Estrutural UFPA3

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Geologia Estrutural 27
 
CAP. 3 - ANÁLISE DO ESFORÇO 
 
 
 3.1- Introdução 
 
 A deformação dos materiais é produzida por ação de forças. As forças que 
atuam nas rochas da crosta são principalmente a ação da gravidade e movimentos 
relativos de grandes blocos de massas na crosta e no manto superior. 
 
 A força gravitacional é proporcional à massa e, no que concerne à deformação, 
pode ser avaliada em termos do peso da coluna de rocha em um determinado ponto. 
 
 As forças que atuam numa rocha produzem um conjunto de esforços (stress) e 
a quantidade de deformação é medida pelas mudanças nas dimensões do corpo. Essas 
mudanças podem ser de forma, volume, ou ambos e vão constituir o que chamamos 
de deformação (strain), conforme já discutido no capítulo anterior. 
 
 
 3.2 - Força e Esforço 
 
 Para que se entenda o conceito de esforço (stress), é necessário que se entenda 
o conceito de força. 
 
 A força é o produto da massa pela aceleração. É um vetor, possuindo 
intensidade, direção e sentido. 
 
 O vetor força pode ser dividido em duas componentes e, por extensão desse 
princípio, qualquer sistema de forças pode ser representado por sua resultante. 
 
* Definição de esforço → Na deformação das rochas não se considera qualquer 
aceleração do corpo, tratando o sistema como fechado, com as forças opostas se 
cancelando. 
 
 Esforço é um par de forças iguais e opostas agindo na unidade de área de um 
corpo. Portanto, o esforço abrange a força atuante e a reação oposta do material. A 
intensidade do esforço depende da intensidade da força e do tamanho da área de 
atuação. 
 
 
 Esforço = Força/ Área 
 
 Unidades : sistema SI → Força = Newton, onde N= 1 Kg. m. s-2 
 
 Esforço = Pascal, onde Pa = 1 Nm-2 
 
 mais usado → bar = 105 pascals = 0.1 MPa 
 
 
 
 
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 3.3- Stress normal e cisalhante 
 
 Uma força atuando numa superfície pode ser dividida em um stress normal 
agindo perpendicularmente à superfície e um stress cisalhante atuante paralelamente 
à superfície. 
 
 
Por convenção: - stress normal → σ (sigma) 
 - stress cisalhante → τ (tau) 
 
 Em três dimensões o stress cisalhante pode ser dividido em duas componentes 
com ângulos retos τ1 e τ2. 
 
 
3.4- Stress em um ponto 
 
 As forças atuantes em cada uma das faces de um cubo de referência pode ser 
resolvida em três componentes ortogonais, uma normal e duas paralelas à face. 
 
 Se a magnitude de cada uma das três componentes for dividida pela área da 
face do cubo obteremos a magnitude das três componentes do stress. 
 
 Usando-se as arestas como um sistema cartesiano e empregando o símbolo δij 
para denotar a componente do stress que atua na face perpendicular a Xi , e na direção 
de Xj , os vários componentes do stress podem ser representados como mostrado 
abaixo e escrito na seguinte maneira: 
 
 
 σ 11 σ 12 σ 13 Índices iguais → stress normal 
 
 σ 21 σ 22 σ 23 Índices diferentes → stress cisalhante 
 
 σ 31 σ 32 σ 33 
 
 
 A situação ilustrada na figura acima é complicada pelas variações nas 
magnitudes e direções das forças em cada face do cubo, portanto torna-se conveniente 
considerar o estado de stress em cada ponto. 
 
 O stress em um ponto é definido pela razão limite da força pela área quando a 
área da face se aproxima de zero. Três importantes consequências são: 
 
 - a distribuição das forças sobre cada face tende a uniformizar-se; 
 
 - as forças nas faces opostas se aproximam em direção e magnitude; 
 
- as forças capazes de exercer um torque resultante sobre o cubo 
 tendem a se anular. 
 
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 Isso significa que σ 12 = σ 21 ; σ 31 = σ 13, etc. Assim, quando o estado de 
stress em um ponto é considerado, os componentes podem ser escritos assim: 
 
 σ 11 σ 21 σ 13
 
 σ 21 σ 22 σ32
 
 σ 13 σ 32 σ 33 
 
 Existem, portanto, 6 componentes independentes do stress em um ponto, em 
qualquer material: 3 componentes normais e 3 componentes cisalhantes. 
 
 
 3.5- Eixos Principais de Stress 
 
 Em situação de stress homogêneo é possível sempre o encontro de 3 planos 
mutuamente perpendiculares, nos quais o stress cisalhante é nulo. São chamados 
planos principais de stress e os esforços normais à eles são os eixos principais de 
stress. Convencionalmente são chamados de σ1, σ2, e σ3, com σ1 > σ2 > σ3 (maior, 
intermediário e menor eixo de stress). 
 
