Aula Dinâmica Controle

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Comportamento dinâmico 
de malha de controle de 
realimentação
LUZ AMPARO PALACIO SANTOS
DOPI/UERJ
1
Conteúdo
 Modelo de malha fechada de 
controle 
 Resposta ao sistema de controle em 
malha fechada
 Estabilidade da malha de controle
 Modelos simples com teste em malha 
aberta
2
Mapa conceitual
3
Modelo de malha 
fechada de controle
Modelo: Representação gráfica, equações diferenciais, funções de 
transferência e diagrama de blocos
4
Malha de controle de 
realimentação (“feedback”)
Sensor
Válvula de controle
Controlador
Processo
Dinâmica
Função de 
Transferência
Parâmetros
Projetar sistemas de controle de malha única
5
Exemplo de malha de controle 
de realimentação (“feedback”)
Exemplo: 
Trocador 
de calor
6
Exemplo: Processo térmico
O reservatório com agitação
esboçado na figura é
utilizado para aquecer um
fluido de processo.
O tanque é aquecido
através de condensação de
vapor no interior de uma
serpentina.
Um controlador
proporcional-integral-
derivativo (PID) é utilizado
para controlar a temperatura
no reservatório através da
manipulação da posição da
válvula de vapor.
Obter o diagrama de blocos completo e a função de transferência de 
malha fechada a partir dos seguintes dados do projeto.
7
Exemplo: Processo térmico
 O fluido de processo ( = 68,0 lb/ft3, cp= 0,80 btu/(lb.
oF)) é mantido
no vaso em um volume constante de 120 ft3 e é aquecido através
de uma serpentina de 205 ft de comprimento constituída de tubo
de aço carbono de 4” schedule 40 (diâmetro externo de 4,5”) cuja
massa linear é 10,8 lb/ft de serpentina e a capacidade térmica
específica é 0,12 btu/(lboF). . O aquecimento é feito por vapor
d’água saturado a pressão de 30 psia, cuja entalpia de
vaporização é 966 btu/lb. O coeficiente global de transferência de
calor é 2,1btu/(min.ft2.oF), baseado na área externa da serpentina.
 As condições de projeto são:
 Vazão de líquido de processo = 15 ft3/min, temperatura de entrada
= 100 oF, temperatura de saída = 150 oF ( valor a ser mantido
constante).
 As perturbações são a vazão volumétrica e a temperatura de
entrada.
 O sensor de temperatura tem um range calibrado de 100 oF a 200 oF
e a constante de tempo é 0,75 min. O transmissor é eletrônico e é
expresso em porcentual do span. A válvula de controle é de igual
percentagem com parâmetro de rangeabilidade (a) igual a 50. O
atuador da válvula tem uma constante de tempo de 0,20 min.
8
 Balanço de energia do líquido no reservatório
 Perdas de calor desprezíveis
 Mistura perfeita
 V,  e cp constantes
 Balanço de energia na serpentina
 A dinâmica do vapor é muito rápida
 A capacitância do metal é mais alta que a do vapor e 
é a que pode causar algum atraso
 A temperatura do metal é aproximadamente igual à 
temperatura do vapor.
9Resolução: Processo térmico
Suposições
 Balanço de energia do líquido no reservatório
 Balanço de energia na serpentina
10Resolução: Processo térmico    TTUATTfc
dt
dT
cV sipp    ssM TTUAw
dt
dT
C  
Resolução: Processo térmico
1) Processo:
Gw’
GF’
Gi’
+
+
+
F(s)
qi(s)
W(s)
q(s)
Diagrama de blocos
 
  
 sG
Ksss
sK
s
s
i
c
ci
i
'
11
1
)(
)(



 

q
q     sGKsss
KK
sW
s
w
c
sW '
11)(
)(


 
q  
  
 sG
Ksss
sK
sF
s
F
c
cF '
11
1
)(
)(



 
q
Funções de Transferência
11
Resolução: Processo térmico
2) Malha fechada:
Ksp
GF’(s)
H(s)
-
+
+
F(s) qi(s)
qset(s)
C(s)
Gc(s) Gv(s) Gw’(s)
Gi’(s)
++R(s) E(s) M(s) W(s) q(s)
Diagrama de blocos
)("
)()(')()(1
)('
)(
)(
sG
sHsGsGsG
sG
s
s
i
wvc
i
i


q
q )("
)()(')()(1
)('
)(
)(
sG
sHsGsGsG
sG
sF
s
F
wvc
F 


q )(
)()(')()(1
)(')()(
)(
)(
sG
sHsGsGsG
sGsGsGK
s
s
sp
wvc
wvcsp
set


q
q
Funções de Transferência
12
Resolução: Processo térmico
3) Valores dos parâmetros
Ksp 1 % ST/ºF
KV 1,65 lb/min/%SC
v 0,2 min
KT 1 %ST/ºF
T 0,75 min
KW 1,905 minºF/lb
c 0,524 min
Ki 0,616
KF -2,06 minºF/ft
3
Ks 0,383
 4,93 min
13
Resolução: Processo térmico
Funções de transferência com os parâmetros:
 
