Aula Sistemas Dinâmicos

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Luz Amparo Palacio
DOPI/UERJ
Definições
Função de Transferência
Diagrama de blocos
Resposta a sistemas com perturbação degrau
Mapa Conceitual
Modelagem matemática de processos:
Desenvolvimento de equações que relacionam 
as diferentes variáveis de entrada e saída e 
determinação dos parâmetros associados.
5
Classificação dos modelos:
Dependência na variável tempo:
Modelo estacionário (estático)
Modelo dinâmico
Dependência na variável espaço
Parâmetros concentrados
Parâmetros distribuídos
Linearidade:
Linear
Não linear 6
Metodologia:
Analítica:
Utiliza os princípios fundamentais (leis físicas e 
químicas) para determinar as equações diferencias e 
algébricas que compõem o modelo.
Empírica:
O número e tipo de equações a serem utilizadas são 
determinadas de acordo com o comportamento 
dinâmico do processo quando introduzidas 
perturbações nas condições de operação.
7
Sistema cuja saída é modelada por uma equação 
diferencial de primeira ordem.
8
 
    ctbxtya
dt
tdy
a  01
y(t): Variável de saída
x(t): Variável de entrada
a1, a0, b e c: constantes
Tanque de nível:
Processo de mistura:
Processo térmico
(adiabático):
9
dh h
A q
dt R
 
A
A Ai
dC
V C q C q
dt
 
i
V dT
T T
q dt
 
Sistema cuja saída é modelada por uma equação 
diferencial de segunda ordem.
10
y(t): Variável de saída
x(t): Variável de entrada
a2, a1, a0, b e c: constantes
   
   
2
2 1 02
d y t dy t
a a a y t bx t c
dt dt
   
Dois tanques de nível com interação em série:
11
Substituindo e re-organizando:
 
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 22
d h dh
A A R R A R A R A R h qR
dtdt
    
h1(t)
q
R1 h2(t)
R2
q1 q2
A1
A2
h1(t)
q
R1 h2(t)
R2
q1 q2
A1
A2
1 2 1
1
1
h h dh
q A
R dt

  1 2 2 2
2
1 2
h h h dh
A
R R dt

 
Sistema cuja saída é modelada por uma equação 
diferencial de ordem superior a dois.
12
y(t): Variável de saída
x(t): Variável de entrada
an, an-1,...,a0, b e c: constantes
n>2
   
   
1
1 01
n n
n nn n
d y t d y t
a a a y t bx t c
dt dt

 
    
h1(t)
q
R1
h2(t) R2
q1
q2
A1
A2
h3(t) R3
q3
A3
Três tanques de nível sem interação em série:
1 1
1
1
h dh
q A
R dt
 
1 2 2
2
1 2
h h dh
A
R R dt
 
3 32
3
2 3
h dhh
A
R R dt
 
14
Substituindo e re-organizando:
 
 
3 2
3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 3 33 2
3
1 1 2 2 3 3
d h d h
A A A R R R A A R R A R A R A R A R
dt dt
dh
A R A R h qR
dt
  
   
1 1
1
1
h dh
q A
R dt
  1 2 2
2
1 2
h h dh
A
R R dt
 
3 32
3
2 3
h dhh
A
R R dt
 
Três tanques de nível sem interação em série:
Procedimento
16
Modelo dinâmico
Modelo estacionário
Subtrair as eq. estacionárias das dinâmicas
Substituir com variáveis desvio
Aplicar a T.L.
Eliminar todas as variáveis de saída com exceção da desejada
Eliminar todas as variáveis de entrada com exceção da desejada
Encontrar a função de transferência desejada, dividindo a saída pela entrada
Linearizar as 
equações não 
lineares
G(s)
Colocar na forma padrão
17
 
   
x ,y x ,y
f x, y f x, y
f x, y X Y
x y
 
 
 
 
     
x ,y ,z x ,y ,z x ,y ,z
f x, y,z f x, y,z f x, y,z
f x, y,z X Y Z
x y z
  
  
  
