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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Ceara´ Matema´tica Discreta - Lista de Exerc´ıcios 1 Introduc¸a˜o a` Lo´gica Matema´tica Prof.: Enio Romagnome 1osem/2017 Nos exerc´ıcios a seguir considere as proposic¸o˜es t e c com valores lo´gicos, respectivamente, 1 e 0. 1. Sejam as proposic¸o˜es p : Esta´ frio e q : Esta´ chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposic¸o˜es: (a) ∼ q (b) q ↔ p (c) ∼ p ∧ ∼ q (d) p↔ ∼ q (e) p ∨ ∼ q (f) ∼∼ p 2. Determinar o valor lo´gico de cada uma das seguintes proposic¸o˜es (a) E´ falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3 (b) ∼ (23 6= 8 ∨ 42 6= 43) 3. Sabendo que V (p) = 1, V (q) = 0 e V (r) = 1. Determinar o valor lo´gico de cada uma das seguintes proposic¸o˜es: (a) p ∧ ∼ q ↔ r (b) p ∨ q ↔ r ∧ p (c) q Y ∼ p ∧ ∼ r (d) r → r Y ∼ q (e) p ∨ (∼ q → r ↔ p) (f) (p→∼ r ∧ q) Y ∼ (p ∨ q → p) 4. Determinar V (p) e V (q) em cada um dos casos, sabendo: (a) V (p↔ q) = 1 e V (p ∧ q) = 1 (b) V (p↔ q) = 0 e V (∼ p ∨ q) = 1 5. Avalie as seguintes proposic¸o˜es: (a) ∼ p ∧ r → q ∨ ∼ r (b) p→ r ↔ q ∨ ∼ r (c) p ∨ (∼ q → r ↔ p) (d) ∼ (p ∨ ∼ p) ∨ (q ∨ ∼ q) (e) p↔ (p↔∼ r)↔ q ∧ r (f) ∼ p ∧ (p ∧ ∼ q) (g) p Y ∼ q ↔ r → q (h) (p ∧ q ↔ r) ∨ (∼ p↔ q ∧ r) 6. Mostre que: (a) q ⇒ p→ q (b) p ∧ (p ∨ q)⇔ p) (c) (p→ q) ∧ (q → r)⇒ p→ r (d) q ↔ p ∨ q ⇔ p→ q 7. (a) Mostre que p→ q ⇔∼ p ∨ q. (b) Mostre que q → p⇔∼ q ∨ p. (c) Escreva a bicondicional p↔ q em func¸a˜o apenas dos conectivos ∧, ∨ e ∼. 8. Mostre que: (a) p ∧ p⇔ p (Idempontente) (b) p ∧ q ⇔ q ∧ p (Comutativa) (c) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (Associativa) (d) p ∧ t⇔ p e p ∧ c⇔ c (Identidade) (e) p ∨ p⇔ p (Idempontente) (f) p ∨ q ⇔ q ∨ p (Comutativa) (g) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) (Associativa) (h) p ∨ t⇔ t e p ∨ c⇔ p (Identidade) 1 9. Mostre que: (a) p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (Distributiva) (b) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Distributiva) (c) p ∧ (p ∨ q)⇔ p (Absorc¸a˜o) (d) p ∨ (p ∧ q)⇔ p (Absorc¸a˜o) (e) ∼ (p ∧ q)⇔∼ p ∨ ∼ q (DE MORGAN) (f) ∼ (p ∨ q)⇔∼ p ∧ ∼ q (DE MORGAN) 10. Prove que: p Y q ⇔ (p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q) 11. Determinar (a) A contrapositiva da rec´ıproca de x = 0→ x < 1, (b) A contrapositiva da contra´ria de x < 1→ x < 3. 12. Use o me´todo detutivo para mostrar que: (a) (p ↑∼ p) ↑ (p ↑∼ p)⇔ p ∧ ∼ p (b) p ∧ q ⇒ p ∨ q (c) p→ q ⇒ p ∧ r → q (d) (p ↑ q)⇔ ((p ↓ q) ↓ (q ↓ q)) ↓ ((p ↓ p) ↓ (q ↓ q)) (e) (p→ r) ∨ (q → s)⇔ p ∧ q → r ∨ s (f) ((p→ q) ∧ (p→ r)⇔ p→ q ∧ r 13. Determinar uma Forma Normal Conjuntiva, FNC, equivalente para cada uma das seguintes proposic¸o˜es: (a) (p ∧ ∼ p) ↓ (q ∧ ∼ q) (b) (∼ p ∧ q) Y q (c) (p ↑ q)↔ p (d) p Y ∼ p (e) (∼ (∼ ↑∼ q)) ↓ (r →∼ p) (f) p ↑∼ (q Y q) 2 PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil PC Pencil
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