4 Função de Transferência

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Função de 
Transferência
Luz Amparo Palacio Santos / UERJ
2
Conteúdo
 Variável desvio
 Função de transferência
 Procedimento
 Propriedades
 Diagrama de blocos
 Linearização
 Procedimento geral
3
Exemplos de 
modelos dinâmicos
 Tanque de nível:
 Processo de mistura:
 Processo térmico
(adiabático):
dh h
A q
dt R
 
A
A Ai
dC
V C q C q
dt
 
i
V dT
T T
q dt
 
4
Variável desvio
     0Y t y t y 
   Y t y t y 
Transformada de Laplace
 Y s
A variável desvio representa quanto a variável principal está afastada do 
seu valor no regime permanente
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Função de Transferência
 Não depende das condições iniciais do sistema
 Descreve características dinâmicas do sistema
 Expressão algébrica que relaciona  entrada e saída
 causa e efeito
 perturbação e resposta
 
 
 
Y s
G s
X s

G(s): Símbolo para a função de transferência
X(s): Transformada da função perturbação em forma de desvio
Y(s): Transformada da função resposta em forma de desvio
6
Procedimento 
Procedimento para desenvolver funções de transferência de 
modelos para controle
Modelo
(equações diferenciais)
Modelo em E.E.
Subtrair 
(Transiente-
Estacionário)
Substituir 
variável 
desvio
Executar 
T. L.
Encontrar F.T. dividindo 
v. saída/v. entrada
Função de 
Transferência
F
u
n
ç
ã
o
 d
e
 T
ra
n
s
fe
rê
n
c
ia
7
Exemplo
Um processo segue o modelo da equação 
diferencial:
2
2
5 8 4 3
d y dy
y x
dtdt
  
Encontre a função de transferência
F
u
n
ç
ã
o
 d
e
 T
ra
n
s
fe
rê
n
c
ia
8
Propriedades
 A ordem do denominador é igual à ordem da equação 
diferencial
 A ordem do numerador é menor que do denominador
 Adição
 Multiplicação para processos sequenciais
F
u
n
ç
ã
o
 d
e
 T
ra
n
s
fe
rê
n
c
ia
     
     
1 1 1
2 2 2
Y s G s X s
Y s G s X s


         3 1 1 2 2Y s G s X s G s X s 
     
     
1 1 1
2 2 1
Y s G s X s
Y s G s Y s


       2 1 2 1Y s G s G s X s
 
 
 
Y s
G s
X s

9
Diagrama de blocos
Representação gráfica da função de 
transferência
G(s)X(s) Y(s)
10
Linearização
Linearização:
       
 
 
 
 
   
2
1
2 1
nx a x a
f x f a x a f ' a f '' a ... f a
! n !
 
     

       
 
 
 
 
   
2
1
2 1
nx a x a
f x f a x a f ' a f '' a ... f a
! n !
 
     

Expansão de Taylor:
       f x f a x a f ' a  
11
       f x f a x a f ' a  
x
f(x)
a a
L
in
e
a
ri
z
a
ç
ã
o Uma variável
Mais variáveis?
A faixa de 
linearidade 
é limitada
12
L
in
e
a
ri
z
a
ç
ã
o
Equação de Taylor linear
 Duas variáveis:
 Três variáveis:
     
 
 
 
a,b a,b
f x, y f x, y
f x, y f a,b x a y b
x y
 
    
 
     
 
 
 
 
 
 
a,b,c a,b,c
a,b,c
f x, y,z f x, y,z
f x, y,z f a,b,c x a y b
x y
f x, y,z
z c
z
 
    
 

 

13
L
in
e
a
ri
z
a
ç
ã
o
     
 
 
 
a,b a,b
f x, y f x, y
f x, y f a,b x a y b
x y
 
    
 
Em controle de processos  Pontos base (a, b, c):
Valores das variáveis no E.E.
     
 
 
 
x ,y x ,y
f x, y f x, y
f x, y f x , y x x y y
x y
 
    
 
14
L
in
e
a
ri
z
a
ç
ã
o
     
 
 
 
 
 
 
a,b,c a,b,c
a,b,c
f x, y,z f x, y,z
f x, y,z f a,b,c x a y b
x y
f x, y,z
z c
z
 
    
 

 

     
 
 
 
 
 
 
x ,y ,z x ,y ,z
x ,y ,z
f x, y,z f x, y,z
f x, y,z f x , y ,z x x y y
x y
f x, y,z
z z
z
 
    
 

 

15
L
in
e
a
ri
z
a
ç
ã
o
     
 
 
 
x ,y x ,y
f x, y f x, y
f x, y f x , y x x y y
x y
 
    
 
Incorporando definição de variável desvio:
 
   
x ,y x ,y
f x, y f x, y
f x, y X Y
x y
 
 
 
 
     
x ,y ,z x ,y ,z x ,y ,z
f x, y,z f x, y,z f x, y,z
f x, y,z X Y Z
x y z
  
  
  
0
16
L
in
e
a
ri
z
a
ç
ã
o
Exemplo
0 vq C h
A um tanque de seção reta uniforme de área A é
alimentado um líquido puro com uma vazão q. Na
tubulação de saída é adaptada uma válvula.
Considere que q0, a vazão volumétrica de saída, se
relaciona com a altura do líquido, h, pela equação:
Determine a função de transferência que relacione a
variação do nível de líquido no tanque com a vazão
de entrada.
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Procedimento geral
Modelo dinâmico
Modelo estacionário
Subtrair as eq. estacionárias das dinâmicas
Substituir com variáveis desvio
Aplicar a T.L.
Eliminar todas as variáveis de saída com exceção da desejada
Eliminar todas as variáveis de entrada com exceção da desejada
Encontrar a função de transferência desejada, dividindo a saída pela entrada
Linearizar as 
equações não 
lineares
G(s)