Duas variáveis:
Três variáveis:
18
 
   tKXtY
dt
tdY

Forma padrão da equação diferencial de primeira ordem:
Y(t): Variável desvio de saída
X(t): Variável desvio de entrada
0
1
a
a

0a
b
K 
 
1

s
K
sG

Função de 
transferência de 
sistemas de 
primeira ordem
Forma padrão da 
função de transferência
: constante de tempo
K: Ganho estacionário
19
: Tempo característico
: Relação de amortecimento
K: Ganho estacionário
1
0
a
a
 
0a
b
K 1
0 22
a
a a
 
Forma padrão da equação diferencial de segunda ordem:
Função de 
transferência de 
sistemas de 
segunda ordem
      )(2
2
2
2 tKXtY
dt
tdY
dt
tYd
 
  2 2 2 1
K
G s
s s 

 
Forma 
padrão da 
função de 
transferência
20
1 e 2: Constantes de 
tempo dos processos 
de primeira ordem
As funções de transferência de segunda ordem são formadas por 
duas funções de transferência de primeira ordem, em sistemas 
sem interação.
  














11
)()(
2
2
1
1
21
s
K
s
K
sGsGsG 
12)1)(1( 2221
21




ss
K
ss
KK

21KKK 
21 
21
21
2 




21
n: número de sistemas não interativos em série.
G(s): Função de transferência relacionando a saída do último 
sistema à entrada para o primeiro sistema.
Gi(s): Função de transferência individual de cada sistema.
Para os sistemas não interativos, a função de transferência de 
ordem superior pode ser generalizada com a seguinte fórmula:
  


n
i
i sGsG
1
)(
Intervalo de tempo entre a variação da variável 
de entrada e o tempo que a variável de saída 
começa a responder.
22
A função de transferência é a mesma do processo 
sem tempo morto multiplicada por .
0
t s
e

 
 
0
1
t sY s Ke
X s s



Encontre a função de transferência para o 
processo térmico com isolamento
23
q
q
Ti(t)
T(t)
V
q
q
Ti(t)
T(t)
V
Modelo dinâmico:
Modelo em estado estacionário
iqTqT
dt
dT
V 
iTqTq
dt
Td
V 
24
(1)
(2)
Subtração dinâmico-estacionario:
(1) – (2):
   ii TTqTTq
dt
Td
dt
dT
V 






25
(3)
Define-se: (4)
  TTt 
  iii TTt 
(5)
 
   tqtq
dt
td
V i


(4) e (5) em (3): (6)
Substituir com variáveis desvio
Colocar na forma padrão:
26
(8)Seja: 
q
V

1K
(9)
Unidades?
 
   tKt
dt
td
i
 
(10)(8) e (9) em (7):
(7)
 
   tt
dt
td
q
V
i


Divide-se (6) por q:
Aplicar a Transormada de Laplace:
T. L. de (10):
     sKsss i 
27
(11)
(12)
     sKss i 1
De (11):
Eliminar as variáveis de saída menos a desejada:
 Só temos uma variável de saída: q(s)
Eliminar as variáveis de entrada menos a desejada:
 Só temos uma variável de entrada: qi(s)
Encontrar a função de transferência:
Encontrar a função de transferência:
28
 
  1

s
K
s
s
i 
 (13)
q
V

1K
 
1

s
K
sG

Diagrama 
de blocos?
Para um processo com três tanques de nível em
série, encontre a função de transferência que
relaciona a vazão de entrada no primeiro tanque
com a altura do líquido do último tanque.
a) Sem interação
b) Com interação
29
Representação gráfica das funções de 
transferência
Elementos:
Setas
Pontos de 
soma
Pontos de 
bifurcação
Blocos
31
Faça os diagramas de blocos para as funções de
transferência dos dois exemplos anteriores:
1. Processo térmico com isolamento
2. Processo com três tanques de nível em série.
a)Sem interação
b)Com interação
32
Y(s) = X1(s) – X2(s) – X3(s)
33
Propriedades associativas e comutativas
Y(s) = G1(s)G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)X(s) 
Propriedades distributiva
Y(s) = G1(s)[X1(s)-X2(s)] = G1(s)X1(s)-G1(s)X2(s)] 
Blocos emparalelo
Y(s) = [G1(s)+G2(s)]X(s) = G1(s)X(s)+G2(s)X(s) 
Malha de realimentação positiva
 sX
sGsG
s
)()(1
)(G
 (s)Y(s)]G(s)[X(s)G Y(s)
21
1
21


