00. Qual é o melhor investimento neste caso? O investimento 
12.000,00$ 
+ ↑
Anos
- 0 1 2 3 4 5
↓
10.000,00$ 
7 
 
financeiro pois permite recuperar um maior valor, partindo do mesmo capital inicial e 
após aguardado um mesmo período. O montante que seria obtido aplicando-se 
financeiramente o capital inicial requerido pelo investimento não-financeiro 
(R$12.100,00) é denominado valor futuro do investimento produtivo. 
[Critério da taxa de rendimento] Em segundo lugar, pode-se tomar como base de 
comparação a taxa percentual de aumento do capital. Para isso, é preciso considerar um 
investimento financeiro que requeira o mesmo capital inicial e período de aplicação e 
calcular as taxas de rendimento. Na modalidade produtiva de investimento, tem-se 
12.000/10.000 – 1 = 20% em dois meses. Já, na modalidade financeira, i2m = C2-C0/C0 = 
10.000(1+i)2/ 10.000 – 1 = (1+i)2 – 1. Caso a taxa de juro paga pelos investimentos 
financeiros comparáveis seja de 10 %, então i2m = 21%. Assim a aplicação financeira 
proporciona maior taxa percentual de aumento do capital inicial dentro de dois meses e 
mostra-se, pois, o melhor investimento. Este critério da “taxa de rendimento”, contudo, 
não pode ser aplicado tal como descrito para projetos de investimentos com múltiplos 
fluxos, e, portanto, será deixado de lado por hora. 
[Critério do valor presente] Em terceiro lugar, pode-se tomar como base o capital inicial 
que teria de ser aplicado para atingir o mesmo montante, após o mesmo intervalo de 
tempo, nos dois investimentos. No primeiro critério, foi respondida a pergunta de 
quanto, partindo de um mesmo capital inicial, cada investimento gera após dois 
períodos, um raciocínio já intuitivo a esta altura do curso. Porém, no critério em questão 
a pergunta é de quanto se deve partir para atingir um mesmo valor-alvo em cada 
investimento. O primeiro passo está em definir o valor-alvo e, geralmente, considera-se 
o montante do investimento produtivo, R$12.000,00. Isso quer dizer que o valor de 
partida para o investimento produtivo tem de ser de R$10.000,00. Já, para o 
investimento financeiro, denota-se genericamente por C0 o valor de partida (capital 
inicial) e por C2 o montante a ser obtido após dois instantes de tempo. Estas duas 
grandezas se relacionam segundo a fórmula básica C2 = C0(1+i)2. Um investimento 
financeiro comparável gera montante C2 = 12.000. Sendo i dada pelo mercado, p.ex., i 
= 0,1, pode-se calcular C0 a partir de C0 = C2(1+i)-2 = 12.000(1+0,1)-2 = R$9.917,36. 
Este valor é denominado valor presente do investimento produtivo e, como visto, trata-
se do valor que teria de ser aplicado financeiramente para obter um montante 
equivalente à receita proporcionada pelo investimento produtivo. 
Os três critérios deixam claro que o investimento financeiro é o melhor. Talvez esta 
conclusão não decorra tão diretamente do terceiro critério, mas basta considerar que ele 
está apontando que, a partir de um menor capital inicial se pode, com o investimento 
financeiro, atingir o mesmo montante recuperado a partir do investimento produtivo. O 
que deixa claro que, portanto, o critério do valor futuro e do valor presente são 
equivalentes por requererem que seja obtido o maior retorno possível de cada unidade 
monetária do capital inicial2. A diferença está em que há duas maneiras de verificar esta2 Ou seja, ambas requerem a maximização do lucro financeiro. 
8 
 
premissa, a primeira é fixar o valor do capital inicial e buscar o maior montante, a 
segunda é fixar o montante e buscar o menor capital inicial. 
Os dois últimos critérios podem ser descritos das maneiras alternativas a seguir, as quais 
são mais comuns nos livros-texto. 
O critério do valor futuro estabelece uma comparação entre a receita e o montante 
que o investimento financeiro geraria a partir do capital inicial. Em suma, trata-se 
de comparar montante e valor futuro. 
O critério do valor presente estabelece uma comparação entre o capital inicial e o 
valor que tem de ser investido financeiramente para gerar um montante 
equivalente à receita do investimento produtivo. Compara-se, em síntese, capital 
inicial e valor presente. 
1.2.2 Valor presente e valor futuro de séries uniformes 
No diagrama abaixo há uma série uniforme de receitas anuais de valor constante no 
tempo e equivalente a R$50.000, ocorrendo no final de cinco períodos com início em t = 
1 e término em t = 5. 
Figura 7.1 Série de receitas da Votorantim Cimentos, Georgia (EUA) 
 
