Resolução dos Exercícios Estatística Fácil

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Soluc¸o˜es do Livro: Estat´ıstica Fa´cil
(Antoˆnio Arnot Crespo)
nibblediego@gmail.com
Compilado dia 15/01/2017
Questo˜es resolvidas do livro Estat´ıstica
Fa´cil do Antoˆnio Arnot Crespo. Um bom
livro para quem nunca teve contato com a es-
tat´ıstica descritiva ou inferencial.
Neste documento consta apenas os enun-
ciados e soluc¸o˜es dos problemas propostos,
mas o livro pode ser encontrado para down-
load no Scribd ou em va´rios blogs pela inter-
net gratuitamente.
Caso algum erro de resoluc¸a˜o seja de-
tectado escreva para nibblediego@gmail.com
para que o mesmo seja corrigido.
Att. Diego Oliveira
Suma´rio
1 A NATUREZA DA ESTATI´STICA 3
1.1 Exerc´ıcios (pa´gina 16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 POPULAC¸A˜O E AMOSTRA 6
2.1 Resolva (pa´gina 22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Exerc´ıcio (pa´gina 23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 SE´RIES ESTATI´STICAS 12
3.1 Resolva (pa´gina 33) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Resolva (pa´gina 35) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Exerc´ıcio (pa´gina 36) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 DISTRIBUIC¸A˜O DE FREQUEˆNCIA 19
4.1 Resolva (pa´gina 62) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Resolva (pa´gina 66) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Exerc´ıcios (pa´gina 66) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Exerc´ıcios (pa´gina 76) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 MEDIDAS DE POSIC¸A˜O 39
5.1 Resolva (pa´gina 84) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Resolva (pa´gina 85) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Resolva (pa´gina 88) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
6 PROBABILIDADE 44
6.1 Exerc´ıcios (pa´gina 135) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7 DISTRIBUIC¸A˜O BINOMIAL E NORMAL 57
7.1 Exerc´ıcios (pa´gina 142) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Exerc´ıcios (pa´gina 147) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
1 A NATUREZA DA ESTATI´STICA
1.1 Exerc´ıcios (pa´gina 16)
1. Complete:
O me´todo experimental e´ o mais usado por cieˆncias como...
Soluc¸a˜o:
O me´todo experimental e´ o mais usado por cieˆncias como f´ısica, qu´ımica,
etc..
2. As cieˆncias humanas e sociais, para obterem os dados que buscam, lanc¸am
ma˜o de que me´todo?
Soluc¸a˜o:
Me´todo estat´ıstico.
3. O que e´ Estat´ıstica?
Soluc¸a˜o:
A estat´ıstica e´ uma parte da Matema´tica Aplicada que fornece me´todos
para a coleta, organizac¸a˜o, descric¸a˜o, ana´lise e interpretac¸a˜o de dados e para a
utilizac¸a˜o dos mesmos na tomada de deciso˜es.
4. Cite as fases do me´todo estat´ıstico.
Soluc¸a˜o:
Coleta de dados;
Critica dos dados;
Apurac¸a˜o dos dados;
Exposic¸a˜o ou apresentac¸a˜o dos dados;
Ana´lise dos resultados.
5. Para voceˆ o que e´ coletar dados.
Soluc¸a˜o:
Resposta pessoal.
6. Para que serve a critica dos dados?
3
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Soluc¸a˜o:
E´ nesta fase que os dados sa˜o avaliados a` procura de poss´ıveis falhas e im-
perfeic¸o˜es que poderiam incorrer em erros grosseiros de nossos resultados.
7. O que e´ apurar dados?
Soluc¸a˜o:
Nada mais e´ do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a dis-
tribuic¸a˜o mediante crite´rios de classificac¸a˜o.
8. Como podem ser apresentados ou expostos os dados?
Soluc¸a˜o:
A forma mais adequada ocorre por meio de tabelas ou gra´ficos.
9. As concluso˜es, as infereˆncias pertencem a que parte da Estat´ıstica?
Soluc¸a˜o:
A estat´ıstica descritiva e inferencial respectivamente.
10. Cite treˆs ou mais atividades do planejamento empresarial em que a
Estat´ıstica se faz necessa´ria.
Soluc¸a˜o:
Avaliac¸a˜o de qualidade de um produto;
Selec¸a˜o e organizac¸a˜o de estrate´gia a ser adotada no empreendimento;
Selec¸a˜o de grupos de funciona´rios por eficieˆncia.
11. O me´todo estat´ıstico teˆm como um de seus fins:
a. estudar os fenoˆmenos estat´ıstico;
b. estudar qualidades concretas dos indiv´ıduos que formam grupos;
c. determinar qualidades abstratas dos indiv´ıduos que formam grupos;
d. determinar qualidades abstratas de grupos de indiv´ıduos;
e. estudar fenoˆmenos nume´ricos.
Soluc¸a˜o:
Letra “a”.
4
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
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caso voceˆ pode:
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favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida
correc¸a˜o.