Malha de realimentação negativa
 sX
sGsG
s
)()(1
)(G
 (s)Y(s)]G(s)[X(s)G Y(s)
21
1
21


35
Redução dos diagramas de blocos: Em muitos 
casos é conveniente combinar vários blocos em 
um só. 
36
Para diagramas de blocos com realimentação, a 
função de transferência do loop pode ser calculado 
com a seguinte fórmula geral:
j
i
G
G




1
 
X
Y
Y: Variável de saída ou qualquer 
variável interna do loop
X: Variável de entrada
Gi: Funções de transferência no 
caminho de X a Y
Gj: Funções de transferência no loop
Determine as funções de transferência 
relacionando Y(s) a X1(s) e X2(s) a partir do 
diagrama de blocos a seguir:
37
Determine as funções de transferência 
relacionando C(s) a L(s) e Cset(s) a partir do 
diagrama de blocos a seguir:
38
Determine as funções de transferência 
relacionando C(s) a R(s) e L(s) a partir do 
diagrama de blocos a seguir:
39
41
Função de 
transferência  
 
 sG
sX
sY

Perturbação  sX
Combinar      sXsGsY 
Transformada de 
Laplace inversa  tY
Y: Variável 
desvio de
saída ou 
resposta
X: Variável 
desvio de
entrada ou 
perturbação
Depende do 
tipo de sistema: 
1ª,2ª,..., n 
ordem
42
 






0
00
tM
t
tX
 






01
00
t
t
tS
  )(tMtX S
M
0 t
X(t)
X(t) : Variável desvio de 
entrada ou perturbadora 
no domínio do tempo
X(s) : Transformada de Laplace de 
X(t)
Tempo no qual 
ocorre a 
mudança de 
magnitude
T. L.
 
s
M
sX 
M : Amplitude da função
S(t) : Função degrau unitário
43
 
s
M
sX 
(1)
 
  1

s
K
sX
sY

(2)
(1) em (2):
 
s
M
s
K
sY
1


Usando a tabela de T. L. (entrada 13): 
  









t
eKMtY 1
(3)
Dividindo (3) por KM: 
  
t
e
KM
tY

 1
Resposta 
normalizada
Após uma constante de tempo (t =  a resposta atinge 63% de sua 
variação final.
Em cinco constantes de tempo (t = 5  atinge mais de 99% da variação.
 está relacionada com a velocidade de resposta do processo.
44
  
t
e
KM
tY

 1
Dispõe-se de um vaso agitado com aquecimento para pre-
aquecer um reagente contendo um catalisador sólido suspenso,
o qual entra a uma vazão constante de 1000 kg/h. O volume no
vaso é 2 m3 e a massa específica e o calor específico da mistura
são 900 kg/m3 e 1 cal/gºC, respectivamente. O processo é
inicialmente operado com temperaturas de entrada e saída de
100 e 130 ºC, respectivamente. O calor calor fornecido no estado
estacionário inicial é 3x107 cal/h.
a) Se o calor fornecido é incrementado em 30%, quanto
demorará o processo para atingir a nova temperatura de
saída (99% do novo estado estacionário)? E qual será essa
temperatura?
b) Se a temperatura de entrada é incrementada subitamente de
100 para 120 ºC, quanto tempo passará antes de que a
temperatura de saída mude de 130 para 135 ºC (sem
mudanças no fornecimento de calor)?
45
46
w
w
Ti
TV
Q
O modelo dinâmico é:
QTwCTwC
dt
dT
CV ippp 
  TTt    iii TTt    QQtQ '
E as funções de transferência são:
 
