MultiPhase 2008 01

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Modelagem de Escoamentos Multifásicos 
Prof. Fernando de A. França 
Depto. de Engenharia de Petróleo, sala CE 302 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Falar sobre engenharia de petróleo, especificamente o que se refere à produção e 
transporte de óleo e gás, é falar, muitas vezes, sobre escoamentos multifásicos. Quando se 
produz óleo de um poço de petróleo, quase sempre esta produção é bifásica, pois as frações 
mais leves de hidrocarbonetos ou já se dissociaram (gás livre) ou se dissociarão à medida 
em que o óleo escoa através do poço e sua pressão diminui. O mesmo pode-se dizer da 
produção de gás: há frações pesadas de hidrocarbonetos que se mantêm na fase líquida, ou 
se liquefazem à medida em que a temperatura do gás produzido se reduz ao escoar através 
do poço, ou ainda se condensam à medida em que há uma redução de pressão no sistema. 
Para complicar mais ainda, o que a natureza nos dá é efetivamente um escoamento 
multifásico, pois é usual que poços de óleo e gás produzam água e, em certa medida, 
também areia proveniente da formação rochosa. 
 
Neste curso estaremos concentrados no estudo de fenômenos e processos nos quais o 
escoamento bifásico é dominante na produção de óleo e gás (isto é, os efeitos dominantes 
são, via de regra, ditados pelo escoamento bifásico gás-líquido). Ele, por sí só, já é muito 
mais complicado que o escoamento monofásico de líquido ou gás, e prescindiremos da 
“mãozinha” complicadora da Mãe Natureza, isto é, a presença de mais que duas fases no 
escoamento. Entretanto, é importante ressaltar que a abordagem do Modelo de Dois Fluidos 
é genérica, e pode ser ampliada para escoamentos bifásicos gás-sólido, líquido-sólidos, 
desde que equações constitutivas apropriadas sejam utilizadas, e mesmo para escoamento 
multifásicos, isto é, três ou mais fases, desde que certos procedimentos de dedução sejam 
aplicados de forma mais genérica. 
 
 Escoamentos simultâneos de gás e líquido - escoamentos bifásicos gás-líquido - estão 
presentes não somente na produção de petróleo, mas em inúmeros processos de interesse da 
engenharia. Pode-se citar: 
 
 - produção e transporte de óleo e gás na indústria do petróleo; 
 
 - torres de extração de líquidos, destiladores e outros processos da indústria química; 
 
 - escoamentos em equipamentos de refrigeração (condensadores, evaporadores, 
 torres de resfriamento); 
 
 - misturadores siderúrgicos ( um gá inerte, argônio, por exemplo, usado para misturar 
componentes e o líquido, o aço fundente); 
 
 - bombeio de água por processo de elevação por ar ("gas-lift pump"); 
 
 - escoamentos em plantas de potência; 
 
 - escoamentos em reatores nucleares em situação de emergência, entre outros. 
 
 O escoamento multifásico é um fenômeno cuja análise é mais complexa que a 
aplicada ao escoamento monofásico, quando processos correlatos são analisados. Os 
motivos são variados: 
 
 1- Inicialmente, a presença de mais de uma fase no escoamento, exigindo um número 
adicional de equações para o fechamento ("closure") dos modelos matemáticos que 
expressam o fenômeno físico; 
 
 2- No escoamento multifásico geralmente há uma distribuição espacial das fases, a 
qual não é conhecida "a-priori". Ademais, a distribuição espacial das fases não deixa de ser 
um fenômeno de difícil quantificação. Em muitos casos a interface gás-líquido que separa 
as fases tem forma complicada, além de apresentar movimento aleatório; 
 
 3- Ademais, há mudanças de padrões de escoamento (a distribuição espacial das fases 
determina padrões de escoamento) que dependem de características físicas e operacionais 
do sistema. Estes padrões (algumas vezes também denominados de "regimes do 
escoamento bifásico”) por sua vez alteram e/ou determinam os fenômenos de transferência 
interfacial, isto é, os processos de transferência de massa, de quantidade de movimento e 
energia entre as fases; 
 
