Análise de Resposta em Frequência

Prévia do material em texto

Universidade Federal de
Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Aplicadas
CEA570 - Sistemas de Controle I
Ana´lise de Resposta em Frequeˆncia
ALEAN DOS SANTOS LIMA
alean.lima@gmail.com
11.2.8137
DOUGLAS DO AMARAL MONTEIRO
douglas.ammaral@yahoo.com.br
11.2.8041
JONAS TADEU SOTERO FERREIRA
sotero jonas@yahoo.com
10.2.8226
Trabalho simulato´rio de Ana´lise de Res-
posta em Frequeˆncia - Crite´rio de Nyquist
a ser apresentado ao Professor Ma´rcio Fe-
liciano Braga na disciplina CEA 570 - Sis-
temas de Controle I, da Universidade Fe-
deral de Ouro Preto.
Joa˜o Monlevade, 15 de Marc¸o de 2017
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Conteu´do
1 INTRODUC¸A˜O 1
2 OBJETIVO 1
3 CRITE´RIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST 1
3.1 Teorema do Contorno de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 APLICAC¸A˜O A UM SISTEMA DE TIPO 0 DE DOIS POLOS 2
5 APLICAC¸A˜O A UM SISTEMA DE TIPO 1 DE 3 POLOS 5
6 APLICAC¸A˜O A UM SISTEMA EM ESPAC¸O DE ESTADOS 14
7 CONCLUSA˜O 18
Engenharia Ele´trica Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
1 INTRODUC¸A˜O
O foco desse trabalho e´ estudar de forma teo´rica e simulato´ria uma das ferramentas mais u´teis
na ana´lise de estabilidade e performance de um sistema pelo domı´nio da frequeˆncia: o Diagrama de
Nyquist. Conceitos importantes como margem de ganho, de fase e faixa de passagem esta˜o associados a
esse diagrama o que facilita a ana´lise do sistema. Atrasos ou avanc¸os de fase inclu´ıdos no sistema tendem
a mudar seu comportamento, deixando mais ou menos esta´vel e essa constatac¸a˜o pode ser realizada de
forma simples pelo diagrama de Nyquist.
2 OBJETIVOS
• Compreender como o diagrama de Nyquist pode ser u´til na analise de resposta em frequeˆncia
• Familiarizar-se com com as especificac¸o˜es temporais do sistema no plano da frequeˆncia
• Entender a importaˆncia da inserc¸a˜o cuidadosa de atrasos temporais em um sistema de controle
realimentado.
3 CRITE´RIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST
Ao se investigar a estabilidade de um sistema de controle, costuma-se considerar a equac¸a˜o carac-
ter´ıstica de sua func¸a˜o de transfereˆncia de malha fechada. Matematicamente,
F (s) = 1 + L(s)
onde L(s) e´ a func¸a˜o de malha aberta do sistema. Para que um sistema seja esta´vel todos os polos
da equac¸a˜o caracter´ıstica devem estar do lado esquerdo do plano complexo. Portanto, pelo crite´rio de
Nyquist, utilizando-se o Teorema de Cauchy, toma-se um contorno que englobe todo o plano direito de
F (s) e determina-se se ha´ algum zero dentro deste contorno. Se sim, o sistema e´ insta´vel, pois
Z = N − P
onde N e´ o nu´mero de voltas que o contorno faz em volta da origem no plano F (s).
Como a ana´lise tambe´m pode se estender para a malha aberta do sistema, em outras palavras,
segue o teorema:
Engenharia Ele´trica 1 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Um sistema com realimentac¸a˜o e´ esta´vel se, e somente se,
1. O contorno Γ no plano L(s) na˜o der voltas no ponto (−1, 0) quando o nu´mero de polos
de L(s) no semiplano direito do plano s for zero.
2. O nu´mero de voltas no sentido anti-hora´rio em torno de (−1, 0) for igual ao nu´mero de
polos de L(s) com parte real positiva.
3.1 Teorema do Contorno de Cauchy
Se um contorno Γ no plano s da´ a volta em torno de Z zeros e P polos de F (s), na˜o passa
em nenhum polo e zero de F (s) e e´ percorrido no sentido hora´rio ao longo do contorno. O contorno
correspondente Γ no plano F (s) sera´
N = Z − P
voltas no sentido hora´rio em torno da origem do plano F (s).
