Noções Básicas de Probabilidades

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 Noções Básicas de Probabilidades. 
 
 
 
 Probabilidades: Conceitos Básicos 
 
 Definição Clássica 
 
 Aproximação da Probabilidade pela Freqüência 
Relativa 
 
 Eventos Complementares 
 
 Regra da Adição: Diagrama de Venn 
 
 Probabilidade Condicional 
 
 Eventos Dependentes e Independentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
2 PROBABILIDADES. 
 
2.1 Em muitos experimentos, muitas vezes, podemos prever o resultado antes 
mesmos de realizá-los. Em uma queda livre de um corpo podemos determinar a 
sua velocidade de chegada ao solo. Outro exemplo, se misturarmos dois líquidos 
de densidade muito diferentes, sabemos que o de menor densidade ficará na parte 
de cima do recipiente que os contém, por exemplo: água e mercúrio. Consideramos 
tais experimentos determinísticos, pois podemos prever seu resultado, conhecendo 
determinadas condições. 
 
 Em um lançamento de dado, há seis possíveis resultados: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
Embora pudéssemos repetir várias vezes o experimento, lançamento do dado, não 
podemos prever qual será o seu resultado. 
 
Um experimento cujo resultado não podemos prever antecipadamente é 
denominado de experimento aleatório. Mas em certas situações podemos prever a 
“probabilidade” de ocorrência dos resultados desse experimento. Esses 
experimentos são denominados “probabilísticos”. 
 
Característica de um experimento aleatório probabilístico: 
 
 Pode ser repetido várias vezes nas mesma condições; 
 
 Não podemos prever seu resultado. 
 
 O conjunto dos resultados possíveis são conhecidos. 
 
Não podendo prever antecipadamente o resultado, a Teoria da 
Probabilidade foi desenvolvida para que pudéssemos quantificar ou representar 
quantitativamente as chances de que certos eventos venham a ocorrer. 
 
Vamos definir então alguns conceitos para que possamos desenvolver nosso 
curso. 
 
Experimento: É um processo que nos permite fazer observações. 
 
Ex: Lançamento de um dado. 
 
Eventos: São os resultados possíveis de um experimentos. 
 
 Ex.: 4 é um evento simples no lançamento de uma dado. 
 
 3 
Evento Simples: É um evento que não permite ser decomposto. 
 
Ex.: No lançamento de dois dados, o evento 6(soma das face dos dados) não é um 
evento simples, pois pode ocorrer pela soma dos seguintes eventos: (3-3 ), (5-1 ), 
(4-2), porem os eventos 2 (1-1) e 12 (6-6) são considerados eventos simples. 
 
 
Espaço Amostral: É o conjunto de todos os eventos simples possíveis de um 
experimento. Geralmente representado pela letra maiúscula grega 

. 
 
Ex. no lançamento de um dado o espaço amostral 

 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } 
Utilizamos a letra P para designar a probabilidade e uma letra maiúscula do nosso 
alfabeto A, B, C, ..., para designar a probabilidade do evento específico A, B, C, 
.... P(A), P(B), ... 
 
 
2.2 Definição da Probabilidade pela aproximação da frequência relativa. 
 
Realize um experimento n vezes e observe com que frequência um evento A 
ocorre. 
 
 P(A) = 
erimentoorealizadofoiquevezesdenúmerosn
Aventooocorreuqueemnúmero
exp
 
 
 
 Definição Clássica da Probabilidade. 
 
Seja n o número de eventos simples de um experimento (espaço amostral 

), 
todos com a mesma chance de ocorrer. Se um evento A pode ocorrer k vezes 
dentre as n maneiras de um espaço amostral, então. 
 
P(A) = 
)(
)(
n
An
  P(A) = 
n
k
 
 
Exemplo 1. Qual a probabilidade de no lançamento de um dado, a face de número 
5 estar voltada para cima? 
 
Primeiro encontremos nosso espaço amostral 

 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 
Depois encontremos os eventos simples possíveis A = { 5 }  K = 1 
P(A) = 
6
1
 
 4 
Exemplo 2. Qual a probabilidade da face do dado acima ser menor que 4? 
 
O espaço amostral 

 é o mesmo: 

 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 
A = { 1, 2, 3 }  k =3 P(A) = 
6
3
 = 0,5 
 
 
Exemplo 3. Qual a probabilidade de tiramos uma carta de ´naipe´ de ouro, de um 
baralho não tendencioso. 
 