 4- E, mais, na medida em que há grande influência do escoamento de cada uma das 
fases no escoamento da outra, a realidade mostra que as variáveis locais (referentes a uma 
posição espacial) de cada fase, como a velocidade, a pressão, etc, podem flutuar no tempo 
com amplitude considerável. Consequentemente, definir, ou calcular ou mesmo medir o 
valor médio de uma variável em escoamento bifásico, requer procedimentos mais 
complexos que aqueles aplicados às variáveis de escoamentos monofásicos 
 
A título introdutório, vou formular, em procedimento muito simplificado, as equações de 
Conservação da Massa e da Quantidade de Movimento para ambos, o escoamento 
monofásico e o escoamento bifásico, para ilustrar os três primeiros aspectos mencionados. 
 
 
As Equações Básicas e o Escoamento de Duas Fases 
 
 Seja um escoamento monofásico (gás ou líquido) ou bifásico (gás + líquido), em uma 
tubulação genérica, como representado na figuras seguinte. Considere a aplicação das 
Equações de Conservação da Massa e Conservação da Quantidade de Movimento 
("Momentum") a um volume de controle delimitado pelas seções transversais 1 e 2 e pela 
parede interna da tubulação. 
 
 
 
A- Conservação da Massa 
 
 Sejam VL e VG as velocidades dos escoamentos de líquido e gás nesta tubulação 
(quando o escoamento monofásico for considerado, só uma das fases existe). Sejam ρL e ρG 
as densidades das fases, tidas como substâncias isotrópicas em A, a área da seção 
transversal, e A1 e A2 as áreas de entrada e saída, respectivamente. Nossa análise 
simplificada será realizada para escoamentos unidimensionais, apesar de haver uma 
distribuição das velocidades locais nas seções de entrada e saída, 1 e 2, veja figura seguinte. 
 
 
As equações para o escoamento unidimensional monofásico e bifásico serão escritas: 
 
 1 - Escoamento monofásico 
 
 
=⊄=== ρρ AVAV 2221 11W massa de fluxo & 
 
1
2
z
z'
β
φ
1
2
VG
VL
VG
VL
onde ξ é o símbolo que indica o valor médio da propriedade genérica ξξξξ na seção 
transversal ao escoamento. 
 
 Solução: conhecidos ρ, A1 e A2, mede-se W& e obtém-se-se as velocidades do 
escoamento monofásico (líquido, no caso) em 1 e 2, V1 e V2 . Para que se recupere a 
informação sobre a distribuição da velocidade na seção transversal, é necessário o 
conhecimento da sua função de distribuição (parabólica, para escoamento laminar, ou perfil 
de potência 1/7, para o escoamento turbulento). 
 
 
 2 - Escoamento bifásico (gás + líquido), sem transferência de massa 
 
 ( ) ( ) =⊄=== ρρ AVAVW LLLLLL 21L líquido de massa de fluxo & 
 
 
 
( ) ( ) =⊄=== ρρ AVAVW GGGGGG 21G gás de massa de fluxo & 
 
onde AG e AL são as áreas ocupadas pelo gás e pelo líquido na seção tranversal, 
respectivamente, e VG e VL são as velocidades médias do gás e do líquido na seção 
transversal ao escoamento, obtidas de 
 
∫=
=
dA
A
1
VV kL,Gk 
 
 Relação entre as áreas: se AG é uma fração da área transversal da tubulação, A, pode-
se escrever: 
 
 
AAG α= , e ( )A1AL α−= , 
 
sendo a variável αααα denominada de "fração de vazio". 
 
