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Análise incremental aplicada à TIR 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
3 Análise incremental 
3.0 Divergência entre TIR e VPL 
É útil procurar compreender porque a TIR, mesmo em sua versão modificada, não é um 
indicador adequado para comparar o desempenho financeiro de dois ou mais projetos. 
Seja tomado um exemplo simples. Há dois projetos de investimento disponíveis, ambos 
com duração de apenas um período. O projeto A proporciona receita 1,1C um período à 
frente a partir de um investimento C. Já o projeto B proporciona receita 10,5C a partir 
de um investimento 10C. Com estes dados, pode-se calcular a TIR dos projetos como 
segue. TIR(A) 	= ݅஺∗: 1,1ܥ(1 + ݅஺∗) − ܥ = 0 → ݅஺∗ = 1,1ܥܥ − 1 = 0,1 TIR(B) 	= ݅஻∗ : 10,5ܥ(1 + ݅஻∗) − 10ܥ = 0 → ݅஻∗ = 10,5ܥ10ܥ − 1 = 11ܥ10ܥ − 0,5ܥ10ܥ − 1 = ݅஺∗ − 0,05= 0,05 
Se fosse aplicado o critério de selecionar o projeto com maior TIR, o qual parece 
intuitivo, o projeto A seria selecionado. Porém, tal critério ignora o fato de que o capital 
inicial a partir do qual a TIR é gerada é maior no projeto B, ou seja, a TIR incide sobre 
uma maior base no projeto B. Se a magnitude em que esta base é maior for suficiente 
para compensar a menor TIR, o projeto B gera um maior montante. O que é equivalente 
a afirmar que o projeto B gera um maior retorno financeiro absoluto ou lucro. Esta 
possibilidade é ignorada pela TIR, a qual é uma medida para o retorno econômico 
percentual ou rentabilidade. É exatamente por isso que o critério de maior VPL pode 
levar a uma decisão de investimento diferente daquela apontada pelo critério de maior 
TIR. 
Uma maneira simples de compreender porque tal divergência é possível consiste em 
calcular o VPL para o exemplo acima. Para isso, o capital inicial requerido pelo projeto 
A será denotado por CA. A receita proporcionada pelo projeto A um passo à frente será 
denotada por RA e escrita como RA = (1+݅஺∗) RA. Já, para o projeto B, temos RB = (1+݅஻∗ ) 
CB. Esta notação torna explícito que a receita é determinada por dois fatores, o retorno 
percentual implícito, a TIR, e o valor do investimento inicial. A contribuição deste 
último elemento para o retorno econômico é desconsiderada pela TIR mas não pelo 
VPL. Os VPLs abaixo deixam isso claro, em que “i” representa a taxa de juro de 
mercado ou TMAR. 
2 
 
