7 Sistemas de segunda ordem

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SISTEMAS DE 
SEGUNDA ORDEM
Luz A / UERJ
Modelagem e Simulação
2
CONTEÚDO
� Definição
� Função de transferência
� Comportamento da resposta
� Resposta ao degrau
� Resposta superamortecida
� Resposta subamortecida
3
DEFINIÇÃO
Sistema cuja saída é modelada por uma 
equação diferencial de segunda ordem
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 02
d y t dy t
a a a y t bx t c
dt dt
+ + = +
y(t): Variável de saída
x(t): Variável de entrada
a1, a0, b e c: constantes
4
F
u
n
ç
ã
o
 
d
e
 
t
r
a
n
s
f
e
r
ê
n
c
i
a
Procedimento geral para a F. T.
Modelo dinâmico
Modelo estacionário
Subtrair as eq. estacionárias das dinâmicas
Substituir com variáveis desvio
Aplicar a T.L.
Eliminar todas as variáveis de saída com exceção da desejada
Eliminar todas as variáveis de entrada com exceção da desejada
Encontrar a função de transferência desejada, dividindo a saída pela entrada
Linearizar as 
equações não 
lineares
G(s)
Colocar na forma padrão
5
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
d Y t dY t
Y t KX t
dt dt
τ ξτ+ + =
Forma padrão da equação diferencial de segunda ordem:
Y(t): Variável desvio de saída
X(t): Variável desvio de entrada
τ: Tempo característico
ζ: Relação de amortecimento
K: Ganho estacionário
1
0
a
a
τ =
0a
bK =1
0 22
a
a a
ζ =
Forma padrão
F
u
n
ç
ã
o
 
d
e
 
t
r
a
n
s
f
e
r
ê
n
c
i
a
6
( ) 2 2 2 1
KG s
s sτ ζτ= + +
Forma padrão 
da função de 
transferência
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Raízes do polinômio de denominador?
7
COMPORTAMENTO DA 
RESPOSTA
Para: A resposta é:
ζ ≥ 1 Superamortecida = monótona estável
0 < ζ < 1 Subamortecida = oscilatória estável
ζ = 0 Não-amortecida = oscilações sustentadas
-1 < ζ < 0 Instável = oscilações crescentes
ζ ≤ -1 Descontrolada = monótona instável
ζ = 1 Chamado também: Criticamente amortecida = 
monótona estável
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Exemplo
h1(t)
q
R1
h2(t) R2
q1
q2
A1
A2
h1(t)
q
R1
h2(t) R2
q1
q2
A1
A2
Um sistema de nível como o 
esquematizado na figura tem áreas de 
seção reta A1 = 0,3 m2 e A2 =0,4 m2. As 
resistências são R1 = 0,2 e R2 = 0,4. q é
a vazão volumétrica de entrada ao 
primeiro tanque (m3/min) e h2 é o nível de líquido (m) no segundo tanque. 
Considere que o líquido tem massa 
específica constante, as seções retas 
dos tanques uniformes e as resistências 
ao fluxo, lineares.
a) Encontre a função de transferência que relacione a altura de 
líquido do segundo tanque (h2) com a vazão de entrada (q). 
b) Analise a resposta qualitativa, supondo Q(s) = 1.
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Resposta a sistemas de 
segunda ordem
Perturbação ( )sX
Combinar ( ) ( )2 2 2 1
KY s X s
s sτ ζτ= + +
Transformada de 
Laplace inversa ( )tY
Modelagem
Simulação
Função de 
transferência ( ) 2 2 2 1
KG s
s sτ ζτ= + +
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
10
RESPOSTA AO DEGRAU
( )
s
M
sX = (1)
(2)
(1) em (2): ( ) 2 2 2 1
K MY s
s s sτ ζτ= + +
Função degrau: ( )



≥
<
=
0
00
tM
t
tX
( ) 2 2 2 1
KG s
s sτ ζτ= + +
Pode ser 
representado 
como dois
sistemas 
em série de 
primeira 
ordem
11
Resposta 
superamortecida
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
ζ > 1 2 2 2 1s sτ ζτ+ + Raízes
2 2
1 22 1 ( 1)( 1)s s s sτ ζτ τ τ+ + = + +
τ1, τ2 : Constantes de tempo efetivo
1 2 1
τ
τ ζ ζ= − − 2 2 1
τ
τ ζ ζ= + −
2
1,2
1
s
ζ ζ
τ
− ± −
= Raízes reais
12
Resposta 
superamortecida
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
( )
1 2( 1)( 1)
KMY s
s s sτ τ
=
+ +
Usando a tabela de T. L. (entrada 20): 
( ) 1 21 2
2 1
11
t t
Y t KM e eτ ττ τ
τ τ
− −  
 = + − 
  