 As equações para o líquido e o gás podem ser reescritas como 
 
 ( )[ ]α−ρ= 1AVW LL 1L& 
 
 
[ ]αρ= AVW GG 1G& 
 
 Solução: conhecidos ρL, ρG e A, e medidos WL& e WG& , teremos duas equações e 
três incógnitas: V 1G , V 1L e αααα1. O mesmo procedimento é aplicado à seção transversal 2. 
Note, mais ainda, que para recuperar os valores locais das velocidades, e não somente os 
valores médios, as respectivas funções de distribuição deverão ser conhecidas. 
 
Temos então as seguintes possibilidades para resolver o escoamento, 
matematicamente representado pelo sistema de equações: 
 
 1 – fazer, a priori, VV 1L1G = (razão de deslizamento - "slip ratio" -, unitário 
1/ VV 1L1G = ), característica do que se denomina de “escoamento homogêneo”. Se talmodelo é assumido, pode-se escrever: 
 
 
( ) ( )
α
α
ρ
ρ
α
α
ρ
ρ −
=
−
=
1
1
G
L
1
1
1G
1L
G
L
G
L 11
V
V
W
W
&
&
 
 
 Obtém-se então uma solução para α1, V 1G e V 1L . Os escoamentos que têm o "slip 
ratio" unitário geralmente são idealizações e não acontecem na realidade. Veja o que ocorre 
em um copo de cerveja, logo após você enchê-lo: o gás dissolvido na solução aquosa (e 
alcoólica) de malte, de uma forma quase homogênea em relação à cerveja (líquido) 
dissocia-se e sobe através do meio líquido. Observe que quanto menores são as bolhas, 
menor é a sua velocidade de ascenção. Bolhas maiores sobem mais rápido. Se o líquido 
também estivesse em escoamento, as bolhas também estariam se deslocando em relação ao 
líquido da mesma forma: as menores com menor velocidade relativa, as maiores com maior 
velocidade relativa. Assim, o escoamento de cerveja (e de muitas e muitas outras 
combinações de fluidos em inúmeros sistemas práticos) não pode ser considerado um 
escoamento verdadeiramente homogêneo (as bolhas podem se formar homogeneamente 
distribuídas em relação à cerveja, mas a velocidade das fases não é a mesma, e isso tira uma 
das características de homogeneidade do meio bifásico, que requer a distribuição espacial 
uniforme das fases e homogeneidade do campo de velocidade das fases). De fato, a razão de 
deslizamento é uma função complexa de inúmeras variáveis, como dimensões e 
características geométricas do sistema (diâmetro da tubulação onde ocorre o escoamento, 
sua inclinação com a horizontal, etc), características operacionais (velocidade e pressão do 
escoamento, forma de dispersão de uma fase na outra), propriedades dos fluidos, e mesmo 
da fração de vazio αααα e da distribuição espacial das fases. 
 
2 - ( )xn,...,4x,3x,2x,1xf/ VV LG = , isto é, o “slip ratio” é uma função complexa de 
grande número de variáveis, função esta a determinar (experimentalmente, analiticamente, 
etc). 
 
B - Conservação da Quantidade de Movimento 
 
 
Forças superficiais atuando no VC, vetores velocidade e campo gravitacional 
 
 
 1 - Escoamento Monofásico 
 
 Forças provenientes da ação de: 
 
Pressão: 





 ∆
∂
∂





 ∆
∂
∂
+−




 ∆
∂
∂
+− z
z
A
z
z
p
z
z
p pApAp 11111 
Cisalhamento: 
- φ∆piτ coszDHW 
 
Gravidade: 
β∆piρ− zsen
4
g D
2
H
 
 
 Assim, a Equação de Conservação da Quantidade de Movimento é escrita em termos 
diferenciais (usando a Equação de Conservação da Massa, dividindo todos os termos por 
A∆z, e fazendo ∆z→0): 
 