Seja assumido que a série de receitas acima foi projetada pela direção da empresa 
Votorantim Cimentos para os primeiros cinco anos de operação de uma planta que seria 
instalada no estado norte-americano da Georgia (Blank & Tarquin, cap.2). A instalação 
da planta custaria US$200.000,00, despesa essa a ser realizada no período corrente, de 
modo que, portanto, o fluxo de caixa completo corresponderia ao diagrama 7.2. 
Figura 7.2 Fluxo de caixa da Votorantim Cimentos, Georgia 
 
Para saber se o investimento na planta da Georgia vale a pena economicamente, não 
basta comparar o fluxo de receitas com a despesa inicial. Ou seja, não basta calcular o 
50.000,00$ 50.000,00$ 50.000,00$ 50.000,00$ 50.000,00$ 
+ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
Anos
- 0 1 2 3 4 5
50.000,00$ 50.000,00$ 50.000,00$ 50.000,00$ 50.000,00$ 
+ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
Anos
- 0 1 2 3 4 5
↓
200.000,00$ 
9 
 
lucro3. É preciso comparar o projeto em questão com um projeto alternativo de 
investimento de natureza financeira, que consistiria em aplicar à taxa de juro vigente, o 
valor equivalente à despesa, pelo mesmo período do projeto produtivo – mais 
precisamente, deve-se comparar lucro produtivo e lucro financeiro. De fato, da 
perspectiva da análise de investimento, a despesa é o capital inicial. Este passo lógico é 
importante e merece ser destacado. Na análise de engenharia econômica, o projeto 
produtivo sempre é comparado com a aplicação financeira, pois é preciso considerar 
não apenas o custo contábil, mas também o custo de oportunidade do dinheiro investido 
(vide nota 1). 
Inicialmente será considerado como indicador de performance financeira o valor 
presente. A subseção anterior estabeleceu que o valor presente de um fluxo monetário 
que ocorre em t, Rt, é equivalente ao capital inicial que teria de ser aplicado no período 
corrente de modo a obter, com isso, um montante equivalente a Rt após t períodos. Mas 
como aplicar este critério a uma série de fluxos monetários? Simples, basta aplica-lo 
separadamente a cada fluxo individual e então somar o resultado – exatamente como 
feito na seção inicial “motivação”. Por exemplo, o valor presente da receita que ocorre 
no final de t = 1 é 50.000(1+i)-1, já, para a receita que ocorre no final de t = 2 temos 
50.000(1+i)-2, e assim por diante, de maneira a chegar à expressão abaixo para o valor 
presente de toda a série de receitas. 
VP(50.000,i,5) = 
50.000(1+i)-1 + 50.000(1+i)-2 + 50.000(1+i)-3 + 50.000(1+i)-4 + 50.000(1+i)-5 
O que se tem acima, pois, é o cômputo total do capital inicial que tem de ser investido 
em um conjunto de cinco aplicações financeiras, cada uma delas com vencimento em 
cada um dos cinco períodos posteriores. Este conjunto, no que segue, será referido 
como “investimento financeiro”. 
Genericamente, o valor presente de uma série uniforme de receitas com duração de T 
períodos pode ser escrita na forma a seguir. 
VP(A,i,T) = A(1+i)-1 + A(1+i)-2 +...+ A(1+i)-T 
Ou, de modo equivalente: 
VP(A,i,T) = A[(1+i)-1 + (1+i)-2 +...+ (1+i)-T] 
O termo entre colchetes é a soma de uma progressão geométrica (PG) com primeiro 
termo, a1, e razão, q, ambos iguais a (1+i)-1 e número de elementos, N, igual a T, ou 
seja: 
VP(A,i,T) = A[a1q0 + a1q1 + a1q2+...+ a1qN-1] 
 