4 APLICAC¸A˜O A UM SISTEMA DE TIPO 0 DE DOIS PO-
LOS
Dado um sistema com equac¸a˜o de malha aberta
L(s) = G(s)Gc(s) =
K
(τ1s+ 1)(τ2s+ 1)
em que K = 10, τ1 = 1, τ2 = 2, tem-se
1. Obtenc¸a˜o anal´ıtica
L(s) =
10
(s+ 1)(2s+ 1)
=
10
2(s+ 1)(s+ 12 )
L(s) =
5
(jω + 1)(jω + 12 )
=
10
(jω + 1)( jω1
2
+ 1)
Φ(ω) = − arctanω −− arctan ω1
2
20 log |L(s)| = 20 log |10| − 20 log |
√
ω2 + 11| − 20 log |
√
ω
0.5
2
+ 12|
Engenharia Ele´trica 2 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Tabela 1 – Valores de ganho e fase para frequeˆncias arbitra´rias.
Frequeˆncia ω 0 0.1 0.75 1 2 10 20 100 ∞
Ganho |L(s)| 10 9.76 4.43 3.16 1.08 0.0496 0.0124 0.005 0
Ganho |L(s)|dB 20 19.76 12.94 10 0.70 -26.07 -38.07 -66.02 −∞
Fase φ(ω) 0 -17 -33.83 -108.46 -139.40 -171.43 -75.41 -179.14 -180
Figura 1 – Diagrama de Nyquist para malha aberta L(s).
Engenharia Ele´trica 3 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
2. Plotagem do diagrama no Matlab
Segue abaixo a imagem da plotagem do diagrama de Nyquist para a func¸a˜o F ′(s), onde F ′(s) =
1 + F (s).
Figura 2 – Diagrama de Nyquist para malha aberta L(s) no plano F ′(s)
3. Discussa˜o
Como se pode observar, a curva na˜o envolve o ponto de refereˆncia, que neste caso e´ (-1,0),
portanto, sabe-se que P-Z deve ser zero. Isso quer dizer que
– ou o sistema na˜o tem polos e nem zeros no lado direito do plano;
– ou o sistema tem nu´mero de polos com parte real positiva iguais ao nu´mero de zeros do lado
esquerdo do plano. N = P − Z
Como a func¸a˜o na˜o tem polos com parte real positiva, sabemos que Z = 0 e a func¸a˜o e´ esta´vel.
Engenharia Ele´trica 4 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
4. Resposta ao Degrau
Figura 3 – Resposta ao Degrau da malha fechada T (s)
5 APLICAC¸A˜O A UM SISTEMA DE TIPO 1 DE 3 POLOS
1. Obtenc¸a˜o anal´ıtica
Como afirmado pelo Teorema do Contorno, este na˜o pode passar por um polo e sim contorna´-lo.
Portanto, para o polo que esta na origem, o contorno tera´ a que ser dividido em duas ana´lises: uma
que se refere a` origem e outro generalista.
a. Origem no plano S.
Na origem, um pequeno contorno semicircular pode ser representado por s = �ejφ e
variando-se φ de −90 a 90, tem-se que
lim
s→0
L(s) = lim
s→0
K
�ejφ
= lim
s→0
K
�
e−jφ
Engenharia Ele´trica 5 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Portanto, o angulo do contorno muda de 0 a +90 em ω = 0
b. Parte 0+ < ω < +∞
O contorno sera´ mapeado de 0 a +∞ pela func¸a˜o L(s) ”original”, uma vez que L(s) = L(jω)
c. Parte +∞ < ω < −∞
O contorno sera´ mapeado de 0 a +∞ pela func¸a˜o L(s) dado que s = rejφ, logo
lim
s→0
L(s)|s=rejφ = lim
s→0
K
τr2
e−2jφ
Percebe-se que φ muda de +90 em ω = ∞ para −90 em ω = −∞. Pela equac¸a˜o acima, a
magnitude do contorno e´ 0 sempre que o raio r e´ infinito.
d. Parte −∞ < ω < 0
O contorno e´ mapeado pela func¸a˜o L(s) = L(−s) = L(−jω), ou seja, o complexo conjugado
da func¸a˜o.