VPL(A) = ܴ஺(1 + ݅)− ܥ஺ = (1 + ݅஺∗)ܥ஺(1 + ݅) − ܥ஺ = ቆ(1 + ݅஺∗)(1 + ݅) − 1ቇܥ஺ 
⟶ VPL(A) = ݂(݅஺∗ , ݅,ܥ஺) 
Analogamente, 
VPL(B) = ቆ(1 + ݅஻∗ )(1 + ݅) − 1ቇܥ஻ ⟶ VPL(B) = ݂(݅஻∗ , ݅,ܥ஻) 
Fica nítido, pois, que o VPL de um projeto é uma função crescente da TIR e do capital 
inicial. Desta maneira, pois, se CB for grande o bastante para compensar o menor valor 
de ݅஻∗ , é possível ter um maior VPL para o projeto B. Os critérios se mostrariam, pois, 
divergentes. 
No exemplo simples apresentado, em que há apenas um período, a divergência decorre 
da discrepância dos projetos em função do capital inicial. Porém, em projetos com mais 
períodos, a divergência em questão pode ser imposta também (ou exclusivamente) por 
discrepâncias referentes às receitas líquidas. 
Conforme já dito anteriormente, há uma razão conceitual para a possibilidade de 
divergência entre os critérios de maior TIR e maior VPL. Os dois indicadores são 
medidas para aspectos distintos da performance financeira de um projeto. A TIR mede a 
rentabilidade, enquanto o VPL mede a massa de lucro ou lucro absoluto. Esta última 
medida é mais correta pois o objetivo do investidor é maximizar lucro e não 
rentabilidade. Conforme dito em Newnan et al (2004), o objetivo geralmente é 
maximizar o retorno e não a taxa de retorno. 
Deve-se assinalar que a TIRM está sujeita às mesmas limitações da TIR discutidas nos 
parágrafos anteriores, exatamente porque do fato de que ambas são taxas e não medidas 
absolutas. 
É, porém, possível calcular a TIR de maneira a garantir que ela sempre aponte para o 
projeto que renderá maior ampliação da capacidade de investimento. Isso é, é possível 
eliminar a possibilidade de que o critério de maior TIR divirja do critério de maior VLP. 
É o que a análise incremental de um investimento proporciona. 
3.1 Intuição para a análise incremental 
É incorreto utilizar o “critério” de maior TIR para selecionar um dentre pelo menos dois 
projetos de investimento. Contudo, há um procedimento que habilita a TIR a ser 
utilizada para selecionar dentre dois ou mais projetos, denominado por “análise 
incremental”. Conforme definido por Newnan et al (cap.81) trata-se da “análise das 
diferenças entre alternativas”. O termo “incremental” é, portanto, utilizado como 
sinônimo de “diferença”. Como afirmam os autores, a ideia é básica é determinar se “os 
 
1 É recomendada a leitura deste capítulo aos interessados em análise incremental, especialmente por 
conta da análise gráfica bastante esclarecedora. 
3 
 
custos diferenciais são ou não justificados pelos benefícios diferenciais.” E é 
esclarecedor tomar a equação básica por eles apresentada: 
Alternativa de maior custo = alternativa de menor custo + diferenças entre as duas 
alternativas. 
Esta equação conceitual é bastante esclarecedora sobre o procedimento de análise 
incremental. Ela é representada graficamente na figura abaixo, em que Ci e Ri são, 
respectivamente, o custo e a receita da i-ésima alternativa. No caso, i =2 é a alternativa 
de maior custo, e também de maior receita. Será que ela vale a pena, comparativamente 
à alternativa 1? 
Figura 1 Diferenças de custo e de receita, alternativas 1 e 2 hipotéticas 
 
A resposta é afirmativa, pois o diferencial de receita é superior ao diferencial de custo, 
conforme se vê na terceira parte do gráfico da esquerda para a direita. Isso quer dizer 
que cada R$1 adicional investido na alternativa 1 proporciona mais de R$1 adicional em 
retorno. O excedente de despesa, portanto, é mais do que compensado pelo excedente de 
receita. De fato, considerando dois projetos genéricos de mesma duração cujos fluxos de 
caixa são {RL1,1,RL1,2,...,RL1,T} e {RL2,1,RL2,2,...,RL2,T}, o fluxo de caixa incremental 
corresponde à série de diferenças instante a instante de receitas líquidas. Contudo, para 
calcular as diferenças deve-se adotar o princípio de subtrair a série do projeto com 
maior custo inicial pela série do outro projeto. 
Assumindo se o projeto 1 o de maior custo, obtém-se {RL1,1- RL2,1, 
RL1,2- RL2,2,...,RL1,T- RL2,T} ≡ fluxo de caixa incremental. É direto perceber que: 
{RL1,1- RL2,1, ,...,RL1,T- RL2,T} = {R1,1-R2,1+D2,1-D1,1..., R1,T-R2,T+D2,T-DT,1} 
O que significaria o fato de o VPL do fluxo incremental ser positivo? Significaria que o 
valor presente dos excedentes de receita proporcionados pelo projeto 1 seria superior ao 
valor presente dos excedentes de despesa exigidos pelo projeto 2. Ou seja, a soma 
adicional investida no projeto 2 seria mais do que compensada e, portanto, o projeto 2 
vale mais a pena do que o 1 (volta-se ao caso da figura anterior). Se o VPL do fluxo de 
$
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
C2 R2 C1 R1 C2-C1 R2 - R1
Alternativa 1 Diferenças: 2 - 1Alternativa 2
4 
 