3 Do fato de que um projeto de investimento rende lucro positivo não se deve a priori concluir que 
implementar tal projeto se trata da melhor decisão do ponto de vista de aproveitamento do capital. E 
isso pois pode haver outro projeto que também rende lucro positivo e maior do que o primeiro. 
10 
 
Conforme visto anteriormente, a soma de uma PG é S = a1 (1 - qN)(1-q)-1. Aplicando os 
valores de a1, q e N da série de receitas, chega-se, finalmente, a: 
VP(A, i, T) = ܣ (1 + ݅)் − 1
݅(1 + ݅)் 
O que, no exemplo da Votorantim Georgia, equivale a: 
VP($50.000,0.1, 5) = $50.000 (1 + 0.1)ହ − 1
݅(1 + 0.1)ହ = $189.539,34	 
Retomando o problema, agora que conhecemos o valor presente da receita do 
investimento produtivo, podemos determinar se ele é economicamente superior ao 
investimento financeiro. Basta comparar o resultado do cálculo anterior, R$189.539,34, 
com o valor do capital inicial, R$200.000,00. Como o segundo é menor, investir 
financeiramente o capital se mostra mais rentável, dado que, a partir dele pode-se atingir 
uma receita equivalente com menor capital inicial. 
Seja agora considerado o critério do valor futuro. Este, aplicado a um fluxo monetário 
que ocorre em t, Rt, consiste em determinar o montante que seria obtido caso Rt fosse 
aplicado até o período final do horizonte considerado, T. Mais uma vez, aplicar este 
critério a uma série de fluxos pressupõe aplica-lo separadamente a cada fluxo e então 
somar o resultado. 
Por exemplo, se a receita que ocorre em t = 1 tem valor futuro equivalente a 
50.000(1+i)T-1, em que T, o horizonte de tempo, é igual a 5. Desta maneira, o valor 
futuro da receita que ocorre em t = 1 é 50.000(1+i)4, o que faz sentido pois há quatro 
períodos de capitalização entre o final de t = 1 e o final de t = 5. Já para a receita que 
ocorre em t = 2, o valor futuro é de 50.000(1+i)3. E assim por diante. O valor futuro da 
série de receitas, pois, é tal como segue. 
VF(50.000,i,5) = 50.000(1+i)4 + 50.000(1+i)3 + 50.000(1+i)2 + 50.000(1+i)1 + 50.000 
(recordando que prevalece a convenção de final de período e, portanto, todas as receitas 
podem ser vistas como aplicações a juro mantidas entre o final do período em que 
ocorrem e o final do último período) 
Em termos genéricos, a soma dos valores futuros de uma série uniforme de receitas com 
duração de T períodos é dada por: 
VF(A,i,T) = A(1+i)T-1 + A(1+i)T-2 +...+ A(1+i)0 
Ou, de modo equivalente: 
VF(A,i,T) = A[(1+i)T-1 + (1+i)T-2 +...+ (1+i)0] 
O termo entre colchetes é a soma de uma progressão geométrica (PG) com primeiro 
termo, a1 = (1+i)T-1 e razão, q = (1+i)-1 e número de elementos, N, igual a T. 
11 
 
Aplicando os valores de a1, q e N da série de receitas, chega-se, finalmente, a: 
VF(A, i, T) = ܣ (1 + ݅)் − 1
݅
 
No exemplo, trata-se de um valor equivalente a $305.255,00. Para definir se o 
investimento produtivo que gera este valor futuro de receitas é melhor do que o 
investimento financeiro basta comparar tal valor futuro com o montante gerado 
financeiramente a partir de $200.000,00, montante este equivalente a $ 322.102,00. A 
análise com base no critério do valor futuro, pois, aponta para o mesmo resultado de que 
a análise com base no indicador de valor presente. 
1.2.3 Calculando fluxos constantes a partir do valor presentee do valor futuro 
As fórmulas de valor presente e valor futuro de séries uniformes permitem calcular o 
valor agregado de uma série em um determinado ponto no tempo. Porém, é também 
relevante saber qual teria de ser o valor dos fluxos monetários de maneira a que a série 
uniforme atingisse um determinado valor presente (ou futuro). 
Por exemplo, no caso do projeto da planta da Votorantim na Georgia, concluiu-se que, a 
um custo de oportunidade do dinheiro de 10% a.a., o projeto não é economicamente 
vantajoso. Uma pergunta relevante para a direção da empresa é a de qual teria de ser o 
valor (constante) da receita nos primeiros cinco anos para que o projeto se mostrasse 
economicamente vantajoso. Basta considerar que isso ocorreria sempre que os valores 
presente e futuro do projeto fossem equivalentes ou superiores, respectivamente, ao 
capital inicial e ao montante da aplicação financeira. Uma vez que os valores presente e 
futuro da aplicação financeira são conhecidos, basta calcular o valor da receita que os 
atingiria exatamente (a ser referida como “receita mínima aceitável”), conforme 
ilustram os diagramas 7.4 e 7.5. 
Figura 7.4, diagrama de fluxo de caixa para o projeto Votorantim, VP 
 