Nosso espaço amostral 

contém 52 cartas (eventos simples possíveis). Em 
contrapartida, nosso conjunto A contém 13 eventos simples possíveis de ocorrer. 
 
P(A) = 
52
13
= 
4
1
 
 
 
Exemplo 4. Considere o espaço amostral 

 referente ao lançamento de dois 
dados, um azul outro branco. 
 
 

 = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) 
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) 
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) 
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) 
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) 
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } 
 
 
Pede-se: a) – Calcular a probabilidade da soma dos dois dados ser menor que 6. 
 
b) – A probabilidade do resultado da soma dos dois dados ser exatamente 6. 
 
c) – A probabilidade do resultado da soma ser um número par. 
 
d) – A probabilidade do resultado da soma ser um número ímpar. 
 
e) – Os dois dados apresentarem o mesmo valor. 
 
f) – A probabilidade da soma dos dois dados ser menor que 1. 
 
g) – A probabilidade da soma ser maior que 1 e menor ou igual a 12. 
 5 
Considerando os resultados, do exemplo 4 anterior, podemos definir: 
 
A probabilidade de um evento impossível é 0. 
 
A probabilidade de um evento certo é 1. 
 
E para qualquer evento A temos: 0 
1)(  AP
 
 
Dê exemplos de evento impossível e um evento certo considerando o exemplo 4 
anterior. 
 
Lei dos grandes números – À medida que realizamos um experimento mais 
vezes, a probabilidade pela frequência relativa se aproxima da probabilidade 
clássica. 
 
Exercício para reflexão: Qual a probabilidade de um raio cair sobre uma pessoa? 
 
 
 Definição da Probabilidades Subjetivas 
 
A probabilidade é baseada em conhecimentos prévios de circunstâncias que são 
levadas em consideração. 
 
Ex.: Previsões de corridas de cavalos. 
 Previsões de chuvas pelo meteorologistas. 
 
 
 
 2.3 ARREDONDAMENTO DE PROBABILIDADES 
 
 Utilizar três algarismos significativos quando não for exato. Ex. 0,166666... 
= 0,167 
 
 Podemos representar por fração. Ex.: 1/6 ; 2/3 
 
 O exato, quando for o caso. Ex.: Lançamento de uma moeda o resultado pode 
ser cara ou coroa. Ambos tem ½ de chance de ocorrer. Podemos representar 
por 0,5 
 
 
 
 
 6 
Exercícios. 
 
1) Uma seguradora pesquisa fez uma pesquisa entre os 240 últimos acidentes de 
carros dentro da região da grande BH. Constatou o seguinte: 
 
 80 ocorreram com pessoas de idade entre 18 e 21 anos. 
 50 ocorreram com pessoas de idade entre 22 e 30 anos. 
 30 ocorreram com pessoas de idade entre 31 e 40 anos. 
 20 acorreram com pessoas de idade entre 41 e 50 anos 
 40 ocorreram com pessoas de idade entre 51 e 60 anos. 
 20 ocorreram com pessoas de idade acima de 61 anos. 
 
a ) Considerando a pesquisa acima, escolhendo um dos casos aleatoriamente, qual 
a probabilidade de se referir a um acidente com pessoas com menos de 30 anos? 
 
b ) Ocorrendo um acidente novo, podemos inferir a respeito da idade do motorista 
que estava conduzindo o automóvel? 
 
c ) É correto afirmar que as pessoas acima de 60 anos são melhores motorista doque as pessoas entre 18 e 21 anos. 
 
 
2 ) – Qual a probabilidade de um casal de 3 filhos ter exatamente : 
 
a) – Dois meninos. b) no mínimo dois meninos. c) todos sejam do mesmo sexo 
d) os dois primeiros seja meninas. 
 
 
3) Numa eleição 500 eleitores foram pesquisados sobre qual candidato votariam. O 
resultado da pesquisa está apresentado no quadro abaixo. 
 
 
 CANDIDATO A CANDIDATO B CANDIDATO C 
HOMEM 130 95 35 
MULHER 85 105 50 
 
Escolhendo um eleitor ao acaso; 
 
a) - qual a probabilidade de ter voltado no candidato A. 
 
b) – Qual a probabilidade, sabendo que um eleitor é do sexo masculino e ter 
voltado no candidato C. 
 7 
c) – Qual a probabilidade, sabendo ser uma eleitora , dela ter voltado no candidato 
B. 
 
d) – Em que condições poderíamos fazer uma inferência sobre as possibilidade dos 
candidatos. 
 
