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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA Profº. Ewerton Carvalho Universidade Federal Rural da Amazônia Instituto de Socioambiental e de Recursos Hídricos Disciplina: Química Analítica Estatística Descritiva 1- Estatística É a ciência que tem por objetivo: Planejar; Coletar; Tabular; Analisar; Interpretar. Informações Tomada de decisões acertadas mediante incertezas. Extrair conclusões Estatística Descritiva 2- Áreas: Estatística Descritiva Estatística Inferencial ou Indutiva 3-Estatística Descritiva: Parte da Estatística que se ocupa em estudar de forma puramente descritiva os resultados e dados de uma pesquisa, não visando por si só analisá-los para extrair conclusões ou extrapolações. Estatística Descritiva 4.1- População 4- Conceitos Básicos: Conjunto de elementos (valores, pessoas, medidas etc) que tem pelos menos uma característica em comum. Exemplos - População de peixes de um rio; - Conjunto de todas as árvores de bacuri existentes em uma floresta; - Conjunto de todas as vacas e bois de uma fazenda. Estatística Descritiva 4- Conceitos Básicos: 4.2- Amostra Subconjunto de elementos extraídos de uma população. População Amostra Exemplos - Conjunto de peixes pescados em um rio; - Conjunto de árvores de bacuri existentes em uma floresta e que foram usadas em um estudo. Estatística Descritiva 4- Conceitos Básicos: 4.3- Dados Informação que vem de observações, contagens, medições ou respostas. 4.4- Variável Característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população, podendo ter resultados numéricos ou não. Seus valores variam de elemento a elemento. Estatística Descritiva 4- Conceitos Básicos: 4.5- Dados Brutos Dados originais que ainda não foram numericamente organizados após a coleta. 4.6- Rol Ordenação dos valores obtidos em ordem crescente ou descrente de grandeza numérica ou qualitativa. Estatística Descritiva 4 6 8 10 11 13 4 7 8 10 12 13 4 7 8 10 12 13 5 7 9 10 12 14 6 7 9 11 12 14 6 8 9 11 13 15 4- Conceitos Básicos: Exemplo 6 10 9 14 7 4 8 11 12 5 9 13 9 10 8 6 7 14 11 6 12 11 15 13 12 11 4 10 7 13 10 9 8 12 13 7 Número de frutos colidos de um conjunto de árvores Dados Brutos Rol Estatística Descritiva 5- Divisão da Estatística Descritiva Em termos didáticos, a Estatística Descritiva costuma ser dividida em três partes: ■ Medidas de tendência central; ■ Medidas de variabilidade; ■ Medidas de posição. Medidas de Tendência Central 1- Definição São valores que trazem informação sobre a região em torno da qual os dados estão posicionados. Média Mediana Moda Medidas de Tendência Central 2- Média É a soma de todas as observações de uma variável X dividida pelo número total de dados, n. Dados isolados n x x n i i 1 Amostra Medidas de Tendência Central 2- Média Considera todos os valores do conjunto de dados; É influenciada amplamente pelos valores extremos; 2.1- Propriedades da Média É facilmente calculada; É a medida de tendência central mais empregada; Medidas de Tendência Central 2,1 4,5 3,8 3,8 3,4 3,2 3,8 3,9 2,5 3,0 2,2 4,0 2,4 3,0 2,5 3,3 3,3 2,5 2,7 2,5 2- Média Exemplo 01 Determine a média aritmética simples referente ao conjunto de dados abaixo que são massas em kg de peixes pescados em um rio. Medidas de Tendência Central kg 1,3x n x x n i i 1 20 5,25,2...3,32,22,31,2 x 2- Média Exemplo 01 Medidas de Tendência Central 3- Mediana É o valor que divide a distribuição ao meio. Dados isolados ► Ordenar os dados em ordem crescente (rol). ► Se n for par, então a mediana será a média simples dos dois valores centrais. ► Se n for impar, então a mediana será o valor central. Medidas de Tendência Central 2,1 4,5 3,8 3,8 3,4 3,2 3,8 3,9 2,5 3,0 2,2 4,0 2,4 3,0 2,5 3,3 3,3 2,5 2,7 2,5 2,1 2,2 2,4 2,5 2,5 2,5 2,5 2,7 3,0 3,0 3,2 3,3 3,3 3,4 3,8 3,8 3,8 3,9 4,0 4,5 3- Mediana Exemplo 03 Determine a mediana referente ao conjunto de dados abaixo que são massas em kg de peixes pescados em um rio. 1,3~ x 2 2,30,3~ x Medidas de Tendência Central 4- Moda É o valor mais comum, que mais aparece na distribuição. Dados isolados ou em distribuição sem classes ► Valor ou valores com maior freqüência. Medidas de Tendência Central 2,1 4,5 3,8 3,8 3,4 3,2 3,8 3,9 2,5 3,0 2,2 4,0 2,4 3,0 2,5 3,3 3,3 2,5 2,7 2,5 2,1 2,2 2,4 2,5 2,5 2,5 2,5 2,7 3,0 3,0 3,2 3,3 3,3 3,4 3,8 3,8 3,8 3,9 4,0 4,5 4- Moda Exemplo 04 Determine a moda referente ao conjunto de dados abaixo que são massas em kg de peixes pescados em um rio. 5,2oM Medidas de Tendência Central 5- Valores Discrepantes Um valor é discrepante ou também chamado de outlier quando tal valor se encontra muito afastados dos demais valores de um conjunto de dados. Exemplo 05 Considere o rol a seguir que representa a idade de alunos de uma turma de alunos da UFRA. 