O contorno de −∞ < ω < 0 sera´ o complexo conjugado do contorno 0+ < ω <∞. Portanto, e´
suficiente saber apenas trac¸ar o gra´fico 0+ < ω <∞ para ter a resposta completa.
Portanto, tomando a func¸a˜o de malha aberta tem-se
L(s) =
K
jω(jωτ+1)(jωτ2 + 1)
L(s) =
−K(τ1τ2)− jK( 1ω )− (1− ω2τ1τ2)
1 + ω2(τ21 + τ
2
2 ) + 4ω
2τ1τ2
L(s) =
K√
ω4(τ1 + τ2)2 + ω2(1− ω2τ1τ22 )
− tan(ωτ1)− tan(ωτ2)− pi/2
Quando, ω tende a 0 e ao infinito tem-se que o ganho com fase fica zero e −pi2 e infinito em − 3pi2 .
Engenharia Ele´trica 6 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Figura 4 – Contorno para um sistema tipo 1 de treˆs polos.
Engenharia Ele´trica 7 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERALDE OURO PRETO
2. Plotagem do diagrama no Matlab
Segue abaixo a imagem da plotagem do diagrama de Nyquist para a func¸a˜o F ′(s), onde F ′(s) =
1 + F (s).
Figura 5 – Contorno para um sistema tipo 1 de treˆs polos.
Engenharia Ele´trica 8 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Figura 6 – Zoom para o Contorno para um sistema tipo 1 de treˆs polos.
Gra´fico para K = 10.
Nas figuras geradas pelo software, foi mostrada somente a parte em que ha´ o enlac¸amento no
ponto de refereˆncia. Uma vez que se sabe se o ponto de refereˆncia esta´ incluso ou na˜o no contorno,
pode-se determinar quantas voltas o contorno realiza no ponto. Nesse caso, duas voltas.
3. Discussa˜o
Para o caso em questa˜o, o contorno realiza duas voltas no ponto de refereˆncia do plano F ′(s),
evidenciando a existeˆncia de dois polos no contorno do mapeamento no plano s. Portanto o sistema
e´ insta´vel. O que pode ser graficamente observado na figura do item seguinte. O sistema entra em
instabilidade a partir do momento t = 145s
4. Resposta ao Degrau
Engenharia Ele´trica 9 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Figura 7 – Resposta ao Degrau para o sistema em malha fechada.
5. Limite de K para que o sistema seja esta´vel.
O limite para que o sistema seja esta´vel e´ tal que o diagrama de Nyquist na˜o contenha o ponto
(-1,0). Portanto, deve-se encontrar o valor para o qual o contorno corta o eixo real v. Tem-se enta˜o
que L(s) = u+ vj
L(s) =
K
s3(τ1 τ2) + s2(τ1 + τ2) + s
L(s) =
K
(jω)3(τ1 τ2) + (jω)2(τ1 + τ2) + (jω)
L(s) =
K
−ω3τ1τ2 + ω2(τ1 + τ2) + jω
L(s) =
K
ω2((τ1 + τ2 − τ1τ2 ω) + jω
L(s) =
K
ω2((τ1 + τ2 − τ1τ2 ω) + jω
ω2((τ1 + τ2 − τ1τ2 ω)− jω
ω2((τ1 + τ2 − τ1τ2 ω)− jω
Engenharia Ele´trica 10 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
L(s) =
−K(τ1 + τ2)
1 + ω2(τ1 + τ2) + ω4τ1τ2
+
−K
ω
1 + ω2(τ1 + τ2) + ω4τ1τ2
Na equac¸a˜o acima, v somente e´ zero para 1− ω2τ1τ2 = 0, logo,
ω =
1√
τ1τ2
Portanto, substituindo em u, tem-se
L(s) = u =
−Kτ1τ2
τ1 + τ2
Como o ganho K deve ser menor que −1, enta˜o
u = −K τ1τ2
τ1 + τ2
= −10 2
3
= −6.67
Dado o sistema em questa˜o, os valores ficam
K <
τ1 + τ2
τ1τ2
K <
1 + 2
2
K < 1.5
Este valor quer dizer que para ganhos menores que 1.5, o sistema tera´ comportamento esta´vel,
ao passo que para ganhos maiores que 1.5 ele tera´ comportamento insta´vel. No exato valor de 1.5,
ele assume comportamento marginalmente esta´vel.
