Equação da difusão de calor

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ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
UFBA – Universidade Federal da Bahia
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
t
T
cq
z
T
zy
T
yx
T
x
p
































 
(2.13)
Reescrever a equação da difusão de calor considerando:
- Condutividade térmica constante;
- Regime estacionário;
- Ausência de geração de calor;
- Condutividade térmica constante, regime estacionário, sem 
geração de calor;
- Condutividade térmica constante, regime estacionário sem 
geração de calor, unidimensional.
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
Para condutividade térmica constante:
t
Tcq
z
T
y
T
x
T p
2
2
2
2
2
2















(2.14)
ou ainda
t
T1q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2













(2.15)
onde é a difusividade térmica
pc

 
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
Para regime estacionário
(2.16)
0q
z
T
zy
T
yx
T
x































Sem geração de calor:
(2.17)
t
T
c
z
T
zy
T
yx
T
x
p

































2.2.1. Coordenadas Cartesianas
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
Para condutividade térmica constante, regime estacionário, 
sem geração de calor:
0
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2









(2.18)
Para condutividade térmica constante, regime estacionário 
sem geração de calor, unidimensional:
2
2
d T
0
dx

(2.19)
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.2. Coordenadas Cilíndricas
t
T
cq
z
T
z
T
r
1
r
T
r
rr
1
p2 



































 
(2.20)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.2. Coordenadas Cilíndricas















z
T
k
T
r
1
j
r
T
iTq


z
T
q,
T
r
q,
r
T
q zr








 


 
onde
(2.21)
(2.22)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.3. Coordenadas Esféricas
t
T
cq
T
sen
senr
1T
senr
1
r
T
r
rr
1
p222
2
2 





































 
(2.23)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR

















T
senr
1
k
T
r
1
j
r
T
iTq
onde




 









T
senr
q,
T
r
q,
r
T
qr
2.2.3. Coordenadas Esféricas
(2.24)
(2.25)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
● Condição Inicial
Especifica a distribuição de temperatura na origem do 
tempo (t = 0)
● Condições de Contorno
Especificam as condições térmicas nas fronteiras do 
sistema. São três tipos:
- Temperatura conhecida
- Fluxo de calor conhecido
- Convecção na superfície
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
● Temperatura conhecida (Condição de contorno de Dirichlet ou 
de 1ª espécie)
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
1x 0
2x L
T(x,t) T(0,t) T
T(x,t) T(L,t) T


 
 
2T(L,t) T
0 L
x
●
●
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
● Fluxo de calor conhecido (Condição de contorno de Newmann 
ou de 2ª espécie)
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
0
x 0
L
x L
T
q
x
T
q
x



 


  

0 L
x
0
x 0
T
q
x


 

L
x L
T
q
x


  

- Para superfície isolada 
termicamente, tem-se:
s
s
T
q 0
x

  

CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
● Convecção na superfície (Condição de contorno de 3ª espécie)
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
1 1
x 0
T
h (T T(0,t))
x


  

2 2
x L
T
h (T(L,t) T )
x


  

1 1h (T T(0,t)) 2 2h (T(L,t) T )
x 0
T
x



 x L
T
x




Escoam. 
Fluido
T1, h1
Escoam. 
Fluido
T2, h2
Convecção ConvecçãoCondução Condução
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
2
2
d T
0
d x

2T
0 L
x
●
●
Condições de contorno
1
2
para x 0 T T
para x L T T
  
  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
Integrando a 1a vez
1
d dT dT
dx 0dx C 0
d x d x d x
 
    
  
Integrando a 2a vez
1 1 2
dT
dx C dx 0 T C x C 0
d x
      
1 2T C x C  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
Aplicando as condições de contorno
1
2
para x 0 T T
para x L T T
  
  
1 1 2 2 1
1 2
2 1 1 1
para x 0 T C .0 C C T
T T
para x L T C .L T C
L
       

      
Logo
 2 1
1
T T x
T T
L

 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
Aplicando a distribuição de temperatura encontrada na 
Lei de Fourier, resulta:
 2 1
x 1
T T xdT d
q A A T
dx dx L
 
     
 
ou
 2 1
x
T TdT
q A A
dx L

   
 1 2
x
T T
q A
L

 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício:
Seja considerada a parede de um ambiente condicionado
com 0,20m de espessura. Admitindo-se que as
temperaturas nas superfícies externa e interna são
respectivamente 36oC e 20oC determine:
(a) A equação da distribuição de temperatura
(b) O fluxo de calor através da parede
(c) A temperatura no centro da parede.
Considerar k=0,72W/mK