Figura 7.5, diagrama de fluxo de caixa para o projeto Votorantim, VF 
 
VP =$200.000
A A A A A
+ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
Anos
- 0 1 2 3 4 5
VF =$322.102
A A A A A
+ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
Anos
- 0 1 2 3 4 5
12 
 
Para chegar aos valores da prestação, basta tomar as fórmulas que calculam o valor 
presente e o valor futuro e as resolver para a incógnita em questão, A. 
VP(A, i, T) = ܣ (1 + ݅)் − 1
݅(1 + ݅)் ↔ ܣ(ܸܲ, ݅,ܶ) = VP ݅(1 + ݅)்(1 + ݅)் − 1 = ܸܲ ∗ ܨܴܥ(݅,ܶ) 
VF(A, i, T) = ܣ (1 + ݅)் − 1
݅
↔ ܣ(ܸܨ, ݅, ܶ) = VF ݅(1 + ݅)் − 1 = ܸܨ ∗ ܨܨܨ(݅, ܶ) 
Em que as expressões FRC(i,T) e FFF(i,T) são denominadas, respectivamente, por 
“fator de recuperação do capital” (capital recovery factor) e “fator de formação de 
fundo” (sinking fund factor). Para o problema considerado, o valor da receita mínima 
aceitável é de $52.759,50, qualquer que seja o indicador financeiro considerado (VF ou 
VP) e, portanto, o fator (FFF ou FRC) utilizado para calcular o valor da prestação. 
Quanto a isso, deve-se observar que VP = $200.000,00 (capital inicial) e VF = 
$322.102,00 (montante, C5). Cabe notar que a receita mínima aceitável é superior à 
receita de $50.000,00 projetada pela empresa e, portanto, a análise do fluxo de caixa 
com base nos fatores FRC e FFF também chega ao resultado de que o investimento 
produtivo não compensa economicamente. 
É importante considerar que não há necessidade de calcular os dois fatores, pois o valor 
deles é sempre relacionado pela equação FRC = FFF(1+i)T – o que decorre do fato de 
que VF = VP(1+i)T. 
2 Exercícios 
(Bueno et al, 2011, ex 2.9) Adquiri uma casa cujo valor a vista é $150.000,00. Deverei 
amortizar essa dívida em 20 prestações mensais, iguais e sucessivas. A primeira 
prestação deverei pagar somente ao final do 3º mês. Calcular o valor das prestações, 
sabendo-se que a taxa de juros cobrada no financiamento é de 3,5% ao mês. 
R: A melhor maneira de começar a resolver um problema como este é elaborando o 
diagrama de fluxo de caixa, como segue. 
Fluxo de caixa para a quitação da dívida no valor do imóvel, perspectiva do 
tomador 
 
De acordo como o enunciado, o narrador é um tomador de crédito. A quitação da dívida, 
da perspectiva do narrador, está representada acima. Uma instituição, provavelmente 
150.000,00$ 
↑
...
0 1 2 3 4 5 6 22
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
R R R R R
13 
 
um banco, concedeu o crédito no valor de $150.000,000 e o problema também pode ser 
observado da perspectiva do banco, como segue. 
Fluxo de caixa para a quitação da dívida no valor do imóvel, perspectiva do credor 
 