Engenharia Ele´trica 11 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Figura 8 – Zoom para o Contorno para um sistema tipo 1 de treˆs polos.
Gra´fico para K = 1.3.
Figura 9 – Resposta ao degrau em malha fechada para um ganho K =
1.3.
Engenharia Ele´trica 12 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
6. Estabilidade pelo Crite´rio de Routh-Hurwitz.
Dado que o crite´rio de RH e´ aplicado a` equac¸a˜o caracter´ıstica da func¸a˜o de malha fechada,
tem-se
F (s) = 1 + L(s) = 1 +
K
2s3 + 3s2 + s
=
2s3 + 3s2 + s+K
2s3 + 3s2 + s
= 0
2s3 + 3s2 + s+K = 0
Tabela 2 – Tabela de Routh-Hurwitz
s3 2 1 0
s2 3 K 0
s1 3−2K2 = 3/2−K 0
s0 K
Pelo Crite´rio de Routh-Hurwitz 3/2−K > 0 e K > 0, portanto, 0 < K < 1.5.
7. Comparac¸a˜o entre crite´rios.
Veˆ-se que ambos os crite´rios foram capazes de estabelecer as condic¸o˜es e o comportamento
do sistema, entretanto, ambos o fizeram por processos diferentes. Enquanto o crite´rio de Routh-
Hurwitz utiliza a equac¸a˜o caracter´ıstica da func¸a˜o de transfereˆncia de malha fechada (1 + L(s)),
o crite´rio de Nyquist toma como partida apenas a equac¸a˜o de malha aberta L(s). Esta e´ uma
diferenc¸a que pode ser fundamental na analise de certos tipos de sistemas que possuem uma malha
mais elaborada. Ale´m disso, o crite´rio de Nyquist consegue informar o projetista de outros dados
importantes do sistema, o que na˜o e´ poss´ıvel pelo RH. Por outro lado, ele pode ser mais trabalhoso
se o projetista na˜o possui a` ma˜o recursos computacionais para a ana´lise.
Engenharia Ele´trica 13 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
6 APLICAC¸A˜O A UM SISTEMA EM ESPAC¸O DE ESTADOS
A func¸a˜o de transfereˆncia em malha aberta de um sistema pode ser representada por
x˙(t) =
0 1
0 −1
x(t) +
0
1
u(t)
y(t) =
[
10 0
]
x(t)
O diagrama do sistema pode ser constru´ıdo da forma como segue.
K G(s)
1
X(s) Y (s)
−
Figura 10 – Diagrama para o sistema dado.
1. Obtenc¸a˜o da func¸a˜o de transfereˆncia do processo.
Dado que o sistema esta´ na forma canoˆnica controla´vel, pode-se encontrar a sua func¸a˜o de
transfereˆncia diretamente pela relac¸a˜o
L(s) =
b1s
n−1 + b2sn−2 + ...+ bn
sn + a1sn−1 + a2sn−2 + ...+ an
onde tem-se que que n e´ a dimensa˜o da matriz e que
x˙(t) =
 0 1
−a2 −a1
x(t) +
0
1
u(t)
y(t) =
[
b2 b1
]
x(t)
Portanto, chega-se a` seguinte func¸a˜o de transfereˆncia
L(s) =
10
s2 + s
Engenharia Ele´trica 14 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
ou
L(s) =
10
s(s+ 1)
Sendo assim, nota-se a existeˆncia de um polo em 0 e um polo em -1.
2. Obtenc¸a˜o anal´ıtica.
A seguir e´ mostrado analiticamente o diagrama de Nyquist para um ganho k = 10. Com este
valor de ganho a func¸a˜o de transfereˆncia em malha aberta sera´
L(s) =
100
s(s+ 1)
Figura 11 – Diagrama de Nyquist para malha aberta L(s).
Engenharia Ele´trica 15 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
3. Plotagem do diagrama no Matlab.
Figura 12 – Zoom para o Contorno para um sistema tipo 1 de treˆs polos.
Gra´fico para K = 1.3.
4. Discussa˜o
O contorno no plano na˜o da´ nenhuma volta em torno do ponto -1, portanto, como se sabe que
a func¸a˜o na˜o possui zeros e que N = P − Z, enta˜o a func¸a˜o e´ esta´vel, o que pode ser observado na
resposta ao degrau plotada no pro´ximo item.