     














s
s
Kssss
ss
s
K
sG
D
I
c
D
I
c
sp


1
195,1175,0133,81502,012,0
175,0
1
195,1
)(
14
    
     








s
s
Kssss
sss
sG
D
I
c
F

1
195,1175,0133,81502,012,0
175,012,0154,039,3
)("     
     








s
s
Kssss
sss
sG
D
I
c
i

1
195,1175,0133,81502,012,0
175,012,01524,0
)("
Exemplo
Considere o sistema de controle de 
nível de líquido. 
A vazão volumétrica, q1, é uma variável 
distúrbio. Suponha que:
- A massa específica e a área da 
seção reta do tanque são 
constantes.
- q3 = h/R
- O sensor-transmissor de nível, o 
transdutor I/P e a válvula de controle 
pneumática têm uma dinâmica 
desprezível.
Encontre as funções de transferência 
em relação ao distúrbio e ao set-point.
15
Resolução: Tanque de nível
2) Malha fechada:
Ksp
G1(s)
GT(s)
-
+
+
Q1(s)
Hset(s)
C(s)
Gc(s) Gv(s) G2(s)GIP(s)
+
+R(s) E(s) M(s) P(s) H(s)
Diagrama de blocos
RARKK
s
K
sG
s
K
sG 



  1)( 1)( 212211
)(
)()()()()(1
)(
)(
)(
1
2
1
1
sG
sGsGsGsGsG
sG
sQ
sH
TvIPc



)(
)()()()()(1
)()()()(
)(
)(
2
2
sG
sGsGsGsGsG
sGsGsGsGK
sH
sH
sp
TvIPc
vIPcsp
set



Funções de Transferência
16
Q2(s)
Resposta ao sistema de 
controle em malha 
fechada
17
Resposta da malha fechada
 Vamos considerar o comportamento dinâmico de sistemas 
com controle básico, quando há mudanças no set-point e 
nas variáveis distúrbios.
 O comportamento em malha fechada para mudanças no 
set-point é chamado de problema servo
 O comportamento em malha fechada para mudanças nas 
variáveis distúrbio é chamado de problema regulatório.
 A resposta transiente pode ser determinada de uma forma 
direta se as funções de transferência da malha fechada 
estão disponíveis.
 Erro residual é calculado como: )()(  YYoffset set
18
Resposta da malha fechada
Controle proporcional
Mudanças no set-point
Exemplo:
a) Determine a resposta do problema anterior 
(tanque de nível) com controlador 
proporcional se uma mudança tipo degrau 
ocorre no set-point.
b) Calcule o erro residual.
19
 Mudanças no set-point
Exemplo proposto:
No problema anterior considere que o tanque tem um
diâmetro de 1 m, que a resistência linear é R = 6,37 min/m2 e o
transmissor de nível tem um range de 2 m.
A característica da válvula de controle é de igual
porcentagem, com a = 30. A válvula de controle (AA) recebe
um sinal de 3 a 15 psi. Quando a válvula está completamente
aberta a vazão é 0,2 m3/min. Na condição de operação
nominal, a válvula está aberta até a metade (l=0,5).
Qual é a resposta em malha fechada para uma mudança no
set-point de 0,3 m. Use 3 valores de ganho do controlador, Kc =
4, 8, e 20.
Resposta da malha fechada
Controle proporcional
20
Resposta da malha fechadaControle proporcional
Resolução:
Resposta do nível de líquido à variação no set-point.
H
21
Resposta da malha fechada
Controle proporcional
 Mudanças na variável distúrbio
Exemplo:
a) Determine a resposta do problema de tanque de nível com 
controlador proporcional se uma mudança tipo degrau 
acontece na variável distúrbio.
b) Calcule o erro residual.
Exemplo proposto:
Usando os parâmetros numéricos do exemplo proposto
anterior, calcule a resposta em malha fechada para uma
mudança de 0,5 m3/min na variável distúrbio. Calcule o erro
residual e plote os resultados para Kc = 1, 2, e 5.
22
Resposta da malha fechada
Controle proporcional
 Mudanças na variável distúrbio
H
Resposta de nível de líquido à variação na vazão.
Resolução:
23
Resposta da malha fechada
Controle proporcional-integral
 Mudanças na variável distúrbio
Exemplo:
a) No exemplo anterior de tanque de nível, considere que o
controlador é proporcional-integral (PI). Calcule a resposta
quando a variável distúrbio tem uma mudança do tipo
degrau.
b) Calcule o erro residual.
24
Resposta da malha fechada
Controle proporcional-integral
Resolução:
H H
Efeito dos parâmetros do controlador
25
Resposta da malha fechada
Controle proporcional-integral
 Processo de integração
Exemplo:
Determine a resposta a uma perturbação degrau na variável distúrbio,
q1, do tanque de nível. Considere que o sensor-transmissor e a válvula
têm dinâmica desprezível
26
Resposta da malha fechada no 
estado estacionário
Para sistemas estáveis a relação de estado estacionário entre a 
variação na variável de saída e a variação na variável de entrada 
pode ser obtida aplicando a extensão do teorema do valor final para 
funções de transferência:
O erro residual pode ser determinado sem conhecer a dinâmica do 
sistema.
)0()(lim
0
GsG
X
Y
s




