Relatório 3 O método do lugar geométrico das raízes

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Ouro Preto-UFOP 
Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas Campus João Monlevade 
 
Terceira Prática de Controle I: 
O método do lugar geométrico das raízes 
 
 
 
 
 
 
Integrantes: Matrícula: 
Douglas Amaral 11.2.8041 
José Luiz Oliveira Rocha 13.1.8340 
Professor: Márcio Braga 
 
João Monlevade, 10 de Março de 2017 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Nesta prática será abordada a teoria do método do lugar das raízes e o controlador 
tipo PID. Muitas vezes, a performance de um sistema em malha fechada pode ser prevista 
através do lugar das raízes característico associado ao sistema. Esse método é uma 
poderosa ferramenta na análise e projeto de sistemas controladores por realimentação. 
Um dos objetivos dessa pratica é entender como isso é realizado, a saber, como analisar 
os gráficos gerados de forma a projetar o controlador PID para o projeto exemplificado. 
 
2. OBJETIVOS 
 
 Aprender a obter o diagrama de LR através de um software computacional – 
Matlab; 
 Familiarizar-se com o controlador PID, peça de uso frequente em sistemas de 
controle; 
 Entender como aplicar o diagrama de lugar das raízes no projeto de controladores 
para um sistema em realimentação em malha fechada; 
 
3. DESENVOLVIMENTO 
 
a) Compute a constante de erro de velocidade para atender EPP2: 
R: 
Kv = lim
𝑠→0 
𝑠𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = 
1
0,25
= 4 
 
b) Com base em EP3 determine o fator de amortecimento que o sistema deve ter: 
R: Para esse controlador devemos usar que a máxima ultrapassagem percentual 
seja menor que 5% para uma entrada em degrau, então 
M.U.P = 𝑒−𝜋𝛿/√1−𝛿
2
 
Então: 
𝑒−𝜋𝛿/√1−𝛿
2
≤ 0,05 
−𝜋𝛿
√1−𝛿2
 = ln 0,05 
(
−𝜋𝛿
√1−𝛿2
)
2
= (ln 0,05)2 
𝜋2𝛿2
1−𝛿2
 = (ln 0,05)2 
(ln 0,05)2 − 𝛿2(ln 0,05)2 − 𝜋2𝛿2 = 0 
Então: 
𝛿2= 
(ln 0,05)2
(ln 0,05)2+ 𝜋2
 
𝛿 = √
(ln 0,05)2
(ln 0,05)2 + 𝜋2
 
𝛿 ≅ 0,69 
Desta forma o fator de amortecimento deverá ser: 
𝛿 ≥ 0.69 
c) A partir de EP4 e EP3, determinar a região de alocação dos polos da função 
de transferência em malha fechada. 
Sabemos que: 
Ts =
4
𝛿𝜔𝑛
 
Tempo de acomodação menor que 1,5 segundos: 
4
𝛿𝜔𝑛
≤ 1,5𝑠 
4
𝛿𝜔𝑛
= 1,5 
𝛿𝜔𝑛 = 
4
1,5
= 2,6 
Portanto, 𝒔 = −𝟐, 𝟔. 
d) Determinar a faixa de valores para 𝑲𝑷 e 𝑲𝑰 que garantem a estabilidade do 
sistema: 
Sabemos que o controlador é PI, então: 
Gc(s) = 𝐾𝑝 + 
𝐾𝐼
𝑠
 = 
𝐾𝑝 (𝑠+
𝐾𝐼
𝐾𝑝
)
𝑠
 
A questão agora é onde alocar o zero em 𝑠 = −𝐾𝐼/𝐾𝑝, ou seja, para quais 
valores de 𝐾𝑖 e 𝐾𝑝 o sistema é estável. Para isso, escrevemos a função de 
transferência de malha fechada: 
A equação característica será: 
∆(𝑠) = 1 + 𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) 
∆(𝑠) = 1 + 
𝑠𝐾𝑝 + 𝐾𝐼
𝑠
 