caixa incremental é positivo, então a TIR referente ao fluxo incremental é superior à 
TMAR. Essa é a essência do critério da TIR incremental. 
3.2 Procedimento 
No que segue, o procedimento de análise incremental para a TIR é descrito para o caso 
de dois ou mais projetos. 
1. Ordenar os projetos em ordem crescente de investimento inicial, C0, (despesa que 
ocorre em t = 0); 
2. Considerar como primeiro par de projetos a ser analisado aquele composto pelo 
investimento financeiro (à TMAR) e pelo projeto de menor C0. 
3. Denominar o investimento financeiro por “defendente” e o projeto de menor C0 por 
“desafiante”; 
4. [Caso estejam sendo comparados projetos que geramreceita (e não apenas despesa) 
] Calcular a TIR para o projeto “desafiante”: 
a. Se TIR < TMAR, o desafiante é eliminado da sequencia ordenada; 
b. Caso contrário, o CSP é eliminado da sequencia ordenada. 
c. Repetir este passo até atingir o primeiro projeto com TIR ≥ TMAR; 
5. Considerar o par de projetos composto pela alternativa não eliminada no passo 
anterior e pelo projeto com C0 imediatamente maior – se estão sendo comparadas 
alternativas que não geram receita, nenhum projeto foi eliminado. Denominar por 
“defendente (def.)” o projeto de menor C0; já o desafiante (des.) é o projeto de maior 
C0. Realizar os passos: 
a. Obter o fluxo de caixa incremental, correspondente à RLdes.(t) – RLdef.(t), 
para todos os períodos “t” de tempo; 
b. Calcular a TIR para o fluxo de caixa incremental, a qual é denominada por 
TIR incremental ou ΔTIR; 
c. Se ΔTIR < TMAR, o desafiante é eliminado da sequencia ordenada; 
d. Caso contrário, o defendente é eliminado da sequencia ordenada. 
6. Repetir passos 5 a 7 até que apenas uma alternativa seja selecionada. Notar que, para 
isso, é preciso avançar em ordem crescente de C0, com pares em que o desafiante 
sempre corresponde ao projeto com C0 imediatamente superior ao desafiante do par 
anterior. 
Nota: caso os projetos em pauta não gerem receita, compreendendo pois alternativas de 
prestação de um mesmo serviço ou desempenho de função produtiva, não é possível 
compará-los com o projeto de investimento financeiro. A razão disso está em que o 
último tem como objetivo a geração de receita, enquanto os projetos em pauta visam a 
prestação de um serviço (não redutível à receita), por exemplo, descarte de resíduos e 
efluentes que ocorrem como subproduto do processo produtivo. Esta é a razão mais 
importante pela qual o estágio de comparação da TIR de tais projetos com a TMAR é 
eliminado. A segunda razão, menos importante, está em que não é possível calcular a 
TIR para fluxos de caixa cujo sinal não mude pelo menos uma vez. 
5 
 