27
Resposta da malha fechada no 
estado estacionário
Exemplo: 
Determinar o erro residual no trocador de calor, considerando um 
controlador proporcional e um proporcional-integral
28
Considerar:
- Variável de entrada: W
- Variável de saída: T0
- Funções de transferência:
 
1

s
K
sG
v
v
v 
  cc KsG 
 
1

s
K
sG ss 
 
1

s
K
sG WW 
 
1

s
K
sH
T
T

qo(s)
q
)()()()(1
)(
)(
)(0
sGsGsGsH
sG
sW
s
Cvs
W


q
)()()()(1
)()()(
)(
)(
0
0
sGsGsGsH
KsGsGsG
s
s
Cvs
spCvs
set 
q
q
29
Estabilidade da malha 
de controle
30
Equação característica da malha
 O denominador da função de transferência da malha 
fechada de uma malha de controle feedback é 
independente da localização da entrada para a malha
Característica da malha
A resposta (estável ou instável, monótona ou oscilatória) depende 
das raízes da equação que é obtida quando o denominador é zero
Equação característica da malha
Exemplo do 
Trocador de 
calor:
0)()()()(1  sGsGsGsH cvs
31
Encontrar as raízes e fatorar
Exemplo: Trocador de calor, 
considerando W(s)=1
Equação característica da malha
an, an-1, ..., a0: Coeficientes 
polinomiais
0
1
1)()()()(1 asasasGsGsGsH
n
n
n
ncvs 

 
)())(()()()()(1 21 nncvs rsrsrsasGsGsGsH  
r1, r2, ..., rn: Raízes da equação 
característica
)())((
numerador) do termos(
 
)(
)()()()(1
)(
)(
21
0
nn
cvs
w
rsrsrsa
sW
sGsGsGsH
sG
s





q
32
Podemos determinar a 
resposta qualitativa de malha
Equação característica da malha
n
n
rs
b
rs
b
rs
b
s





 
2
2
1
1
0 )(q
b1, b2, ..., bn: Constantes 
determinadas pelo 
método de frações 
parciais
)())((
numerador) do termos(
)(
21
0
nn rsrsrsa
s



q
Frações parciais
Transformada de Laplace Inversa
tr
n
trtr nebebebt  21 210 )(q
33
Estabilidade da malha de 
controle
Um sistema linear é dito estável quando uma perturbação limitada
é aplicada na entrada e a resposta do sistema permanece limitada
A maior parte dos processos é estável a malha aberta
O comportamento de uma malha de 
controle feedback é essencialmente 
oscilatório (tentativa e erro)
A estabilidade do processo pode mudar quando ele 
faz parte de uma malha de controle feedback
As oscilações podem aumentar muito, 
resultando em um processo instável.
34
Estabilidade da malha de 
controle
35
Estabilidade da malha de 
controle
Um sistema de controle feedback é estável se e somente se todas as raízes 
da equação característica forem negativas ou tiverem parte real negativa.
Para uma malha de controle feedback ser 
estável, todas as raízes de sua equação 
característica devem cair na metade 
esquerda do plano s, também conhecida 
como plano à esquerda 
Estamos considerando que a perturbação é limitada
Critério de estabilidade:
36
Estabilidade da malha de 
controle
No limite entre a estabilidade e a instabilidade as raízes são números 
puros imaginários
Método da substituição direta:
Nesse ponto a malha é chamada de marginalmente estável
No ponto de estabilidade marginal a equação característica deve ter 
um par de raízes imaginárias:
r1,2 = ±iwU
wc: frequência final  frequência com a qual a malha oscila. 
O ganho do controlador no qual este ponto de estabilidade marginal 
é alcançado é chamado de ganho final (ou ganho último).
Kcu
37
Método da substituição direta
Abaixo desse valor a malha oscila 
com amplitude decrescente
No valor as oscilações são 
constantes
Acima desse valor as oscilações 
aumentam
Ganho final: Kcu
Tu: Período final
U
U
w
T
2