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 8)
 = 0 
Desta forma usando o critério de Routh-Hurwitz, temos: 
S3 + 10s2 + (16 + Kp)s + KI = 0 
S3 1 16 + Kp 
S2 10 Ki 
S1 B 0 
S0 Ki 
 
Onde 
B =
10(16 + 𝐾𝑝) − 𝐾𝐼
10
 
 
Para os requisitos deste processo temos que: 
𝐾𝐼 > 0 
Então 
𝐾𝑖 < 100 + 10𝐾𝑝 
 𝐾𝑝 > 
𝐾𝐼
10
 – 16 
 
e) Utilize 𝑲𝒗 para determinar o valor de 𝑲𝑰 
Como: 
Kv = lim
𝑠→0 
𝑠𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) 
Então: 
𝐾𝑣 = 𝑙𝑖𝑚
𝑠→0 
𝑠 
𝐾𝑝 (𝑠 +
𝐾𝐼
𝐾𝑝)
𝑠
 
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 8)
 = 
𝐾𝐼
16
 ≥
1
0,25
 = 4 
Então 
𝐾𝐼 ≥ 64 
 
f) Determinar os valores de KP e KI 
 
Nós podemos ver que o sistema tem polo em : 0, -2, -8. E apenas um zero em 
 
𝑠 = −𝐾𝐼/𝐾𝑝 
Então teremos dois zeros no infinito e esse ramos fará um ângulo de 
𝑁𝑝 = 3 𝑒 𝑁𝑧 = 1 
∅𝑎 =
(2𝑥0 + 1)
(3 − 1)
 𝑥 180º = 90º 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 = 0 
∅𝑎 =
(2𝑥1 + 1)
(3 − 1)
 𝑥 180º = 270º = −90º𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 = 1 
𝜎𝐴 = (0 − 2 − 8 − 𝐾𝐼/𝐾𝑝)/(3 − 2) < −𝛿𝑊𝑛 
Então: 
(0 − 2 − 8 − 𝐾𝐼/𝐾𝑝)/(3 − 2) < −2,6 
𝐾𝐼/𝐾𝑃 < 4,7 
 
g) Com todas as restrições em mãos definimos Kp e KI 
Agora, sabendo que 
𝐾𝐼 > 64 
𝐾𝑝 > 
𝐾𝐼
10
 – 16 
𝐾𝐼
𝐾𝑃
 < 4,7 
Então, 
𝐾𝐼/𝐾𝑃 = 2,5 
 
h) Reescrever a função de Transferência: 
A função de transferência será: 
P(s) = 1 + 𝐿(𝑠) = 1 + 
𝐾𝑝(𝑠 + 2,5)
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 8) 
 
𝑃(𝑠) = 
2𝑠 𝐾𝑝 + 5𝐾𝑝 + 2𝑠3 + 20𝑠2 + 32𝑠
2𝑠2 + 20𝑠2 + 32𝑠
 
𝑃(𝑠) = 
2𝑠3 + 20𝑠2 + 𝑠(32 + 2𝐾𝑝) + 5𝐾𝑝
2𝑠2 + 20𝑠2 + 32𝑠
 
𝑃(𝑠) = 
𝑠3 + 10𝑠2 + 𝑠(16 + 𝐾𝑝) + 2.5𝐾𝑝
𝑠2 + 10𝑠2 + 16𝑠
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 -Lugar Geométrico das Raízes 
 
i) Plote o lugar geométrico das raízes, supondo KP como variável, utilizando o 
comando rlocus(num,den). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Escolha KP de modo que EP3 seja atendido. Para isso, utilize a função Data 
Cursor na janela do lugar das raízes gerado pelo Matlab. Note que além de 
informar o ganho necessário, também e informado o máximo sobressinal. 
 
