2ª Lista de Exercícios

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Ceara´
Matema´tica Discreta - Lista de Exerc´ıcios 2
Teoria dos Conjuntos
Prof.: Enio Romagnome
1osem/2017
1. Sejam A, B e C treˆs conjuntos quaisquer, prove que:
(a) A ∪ ∅ = A
(b) A ∪ A = A
(c) A ∪B = B ∪ A
(d) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(e) A ∪B = A⇔ B ⊂ A
(f) A ⊂ B, A′ ⊂ B′ ⇒ A ∪ A′ ⊂ B ∪B′
(g) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
(h) A ∩ ∅ = ∅
(i) A ∩ A = A
(j) A ∩B = B ∩ A
(k) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(l) A ∩B = A⇔ A ⊂ B
(m) A ⊂ B, A′ ⊂ B′ ⇒ A ∩ A′ ⊂ B ∩B′
(n) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e E o conjunto Universo. Prove que:
(a) (Ac)c = A
(b) A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac
(c) A = ∅ ⇔ Ac = E
(d) (A ∪B)c = Ac ∩Bc
(e) (A ∩B)c = Ac ∪Bc
(f) A−B = A ∩Bc
3. Se A,X ⊂ E sa˜o tais que A ∩X = ∅ e A ∪X = E, prove que X = Ac.
4. Sejam A, B E C treˆs conjuntos quaisquer, prove que:
(a) A ⊂ B ⇔ B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪ A
(b) A = B ⇔ (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B) = ∅
(c) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C)
(d) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C)
(e) (A−B)× C = (A× C)− (B × C)
(f) A ⊂ A′, B ⊂ B′ ⇒ A×B ⊂ A′ ×B′
5. Prove que (A−B) ∪ (B − A) = (A ∪B)− (A ∩B)
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