38
Método da substituição direta
Parte real = 0 Parte imaginária = 0
O método da substituição direta consiste na substituição 
de s = iwU na equação característica
Resulta em uma equação complexa que pode ser 
convertida em duas equações simultâneas
39
Método da substituição direta
O diagrama de blocos para o trocador de 
calor é: 
40
Exemplo: 
Qual é o ganho 
final do 
controlador e o 
período final, 
considerando as 
seguintes funções 
de transferência:
 
skg
C
s
sGs
/130
50 

  
C
ST
s
sH


%
110
0,1  
SC
skg
s
sGv
%
/
13
016,0

  
ST
SC
KsG cc
%
%

Efeito dos parâmetros da malha no 
ganho e período final
No exemplo anterior qual será o efeito de:
Aumentar KT e Kv
Diminuir T, v, 
Mudando o ganho de qualquer elemento muda 
proporcionalmente o ganho do controlador sem alterar a 
freqüência de oscilação da resposta.
Uma diminuição nas constantes de tempo menores resulta 
em um aumento do ganho final.
Um diminuição na constante de tempo maior resulta em 
uma redução do ganho final.
41
Efeito dos parâmetros da malha no 
ganho e período final
42
Aumentar o dobro KT (de 1 para 2 %ST/°C)
KCU = 11,9 %SC/%ST (23,8)  Diminuiu para a metade
Tu = 28,7 s (28,7)  Ficou constante
Aumentar o dobro Kv (de 0,016 para 0,032 kg/s/%SC)
KCU = 11,9 %SC/%ST (23,8)  Diminuiu para a metade
Tu = 28,7 s (28,7)  Ficou constante
No exemplo anterior:
Efeito dos parâmetros da malha no 
ganho e período final
43
No exemplo anterior:
Diminuir para a metade T (de 10 para 5 s)
KCU = 25,7 %SC/%ST (23,8)  Aumentou
Tu = 21,6 s (28,7)  Diminuiu
Diminuir para a metade v (de 3 para 1,5 s)
KCU = 40,2 %SC/%ST (23,8)  Aumentou
Tu = 20,7 s (28,7)  Diminuiu
Diminuir (de 30 para 20 s)
KCU = 18,7 %SC/%ST (23,8)  Diminuiu
Tu = 26,8 s (28,7)  Diminuiu
Efeito do tempo morto
Quando temos tempo morto na função de transferência 
da malha é introduzida uma função exponencial
A equação característica não é um polinômio
Aproximação de Padé de primeira ordem:
s
t
s
t
e
st
2
1
2
1
0
0
0



Efeito: Um aumento no tempo morto resulta em uma redução 
do ganho final.
44
Considere que a função de transferência do processo de malha para o 
trocador de calor seja: 
 
1
0
1



s
Ke
sG
st

Determine o ganho e a frequência finais de malha como uma função 
dos parâmetros do processo se o controlador for um controlador 
proporcional com: 
 
ST
SC
KsG cc
%
%

Efeito do tempo morto
45
Exemplo: 
Modelos simples com 
teste degrau em malha 
aberta
46
Modelos simples com teste 
degrau em malha aberta
Introdução
Como encontrar um 
modelo simples para um 
processo complicado?
 Técnica estatísticas
 Resposta em frequência
 Resposta ao degrau
Teste do processo por 
resposta a um degrau
Experimental
48
Procedimento?
Introdução
Vamos considerar o diagrama de blocos:
49
Introdução
O diagrama de blocos reduzido:
50
G1(s)=Gv(s)Gm(s)H(s)
G2(s)=Gu(s)H(s)
 Com o controlador no “manual” (malha aberta) aplica-se uma 
variação degrau no sinal de saída do controlador, m(t).
 A resposta do sinal de saída do transmissor, c(t), é registrada em 
função do tempo. 
51
Introdução
Procedimento do teste em degrau do processo
 Os dados são analisados 
para desenvolver um 
modelo aproximado do 
processo.
52
Introdução
Curva de reação do processo
Normalmente um teste de degrau dura 
de alguns minutos até várias horas, 
dependendo da velocidade de 
resposta do processo.
É imperativo que nenhum distúrbio 
entre no sistema enquanto o teste de 
degrau é executado.
Os métodos podem ser classificados em:
 Método gráfico simples
Considera um modelo de primeira ordem mais tempo morto.
 Método de cálculo simples
Os dois modelos mais comuns são os de primeira ordem mais 
tempo morto (FOPDT) e segunda ordem mais tempo morto 
(SOPDT).
53
Métodos
1
)(
0
1