z
A
z
V
A
W
sengcos
4
z
p
A
p
C
D 1
1
V
H
W
∂
∂
+
∂
∂
+βρ+φ=
∂
∂
−
τ &
 
 
p1
p2=p1
+(dp/dz
)dzττττw
V1
V2
ττττw
g
z
z'
g
∆∆∆∆z
 Na equação anterior DH é o diâmetro hidráulico da tubulação, o ângulo φφφφ determina a 
forma da tubulação, o ângulo ββββ é a inclinação do eixo de simetria da tubulação em relação à 
horizontal, CV é o coeficiente de distribuição davelocidade, o qual leva em conta sua 
distribuição na seção tranversal do escoamento e V é a velocidade média do escoamento 
nesta seção transversal. O coeficiente de distribuição da velocidade surge quando se faz a 
média dos termos da equação na seção tranversal, para determinar a equação 
unidimensional: como a média do produto da velocidade em ∫ ρA VVdAA
1
 não é igual ao 
produto de valores médios, Vρ V , surge o coeficiente de distribuição: 
 
AVV
VVdAC AV ρ
ρ
=
∫
 
 
 Os termos que constituem a perda de carga total, z
p
∂
∂
 são, respectivamente, a perda 
de carga por atrito, a perda de carga gravitacional, a perda de carga por aceleração e, neste 
caso particular, a perda de carga pela variação da área transversal da tubulação (o último 
termo à direita do sinal de igualdade). A solução para esta equação é obtida recorrendo-se à 
equação da conservação da massa. Por exemplo, neste caso de A variável, se o fluido é 
incompressível podemos escrever 
 
0
z
AV
z
VA =
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 Se o fluxo de massa e a geometria da tubulação são conhecidos, pode-se calcular 
dV/dz. No caso do escoamento de um fluido compressível, necessita-se de uma equação de 
estado adicional. Ainda, é necessária uma equação constitutiva para τW. Assim, seja 
V2W 2
1f ρ=τ 
Onde o f é obtido de correlação (diagrama de Moddy, p. exemplo, ou a correlação de 
Blasius para tubo liso, etc). 
 Desta forma chega-se à solução de z
p
∂
∂
, dados W, ρ, A, g, φ, θ e a função 
distribuição da velocidade na seção transversal do escoamento (e uma equação de estado ρ 
= ρ(p,T) e também a temperatura T se o fluido é compressível). Da mesma forma como 
fizemos anteriormente, pode-se assumir um modelo: por exemplo: distribuição uniforme da 
velocidade na seção transversal, o que implica em CV = 1, fluido incompressível, etc, etc. 
 
 
 2 - Escoamento bifásico 
 
 Uma solução simplificada seria dada por 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )VWVWVWVWpp G GL L 1G GL L 2LzW21 ZsengA1ZDA &&&& ++ρρτ −=θ∆α−+α−∆pi−− 
 
onde considerou-se que as pressões e velocidades são são uniformes nas seções 1 e 2 (note 
então que não teremos o termo de covariância Cv no termo de aceleração). Ademais, que a 
tubulação tem diâmetro constante (φ=0), que as fases também estão uniformemente 
distribuídas na seção transversal, e que τW é a tensão cisalhante na parede que resulta do 
escoamento da mistura bifásica. Em termos diferenciais chega-se a: 
 
( )( ) ( )( ) 





α
+
α−∂
∂
+θ∆α−+α+=
∂
∂
−
ρρ
−





 +ρρτ
G
2
L
2
GL
2
LG
W xx1
A
WW
1z
senZgA1
D
4
z
p &&
 
 
sendo o título, x, definido por 
WW
WW
LG
GG
W
x
&&
&&&
& +
==
 
 
 Notar que a solução para a perda de carga desta equação já razoavelmente 
simplificada, quando comparada com a de um escoamento monofásico, é muito mais 
complicada. Observe o termo da aceleração. No caso geral, o processo de transferência de 
massa entre as fases deve ser conhecido, isto é, necessita-se de uma equação constitutiva 
para expressar a variação do título com a posição. Há a necessidade ainda de uma equação 
para a fração de vazio e de uma equação de estado para a densidade. Seja agora um caso 
simples: não há mudança de fase no escoamento (x=⊄), o gás pode ser considerado como 
incompressível e o escoamento está desenvolvido (α=⊄). O termo de aceleração se anula e 
a solução de 




∂
dz
p depende de equações para τW e α. 
 