 
5 ) Quais os números abaixo não podem representar uma probabilidade? Porque? 
 
a) 0 b) 
2
 c) -
2
1
 d) 0,0001 e)10
-4 
 f)
2
3
 
 
 
2.4 EVENTOS COMPLEMENTARES 
 
 
Dado um espaço amostral 

. Definimos que o complemento de A, denotado por 
A
, consiste de todos os resultados em que A não ocorre. 
 
Exemplo1. Tirando uma carta aleatoriamente de um baralho, qual a probabilidade 
de ser uma do naipe de ouro : P(A) = 
52
13
 = 
4
1
 = 0,25 (um baralho tem 52 
cartas, sendo 13 de cada naipe). 
 
P(
A
) = 
52
39
 = 
4
3
 = 0,75 
 
Regras dos eventos complementares: 
 
P(A) + P(
A
) = 1 
 
1 – P(
A
) = P(A) 
 
 
Exercício 1 – Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos do mesmo sexo? Qual a 
probabilidade de não ocorrer a situação anterior? 
 
 
Exercício 2 – Num lançamento de dois dados perfeitos, diferentes, qual a 
probabilidade da soma não ser 7? 
 
Exercício 3 – a) P(A) = 0,272 , determine P
)(

A
 ; b) P( B ) = 1/3, calcule P(B) 
 8 
2.5 REGRA DA ADIÇÃO 
 
 
Agora vamos estudar situações que deveremos considerar como resultado a soma 
de dois eventos simples. Ou seja, a probabilidade de ocorrer um Evento A ou 
Evento B, ou de ambos em um experimento. Usamos para representar a 
probabilidade do Evento A ou B, o símbolo P(A ou B). 
 
A regra da adição é utilizada para estudarmos eventos compostos, que é a 
combinação de um ou mais eventos simples. 
 
Começaremos por estudar a seguinte situação abaixo. Suponhamos um conjunto 
que represente um grupo de 200 pessoas. Sabendo que 100 pessoas lêem jornais, 
80 lêem revistas e 30 lêem jornais e revistas e ainda, 50 não lêem nem um nem 
outro, qual a probabilidade de escolhermos uma pessoa aleatoriamente, e: 
 
Usaremos o diagrama abaixo para representar nosso problema, conhecido como 
diagrama de VENN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ser uma pessoa que lê jornais. temos: p(A) = 

)(
)(
n
An
 
200
100
 = 0,5 
 
Ser uma pessoa que lê revista. Temos : p(B) = 

)(
))(
n
Bn
 
200
80
 = 0,4 
 
Ser uma pessoa que não lê nem revista ou jornal. Temos: p( C ) = 

)(
)(
n
Cn
 
200
50
 = 
0,25 

=200 C = 50 
 
 
 A = 100 B = 80 
 
 D = 30 
 9 
Ser uma pessoa que lê ambos, jornais e revistas. tempos: p(D) = p(A 

 B) = 
200
30 = 0,15 
Agora vamos calcular a probabilidade de escolhendo um leitor ao acaso, e ser um 
leitor de revista ou jornal. Pelo diagrama acima temos que: 
 
 p(A ou B) = p(A) + P(B) – p(A 

 B) = 0,5 + 0,4 – 0,15 = 0,75 
 
 
 Usando nossa intuição temos: p(A) e p(B) = p(A 

B) ; 
 
 p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A 

 B) 
 
 
2.6 EVENTOS EXCLUDENTES OU DISJUNTOS 
 
Definição: Dizemos que dois eventos são excludentes ou disjuntos se não podem 
ocorrem simultaneamente. Numa linguagem de conjunto, dizemos que dois 
conjuntos são disjuntos se não há nenhum elemento em comum. 
 
 
Exemplo 2. Considere 

 = espaço amostral de 300 alunos de uma escola. Seja A 
conjunto de pessoas que falam Inglês; B o conjunto de alunos que falam espanhol e 
C o conjunto de alunos que não falam nenhuma das línguas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a probabilidade, de escolhido aleatoriamente um aluno e: 
 
a) – Um aluno que fala Inglês. 
b) – Um aluno que fala Espanhol. 
c) – Um aluno que fala Inglês ou Espanhol. 
d) – Um aluno que não fala nenhuma das duas línguas. 
e) – Um aluno que fala ambas as línguas. 