3.3 Exercícios 
1 A empresa Caterpillar considera quatro localizações para instalar uma nova 
fábrica. Conforme se vê na tabela abaixo, tanto o custo de instalação (custo inicial) bem 
como o fluxo de caixa anual líquido variam espacialmente em função de diferenças 
regionais salariais, de custos de transporte, preço do terreno. Assumindo que a empresa 
não se satisfaz com um retorno financeiro inferior a 10%, usa a análise de TIR 
incremental para determinar qual localização é economicamente superior. 
 A B C D 
Taxa de juros (TMAR) 0,1 
Custo inicial 20.000,00 275.000,00 190.000,00 350.000,00 
Fluxo de caixa anual 22.000,00 35.000,00 19.500,00 42.000,00 
Vida útil 30 30 30 30 
 
A resolução pode ser encontrada na planilha “TIR_incremental”. No que segue apenas o 
essencial é comentado. 
Passo 1: ordenação das alternativas em função de C0: C, A, B, D 
Passo 2: análise do primeiro par: CSP vs C 
É preciso elaborar uma tabela com o fluxo de caixa líquido da alternativa C para 30 
anos. E então, utilizar a função TIR(.) do Excel, tendo como argumento o fluxo de caixa 
líquido elaborado. Há dois cuidados a tomar: (i) o custo inicial, C0, deve fazer parte do 
fluxo de caixa líquido, (ii) custos (ou despesas) devem ter sinal negativo no fluxo de 
caixa, o mesmo valendo para fluxos líquidos compostos por receitas inferiores à 
despesas. Os demais fluxos devem ter sinal positivo. 
É obtido um valor 0,091 < TMAR. Logo, a alternativa C é eliminada da sequencia de 
projetos. 
Passo 3: análise do segundo par: CSP vs A 
Com base no fluxo de caixa líquido da alternativa A, a função TIR reporta um valor de 
0,1044 > 0,1. Desta feita, o CSP (defendente) é eliminado e a alternativa A mantida. 
Passo 4: análise do terceiro par: A vs B 
Tendo sido eliminado o CSP, é necessário calcular, a partir de agora, o fluxo de caixa 
incremental, RLdes.(t) – RLdef.(t). No caso, a alternativa A é a defendente e a B a 
desafiante. A TIR incremental é de 0,172 > TMAR e, pois, a alternativa de maior custo 
do par, B, se mostra economicamente justificada. O que é equivalente a eliminar A da 
sequencia. 
Passo 5: análise do quarto par: B vs D 
6 
 
A alternativa B agora é a defendente e D a desafiante. A TIR calculada a partir de 
RLdes.(t) – RLdef.(t), i.e, RLD(t) – RLB(t) é de 0,085 < TMAR. A desafiante não é 
economicamente justificada, sendo, pois eliminada. A alternativa B, conclusivamente, é 
mantida. Ela é a melhor opção do ponto de vista econômico. 
2 Calculando a TIRMI para o exemplo anterior. A tabela duas páginas atrás 
apresenta um fluxo de caixa incremental. Cabe calcular a TIRMI para ele. Para isso, 
será assumida uma taxa de captação de recursos equivalente à taxa de mercado de 10% 
a.a. Para simplificar o fluxo do caixa incremental que é altamente desuniforme, pode-se 
considerar a separação entre fluxos negativos e positivos na tabela abaixo. 
Ano 
 Fluxo de 
caixa 
incremental 
(B - A) 
 Fluxos 
positivos 
 Fluxos 
negativos 
0 - 25.000,00 2.000,00 -27.000,00 
1 2.000,00 2.000,00 0 
2 2.000,00 2.000,00 0 
3 2.000,00 2.000,00 0 
4 2.000,00 2.000,00 0 
5 2.000,00 2.000,00 0 
6 2.000,00 2.000,00 0 
7 2.000,00 2.000,00 0 
8 67.000,00 
65.000,00 + 
2.000 0 
9 2.000,00 2.000,00 0 
10 2.000,00 2.000,00 0 
11 2.000,00 2.000,00 0 
12 - 83.000,00 2.000,00 -85.000,00 
13 2.000,00 2.000,00 0 
14 2.000,00 2.000,00 0 
15 2.000,00 2.000,00 0 
16 67.000,00 
65.000,00 + 
2.000 0 
17 2.000,00 2.000,00 0 
18 2.000,00 2.000,00 0 
19 2.000,00 2.000,00 0 
20 2.000,00 2.000,00 0 
21 2.000,00 2.000,00 0 
22 2.000,00 2.000,00 0 
23 2.000,00 2.000,00 0 
24 7.000,00 
5.000,00 + 
2.000 0 
 