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5
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
2 POPULAC¸A˜O E AMOSTRA
2.1 Resolva (pa´gina 22)
3. Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1◦ serie, 32 na 2◦, 30 na
3◦, 28 na 4◦, 35 na 5◦, 32 na 6◦, 31 na 7◦ e 27 na 8◦.
Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha o quadro da pa´gina seguinte.
Total
8◦
7◦
6◦
5◦
4◦
3◦
2◦
1◦
SE´RIES
250
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
28
· · ·
· · ·
35
POPULAC¸A˜O
· · ·
· · ·
31× 40
250
= · · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
35× 40
250
= 5, 6
CALCULO PROPORCIONAL
40
· · ·
· · ·
· · ·
6
· · ·
· · ·
· · ·
6
AMOSTRA
Soluc¸a˜o:
6
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Total
8◦
7◦
6◦
5◦
4◦
3◦
2◦
1◦
SE´RIES
250
27
31
32
35
28
30
32
35
POPULAC¸A˜O
−
27× 40
250
= 4, 32
31× 40
250
= 4, 96
32× 40
250
= 5, 12
35× 40
250
= 5, 6
28× 40
250
= 4, 48
30× 40
250
= 4, 8
32× 40
250
= 5, 12
35× 40
250
= 5, 6
CALCULO PROPORCIONAL
40
4
5
5
6
4
5
5
6
AMOSTRA
2.2 Exerc´ıcio (pa´gina 23)
1. Uma escola de 1◦ grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra repre-
sentativa correspondendo a 15% da populac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
Alunos (%)
124 100%
x 15%
Usando regra de treˆs simples
124
x
=
100%
15%
⇒ x = 18.6
Como o menor inteiro mais pro´ximo, e maior que 18.6 e´ 19 enta˜o deve se
tomar uma amostra composta de 19 pessoas escolhidas aleatoriamente.
Obs: Os valores fornecidos como soluc¸a˜o pelo livro sa˜o resultado do uso da
tabela de nu´meros aleato´rios no final do mesmo.
4. O diretor de uma escola, na qual esta˜o matriculados 280 meninos e 320
meninas, desejoso de conhecer as condic¸o˜es de vida extra-escolar de seus alunos
7
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
e na˜o dispondo de tempo para entrevistar todas as famı´lias, resolveu fazer um
levantamento, por amostragem, em 10% dessa clientela. Obtenha, para esse
diretor, os elementos componentes da amostra.
Soluc¸a˜o:
Ao todo temos 600 alunos e queremos uma amostra de 10%. Assim, bas-
taria nos obter 10% do nu´mero de meninos e 10% do nu´mero de meninas que
obter´ıamos 10% do total. Veja:
280
x
=
100%
10%
⇒ x = 28 (nu´mero de meninos a compor a amostra)
320
x
=
100%
10%
⇒ x = 32 (nu´mero de meninas a compor a amostra)
Ou seja, do grupo de 280 meninos devem ser escolhidos aleatoriamente 28
alunos e 32 alunas.
Atente para fato de que 60 (32 + 28) e´ 10% do total de alunos (280 + 320).
Como havia sido afirmado.
5. Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo a`s suas escolas de 1◦
grau:
ESCOLASN◦ DE ESTUDANTES
: MASCULINO FEMININO
A 80 95
B 102 120
C 110 92
D 134 228
E 150 130
F 300 290
Total 876 955
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes.
Soluc¸a˜o:
O total de indiv´ıduos da populac¸a˜o e´ de 1834 (879 + 955). Sendo assim uma
amostra de 120 indiv´ıduos representa cerca de 6,54% da populac¸a˜o.
1834
120
=
100%
x
⇒ x ≈ 6, 54%
Assim, basta retirar de cada grupo essa percentagem.
Do grupo de 80 meninos (representado por x80) da turma A devera˜o ser
retirados:
8
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
x(80) = 80
6, 54
100
≈ 5 alunos.
e para os demais grupos:
x102 = 102 · 6, 54
100
≈ 7 alunos.
x110 = 110 · 6, 54
100
≈ 7 alunos.
x134 = 134 · 6, 54
100
≈ 8 alunos.
x150 = 150 · 6, 54
100
≈ 10 alunos.
x300 = 300 · 6, 54
100
≈ 20 alunos.
x95 = 95 · 6, 54
100
≈ 6 alunos.
x120 = 120 · 6, 54
100
≈ 8 alunos.
x92 = 92 · 6, 54
100
≈ 6 alunos.
x228 = 228 · 6, 54
100
≈ 15 alunos.
x130 = 130 · 6, 54
100
≈ 9 alunos.
x290 = 290 · 6, 54
100
≈ 19 alunos.
De posse desses valores o diretor deve fazer a escolha dos alunos de forma
aleato´ria.