 = 300 C = 80 
 
A= 100 
B=120 
 10 
 
 
Exercício 1. Um pessoa envia seu currículo para duas empresas A e B. A 
probabilidade de ser aceito pela empresa A é 30% e pela empresa B é 25%. A 
probabilidade de ser aceito por ambas é de 10%. 
 
a) – Qual a probabilidade do candidato ser aceito por ao menos uma das 
empresas?. 
 
b) – Qual a probabilidade do candidato ser aceito por exatamente uma empresa? 
 
 
 
2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 
Consideremos a situação do lançamento de dois dados distinguíveis, conforme 
exemplo 4 anterior, e informado abaixo: 
 
 

 = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) 
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) 
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) 
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) 
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) 
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } 
 
 
Exemplo 1. Consideremos agora, o evento em que o resultado do primeiro dado é 
4. Sabendo que o resultado do 1
o
 dado é 4, qual a probabilidade da soma dos dois 
dados ser menor ou igual a 7: 
 
 
Temos: A = { (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) }  Lançamento do 
segundo dado, sabendo que o resultado do primeiro dado foi 4. 
 
B = { (4,1) , (4,2) , (4,3) }  probabilidade da soma ser menor ou igual a 7 
 
 
P(B/A) = 
6
3
 = 
2
1
  probabilidade de ocorrer B sabendo que A já ocorreu. 
 
 
 11 
Uma maneira de vermos pela notação de conjunto seria: P(B/A) = 
)(
)(
An
ABn 
 = 
)()()/(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
ABpApABp
Ap
ABp
n
An
n
ABn






 
Exemplo 2. Numa população de 150 pessoas possui 30 advogados. Desde total 80 
são do sexo feminino e sendo 20 advogadas. Qual a probabilidade, se tomarmos 
uma pessoa ao acaso, que ela exerça a advocacia, ser mulher. 
 
Consideremos o evento A : as pessoas que exercem a advocacia = 30 
 
 evento B : a pessoa do sexo feminino, sabendo que exerce a 
 advocacia = 20 
 
20)(  AB
 
 
Estamos procurando p(B/A) = 
)(
))(
An
ABn 
 = 
30
20
 = 0,67 
 
 
Outra maneira de resolver o problema. Temos; 
 
 
67,0
30
20
150
30
150
20
)(
)(
)(
)(
)/( 




n
An
n
ABn
ABp
 
 
Exemplo 3. Consideremos agora a probabilidade de escolhermos ao acaso um 
homem e não ser advogado. 
 
Primeiro passo: recordemos sobre eventos complementares.Dado um espaço amostral 

. Dele definimos um evento A, o complemento de 
A, denotado por 
A
, consiste de todos os resultados que A não ocorre. 
 
 
 12 
Segundo passo: Consideremos a possibilidade de sendo homem; ser advogado. 
Evento A = pessoa ser do sexo masculino = 70 
 
Evento B = pessoa ser advogado, sendo do sexo masculino = 10 
 
Temos: 
)(
)(
An
ABn 
 
 
P(B/A) = 
7
1
70
10
)(
)(


An
ABn
 
 
3
o
 passo – Calcular o complementar de 
)/( BAp
 = 1 - 
7
1
= 
7
6
 
 
Exercício 1 – P(A ou B) = 1/3 , P(B) = 1/4 , P(A e B) = 1/5 , calcule P(A). 
 
 
Exercício 2 – P(A) = 0,3 , P(B) = 0,40 , sendo A e B conjuntos de dados 
mutualmente excludentes. O que podemos dizer de P(A ou B) e P(A e B)? 
 
 
Exercício 3 – Tirando uma carta de um baralho, sabendo que se trata de uma carta 
de copas, qual a probabilidade de ser um rei? 
 
 
Exercício 4 – Sabendo que uma carta é um rei, qual a probabilidade da carta ser 
de copas? 
 
 
Exercício 5 – Um empresa possui 300 funcionários. Sendo 180 homens e 120 
mulheres. 64 dos homens são universitários enquanto que entre as mulheres apenas 
36 são universitárias. 
 
a) - Qual a probabilidade de escolhermos uma mulher e ser universitária? 
 
b) - Qual a probabilidade de escolhermos uma mulher e não ser universitária? 
 
c) - Qual a probabilidade de escolhermos um funcionário, independente do sexo, 
 
d) - Qual a probabilidade de ser um funcionário do sexo masculino e não ser 
universitário? 
 
