Transformadas de Laplace

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Conteúdo
I Transformadas de Laplace 2
0.1 Transformada de Laplace como Integral Imprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Funções de Ordem Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 Resumo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II Resolução EDO com Transformadas 10
0.5 Resolução de PVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
Parte I
Transformadas de Laplace
2
A transformada de Laplace permitirá que transformemos equações diferenciais em equações algébricas, após, utiliza-
mos uma transformada inversa que faz com que a equação algébrica solucionada se torne a solução da equação diferencial
(maquinário pesado para resolver equação diferencial"). Ela é uma transformada integral.
0.1 Transformada de Laplace como Integral Imprópria
Definição 1. Seja f : [0,∞)→R. Então a transformada de Laplace da função f(t) é definida por:
F(s) = L { f (t)}=
∞ˆ
0
e−st f (t)dt
se a integral imprópria converge ao menos em um valor de s. O núcleo da transformada, no caso da de Laplace é n(s, t) = e−st
Exemplo 1: f (t) = 1, t ≥ 0
usando a definição:
F(s) = L{1}=
∞ˆ
0
e−stdt = lim
ψ→∞
ψˆ
0
e−stdt = lim
ψ→∞
(
e0
s
− e
−sψ
s
)
=
1
s
Exemplo 2:
L{ekt}=
∞ˆ
0
e−stektdt =
∞ˆ
0
e(k−s)tdt = lim
ψ→∞
ψˆ
0
eudt
L{ekt}= 1
s− k
Para polinômios:
L{tn}= n!
s(n+1)
(1)
note que para 1: n = 0
L{1}= 0!
s(0+ 1)
=
1
s
Exponencial:
L{eat}= 1
s−a (2)
A transformada por ser uma integral, possui as mesmas propriedades que a integral:
• L {α f (t)+βg(t)}=
∞ˆ
0
e−st(α f (t)+βg(t)dt = α
∞ˆ
0
f (t)dt +β
∞ˆ
0
g(t)dt = αL{ f (t)}+βL{g(t)}
Teorema 1. Se α e β são constantes, então
L{α f (t)+β f (t)}= αL{ f (t)}+βL{g(t)}
Podemos calcular a transformada de algumas funções a partir de outras conhecidas:
Exemplo:
L{5+ 8t3} t ≥ 0
L{5+ 8t}= 5L{1}+ 8L{t}= 5 0!
s0+1
+ 8
1!
s1+1
=
5
s
+
8
s2
=
5s2 + 8s
s3
Exemplo:
L{coshkx+ sinhkx}
3
teremos:
coshkx =
1
2
ekx + e−kx
e
sinhkx =
1
2
ekx− e−kx
logo (fazendo uma por uma): x→ t
L{coshkt}= L
{
1
2
ekt + e−kt
}
=
1
2
L{ekt + e−kt}= 1
s2− k2
tal como seno hiperbólico:
= L{sinhkx}= 1
s2− k2
Para todo s maior ou igual a zero.
0.2 Funções de Ordem Exponencial
Que tipo de funções possuem transformadas de Laplace.
Definição 2. Uma função f é contínua por partes em um intervalo I [a,b] se o I puder ser particionado em um número finito
de subintervalos contínupos (jura? è.é)
I = (ti, ti+1), a = t0 < t1 < ...< tn = b
tais que
• f é contínua em cada subintervalo aberto (ti, ti+1)
• São finitos os limites laterais:
lim
t→t+i
f (t) e lim
t→t−i
, 0≥ i≥ n−1
existem
f (t) =
t + 1
t−1
não é contínua por partes ∈ [0,4] pois diverge quando t→ 1:
lim
t→t+i
→ 1± f (t) = ±∞
Definição 3. Uma função f é de ordem exponencial em [0,∞] se existem constantes C > 0 e k tais que
| f (t)| ≤Cekt
∀ t ∈ (0,∞)∩Dom f
Exemplo: f (t) = cos2t é de ordem exponencial em [0,∞), para C = 1 e k = 0
| f (t)|= |cos2t| ≤Cekt = 1,∀t > 0
Para toda função continua por partes e de ordem exponencial, a transformada de Laplace está definida e vale o seguinte
teorema:
Teorema 2. Se:
1. f contínua por partes em [0,A] | A ∈ (0,∞)
2. ∃C,k,M ∈R com C > 0, M ≥ 0 tais que | f (t)| ≤Cekt quando t ≥M.
