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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL 
 
 
6.1. Se X é uma variável aleatória com média 5 e variância 8, calcule a média e a variância das 
variáveis aleatórias Y e Z, sabendo que Y = 6 + X e que Z = 2Y – 5. Verifique se Y e Z são 
variáveis aleatórias independentes. 
 
E(Y) = 11 V(Y) = 8 E(Z) = 17 V(Z) = 32 
Y e Z são variáveis dependentes. 
 
 
6.2. Seja T uma variável aleatória com média 5 e variância 10. Define-se as variáveis aleatórias 
X = 5T – 7, Y= 5 – 3T, Z = 4 + 4T + X e W = Y – 2Z. 
a) Encontre a média e a variância das variáveis X, Y, Z e W. 
b) Verifique se X e Y são independentes, justificando. 
c) Verifique se Z e W são independentes, justificando. 
 
a) E(X) = 18; V(X) = 250; E(Y) = -10; V(Y) = 90; 
 E(Z) = 42; V(Z) = 810; E(W) = -94; V(W) = 4.410 
b) X e Y são variáveis dependentes. 
c) Z e W são variáveis dependentes. 
 
6.3. Dada a distribuição bidimensional: 
 
 X 
Y -1 0 1  
-1 1/5 0 1/5 2/5 
 0 0 1/5 0 1/5 
 1 1/5 0 1/5 2/5 
 2/5 1/5 2/5 1 
 
a) Determine E(X), E(Y), V(X), V(Y), E(X+Y), V(X+Y), E(X -Y) e V(X -Y); 
b) Obtenha a covariância e a correlação entre X e Y; 
c) X e Y são independentes? Por quê? 
 
a) E(X) = 0; E(Y) = 0; V(X) = 
5
4
; V(Y) = 
5
4
; 
 E(X+Y) = 0; V(X+Y) = 
5
8
; E(X-Y) = 0; V(X-Y) = 
5
8
 
b) Cov (X,Y) = 0 e  = 0 
c) Não, mas também não são linearmente relacionados. 
 
 
6.4. Numa urna existem 4 bolas brancas, 3 azuis e 3 pretas. Retiram-se três bolas. Considere X 
e Y variáveis aleatórias que indicam, respectivamente, o número de bolas brancas e pretas 
retiradas. 
a) Considerando retiradas com e sem reposição, construa a função de probabilidade conjunta 
respectiva. 
b) O fato de se ter retirado com reposição torna X e Y independentes? 
 
a) Com reposição: 
y-x-3yxy-x-3 y, x,
3 3,03,04,0P y) Y x, P(X 
,  (x, y)  SXY 
 Y 
X 0 1 2 3  
0 0,027 0,081 0,081 0,027 0,216 
1 0,108 0,216 0,108 0 0,432 
 2 
2 0,144 0,144 0 0 0,288 
3 0,064 0 0 0 0,064 
 0,343 0,441 0,189 0,027 1 
 
 Sem reposição: 
3
10
y-x-3
3
y
3
x
4
C
CCC
 y) Y x, P(X 
,  (x, y)  SXY 
 Y 
X 0 1 2 3  
0 0,008 0,075 0,075 0,008 0,167 
1 0,100 0,300 0,100 0 0,500 
2 0,150 0,150 0 0 0,300 
3 0,033 0 0 0 0,033 
 0,292 0,525 0,175 0,008 1 
 
b) Não, a reposição assegura a independência entre as retiradas, mas não entre as 
variáveis. 
 
6.5. Do acasalamento de um touro com vacas de um rebanho podem originar-se descendentes 
aspados ou mochos. Suponha que o touro é acasalado com 3 vacas do rebanho, e que cada 
vaca pare apenas um terneiro. 
a) Especifique o espaço amostral básico do experimento. 
b) Especifique o espaço amostral da seguinte variável aleatória X: número de terneiros com 
aspas. 
c) Suponha que a probabilidade do caráter aspas para os animais do rebanho é 0,75. Especifique 
a função de probabilidade da variável X. 
d) Determine as probabilidades dos seguintes eventos: 
 A: nenhum terneiro com aspas. 
 B: pelo menos um terneiro com aspas. 
Considere, também, a seguinte variável aleatória: 
Y = 



aspastemnãoterneiroprimeiroose0,
aspastemterneiroprimeiroose1,
 
e) Determine a distribuição de probabilidades conjuntas das variáveis aleatórias X e Y. 
f) Determine as distribuições de probabilidades marginais de X e de Y. 
g) São as variáveis aleatórias X e Y independentes? Justifique. 
 
a) S = {AAA, AAM, AMA, MAA, MMA,MAM,AMM, MMM} 
b) SX = {0, 1, 2, 3} 
c) 
x-3x-3 x,
3 25,075,0P x) XP(
x
 P(X = x) = C3,x 0,75x 0,253-x 
 
d) P(A) = 1/64 
 P(B) = 63/64 
e) 
 X 
Y 0 1 2 3 
0 1/64 6/64 9/64 0 
1 0 3/64 18/64 27/64 
 
f) 
 X=x 0 1 2 3  
 p(x) 1/64 9/64 27/64 27/64 1 
 3 
 
 Y=y 0 1  
 p(y) 16/64 48/64 1 
 
g) Não, pois 
 y) Y P( .x) P(Xy) Y x, P(X 