−   
τ1 ≠ τ2
Se τ1 = τ2 ? Raízes reais repetidas
ζ = 1
13
Resposta 
superamortecida
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
ζ = 1 2 2 2 1s sτ ζτ+ + Raízes
2
1,2
1
s
ζ ζ
τ
− ± −
=
1,2
1
s
τ
−
= Raízes reais repetidas
( ) 2( 1)
KMY s
s sτ
=
+
( ) 1 1
ttY t KM e τ
τ
−  
= − +  
  
Gráfico?τ1 = τ2 = τ
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Resposta 
superamortecida
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
� O novo estado estacionário é atingindo mais tarde que 
nos sistemas de primeira ordem
� Respostas em forma de S são características de muitos 
processos
( ) 1 1
ttY t KM e τ
τ
−  
= − +  
  
ζ = 1
( ) 1 21 2
2 1
11
t t
Y t KM e eτ ττ τ
τ τ
− −  
 = + − 
  
−   
ζ > 1
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Resposta 
subamortecida
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
0 < ζ < 1 2 2 2 1s sτ ζτ+ + Raízes
2
1,2
1
s
ζ ζ
τ
− ± −
= Raízes complexas
( ) ( )
2
11
1
t
Y t KM e sen t
ζ
τ ψ φζ
− 
 = − +
 
− 
21 ζψ
τ
−
= Frequência (rad/tempo)
2
1 1tg ζφ ζ
−
−
= Ângulo de fase (rad)
Gráfico?
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Resposta 
subamortecida
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
� O novo estado estacionário é atingindo mais tarde que 
nos sistemas de primeira ordem
� Oscila entorno de seu estado estacionário final
( ) ( )
2
11
1
t
Y t KM e sen t
ζ
τ ψ φζ
− 
 = − +
 
− 
0 < ζ < 1
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Resposta 
subamortecida
R
e
s
p
o
s
t
a
 
a
o
 
d
e
g
r
a
u
� T: Período
� C/B: Proporção de declínio
� tR: Tempo de elevação
T
B C
tR ts
ts: Tempo de sedimentação
B/A: Excesso
A
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Exemplo
h1(t)
q
R1
h2(t) R2
q1
q2
A1
A2
h1(t)
q
R1
h2(t) R2
q1
q2
A1
A2
Um sistema de nível como o 
esquematizado na figura tem áreas de 
seção reta A1 = 0,3 m2 e A2 =0,4 m2. As 
resistências são R1 = 0,2 e R2 = 0,4. q é
a vazão volumétrica de entrada ao 
primeiro tanque (m3/min) e h2 é o nível de líquido (m) no segundo tanque. 
Considere que o líquido tem massa 
específica constante, as seções retas 
dos tanques uniformes e as resistências 
ao fluxo, lineares.
a) Se a vazão de entrada aumenta de 6 para 6,5 m3/min, conforme 
uma função degrau, calcule o nível dois segundos após ocorrer a 
variação da vazão.
b) Qual será o tempo necessário para chegar ao novo estado 
estacionário?
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Exemplo
Dispõe-se de um reator de tanque agitado com serpentina 
interna para resfriamento. Tem-se observado que quando há
uma mudança na vazão de entrada ao reator ou na 
temperatura do fluido de resfriamento a temperatura do reator 
tem uma resposta típica de segunda ordem subamortecida
a) A vazão de entrada muda subitamente de 0,4 a 0,5 kg/s, 
e a temperatura do reator que estava em 100 ºC muda 
eventualmente para 102 ºC. Qual é o ganho da função 
de transferência que relaciona a temperatura do reator 
com a vazão de entrada? 
b) O operador nota que a resposta é oscilatória, com 
máximos de 102,5 e 102,1 ºC, acontecendo a 1000 e 
3060 s após a perturbação. Qual é a função de 
transferência do processo?
c) O operador esqueceu anotar o tempo de ascensão. 
Prediga esse tempo baseado nos resultados de a) e b)