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Primeira Prova de Geometria Anal´ıtica, Turma E
Profa Cla´udia Buttarello Gentile Moussa
7 de maio de 2017
1. (2.4) As matrizes abaixo sa˜o matrizes ampliadas de sistemas lineares. Em cada item,
classifique o sistema como poss´ıvel ou na˜o, determinado ou na˜o.No caso de poss´ıvel
exiba formalmente a soluc¸a˜o. No caso de indeterminado deˆ o grau de liberdade.
[S1]
[
1 1 0 2 : −1
0 0 0 2 : −2
]
Resoluc¸a˜o:{
1x +1y +0z +2w = −1
0x +0y +0z +2w = −2 ⇒
{
x = −1− 2w − y
w = −1
⇒ x = −1− 2(−1)− y = 1− y
Trata-se de um sistema com duas equac¸o˜es e 4 varia´veis, posto 2, nulidade 2,
poss´ıvel indeterminado com grau de liberdade 2.
Conjunto soluc¸a˜o: S = {(1− α, α, β,−1);α, β ∈ R}
[S2]

1 0 1 2 : −1
0 1 −2 2 : −2
0 0 1 −2 : 0
0 0 0 1 : −3

Resoluc¸a˜o:
1 0 1 2 : −1
0 1 −2 2 : −2
0 0 1 −2 : 0
0 0 0 1 : −3
 L1−L3≡

1 0 0 4 : −1
0 1 −2 2 : −2
0 0 1 −2 : 0
0 0 0 1 : −3
 L2+2L3≡

1 0 0 4 : −1
0 1 0 4 : −2
0 0 1 −2 : 0
0 0 0 1 : −3

L1−4L4≡

1 0 0 0 : 11
0 1 0 4 : −2
0 0 1 −2 : 0
0 0 0 1 : −3
 L2−4L4≡

1 0 0 0 : 11
0 1 0 0 : 10
0 0 1 −2 : 0
0 0 0 1 : −3
 L3+2L4≡

1 0 0 0 : 11
0 1 0 0 : 10
0 0 1 0 : 6
0 0 0 1 : −3


1x +0y +0z +0w = 11
0x +1y +0z +0w = 10
0x +0y +1z +0w = 6
0x +0y +0z +1w = −3
Trata-se de um sistema com quatro equac¸o˜es e 4 varia´veis, com posto 4, nulidade
0, poss´ıvel determinado
Conjunto soluc¸a˜o: S = {(11, 10, 6,−3)}
[S3]
 1 0 0 : −10 1 2 : −2
0 2 4 : 0

Resoluc¸a˜o:
2
 1 0 0 : −10 1 2 : −2
0 2 4 : 0
 L3−2L2≡
 1 0 0 : −10 1 2 : −2
0 0 0 : 4