A figura acima deixa claro que encontrar o valor de R é equivalente a encontrar o valor 
do FRC a partir de um VP equivalente a $150.000,00. Porém, há uma dificuldade, 
imposta pela carência, i.e., pelo fato de que a primeira parcela da amortização ocorre 
alguns períodos após a contração da dívida. De fato, ela ocorre três períodos após o 
período corrente. 
O valor presente da primeira parcela é R(1+i)-3, da segunda parcela, R(1+i)-4, da 
terceira, R(1+i)-5, e assim por diante até a última cujo valor presente é de R(1+i)-22. 
Genericamente, pois, o VP da parcela que ocorre no t-ésimo período t > 0, é R(1+i)-(t+2). 
O VP da série é, pois: 
VP(R,i,22) = R(1+i)-3 + R(1+i)-4 + R(1+i)-5 + ...+ R(1+i)-22 = 
R(1+i)-2 [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + ... + (1+i)-20] = ܴ(1 + i)ିଶ ቂ(ଵା௜)మబିଵ
௜(ଵା௜)మబ ቃ 
Uma vez que VP = $150.000 e i = 0,035, R é tal que: 
ܴ = 150.000 ቈ(1 + 0,035)ଶ଴ − 1
݅(1 + 0,035)ଶ଴ ቉ିଵ (1 + i)ଶ = 		11.305,88		 
O que se tem é uma série de 20 fluxos deslocada em dois períodos a frente do corrente. 
A referência para contar o número de deslocamentos não é o período em que ocorre o 
primeiro fluxo, mas sim o período anterior àquele em que ocorre o primeiro fluxo. Daí 
porque, apesar da carência ser de três meses, a série está deslocada em dois meses. Com 
este esclarecimento, pode-se afirmar que uma série de T fluxos, deslocada em D 
períodos, tem valor presente dado por 
VP(R, i, T, D) = ܴ ቈ(1 + ݅)் − 1
݅(1 + ݅)் ቉ (1 + i)஽ 
 (nota: o resultado apresentado pelos autores está incorreto; eles calcularam o seguinte: 
R(1+i)-3 [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + ... + (1+i)-20] = ܴ(1 + i)ିଷ ቂ(ଵା௜)మబିଵ
௜(ଵା௜)మబ ቃ, ou seja, 
assumiram que se tem uma série de 20 pagamentos deslocada por três períodos, 
R R R R R
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
...
0 1 2 3 4 5 6 22
↓
150.000,00$ 
14 
 
enquanto, porém, se tem uma série de 20 pagamentos deslocada por dois períodos, pois 
a referência para determinar o deslocamento não é o período em que ocorre o primeiro 
pagamento, mas sim o período anterior). 
(Bueno et al., 2011, ex.2.11, adaptado) Um automóvel foi colocado à venda pelo preço à 
vista de $14490,00 ou, então, 2 planos de pagamento a prazo: 48 parcelas [mensais] de 
$414, mais uma entrada de $2580,00; ou 48 parcelas [mensais] de $505,00. [Assuma 
uma taxa de juro mensal de 2,3%]. Qual dos dois planos [a prazo] deve ser escolhido? 
R: É preciso comparar os dois planos a prazo tomando por base o mesmo critério. 
Vamos considerar o valor presente, pois ele permite comparar os planos a prazo com o 
valor a vista. 
(Plano a prazo 1) O fluxo de caixa está na figura abaixo. 
 
Formalmente: 
$2580 + $414(1+i) + $414(1+i)2 + ...+ $414(1+i) 48 = 2580 + 414ቂ(ଵା௜)రఴିଵ
௜(ଵା௜)రఴ ቃ =
		14.537,15	 
(Plano a prazo 2) O fluxo de caixa está na figura abaixo. 
 
Formalmente: 
$505(1+i) + $505(1+i)2 + ...+ $505(1+i) 48 = 505ቂ(ଵା௜)రఴିଵ
௜(ଵା௜)రఴ ቃ = 	14.585,41	 
O primeiro plano é menos custoso dos planos a prazo, mesmo assim o pagamento a 
vista se mostra menos custoso. 
 
VP?
...
0 1 2 3 4 5 6 48
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
$2580 $414 414,00$ 414,00$ 414,00$ 414,00$ 414,00$ 414,00$ 
VP?
...
0 1 2 3 4 5 6 48
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
505,00$ 505,00$ 505,00$ 505,00$ 505,00$ 505,00$ 505,00$ 505,00$