 
 3.6- Elipsóide de Esforço 
 
 É a figura geométrica construída a partir de três eixos e dimensões diretamente 
proporcionais às intensidades dos 3 eixos principais de esforços (σ1, σ2, e σ3 ). 
 
 O conhecimento do campo de esforços existentes nas rochas durante a 
deformação é muito pequeno ainda na geologia estrutural. Isso é, em parte, devido `as 
complexidades dos campos de esforços que atuam na deformação e à falta de 
informação sobre as propriedades mecânicas das rochas. 
 
 Um exemplo disso pode ser visto na figura 1.24 (Hobbs), ilustrando a 
orientação do stress num leito dobrado feita por computador, onde cada linha 
tracejada é perpendicular à σ1 em cada ponto. 
 
 
3.7- Classes de Esforços 
 
 Analisando a matriz do estado de esforço homogêneo, pode-se estabelecer o 
seguinte: 
 
 σ 11 σ 21 σ 13 p 0 0 σ 11-p σ 21 σ 13
 σ 21 σ 22 σ32 + 0 p 0 = σ 21 σ 22 -p σ32
 σ 13 σ 32 σ 33 0 0 p σ 13 σ 32 σ 33 -p 
 
 
 
p = (σ 11 + σ 22 + σ 33)/3 ou p= (σ 1 + σ 2 + σ 3)/3 
 
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 Em três dimensões, p representa o esforço médio (mean stress) ou uma 
condição de pressão hidrostática. 
 Os esforços normais, em diferentes direções, geralmente diferem do 
esforço médio, e essa diferença é conhecida como esforço desviatório (deviatoric 
stress - σ′): 
 
 
 
 
 
 
 σ′ = σ - (σ 1 + σ 2 + σ 3)/3 
 
 
 Esforço não desviatório: a parte do esforço que consiste unicamente de: 
 esforço normal = p e esforço cisalhante = 0 
 
 
 3.8- A Envoltória de Mohr 
 
 É importante que se estabeleça que, embora o esforço tenha muitas das 
características físicas da força associada à ele, o conceito de esforço tem sempre a 
associação física com a área de atuação. Portanto, o valor do esforço não varia 
somente com a orientação e a intensidade da força atuante, mas varia também quando 
ocorre mudanças na orientação e tamanho da área. 
 
 A Figura 1.2, na página seguinte, (Hobbs, ,et al., 1976), mostra seções de 
cubos, onde uma força de intensidade F age perpendicularmente à face do cubo de 
área A (Fig. 1.2a). Cortando o cubo existe um plano P, cuja normal forma um ângulo 
θ com F. 
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 Qual será a componente normal e cisalhante da força sobre o plano P e como 
elas diferem em intensidade da componente normal e cisalhante do esforço sobre o 
plano P ? 
 
 Da figura 1.2a, tira-se: 
 
 
 ⏐Fn ⏐ = Fcosθ ⏐Fs ⏐= Fsenθ (3.1) 
 
 
 Da figura 1.2b, tem-se que o esforço (σ) na face do cubo tem intensidade F/A, 
onde a área do Plano P é : 
 
 
 AP = A/cosθ (3.2) 
 
 então: 
 
 ⏐Fn ⏐ = Fcosθ = Aσcosθ = APσcos2θ 
 e (3.3) 
 ⏐Fs ⏐= Fsenθ = Aσsenθ = APsenθcosθ 
 
 
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 Portanto, as intensidades das componentes normal e cisalhante do esforço 
sobre o plano P são: 
 
 ⏐σN ⏐= ⏐FN ⏐/ AP = σcos2θ = F/A cos2θ 
e (3.4)⏐σS⏐ = ⏐FS ⏐/ AP = σ/2sen 2θ = F/A senθ cosθ 
 
 
 A maneira como as intensidades de FN e σN , e as de Fs e σS variam com θ 
está mostrado na Fig. 1.2c e 1.2d, respectivamente. 
 
 A comparação entre as equações 3.1 e 3.4 mostra que os esforços não podem 
ser entendidos como se fossem forças, e que as mudanças nas áreas de atuação 
também devem ser levadas em consideração. 
 
 Onde os esforços principais são σ1 e σ2 , as equações 7.4 se transformam em: 
 
 σN = ½ (σ1 + σ2) + ½ (σ1 - σ2)cos2θ 
 (3.5) 
 σS = ½ ( σ2 - σ1) sen2θ 
 
 Outras expressões podem também ser deduzidas quando se considera a 
situação tridimensional, com σ1 , σ2 e σ3 (Jaeger, 1969, pp. 5-20). 
 
As equações 3.5 levam à construção do diagrama de Mohr, muito utilizado em 
experimentos de ruptura. (Figs. 2.16 Nicolas e 1.3 Hobbs ). 
 