Engenharia Ele´trica 16 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
5. Resposta ao degrau
Figura 13 – Resposta ao degrau em malha fechada para o dado sistema
de ganho K = 10.
6. Limite de K para que o sistema seja esta´vel
Como e´ poss´ıvel observar no item 3, da plotagem do diagrama de Nyquist, o sistema e´ esta´vel
para todos os valores de K maiores que 0, pois na˜o ha´ valor de K que fac¸a com que o ponto (-1,0)
seja envolvido pelo contorno Γ.
7. Estabilidade atrave´s do crite´rio de Routh-Hurwitz.
A equac¸a˜o caracter´ıstica do sistema e´
∆(S) = s2 + s+ 100K
com isso montamos a tabela de Routh-Hurwitz.
Engenharia Ele´trica 17 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Tabela 3 – Tabela de Routh-Hurwitz
s2 1 100 K
s1 1 0
s0 b1 = 100K 0
O crite´rio de Routh-Hurwitz declara que o nu´mero de ra´ızes de ∆(s) com parte positiva e´ igual
ao nu´mero de trocas de sinal na primeira coluna da tabela. Portanto, para que o sistema seja esta´vel
basta que K tenha um valor maior que zero.
8. Comparac¸a˜o de resultados entre os itens 6 e 7.
O resultado obtido em ambos os itens foi ideˆntico, ou seja, o sistema e´ esta´vel para todos os
valores de ganho K maiores que zero.
7 CONCLUSA˜O
Apo´s ja´ temos estudado alguns me´todos para ana´lise de func¸o˜es de transfereˆncia de malha aberta
e fechada,tais como o crite´rio de Houth-Hurwitz e o lugar geome´trico das ra´ızes, pudemos ver neste
trabalho o funcionamento do crite´rio de Nyquist, com foco na ana´lise de estabilidade dos exemplos.
Os resultados obtidos sa˜o consistentes e satisfato´rios, pois, tanto atrave´s do crite´rio de Nyquist
quanto pelo crite´rio de Houth-Hurwitz chega-se a uma mesma conclusa˜o sobre a estabilidade dos sistemas.
Um ponto importante e´ que o crite´rio de Nyquist faz uso da func¸a˜o em malha aberta do sistema, enquanto
o crite´rio de Houth-Hurwitz trabalha com a equac¸a˜o caracter´ıstica do sistema, que proveˆm da func¸a˜o de
transfereˆncia em malha fechada. Ou seja, o projetista tera´ dois artif´ıcios para analisar um dado sistema,
pore´m qual escolher? A resposta dependera´ dos dados dispon´ıveis, dos recursos computacionais e de qual
a informac¸a˜o o projetista deseja extrair do sistema.
Foi visto tambe´m que uma simples ferramenta, pode ser fundamental para validac¸a˜o das ana´lises
obtidas. Basta se aplicar uma entrada degrau ao sistema. Monitorando sua sa´ıda pode-se confirmar ou
na˜o o resultado obtido anteriormente pelos crite´rios de estabilidade.
Apo´s todas essas ana´lises, equac¸o˜es, gra´ficos e simulac¸o˜es, e´ sa´bio dizer que, para se projetar e/ou
analisar um sistema de controle, o projetista deve ter um bom conhecimento sobre as te´cnicas utilizadas
neste trabalho, pois, sem elas, a probabilidade de se fracassar num projeto e´ consideravelmente grande.
Engenharia Ele´trica 18 Analise de Resposta em Frequeˆncia
Analise de Resposta em Frequeˆncia UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Refereˆncias
[1] DORF, R. C; e BISHOP, R. H. (2009). Sistemas de Controle Modernos, 11a edic¸a˜o, LTC.
[2] OGATA, K. (2010). Engenharia de Controle Moderno, 5a Edic¸a˜o, Pearson Prentice-Hall.
Engenharia Ele´trica 19 Analise de Resposta em Frequeˆncia
	INTRODUÇÃO
	OBJETIVO
	CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST
	Teorema do Contorno de Cauchy
	APLICAÇÃO A UM SISTEMA DE TIPO 0 DE DOIS POLOS
	APLICAÇÃO A UM SISTEMA DE TIPO 1 DE 3 POLOS
	APLICAÇÃO A UM SISTEMA EM ESPAÇO DE ESTADOS
	CONCLUSÃO