 Suponha que τW possa ser calculada por equação similar à utilizada em escoamentos 
monofásicos. O problema se transfere então para a determinação do fator de atrito f e da 
pressão dinâmina (1/2ρV2). Referem-se a uma das fases em escoamento ou à mistura? Sob 
que condições operacionais e configurações físicas do sistema? E a fração de vazio, α? 
 
 Suponha que a distribuição espacial das fases seja tal, etc, etc... 
 
 De uma maneira geral, o efeito físico resultante de um escoamento bifásico, quando 
comparado a um escoamento monofásico operacionalmente similar, é o incremento dos 
processos de transferência. E isto se reflete nos modelos matemáticos através dos termos 
mais complexos nas equações de conservação de massa, quantidade de movimento e 
energia. As figuras abaixo são ilustrativas destes efeitos. 
 
 Na Figura 1, é positiva a variação da taxa de incremento do coeficiente de 
transferência de massa, para uma dada variação do número de Reynolds do gás, à medida 
em que adiciona-se líquido ao escoamento (aumento do número de Reynolds do líquido). 
 
 Na figura seguinte é claro o aumento do gradiente total de pressão (atrito mais 
gravitacional maisaceleração) à medida em que o conteúdo de gás aumenta no escoamento, 
para uma dada vazão de líquido, ou vice-versa (implicando, inclusive, na mudança de 
padrão de escoamento). Evidentemente, há um claro aumento no gradiente de pressão em 
relação ao de um escoamento monofásico. 
 
 A última figura ilustra um processo de transferência de calor em um escoamento 
vertical ascendente de ar e água, em termos do coeficiente de película bifásico, htp, versus a 
razão entre as vazões volumétricas de ar e água, jg/jl. Neste caso, a menos de uma pequena 
faixa de condições operacionais nas menores vazões de líquido, o coeficiente de película 
cresce à medida em que aumenta a concentração volumétrica de ar no escoamento. Também 
aquí observa-se a diferença entre os coeficientes associados aos vários padrões de 
escoamento vertical ascendente. 
 
Coeficiente de transferência de massa (escala relativa) de um escoamento bifásico gás-
líquido gas versus número de Reynolds do gás, tendo como parâmetro o número de 
Reynolds do líquido, de Kafesjian, 1961. 
 
 
 
Gradiente de pressão versus vazão de ar, tendo a vazão de água como parâmetro, em um 
escoamento horizontal, do livro de Gouvier e Aziz, Flow Of Complex Mixtures in Pipes 
(veja a lista de referências) 
 
 
 
 
Transferência de calor em escoamento vertical ascendente de ar e água, 
do livro do Collier, Convective Boiling and Condensation (veja a lista de referências). 
 
Sugestão de exercícios: 
 
1- Formular a Equação de Conservação Unidimensional da Quantidade de 
Movimento do escoamento bifásico, passo a passo, preservando as complexidades inerentes 
ao fato de que a tubulação pode ser genérica, com área de seção transversal crescente, que a 
velocidade das fases tem uma distribuição na seção transversal, que as fases podem não ser 
uniformemente distribuídas na seção transversal e que as pressões do líquido e do gás 
podem ser diferentes. 
 
 2- Utilizando o gráfico do gradiente de pressão total retirado do livro de Gouvier e 
Aziz, calcular o gradiente de pressão por atrito em um escoamento de água e ar horizontal 
que tem por velocidades superficiais do líquido e do gás: jL = 0,3 ft/sec e jG = 3,0 ft/sec 
(G&A usam VSL VSG para nomear a velocidade superficial de líquido e gás, 
respectivamente). 
Desprezar o gradiente de pressão por aceleração. Lembrar que a velocidade superficial, jk, é 
a vazão da fase (k = L ou G) dividida pela área da seção transversal da tubulação. O diâmetro 
da tubulação está dado na legenda do gráfico, 1,026 inch pipe.