Cálculo 1 4° Lista exercício

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Lista de Exercícios IV - Cálculo I
Prof. Michel Barros Silva - UFCG/CCTA/UACTA
1. Use a derivação implícita para determinar y′.
a)x2y + xy2 = 6 b)2xy + y2 = x+ y c)x3 − xy + y3 = 1
d)x2(x− y)2 = x2 − y2 e)y2 = x−1
x+1
f)x = tg y
g)x+ sen y = xy
2. Determine a derivada das funções abaixo.
a)f(x) = 2ex b)f(x) = ex+
√
2 c)f(x) = e−
3
2
x
d)f(x) = e−5x e)f(x) = e
2
3
x f)f(x) = e−
x
4
g)f(x) = xex − ex
3. Determine a derivada das funções abaixo.
a)f(x) = ln(x2) b)f(x) = (ln x)2 c)f(x) = ln
(
1
x
)
d)f(x) = ln
(
10
x
)
e)f(x) = ln(x+ 2) f)f(x) = ln(2x+ 2)
g)f(x) = ln(2− cos x) h)f(x) = ln(x2 + 1)
4. Determine os extremos globais das funções nos intervalos dados.
a)f(x) = 4− 3x, [−1, 2] b)f(x) = x2 − 2x+ 4, [−1, 2] c)f(x) = x2 − 6x+ 9, [0, 5]
d)f(x) = 4− x2, [−3, 1] e)f(x) = 2
3
x− 5, [−2, 3] g)f(x) = 2x2 − 8x+ 9, [0, 3]
5. Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
a)f(x) = x2 − x− 1 b)f(x) = −2x3 + 6x2 − 3
c)f(x) = 2x4 − 4x2 + 1 d)f(x) = x2 − 4x− 1
e)f(x) = x3 − x2 − x f)f(x) = x3 − 9x2 + 15x− 5
g)f(x) = 1
4
x4 − x3 + 2 h)f(x) = 2x3 − 9x2 + 2
i)f(x) = x3 − 12x2
j)f(x) = x
5
5
− 5x3
3
+ 4x+ 1 (Usex2 = y na derivada de f)
6. Determine os intervalos onde a função tem concavidade para cima, onde tem
concavidade para baixo, seus pontos de inflexão e esboçe o gráfico.
1
2
a)f(x) = x3 + 9x b)f(x) = x3 − 3x2 + 7x− 3
c)f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 d)f(x) = x4 − 8x3
e)f(x) = x4 − 2x3 f)f(x) = (x− 1)3
g)f(x) = (x+ 2)3
7. Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão com uma velocidade
inicial de 64 m/s. Se o sentido positivo de distância do ponto de partida for pra
cima, a equação do movimento será
f(t) = −16t2 + 64t
(a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 1s. A bola esta subindo ou
descendo?
(b) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 3s. A bola esta subindo ou
descendo?
8. No instante t, a posição de um corpo que se desloca ao longo do eixo é dado por
f(t) = t3 − 6t2 + 9t m.
(a) Determine a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
(b) Determine o módulo da velocidade do corpo toda vez que a aceleração for
nula.
(c) Determine a distância total percorrida pelo corpo de t = 0 a t = 2
9. Uma pedra atirada verticalmente para cima na superfície da Lua com velocidade
de 24m/s atinge uma altura de f(t) = 24t− 0, 8t2 metros em t segundos.
(a) Determine a velocidade e a aceleração da pedra em qualquer instante t.
(b) Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto?
(c) Qual a altura atingida pela pedra?
3
Gabarito
1.
a)y′ = −2xy−y
2
x2+2xy
b)y′ = 1−2y
2x+2y−1
c)y′ = y−3x
2
−x+3y2 d)y
′ = 2x−2xy
2+6x2y−4x3
−2x3+2x2y+2y
e)y′ = 1
y(x+1)2
f)y′ = 1
sec2y
g)y′ = y−1
cos y−x
2.
a)f ′(x) = 2ex b)f ′(x) = ex+
√
2 c)f ′(x) = −3
2
e−
3
2
x
d)f ′(x) = −5e−5x e)f ′(x) = 2
3
e
2
3
x f)f ′(x) = −1
4
e−
x
4
g)f ′(x) = xex
3.
a)f ′(x) = 2
x
b)f ′(x) = 2ln x
x
c)f ′(x) = − 1
x
d)f ′(x) = − 1
x
e)f ′(x) = 1
x+2
f)f ′(x) = 1
x+1
g)f ′(x) = sen x
2−cos x h)f
′(x) = 2x
x2+1
4.
a)max:7, e min: :-2 b)max: 7 e min: 3 c)max: 0 e min: 9
d)max: 4 e min: − 5 e)max: − 3 e min: − 19
3
f)max: 1 e min: 9
5.
(a) crescente:(1
2
,∞), descente:(−∞, 1
2
)
(b) crescente:(0, 2), descente:(−∞, 0) e (2,∞)
(c) crescente:(−1, 0) e (1,∞), descente:(−∞,−1) e (0, 1)
(d) crescente:(2,∞), decrescente:(−∞, 2)
(e) crescente:(−∞,−1
3
) e (1,∞), decrescente:(−1
3
, 1)
(f) crescente:(−∞, 1) e (5,∞), decrescente:(1, 5)
(g) crescente:(3,∞), decrescente:(−∞, 3)
(h) crescente:(−∞, 0) e (3,∞), decrescente:(0, 3)
(i) crescente:(−∞, 0) e (8,∞), decrescente:(0, 8)
(j) crescente:(−∞,−2), (−1, 1) e (2,∞), decrescente:(−2,−1) e (1, 2)
6.
4
(a) Ponto de inflexão em: x = 0, côncava para cima (0,∞), côncava para baixo
(−∞, 0)
(b) Ponto de inflexão em: x = 1, côncava para cima (1,∞), côncava para baixo
(−∞, 1)
(c) Ponto de inflexão em: x = −1
2
, côncava para cima (−1
2
,∞), côncava para
baixo (−∞,−1
2
)
(d) Ponto de inflexão em: x = −2 e x = 2, côncava para cima (−∞,−2) e
(2,∞), côncava para baixo (−2, 2)
(e) Ponto de inflexão em: x = 0 e x = 1, côncava para cima (−∞, 0) e (1,∞),
côncava para baixo (0, 1)
(f) Ponto de inflexão em: x = 1, côncava para cima (1,∞), côncava para baixo
(−∞, 1)
(g) Ponto de inflexão em: x = −2, côncava para cima (−2,∞), côncava para
baixo (−2,∞)
7.
a)v(1) = 32, subindo b)v(3) = −32, descendo
8.
a)6m/s,−6m/s b)3m/s c)2m
9.
a)v(t) = 24− 1, 6t a(t) = −1, 6 b)15s c)180m