s
Ke
sG
st

12
)(
221
0



ss
Ke
sG
st

FOPDT
SOPDT
  11
)(
21
1
0



ss
Ke
sG
st

 A maioria das fórmulas de sintonização são baseadas no modelo 
FOPDT.
 A resposta em forma de S é característica de processo de segunda 
ordem ou superior com ou sem tempo morto.
 Estes modelos caracterizam o processo através dos parâmetros: K, 
t0 e , 1, 2 e 
54
Métodos
Como podem ser obtidos estes parâmetros 
para uma determinada malha?
Teste dinâmico 
no sistema real
 Para encontrar os parâmetros do processo iguala-se a curva 
de reação do processo a um modelo simples.
 Para o modelo de primeira ordem mais tempo morto.
 No domínio do tempo:
 Estimativa do ganho do processo:
55
Métodos
)()()( 1 sMsGsC 
s
m
s
Ke
sC
st 



1
)(
0

    /0 01)( ttettmKtC  s
m
c
K s



 Ajuste 1:
Este método utiliza a linha tangente à curva de reação do 
processo no ponto da máxima variação. Para o modelo FOPDT
acontece em t = t0. Essa linha tangente cruza a linha do valor 
final em t = t0 + .
56
Método gráfico simples
 Ajuste 1:
A resposta do modelo utilizando estes valores de t0 e  é 
mostrada na figura (linha pontilhada).
57
Método gráfico simples
Ajuste do modelo através do método gráfico
 Ajuste 2: 1 ponto
t0 é determinado da mesma forma que no ajuste 1, e o valor de 
é determinado a partir do valor da resposta real em t = t0 + . 
58
Métodos de cálculos simples
 1 ponto: Tempo para alcançar 63,2% da mudança.
 Ajuste 2: 1 ponto
A resposta do modelo utilizando estes valores de t0 e  é 
mostrada na figura (linha pontilhada).
59
Métodos de cálculos simples
Parâmetros do modelo através do ajuste 2
 Ajuste 3: 2 pontos
t0 +  são determinados usando dos valores da curva real, na 
região de alta variação. Os dois pontos recomendados são (t0 + 
/3) e (t0 + ).
60
Métodos de cálculos simples
Os resultados 
obtidos por 
este método 
são mais 
reprodutíveis 
do que aqueles 
obtidos pelos 
outros dois 
métodos 
anteriores. 2 pontos: Tempo para alcançar 28,3% e 63,2% da 
mudança.
Calcule os parâmetros FOPDT para a malha de controle de
temperatura de um trocador de calor. A resposta da
temperatura de saída do trocador de calor a um degrau de
5 %SC no sinal de saída do controlador é mostrado na figura.
KT = 1 %ST/°C
61
Exemplo
62
Exemplo
 Ajuste 4: 3 pontos
O modelo usado é SOPDT. Neste método são utilizados três pontos 
intermediários ao longo da curva de reação do processo.
 Tempo para alcançar 15% da mudança t = t1
 Tempo para alcançar 45% da mudança t = t2
 Tempo para alcançar 75% da mudança t = t3
 Procedimento
1. 
2.
3. 
63
Métodos de cálculos simples
13
12
tt
tt
X


  
356,0
475,0547,50805,0
2



X
X
    1 para 811,2708,01   f   1 para 6,06,21  f
 Ajuste 4: 3 pontos
 Procedimento
4. 
5.
6. 
7.
8
64
Métodos de cálculos simples
 
13
1
tt
f
w



 
w
f
tt
2
20     66,1922,02  f 1 para 
12
1 

 
w 1 para 
12
2 

 
w
65
Tempo morto e constante 
de tempo do modelo 
FOPDT para aproximação 
do ajuste 3 do sistema 
superamortecido de 
segunda ordem
Figura 7.2.8 Smith e Corripio
Modelo de segunda 
ordem: 
  11
)(
21 

ss
K
sG

Modelo de primeira 
ordem: 1'
)(
'0



s
Ke
sG
st

Figura para ajuste de sistema de 
segunda ordem a FOPDT