4
Então,
L{ f (t)}= F(s) ∃ ∀s> k
Mas note que:
∞ˆ
0
e−st f (t)dt =
φˆ
0
e−st f (t)dt +
∞ˆ
φ
e−st f (t)dt
ψˆ
φ
|e−st f (t)|dt ≤C
ψˆ
φ
|e−st f (t)|dt =
[
C
e(k−s)t
k− s
]φ
ψ
=C
(
e(k−s)ψ
k− s −C
e(k−s)φ
k− s
)
então
lim
ψ→∞
ψˆ
φ
|e−st f (t)|dt < ∞ (3)
implicando que:
∞ˆ
0
e−st f (t)dt < ∞
O teorema diz que se f (t) for contínua por partes e de ordem exponencial, esta função tem transformada de Laplace e
sabemos que a transformada de Laplace está definida para todos s> k.
Corolário 1. Se f(t) satisfaz o Teorema 2, então:
lim
s→∞F(s) = 0
No Teorema 2, estabelecemos condições suficientes para que a transformada de Laplace possa ser calculada para certas
funções e pelo Corolário, uma propriedade das transformadas de Laplace. Algumas funções não satisfazem o teorema 2,
porém, TAMBÉM POSSUEM TRANSFORMADA DE LAPLACE. Existem funções que também não possem propriedade
apontada no Corolário.
Exemplo:
f (t) = sin t, t ≥ 0
L{sint}=
∞ˆ
0
e−st sin tdt = lim
ψ→∞
ψˆ
0
e−st sin tdt
=
s2
s2 + 1
lim
ψ→∞
(
−e
−sψ sinψ
s
− e
−sψ cosψ
s2
+
1
s2
)
=
1
s2 + 1
, s> 0
transformadas de Laplace simplificam a resolução de EDO’s. Objetivo:
• Determinar y(t), solução de uma EDO;
• resolvendo um problema associado para Y (s);
• após determinar Y (s) encontrar y(t)
Para isso precisamos inverter o operador transformada de Laplace. Provar que se L{ f}= L{g} temos f = g.
Teorema 3. Se f (t) e g(t) satisfazem o Teorema 2 e F(s) = Y (s) ∀s > a (para algum a); então, f (t) = g(t) exceto nos
pontos de descontinuidade.
5
0.3 Transformada Inversa de Laplace
Pelo Teorema 3, se
L{y(t)}= Y (s)
pode ser resolvida para y(t), a solução é única e se chama Transformada Inversa de Laplace de Y (s), esse operador é denotado
por:
L−1{Y (s)}
A transformada inversa de Laplace também é um operador linear:
Y (s) = Y1(s)+Y2(s) e L{y1(t)}= Y1(t) e L{y2(t)}= Y2(t)
para s> s0, teremos:
L{y1(t)+ y2(t)}= y(t)
que implica em:
L−1{Y (s)}= L−1{L{y(t)}}= y(t0)
é análogo às funções algébricas comuns como:
ln(exp(x)) = x = exp(ln(x))
Exemplo ??: Calcule L−1
{
6s2−2s4+24
s4(s2+4)
}
L−1
{
6(s2 + 4)−2s4
s4(s2 + 4)
}
= L−1
{
6
s4
− 2
s2 + 4
}
= L−1
{
6
s4
}
−L−1
{
2
s2 + 4
}
= t3− sin2t
L{sinkt}= k
s2 + k2
= L{coskt}= k
s2 + k2
Teorema 4. (1o Teorema do deslocamento). Se L{ f (t)} = F(s) existe para s > a e se c ∈ R, então a transformada de
Laplace da função ect f (t) existe para s> a+ c e é dada por
L{ect f (t)}= F(s− c)
O mesmo vale se f (t) = L−1{F(s− c)} Para s− c> a, temos:
F(s− c) =
∞ˆ
0
e−(s−c)t f (t)dt =
∞ˆ
0
e−st |ect f (t)dt = L{ect f (t)} (4)
A equação acima mostra que:
ect f (t) = L−1{F(s− c)}
O Teorema diz que uma translação no eixo s corresponde ao produto da função em t por uma exponencial.