Como Kp deve ser menor que 30 (que está relacionado ao overshoot), foi 
escolhido seguido o seguinte cálculo, 
𝐾𝐼 
𝐾𝑃
= 2.5 
Como 𝐾𝐼 > 64, então 𝐾𝑃 = 25.6. Escolhendo um valor imediatamente acima, 
tem-se 𝑲𝑷 = 𝟐𝟔. 
Figura 2 -LGR para Kp = 26. 
Através do código abaixo foi gerado o diagrama mostrado na figura. 
clear; clc; 
syms s %variável simbólica 
Kp = [26] %definição do ganho 
num = conv([Kp],[1 2.5]) %numerador 
a = [1 2] %polo den 
b = [1 8] %polo den 
c = [1 0] %polo den 
ab = conv(a,b) %multiplicação usando convolação 
den = conv(c,ab) %multiplicação 
sys = tf(num,den) %montagem da função de transferência 
P = 1 + sys %equação característica 
rlocus(sys) %root-locus diagrama 
grid on %grid do diagrama 
set(gca,'XGrid','on') %grid X 
set(gca,'YGrid','on') %grid Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podem ser observados claramente o ganho, a frequência, o máximo sobressinal 
e o fator de amortecimento do sistema. Para o fator mostrado (0.682), o 
overshoot do sistema está satisfatoriamente próximo do valor requerido. 
 
k) Finalmente, utilizando o comando step, plote a resposta do sistema, em 
malha fechada, a uma entrada em degrau e determine o máximo sobressinal 
e o tempo de acomodação. Os critérios foram atendidos? 
%malhafechada 
FT = feedback(sys,1) 
%step response 
stepinfo(FT) 
step(FT) 
grid on 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ans = 
 
 RiseTime: 0.4114 
 SettlingTime: 1.4434 
 Overshoot: 8.0372 
 Peak: 1.0804 
 
Como se pode observar, o tempo de acomodação está dentro do limite 
estabelecido, entretanto, o valor de overshoot é ligeiramente superior ao limite. 
Figura 3 - Erro em Regime Permanente para entrada à rampa. 
 
l) Aplique uma entrada em rampa e verifique se o requisito de erro em regime 
permanente foi obedecido. 
 
t = 0:0.01:10; 
u = 10*t; 
figure(3) 
lsim(FT,u,t) % u,t define the input signal 
grid on 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um erro em regime de apenas 5% foi encontrado na resposta à rampa, 
mostrando assim que o projeto atende a esta especificação satisfatoriamente. 
 
 
 
 
 
 
4. CONCLUSÃO 
 
A ferramenta de análise do lugar das raízes fornece uma forma eficaz de seprojetar controladores para malhas fechadas, principalmente aquelas que envolvem os 
controladores PID, que oferecem uma ampla gama de variações de comportamento. A 
análise em LGR é compatível com sistemas em que mais de um parâmetro pode variar no 
sistema, em que muitos casos são empregados os controladores PID. 
 Apesar da forca do LGR, o projeto pode terminar não atendendo completamente 
todos os requisitos de especificação estipulados, pois ao se projetar o controlador e inseri-
lo na malha, a ordem do sistema muda, o que pode interferir no comportamento do 
mesmo. Uma forma para tentar contar tal obstáculo é projetar os polos tais que eles caiam 
de forma tal que seja possível cancelar polos e zeros, reduzindo ordem do sistema. 
 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
[1] NISE, N. S. (1984). Engenharia de Sistemas de Controle, 5ª Edição, LTC. 
[2] DORF, R. C. e Bishop, R. H. (2009). Sistemas de Controle Modernos, 11ª 
edição, LTC. 
[3] OGATA, K. (2010). Engenharia de Controle Moderno, 5ª Edição, Pearson 
Prentice Hall. 
[4] SEBORG, D. E., Edgar, T. F. e Mellichamp, D. A. (1989). Process Dynamics and 
Control, John Wiley & Sons.