 13 
2.7 Eventos Independentes. 
 
Consideremos o lançamento de uma moeda e um dado sucessivamente. Considere 
os possíveis resultados, e verifique a possibilidade de sair cara para moeda e o 
valor 3 para o dado. Considere ainda, para efeito de estudos como: C = cara ; K = 
coroa . 
 
 
Moeda Dado Resultados Moeda Dado 
Resultados 
 
 6 ( K , 6 ) 6 ( C , 6 ) 
 5 ( K , 5 ) 5 ( C , 5 ) 
 4 ( K , 4 ) 4 ( C , 4 ) 
K C 
 3 ( K , 3 ) 3 ( C , 3 ) 
 2 ( K , 2 ) 2 ( C , 2 ) 
 1 ( K , 1 ) 1 ( C , 1 ) 
 
 
p( C , 3 ) = 
12
1
 , ou seja há uma possibilidade entre doze possíveis. 
 
 
Sabemos que a probabilidade de sair C ou K em um lançamento de moeda não 
viciada é de ½ , e num lançamento de dado, a possibilidade de cada face é de 1/6 . 
Calculando o produto das duas probabilidades conjuntas temos: 
P ( moeda, dado ) = 
6
1
2
1

 = 
12
1
. 
 
Definimos como eventos independentes quando a probabilidade de ambos ocorrem 
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de cada evento 
isoladamente. 
 
P(A

B) = P( A )  P( B ) 
 
Analisemos agora, a probabilidade de ao retirarmos uma carta do baralho ser um 
rei do naipe ouro e em seguida uma dama de qualquer naipe. 
 
Sabemos que temos 1 possibilidade em 52 na primeira escolha. Chamando de A 
este evento, tempos que: P(A) = 1/52 
 
 14 
Para a segunda escolha temos que nos perguntar: será com reposição ou sem 
reposição da carta que retiramos na primeira escolha??? 
 
Com reposição e chamando de B o evento de tirar uma dama do baralho, temos: 
 
P(B) = 4/52 = 1/13 
 
Como os eventos são independentes, temos que: 
 
P(A

B) = P( A )

P( B ) = 1/52 

 1/13 = 1/676 
 
 
Sem reposição e chamando de B o evento de tirar uma dama do baralho, temos: 
 
P(B) = 4/51 ; uma vez que a carta ´rei de ouro´ não será reposta após retirada do 
baralho. 
 
Então temos que: 
 
P(A e B) = P( A )

P( B ) = 1/52 

 4/51 = 4/2652 
 
 
Resumindo a regra da multiplicação, temos: 
 
P(A e B) = P( A )

P( B ) se A e B são independentes. 
 
P(A e B) = P( A )

P( B/A ) se A e B são dependentes. 
Def.: Dois eventos são considerados independentes, se a probabilidade de 
ocorrer um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Do contrário, 
são dependentes. 
 
 
 
2.8 Probabilidade de “Ao Menos Um” 
 
Muitas vezes podemos resolver nossos problemas estatísticos utilizando a regra 
dos eventos e probabilidades complementares. 
 
Exemplo: Qual a probabilidade de nosso nascimento de uma criança, pelos menos 
uma ser do sexo masculino? 
 
 15 
Utilizando o conceito de eventos complementares, sabemos que considerando A o 
conjunto de todas possibilidades de haver uma criança do sexo masculino, o evento 
complementar de A, ou seja 
A
, e’ o conjunto de haver somente crianças do sexo 
feminino. 
 
A probabilidade de 
A
=1/8, como sabemos que P(A) + P(
A
) = 1 , podemos deduzir 
que: 
 
P(A) = 1 –P(
A
)  P(A) = 1 – 1/8 = 7/8 
 
 
Exercícios 1 – Retirando tres cartas de um baralho, aleatoriamente, qual a 
probabilidade de das três serem um A, considerando: 
 
a) experimentos independentes? 
 
 
 
b) experimentos dependentes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Distribuição Discreta de Probabilidades 
 
Variável discreta: Pode ser compreendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) 
depende de fatores aleatórios de um experimento. Geralmente representada por x. 
 
Variável aleatória discreta: possui um número finito de valores ou uma quantidade enumerável de 
valores. 
 
Variável aleatória continua: possui infinitos valores, de maneira que representam uma escala 
contínua de medidas. 
 