 
7 
 
 
 
Passo 1, cálculo do VP dos fluxos incrementais negativos 
ܸܲ(ܦ) = 27.000 + 85.000(1 + 0,1)ଵଶ = ܴ$	54.083,62	 
Passo 2, cálculo do VF dos fluxos incrementais positivos 
ܸܨ(ܴ) = 2.000 + 2.000(1 + 0,1)ଶଷ + ⋯+ 2.000(1 + 0,1)଴ + 65.000(1 + 0,1)ଵ଺+ 65.000(1 + 0,1)଼ + 5.000(1 + 0,1)଴ 
= 2.000 + 2.000 (1 + 0,1)ଶସ − 10,1 + 65.000(1 + 0,1)ଵ଺ + 65.000(1 + 0,1)଼+ 5.000(1 + 0,1)଴ = 		622.001,17	 
Passo 3, cálculo da TIRM 
TIRM = (VF/VP)1/T – 1 = (622.001,17 /54.083,62)1/24 – 1 = 0,1071. 
Passo 4, decisão 
Como a TIRMI se mostra superior a TMAR, o projeto B deve ser escolhido. 
2 Blank e Tarquin (2011, 8.24, adaptado) A Hewett Eletronics fabrica transdutores 
de pressão. A empresa precisa escolher entre duas máquinas. Seleciona a mais 
economicamente vantajosa com base na TIRMI, considere uma TMAR de 18% a.a. 
Ano Máquina A Máquina A 
 Fluxo de caixa 
incremental (B - 
A) 
0 - 270.000,00 - 245.000,00 25.000,00 
1 - 135.000,00 - 139.000,00 - 4.000,00 
2 - 135.000,00 - 139.000,00 - 4.000,00 
3 - 135.000,00 - 139.000,00 - 4.000,00 
4 - 135.000,00 - 139.000,00 - 4.000,00 
5 - 135.000,00 - 139.000,00 - 4.000,00 
6 - 60.000,00 - 104.000,00 - 44.000,00 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
R: Deve-se ter em conta a convenção de tomar como o primeiro elemento da subtração 
o fluxo de caixa do projeto com maior custo inicial, a máquina A, no caso. 
Passo 1, fluxo de caixa incremental 
Ano Máquina A Máquina B 
 Fluxo de caixa 
incremental (A- 
B) 
0 - 270.000,00 - 245.000,00 - 25.000,00 
1 - 135.000,00 - 139.000,00 4.000,00 
2 - 135.000,00 - 139.000,00 4.000,00 
3 - 135.000,00 - 139.000,00 4.000,00 
4 - 135.000,00- 139.000,00 4.000,00 
5 - 135.000,00 - 139.000,00 4.000,00 
6 - 60.000,00 - 104.000,00 44.000,00 
 
Passo 2, cálculo do VF dos fluxos incrementais positivos 
ܸܨ(ܴ) = 4.000(1 + 0,18)ଵ + ⋯+ 4.000(1 + 0,18)଺ + 44.000= 4.000 (1 + 0,18)଺ − 10,18 + 40.000 = ܴ$	77.767,87 
O valor presente do único fluxo negativo é exatamente igual ao valor original dele, 
$25.000. 
Passo 3, cálculo da TIRM 
TIRM = (VF/VP)1/T – 1 = (77.767,87 /25.000)1/6 – 1 = 0,2082. 
Passo 4, decisão 
Como a TIRMI se mostra superior à TMAR, a máquina A deve ser escolhida.