  1
1


s
K
s
s
i 

w
V
 11 K
 
1
1
1


s
K
sG

 
  1'
2


s
K
sQ
s


pwC
K
1
2  
1
2
2


s
K
sG

47
 
  1'
2


s
K
sQ
s


 
1
2
2


s
K
sG

a) Tempo para atingir novo estado estacionário e temperatura final (↑Q):
h
cal
Q 61093,0 
h
cal
M 6109
 
s
M
sQ '
   sQ
s
K
s '
1
2




  









t
eMKt 12
Solução para sistema de 
primeira ordem com 
perturbação degrau
5t
h
hkg
mkgm
w
V
8,1
1000
9002 33




ht 98,15 
48
  MK2
Temperatura final:
h
cal
M 6109
cal
Ch
g
kg
h
kg
Cg
calwC
K
p




 62 101
1000
1
10001
11
  C
h
cal
cal
Ch


  9109101 66
  TTt   tTT      9130  TT
  CT  139
49
b) Tempo necessário para atingir 135 °C (Ti↑):
ht 52,0
  CCM  20100120
  Ct  5130135  TTt 
 
  1
1


s
K
s
s
i 

   s
s
K
s i

1
1

  
s
M
si  
1
1
1


s
K
sG

  









t
eMKt 11
Solução para sistema de 
primeira ordem com 
perturbação degrau
h8,111 K  










8,1120
t
et










8,11205
t
e 8,1125,0
t
e

  
8,1
75,0ln
t

50
 
s
M
sX 
(1)
(2)
(1) em (2):   2 2 2 1
K M
Y s
s s s 

 
  2 2 2 1
K
G s
s s 

  Pode ser 
representado 
como dois
sistemas 
em série de 
primeira 
ordem
Raízes do polinômio do 
denominador da função 
de transferência: 
 12
2,1

r
A relação de amortecimento 
determina se as raízes são reais ou 
complexas (resposta monótona ou 
oscilatória).
51

 12
2,1

r
O termo “relação de amortecimento” se refere ao 
amortecimento das oscilações .
O parâmetro  é uma medida da velocidade de resposta 
dos sistemas de 2ª ordem, mas não tem o mesmo 
significado da constante de tempo para os sistemas de 
primeira ordem.
Vamos considerar os dois casos onde a resposta é estável:
 ≥ 1  monótona e estável  superamortecida
 = 1  criticamente amortecida
 > 1  sobreamortecida
0 <  < 1  oscilatória e estável  subamortecida
52
 > 1
2 2
1 22 1 ( 1)( 1)s s s s       
1, 2 : Constantes 
de tempo efetivo
1
2 1


 

 
2
2 1


 

 
Raízes reais diferentes
 
1 2( 1)( 1)
KM
Y s
s s s 

 
Usando a 
tabela de T. L. 
(entrada 20):   1 21 2
2 1
1
1
t t
Y t KM e e
   
   
    
     
1
1
1


r
2
2
1


r
53
 = 1 Raízes reais repetidas
Usando 
frações 
parciais: 

1
2,1

r
  2( 1)
KM
Y s
s s


  1 1
t
t
Y t KM e 

  
    
  
2 2 2 1s s  
54
0 <  < 1 Raízes complexas
2 2 2 1s s  

 12
2,1

r
   
2
1
1
1
t
Y t KM e sen t

  

 
   
  
21 




Frequência (rad/tempo)
2
1 1tg



 
Ângulo de fase (rad)
 



















tsenteKMtY
t




21
cos1
ou
 > 1
0 5 10 15 20
0.0
0.5
1.0
 =0,75
 =0,5
 =0,25
 =2
 =1,5
Y
/K
M
t/
 =1
  1 21 2
2 1
1
1
t t
Y t KM e e
   