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 24 65 Medidas de Tendência Central 5- Valores Discrepantes 5.1- Exemplo 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 24 65 20oM 5,21~ x 8,23x Afetada pelo outlier. Menos afetada pelo outlier. Parece não ser relevante. Medidas de Variação ou Variabilidade 1- Medidas de Variação ou Variabilidade São medidas de variação ou dispersão dos dados em relação às medidas de tendência central (valores centrais dos conjuntos). São medidas que fornecem o grau de dispersão do conjunto de dados. Amplitude Total Variância Desvio Padrão Desvio Coeficiente de Variação Medidas de Variação ou Variabilidade 3- Desvio É a diferença entre o valor de um dado e a média dos dados. xxd ii Amostra 3.1- Propriedades do Desvio A somatória dos desvios de todos os dados de um conjunto de dados é zero; Se relaciona sempre com a média dos dados; Medidas de Variação ou Variabilidade 3- Desvio 3.1- Propriedades do Desvio Representa a variação de um único dado em relação á média dos dados, servindo para analisar somente a dispersão deste dado e não do conjunto de dados. Exemplo 07 Determine o desvio referente a massa do peixe pescado com 4,5 kg em relação ao aos demais peixes. Medidas de Variação ou Variabilidade 2,1 2,2 2,4 2,5 2,5 2,5 2,5 2,7 3,0 3,0 3,2 3,3 3,3 3,4 3,8 3,8 3,8 3,9 4,0 4,5 1,3x xxd ii 1,35,4 id 3- Desvio 3.2- Exemplo 4,1id Medidas de Variação ou Variabilidade 1 )( 2 __ N xx s i 4- Desvio Padrão É a raiz quadrada da variância de um conjunto de dados 5.1- Propriedades dos Desvio Padrão Considera todos os dados do conjunto; Quanto maior for a variação dos valores dos dados (dispersão) maior será o desvio padrão; O desvio padrão apresenta a vantagem de apresentar uma unidade igual as unidades dos dados. Medidas de Variação ou Variabilidade 4- Desvio Padrão Exemplos 08 Na determinação de ferro em uma amostra de solo, realizada segundo umdado método um analista obteve as seguintes porcentagens do elemento: % Fe 31,44 31,42 31,36 31,38 Fonte: Baccan (2001) 4,31x Xi 31,44 0,04 0,0016 31,42 0,02 0,0004 31,36 -0,04 0,0016 31,38 -0,02 0,0004 Σ 0,00 0,0040 xxi 2)( xxi Medidas de Variação ou Variabilidade 4- Desvio Padrão 1 )( 2 __ N xx s i 14 0040,0 s Fedes %037,0 O resultado encontrado significa que os valores de Xi (porcentagem de ferro nas amostra de solo) se afastam, desviam em 0,037% da média destes valores. Exemplos 09 Numa determinada análise química de solo em replicata obteve-se as seguintes concentrações, em %, de alumínio: % Al 61,60 61,46 61,55 61,61 Fonte: Skoog (2008) 555,61x Xi 61,60 0,045 0,002025 61,46 -0,095 0,009025 61,55 -0,005 0,00002 61,61 0,055 0,003025 Σ 0,00 0,0141 xxi 2)( xxi 4- Desvio Padrão Medidas de Variação ou Variabilidade 1 )( 2 __ N xx s i 14 0141,0 s Fedes %069,0 O resultado encontrado significa que os valores de Xi (concentração, em %, de alumínio das réplicas) se afastam, desviam em 0,069% da média destes valores. Medidas de Variação ou Variabilidade 4- Desvio Padrão Erro de uma medida 1- Erro Absoluto É definido como a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro de dada grandeza. vxxE E = erro absoluto; X = valor medido; Xv = valor verdadeiro. 2- Erro Relativo O erro de uma análise é geralmente expresso em termos relativos. v r X E E E = erro relativo; Er= erro relativo; Xv = valor verdadeiro. Erro de uma medida 2- Erro Relativo O erro relativo é adimensional e comumente expresso em porcentagem (Er x 100) ou partes por mil (Er x 1000). Exemplos 01 O teor verdadeiro de cloro num dado material é 33,30% m/v, mas o resultado encontrado por um analista foi de 32,90% m/v. Calcular o erro absoluto e o erro relativo do resultado.: Erro de uma medida Exemplos 01 vxxE 30,3390,32 E )(/%40,0 absolutovmE v r X E E 100 30,33 40,0 xEr )(2,1 relativoEr Exemplos 02 O valor verdadeiro da concentração de uma solução é 0,1005mol/L e o valor encontrado é 0,1010 mol/L. Calcular o erro absoluto e o erro relativo do resultado: Erro de uma medida vxxE 1005,01010,0 E )(/%0005,0 absolutoLmolE v r X E E 100 1005,0 0005,0 xEr )(5,0 relativoEr Exemplos 02 Erro de uma medida ou milporpartesEr 5
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