Trata-se de um sistema com tres equac¸o˜es e tres inco´gnitas. Como o posto da
matriz ampliada e´ 3, diferente do posto da matriz dos coeficientes, que e´ 2, o
sistema e´ imposs´ıvel.
2. (2.6) Justifique as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Um conjunto com dois vetores e´ LD se e somente se estes vetores forem paralelos;
Resoluc¸a˜o:
Um conjunto {~u,~v} e´ LD se e somente existirem escalares na˜o todos nulos α e β
tais que
α~u+ β~v = ~0.
Se α 6= 0 enta˜o
~u = −β
α
~v.
Se β 6= 0 enta˜o
~v = −α
β
~u.
Em qualquer caso um dos vetores e´ mu´ltiplo do outro. Logo, sa˜o paralelos.
(b) Qualquer conjunto com 3 ou mais vetores no R2 e´ LD.
Resoluc¸a˜o: Considere tres vetores do R2 :
(a) ~v1 = (a1, b1)
(b) ~v2 = (a2, b2)
(c) ~v3 = (a3, b3)
Observe que sempre e´ poss´ıvel escrever o vetor nulo como combinac¸a˜o linear na˜o trivial
destes tres vetores, ja´ que a igualdade:
α~v1 + β~v2 + γ~v3 = ~0
e´ equivalente ao sistema homogeˆneo{
a1α +a2β +a3γ = 0
b1α +b2β +b3γ = 0
Como este sistema e´ homogeˆneo, ele e´ poss´ıvel. Como tem apenas duas equac¸o˜es e tres
inco´gnitas, seguramente ele e´ indeterminado. Ou seja, possui soluc¸o˜es na˜o triviais.
Em outras palavras, existem escalares α, β e γ na˜o todos nulos satisfazendo
α~v1 + β~v2 + γ~v3 = ~0.
Desta forma conclu´ımos que qualquer conjunto com tres vetores no R2 e´ linearmente
dependente. Se um conjunto tiver mais do que tres vetores sera´ LD pois todo conjunto
que conte´m um conjunto LD e´ tambe´m LD.
3
3. (2.4) Os conjuntos abaixo sa˜o LI ou LD? JUSTIFIQUE.
(a) {(1, 1, 1), (2, 1, 3), (−1, 0,−2)}
Resoluc¸a˜o:
(1, 1, 1) = (2, 1, 3) + (−1, 0,−2)
logo o conjunto e´ LD, ja´ que um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
(b) {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 3, 2)} Resoluc¸a˜o:
O conjunto e´ LD, pois todo conjunto que conte´m o vetor nulo e´ LD
(c)
{
(1, 1, 1), (2, 2, 2),
(−13, 2, 7217)}
Resoluc¸a˜o:
O conjunto e´ LD, pois 2(1, 1, 1) = (2, 2, 2), portanto {(1, 1, 1), (2, 2, 2)} e´ LD, e
todo conjunto que conte´m um conjunto LD e´ tambe´m LD
(d) {(1, 1, 0), (2, 0, 3), (0, 0,−2)} Resoluc¸a˜o: Observe que
det
 1 2 01 0 0
0 3 −2
 = 0 + 0 + 0− 0− 0− (−4) = 4 6= 0
Logo, esta matriz e´ invers´ıvel, portanto, um sistema cuja matriz dos coeficientes
seja esta sera´ poss´ıvel determinado. Sendo homogeˆneo, so´ tera´ a soluc¸a˜o trivial.
Portanto, a u´nica forma de escrever o vetor nulo como combinac¸a˜o linear dos
vetores {(1, 1, 0), (2, 0, 3), (0, 0,−2)} e´ a trivial, com todos os escalares iguais a
zero, pois
α(1, 1, 0) + β(2, 0, 3) + γ(0, 0,−2) = (0, 0, 0)
se e somente se  1 2 01 0 0
0 3 −2
 αβ
γ
 =
 00
0

4. (2,6) Considere os vetores ~u = (1, 2), e ~v = (1,−1), e seja A = (2, 1), B = A + ~u,
C = A+ ~v.
(a) Determine as coordenadas do ponto D, tal que ABCD seja um paralelelogramo;
Na figura abaixo esta˜o representados, a partir da origem, os vetores ~u e ~v. O ponto
D deve ser escolhido de tal forma que
−−→
AB =
−−→
CD = −→u
−→
AC =
−−→
BD = −→v
Observe que ja´ temos
B = A+−→u = (2, 1) + (1, 2) = (3, 3)
C = A+−→v = (2, 1) + (1,−1) = (3, 0)
Assim, basta escolhermos:
D = B +−→v = (3, 3, ) + (1,−1) = (4, 2)
4
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(b) Use a´lgebra vetorial para mostrar que
−−→
AD +
−−→
BC = 2
−→
AC.
Resoluc¸a˜o:
Note que
−−→
AD =
−−→
AB +
−−→
BD =
−−→
AB +
−→
AC
e −−→
BC =
−−→
BA+
−→
AC = −−−→AB +−→AC
Logo −−→
AD +
−−→
BC =
−−→
AB +
−→
AC −−−→AB +−→AC = 2−→AC
(fac¸a um desenho que demonstre tambe´m seu racioc´ınio!).