   
    
     
 = 1
  1 1
t
t
Y t KM e 

  
    
  
0 <  < 1
   
2
1
1
1
t
Y t KM e sen t

  

 
   
  
Com  = 1 a resposta chega rápido ao valor final, sem
ultrapassá-lo e sem oscilação.
Com 0 <  < 1 a resposta é oscilatória por natureza e torna-
se menos oscilatóriaa medida que  aumenta. A inclinação 
na origem é zero para todos valores de .
Com  > 1 a resposta nunca ultrapassa o valor final, porém 
é muito mais lenta.
As respostas de malha aberta de muitos processos
industriais é semelhante à criticamente amortecida ( = 1)
e à sobreamortecida ( > 1), elas normalmente não
oscilam. A oscilação começa a ocorrer quando a malha é
fechada.
As respostas dos sistemas de segunda ordem são muito
importantes no estudo de controle de processos.
56
0 2 4 6 8 10 12 14
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Y
/K
M
t/
T
B
C
ta tR
A
 T: Período
 C/B: Proporção de declínio
 ta: Tempo de elevação ou ascensão
tR: Tempo de resposta
B/A: Excesso ou sobreelevação
Sobreelevação (overshoot): é a medida de como a 
resposta do sistema excede o valor final após a 
influência da variação degrau na variável perturbadora.
Proporção de declínio (decay ratio): é a razão entre 
dois picos sucessivos.
Tempo de elevação (rise time): é o tempo necessário 
para a resposta do sistema alcançar o valor final pela 
primeira vez.
Tempo de resposta (response time): é o tempo 
necessário para a resposta do sistema alcançar ± 5% do 
valor final e permanecer no intervalo.
Período de oscilação: é o tempo decorrido entre dois 
picos sucessivos
Sobreelevação (overshoot):
Proporção de declínio 
(decay ratio):
Tempo de elevação 
(rise time):
Período de oscilação:











21
exp


A
B
2
21
2
exp 

















A
B
B
C


 

 1
2
cos
1


at
21
2



T
Uma perturbação degrau de magnitude 4 é introduzida num
sistema que apresenta a seguinte função de transferência:
Determine:
a) Excesso
b) Tempo de elevação
c) Valor máximo de Y(t)
d) Valor final de Y(t)
e) Período da oscilação
60
46,1
10
)(
)(
2 

sssX
sY
a) 0,254, b) 1,08, c) 12,54, d) 10, e) 3,42
61
 
s
M
sX 
n: número de sistemas 
não interativos
i: Constantes de 
tempo efetivo
 
   



n
i
is
K
sX
sY
1
1
 
 















 



n
i
n
ij
j
ji
tn
i
ie
KMtY
1
1
/1
1

 
62
Se n = 2
 
   









12
/
2
21
/
1
21
1 


  tt ee
KMtY
Se n = 3
 
     
  












2313
/2
3
3212
/2
2
3121
/2
1
3
21
 
1








t
tt
e
ee
KMtY
0 5 10 15 20 25
0.0
0.5
1.0
n=3
n=4
Y/
KM
t
n=2
Tempo 
morto
aparente
À medida que a ordem do sistema aumenta a resposta 
fica mais vagarosa
Há um tempo morto “aparente” que aumenta com n
A resposta pode ser aproximada a segunda ordem com 
tempo morto
 
      111
0
1







ss
Ke
s
K
sX
sY
ba
st
n
i
i

Para n>2
65
 
s
M
sX 
 
   ns
K
sX
sY
1


 















 



n
i
in
t t
in
eKMtY
1
/
)!(
1
1 

66
Unidade avanço-atraso: dispositivo usado para compensação 
dinâmica de controladores.
 
  1
1
lg 


s
s
sX
sY ld


Função de transferência
ld: Constante de tempo de avanço (ld: “lead”)
lg: Constante de tempo de atraso (lg: “lag”)
Avanço  Termo de primeira ordem no numerador
Atraso  Termo de primeira ordem no denominador
67
 
s
M
sX 
Unidade avanço-atraso. Resposta ao Degrau:
 