Iniciaremos nossos estudos pelas distribuições de probabilidades discretas. 
 
Exemplo1 – No lançamento de duas moedas os resultados possíveis são: 
A = { CC, CK, KC, KK } - onde C representa ocorrência de cara e K ocorrência de coroa. 
 
Definimos a variável aleatória o valor x que representa o número de ocorrências de “caras”. 
 
Resultado X=números de caras 
 CC 2 
 CK 1 
 KC 1 
 KK 0 
 
 
Distribuição de Probabilidade: Associa cada valor de x(variável aleatória) a uma probabilidade. 
 
 
 x P(X=x) 
 0 0,25 
 1 0,50 
 2 0,25 
 
 
 
A Distribuição de Probabilidade de uma variável exige duas condições: 
 
 1)(xP
 o somatório das probabilidades de x seja igual a 1. 
 
 1)(0 xP
 para qualquer valor individual da probabilidade de x deve variar entre 0 e 1, 
incluindo 0 e 1. 
 
 
 17 
Cálculo da Média de uma Distribuição de Probabilidade. 
 
  )]([ xPx
 
 
No exemplo do lançamento de duas moedas, a média é: 
 
0,125,0250,0125,00  xxx 
 
 
Cálculo do Desvio Padrão de uma Distribuição de Probabilidade 
 
  22 )](.[  xPx
 
 
 
No exemplo do lançamento de duas moedas acima,temos: 
 
50,0125,0250,0125,0.0 22222  xx (variância) 
 
7,050,0 
 
 
Histograma da distribuição de Probabilidades. 
 
 
 
 Figura 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 Distribuição de Probabilidade Binomial 
 
 
É uma distribuição discreta de probabilidade, que resulta de um experimento que satisfaz os seguintes 
requisitos: 
 
 Possui um número “n” fixo de provas; 
 As tentativas têm que ser independentes; 
 As tentativas devem ter os resultados classificados em duas categorias:sucessos e fracassos; 
 A probabilidade de sucesso permanece constante durantes todas as n tentativas. 
As notações utilizadas para a Distribuição de Probabilidade Binomial são as seguintes: 
 
S representa sucesso e F representa fracasso. 
 
P(S) – representa a probabilidade de sucesso = p. 
 
P(F) – representa a probabilidade de fracasso = q 
 
Sendo a soma de p + q = 1 
 
n = representa o número fixo de prova. 
 
x = representa o número específico de sucessos em n tentativas – varia de 0 a n. 
 
p = probabilidade de sucesso e q = probabilidade de fracasso. 
 
P(x) = probabilidade de se obter x sucessos em n tentativas 
 
 
Fórmula para cálculo de P(x) para uma distribuição binomial: 
 
 
...},3,2,1,0{,)1(
!)(!
!
)( 

  xpp
xnx
n
xXP xnx
 
 
Exemplo 1. Dado que 10% das pessoas são canhotas qual a probabilidade de em um grupo de 10 
pessoas 3 serem canhotas? 
 
Primeiro verificamos se a condição de um experimento binomial. 
 
 Possui um número “n” fixo de provas - sim; 
 As tentativas têm que ser independentes – podemos considerar uma vez que n < 0,05N 
Ou seja, quando n for menor que 5% da população N, podemos tratar um experimento 
dependente como independente.; 
 As tentativas devem ter os resultados classificados em duas categorias: sucessos e fracassos; 
 A probabilidade de sucesso permanece constante durantes todas as n tentativas - sim 
Satisfeita as condições, passemos ao cálculo. 
 19 
 
057,005739,0478,0001,0120)3(
,)10,01(10,0
!)310(!3
!10
)3( 73




xP
XP
 
 
 
 
Cálculo da média, variância e desvio padrão para a distribuição binomial. 
 
 
padrãodesvionpq
iancianpq
méidanp






var2
 
No nosso exemplo acima, temos: 
 
 
95,090,0
90,090,010,010
110,010
2



npq
npq
np



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
 Distribuição de Probabilidade Poisson 
 
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta utilizada em 
eventos onde ocorrem durante um intervalo de tempo, área, volume, etc. 
 
Envolve estudos de frequência de eventos em uma determinada área ou intervalo de 
tempo ou situações que se equivalem. 
 
Ex1. números de falha em uma rede em um determinado dia. 
 
Ex2: números de clientes que entram em uma loja em um determinado espaço de 
tempo. 
 