Exemplo ????: Calcule L−1{G(s)} com
G(s) =
1
s2−4s+ 5
1
s2−4s+ 5 =
1
(s−2)2 + 1
como
L{sin t}= 1
s2 + 1
, s> 1;
teremos
L−1 {G(s)}= L−1 {G(s−2)}= e2t sin t
6
Teorema 5. (Mudança de Escala). Se L{ f (t)} = F(s) existe para s > a ≥ 0 e se ε > 0 (ε =constante arbitrária), então a
transformada de Laplace da função f (εt) existe para s> aε e é dada por:
L{ f (εt)}= 1
ε
F
( s
ε
)
tal que:
L{ f (εt)}=
∞ˆ
0
e−st f (εt)dt
com a regra de substituição:
u = εt =⇒ u
ε
= t =⇒ du
ε
= dt
o que nos leva para
∞ˆ
0
e−st f (εt)dt =
1
ε
∞ˆ
0
e−
s
ε u f (u)du
L
{ s
ε
}
= F
( s
ε
)
logo:
L{ f (εt)}= 1
ε
L
{ s
ε
}
Calcule sin3t Como
L{sin t}= 1
s2 + 1
teremos
L{sin3t}= 1
3
9( s
3
)2
+ 1
=
9
3s2 + 27
=
3
s2 + 9
Que corresponde ao resultado colocado lá atrás.
Teorema 6. Suponha que f (t) é uma função que satisfaz o Teorema 2 Então a transformada de Laplace da função −t f (t)
existe para s> k e é dada por:
L{−t f (t)}= d
ds
L{ f (t)}= d
ds
F(s)
O teorema pode ser expandido:
L{−tn f (t)}= d
n
dsn
L{ f (t)}= d
n
dsn
F(s)
Utilizar este teorema para encontrar a transformadainversa quando é mais fácil trabalhar com a derivada da transformada.
Exemplo 100 Determine:
L−1
{
arctan
(
1
s
)}
Se
Γ(s) = arctan
(
1
s
)
e γ(t) = L−1 {Γ(s)}
Saberemos que:
L{−tγ(t)}= d
ds
Γ(s) =
d
ds
arctan
1
s
regra da cadeia:
u =
1
s
=⇒ arctan 1
s
= arctanu
então:
d
ds
arctan
1
s
=
d
du
arctanu · d
ds
1
s
=
1(
1
s2
)2
+ 1
(
− 1
s2
)
= − 1
s2 + 1
Obtemos então:
−tγ(t) = L−1
{
d
ds
Γ(s)
}
=⇒ γ(t) = −L
−1{ ddsΓ(t)}
den
ou seja:
γ(t) =
L−1
{
− 1s2+1
}
−t =
−sin t
−t =
sin t
t
7
Teorema 7. Suponha que
1. f (t) seja contínua em [0,A] e que f ′(t) seja contínua por partes em [0,A] ∀ A> 0;
2. existem ε,κ,µ ∈R com ε,µ> 0 tais que | f (t)| ≤ εeκt quando t ≥ µ
então L{ f ′(t)} ∃ ∀s> κ e é dada por
L{ f ′(t)}= sL{ f (t)}− f (0) = sF(s)− f (0)
Sejam t1 < t2 < ...< tn, ti ∈ [0,A] os (possíveis pontos de descontinuidade de f ′, logo:
Aˆ
0
e−st f ′(t)dt =
t1ˆ
0
e−st f ′(t)dt +
t2ˆ
t1
e−st f ′(t)dt + ...+
Aˆ
tn
e−st f ′(t)dt
Integrando por partes:
bˆ
a
e−st f ′(t)dt = e−st f (t)
∣∣b
a + s
bˆ
a
e−st f (t)dt
= e−sb f (b)− e−sa f (a)+ s
bˆ
a
e−st f (t)dt
logo:
Aˆ
0
e−stdt = e−st1 f (t1)− f (0)+s