  1
1
lg 


s
s
sX
sY ld


 


















11
lg
/ lg

 ldteMtY
0 2 4 6 8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0
0,5
1
Y/
M
t
2 
ld
/
lg
A variação inicial na saída é controlada pela razão das
constantes de tempo e é igual a Mld/lg.
A resposta muda repentinamente de 0 para Mld/lg.
A resposta transiente só depende da constante de tempo de
atraso (lg). O tempo necessário para o transiente se extinguir é
de ~ 5 lg.
Quando ld/lg > 1 a resposta excede seu estado estacionário
final.
A variação final é igual a M.
Unidade avanço-atraso 
70
 
s
M
sX 
 
 
 
 






n
i
i
m
j
jld
s
sK
sX
sY
1
lg
1
1
1


 
 
 
















 








n
i
t
n
ij
j
ji
m
j
ldji
mn
i
i
eKMtY
1
/
1
lglg
1
lg
1
lg
lg
1



sendo n ≥ m
O efeito do termo de avanço é acelerar a resposta se as
constantes de avanço são positivas ou diminuir sua
velocidade se são negativas.
O efeito (lds+ 1) é “apressar” a resposta  avanço de 1ª
ordem
O efeito 1/(lgs+ 1) é “atrasar” a resposta  atraso de 1ª
ordem
Quando ld = lg Função de transferência tem uma ordem
a menos  a resposta se acelera.
A variação final é igual a KM.
Resposta para sistemas de ordem superior com 
termos de avanço :
Comparar a resposta dos processos seguintes para uma
perturbação degrau unitária:
72
   
 
   
 
   13121
14
)(
)(
)(
13121
15,0
)(
)(
)(
13121
1
)(
)(
)(
3
3
2
2
1
1








sss
s
sX
sY
sG
sss
s
sX
sY
sG
ssssX
sY
sG
A resposta dos processos a uma perturbação degrau unitária:
é:
73
3/2/
3
3/2/
2
3/2/
1
5,145,11)(
75,3325,01)(
5,445,01)(
ttt
ttt
ttt
eeetY
eeetY
eeetY






Resposta dos processos a uma perturbação degrau unitária:
74
0 5 10 15 20 25
0.0
0.5
1.0

ld
=4
Y3
Y1
Y2
Y
t

ld
=0,5
Um sistema integrativo é qualquer sistema descrito por uma
função de transferência contendo um termo s isolado no
denominador.
A resposta deste sistema a uma perturbação degrau é tal
que não atinge, em teoria, um novo estado estacionário (não
se auto-regula).
75
Considere o reservatório do
processo mostrado na figura:
76
)()(
)(
0
0 tmKtf
dt
tdf
pp 
Uma corrente entra ao
reservatório livremente, ao
passo que a corrente de saída
depende da velocidade da
bomba. Essa velocidade é
regulada pelo sinal m(t), em %.
A relação entre a vazão de saída
e o sinal é:
Determine:
a) Modelo
b) Funções de transferência
que relacionam h(t) com
f(t) e com m(t)
c) Resposta a M(t)=-Bs(t)
d) Representação gráfica do
comportamento dinâmico
Os sistemas com resposta inversa
têm uma raiz positiva no
numerador da função de
transferência.
77
A resposta inversa é o resultado de
dois efeitos opostos, em formas e
com escalas de tempo diferentes.
Isto pode ser esquematizado em
um diagrama de blocos como a
seguir:
X(s) Y(s)
-
+
11
1
s
K
 12
2
s
K

Uma característica da resposta inversa é que as respostas iniciais
estão em direções opostas das finais.
   
  
0 
11
1
a
21



 

ss
sK
sG a
Como devem ser K2/K1 e 2/1 para se ter resposta inversa?
Resposta inversa de concentração e temperatura 
a uma variação na vazão de processo 
Exemplo: Reator CSTR não isotérmico