Ex3: Chamadas telefônicas por unidade de tempo. 
 
 
Condições para utilização da distribuição de Poisson: 
 
1 – A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo, que 
pode ser tempo, área, volume, distância ou situações que se equivalem. 
 
2 – Que os eventos sejam aleatórios. 
 
3 – Que os eventos sejam independentes; 
 
4 – As ocorrências dos eventos devem ser uniformemente distribuídas sobre o 
intervalo utilizado(área, tempo, etc). 
 
 
,
!
.
)(
x
e
xXP
x  

 
Exemplo 1: Considere um processo que têm uma taxa de 0,2 defeitos por unidade. 
Qual a probabilidade de uma unidade qualquer apresentar: 
 
a. dois defeitos? 
b. um defeito? 
c. zero defeito? 
Solução: Temos que 
,2,0
 , então: 
 
 21 
Sol. a: 
,0164,0
!2
.2,0
)2(
2,02

e
XP
 
Sol. b: 
,1637,0
!1
.2,0
)1(
2,01

e
XP
 
Sol. c: 
,8187,0
!0
.2,0
)0(
2,00

e
XP
 
Exemplo 2: Suponha que em um aplicação de tinta em um automóvel e feita de forma mecânica, 
e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma 
variável aleatória X que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro
,1
. Suponha que 
sorteamos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, qual a probabilidade de 
encontrarmos pelo menos 1 defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de 2 a 4 defeitos? 
a) - A probabilidade de encontrarmos pelo menos um defeito é dada por: 
 
63212,01
!0
.1
1)1(1)1( 1
10
 

e
e
XPXP
 
b) - Já a probabilidade de encontrarmos entre 2 e 4 erros é de: 
26058,0
!4
1
!3
1
!2
.1
)4()3()2(42
411312

 eee
XPXPXPX
 
Exemplo 3: Suponha que 10% das crianças de um determinado bairro do Rio de Janeiro 
prefiram sorvete de baunilha ao de chocolate, qual a probabilidade de que se entrevistarmos 10 
crianças deste bairro que exatamente 2 duas prefiram soverte de baunilha? 
Podemos resolver este problema de duas formas de mais exata que seria pela binomial o qual 
p=0,1 e n=10 ou pela distribuição de poisson, o qual embora não seja tão exata quanto a 
binomial, é bem mais simples de ser calculada. Calculemos primeiramente pelo método da 
binomial. 
 
194,09,0.1,0
!2!8
10
)2( 82 XP
 
Já pelo método de Poisson temos: 
 
184,0
!2
1
)2(
22

e
XP
 
Embora pelo método de Poisson tenhamos um erro este erro em muitos casos não chega a ser 
significativo. 
Requisitos para o uso de uma distribuição de Poisson como aproximação de uma distribuição 
Binomial: 
,2,010100  npen 
 
 22 
Exemplo 4: Suponhamos que em uma indústria farmacêutica 0,001% de um determinado 
medicamento sai da linha de produção somente com o excipiente, ou seja, sem nenhum princípio 
ativo, qual a probabilidade de que em uma amostra de 4 mil medicamentos mais de 2 deles esteja 
somente com o excipiente. 
Cálculo de 
Para usarmos a distribuição de Poisson primeiramente devemos encontrar o , o qual é dado por 
. Assim 
 
 
Assim a probabilidade de que existam mais de 2 medicamentos com apenas o excipiente é de 
99,618%. 
 
 
Em muitas situações nos deparamos com o valor de n grande (n→ ) e p é pequeno 
(p→0), no cálculo da função binomial, o que nos leva a algumas dificuldades, pois 
como podemos analisar para n muito grande e p pequeno, fica difícil ou até mesmo 
impossível calcularmos essa probabilidade. 
 
Observem que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma 
 
Se multiplicarmos e dividirmos por teremos 
 
Se tomarmos o limite de e tomarmos e portanto , obtemos a 
seguinte expressão 
 
onde k=0,1,2,..., e . 
Tal expressão é devida a Poisson e é muito utilizada para calcular probabilidades de 
ocorrências de defeitos "raros" em sistemas e componentes. 
 
 23 
Definição: Uma variável X segue o modelo de Poisson de parâmetro λ, λ>0, se sua função de 
probabilidade for dada por 
 
Usamos a notação X Po( ). O parâmetro indica a taxa de ocorrência por unidade medida.