t1ˆ
0
e−st f (t)dt+e−st2 f (t2)−e−st1 f (t1)+s
t2ˆ
t1
e−st f (t)dt+ ...+e−sA f (A)−e−stn f (tn)+s
Aˆ
tn
e−st f (t)dt
= e−sA f (A)− f (0)+ s
ˆ
0
e−st f (t)dt
Logo,
L{ f ′(t)}= lim
A→∞
Aˆ
0
e−st f ′(t)dt = lim
A→∞
e−sA f (A)− f (0)+ s
Aˆ
0
e−st f (t)dt
= sL{ f (t)}− f (0), s> k
como | f (t) ≤C limA→∞ e(k−s)A = 0 =⇒ limA→∞ e−sA f (A) = 0
Se f ′ for contínua e de ordem exponencial e f ′′ for contínua por partes em I, A> 0, pelo Teorema 7 teremos:
L{ f ′′(t)}= sL{ f ′(t)}− f ′(0) = s (sL{ f (t)}− f (0)− f ′(0) = s2F(s)− f ′(0)− s f (0)
Podemos generalizar esse Teorema para derivadas de ordem superior
Teorema 8. Suponha que
1. f , f ′, f ′′, ... f (n−1) sejam contínuas em I e que f (n) seja contínua por partes em I para qualquer ψ> 0;
2. existem ε,k,µ ∈R com ε.µ> 0 tais que | f (t)| ≤ εekt , | f ′(t)| ≤ εekt , ..., | f (n−1)(t)| ≤ εekt quando t ≥ µ
Então, a transformada de Laplace de f (n) existe para s> k e é dada por:
L{ f (n)(t)}= snL{ f (t)}− sn−1 f (0)− sn−2 f ′(0)− sn−3 f ′′(0)− ...− f (n−1)(0)
Teorema 9. Seja F(s) = L{ f (t)}, então:
L

tˆ
0
f (x)dx
= F(s)s , se s> 0
Seja g(t) =
tˆ
0
f (x)dx, então g′(t) = f (t):
F(s) = L{g′(t)}= sL{g(t)}
8
0.4 Resumo:
• Transformada de Laplace é uma transformada integral
L{ f (t)}=
∞ˆ
0
e−st f (t)dt L : f (t)→ F(s)
• As transformadas de Laplace são operadores lineares;
•
L {tn}= n!
sn+1
•
L
{
eαt
}
=
1
s−α
• Mudança de Escala
L { f (εt)}= 1
ε
F
( s
ε
)
•
L {sin t}= L{cos t}= 1
s2 + 1
•
L {cosh t}= L{sinh t}= 1
s2−1
• Transformada Inversa
L : F(s)→ f (t)
• Teorema do deslocamento (em s). Se F(s) ∃ ∀ s> α a transformada de Laplace de ect existe para todo s> α+ c:
L{ect f (t)}= F(s− c) =⇒ L−1{F(s− c)}= ect f (t)
• Teorema: se f (t) possui transformadas, então:
L{−tn f (t)}= d
n
dsn
L{ f (t)}= d
n
dsn
F(s)
• Se f , f ′, f ′′, ..., f n−1 forem contínuas em I e f (n) contínua por partes em I = [0,A]
L{ f (n)(t)}= snL{ f (t)}− sn−1 f (0)− sn−2 f ′(0)− ...− f n−1(0)
9
	I Transformadas de Laplace
	Transformada de Laplace como Integral Imprópria
	Funções de Ordem Exponencial
	Transformada Inversa de Laplace
	Resumo:
	II Resolução EDO com Transformadas
	Resolução de PVI