Fig. 2.16 (Nicolas) Diagrama de Mohr, mostrando somente o mais significante 
 círculo (σ1 , σ3 ). 
 
 O diagrama de Mohr representa o esforço normal (σN ) no eixo das abcissas e 
o esforço cisalhante (σS ) no eixo das ordenadas. O círculo do diagrama de Mohr pode 
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ser desenhado de várias maneiras, com as coordenadas de seu centro variando em 
função da simbologia que se utiliza para representar os diversos esforços. 
 
 A Figura 1.3 (Hobbs) representa o diagrama de Mohr para esforços principais 
σ1 e σ2. Neste exemplo, o diâmetro do círculo é = σ1 - σ2 e o centro tem coordenadas 
[(σ1 +σ2)/2 , 0]. 
 
Figura 1.3 (Hobbs). Representação do Diagrama de Mohr. 
 
 Podem ser encontradas as coordenadas, em termos de (σN - σS ) , para qualquer 
ponto do círculo, onde os valores de σN e σS são dados pela equação 3.5 e 2θ é o 
ângulo entre o eixo σN e a linha PQ, sendo Q o centro do círculo e P o ponto 
considerado. 
 
 O diagrama de Mohr permite se determinar os esforços normal e cisalhante 
que atuam sobre um plano qualquer, onde os esforços principais são σ1 e σ2 , ou 
encontrar σ1 , σ2 e θ, conhecendo-se σN e σS em dois planos ortogonais. 
 
 Utilizando o diagrama de Mohr, é possível se calcular o esforço cisalhante 
correspondente ao ponto de ruptura de um material isotrópico, sob crescentes valores 
de pressão confinante. 
 
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 Uma curva de ruptura experimental pode ser definida, medindo a resistência 
máxima do material sob diferentes estados de pressão confinante. Esta linha é 
chamada de envoltória de Mohr e representa os valores máximos de esforços 
cisalhantes suportados pôr um material antes da ruptura (Fig. 3.4, Nicolas). 
 
 A envoltória é definida pelo chamado critério de Coulomb, que se expressa 
por: 
 
 τC = C + μσC , onde 
 
 τC : resistência do material 
 C : cte, depende da coesão interna do material 
 σC : esforço normal exercido no momento da ruptura 
 μ : coeficiente de fricção interna 
 
 Na Figura 3.4, C representa o valor máximo de esforço cisalhante que o 
material suportará sem se romper e φ representa a inclinação da curva de ruptura e é 
chamado de ângulo de fricção interna e é também o complemento de 2θ no diagrama 
de Mohr. 
 
 
 
Figura 3.4 (Nicolas) . Condições críticas para ruptura mostradas pelo diagrama de Mohr. 
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3.9- Campo de esforços (stress field) 
 
 Para cada ponto de um corpo rochoso existe um estado de esforço 
correspondente. As matrizes deste estado de esforço, conjuntamente e em 
determinado instante, são denominadas de campo de esforços. O mais simples estado 
de esforço que existe é o de campo de esforço homogêneo. 
 
 Na natureza não acontece bem assim: 
 
? primeiro - as body forces (forças do próprio corpo) introduzem 
gradientes nos esforços ponto a ponto; 
 
? segundo - as diferenças mecânicas que as rochas apresentam 
(cristais, leitos, descontinuidades, etc.) geram um campo não 
homogêneo. 
 
 
 Normalmente o campo de esforço é definido por uma série de trajetórias. 
 
 
 
 3.10- História do esforço 
 
 Três tipos de histórias podem ser atribuídas ao esforço: steady state, contínuo 
e descontínuo. 
 
 steady state: situação na qual todos os componentes do tensor esforço são 
constantes em relação ao tempo. 
 
 Ex: situações de temperaturas suficientemente altas ou taxas de deformação 
(strain rate) suficientemente baixas para que os processos de recristalização 
continuamente reconstituam a microestrutura de uma rocha. Nessas situações as 
mudanças microestruturais são eliminadas pela recristalização tão rapidamente quanto 
as mesmas são introduzidas pela deformação. Isso evita que haja mudanças nas 
propriedades do material com o tempo e a deformação pode prosseguir 
indefinitivamente com a aplicação de um esforço constante. 
 
 Esforço contínuo : associado à mudanças graduais em um ou mais 
componentes do esforço. É a situação mais comum na Geologia. 
 
 Ex: dobras, foliações, juntas, etc. 
 
 Esforço descontínuo: associado à mudanças abruptas nas condições do 
esforço. Caso dos terremotos. 
 
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	CAP. 3 - ANÁLISE DO ESFORÇO 
	Fig. 2.16 (Nicolas) Diagrama de Mohr, mostrando somente o mais significante