6. Uma populac¸a˜o encontra-se dividida em treˆs estratos, com tamanhos,
respectivamente, n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada
uma amostragem estratificada proporcional, nove elementos da amostra foram
retirados do 3◦ estrato, determine o nu´mero total de elementos da amostra.
Soluc¸a˜o:
A populac¸a˜o total e´ a soma dos treˆs estratos (n1, n2, n3), isto e´: 200. Sabe-
mos que do terceiro extrato (n3) foram utilizados apenas 9 elementos, enta˜o
com base nesses dados temos a seguinte proporc¸a˜o:
200
60
=
Amostra
9
que implica numa amostra igual a:
Amostra =
200 · 9
60
= 30
Ou seja, a amostra e´ de 30 indiv´ıduos.
7. Mostre como seria poss´ıvel retirar uma amostra de 32 elementos de uma
populac¸a˜o ordenada formada por 2.432 elementos. Na ordenac¸a˜o real, qual dos
9
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
elementos abaixo seria escolhido para pertencer a amostra, sabendo-se que o
elemento de ordem 1.420 e ela pertence? 1.648◦ , 290◦, 725◦, 2.025◦; 1.120◦.
Soluc¸a˜o:
Isso poderia ser feito com base numa tabela de nu´meros aleato´rios. E se o
elemento de numero 1420 compor essa amostra enta˜o e´ prova´vel que o pro´ximo
elemento seja maior que ele. Considerando os valores fornecidos enta˜o o pro´ximo
elemento deve ser o de nu´mero 1648.
10
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
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11
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
3 SE´RIES ESTATI´STICAS
3.1 Resolva (pa´gina 33)
Complete a tabela abaixo.
ESCOLAS N◦ DE ALUNOS DADOS RELATIVOS
POR 1 POR 100
A 175 0,098 9,8
B 222 · · · · · ·
C 202 · · · · · ·
D 362 · · · · · ·
E 280 · · · · · ·
F 540 · · · · · ·
TOTAL 1.781 1,000 100,0
Ca´lculos:
A→ 175× 1
1.781
= 0, 098
Soluc¸a˜o:
B → 222× 1
1.781
= 0, 125
C → 202× 1
1.781
= 0, 113
D → 362× 1
1.781
= 0, 203
E → 280× 1
1.781
= 0, 157
F → 540× 1
1.781
= 0, 303
ESCOLAS N◦ DE ALUNOS DADOS RELATIVOS
POR 1 POR 100
A 175 0,098 9,8
B 222 0,125 12,5
C 202 0,113 11,3
D 362 0,203 20,3
E 280 0,157 15,7
F 540 0,303 30,3
TOTAL 1.781 1,000 100,0
12
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
3.2 Resolva (pa´gina 35)
1. Uma escola registrou em marc¸o na 1◦ se´rie, a matricula de 40 alunos e a
matr´ıcula efetiva, em dezembro, de 35 alunos. A taxa de evasa˜o foi de:
TEE =
n◦ de evadidos
n◦ matricula inicial
× 100 = 40− 35
40
× 100 = · · ·· · · × 100 = 12, 5%
Soluc¸a˜o:
TEE =
n◦ de evadidos
n◦ matricula inicial
× 100 = 40− 35
40
× 100 = 5
4
× 100 = 12, 5%
2. Calcule a taxa de aprovac¸a˜o de um professor de uma classe de 45 alunos,
sabendo que obtiveram aprovac¸a˜o 36 alunos.
TAE =
n◦ de aprovac¸a˜o
n◦ matriculas final
× 100 = · · ·· · · × · · · = 80%
Soluc¸a˜o:
TAE =
n◦ de aprovac¸a˜o
n◦ matriculas final
× 100 = 36
45
× · · · = 80%
3.3 Exerc´ıcio (pa´gina 36)
1. Considere a se´rie estat´ıstica:
SE´RIES ALUNOS MATRICULADOS %
1a 546
2a 328
3a 280
4a 120
Total 1.274
Complete-a determinando as percentagens com uma casa decimal e fazendo
a compensac¸a˜o, se necessa´rio.
Soluc¸a˜o:
Usando regra de treˆs simples chega-se ao valor da primeira ce´lula vazia.
13
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
1.274
546
=
100%
x
⇒ x = 100 · 546
1.274
≈ 42, 9%
SE´RIES ALUNOS MATRICULADOS %
1a 546 42,9
2a 328
3a 280
4a 120
Total 1.274
Analogamente se calcula os demais valores chegando a tabela a seguir.
SE´RIES ALUNOS MATRICULADOS %
1a 546 42,9
2a 328 25,7
3a 280 22,0
4a 120 9,4
Total 1.274 100
2. Uma escola apresentava no final do ano o seguinte quadro:
SE´RIES
MATRI´CULAS
: MARC¸O NOVEMBRO
1a 480 475
2a 458 456
3a 436 430
4a 420 420
Total 1.794 1.781
a. Calcule a taxa de evasa˜o por se´rie.
b. Calcule a taxa de evasa˜o da escola.
Soluc¸a˜o:
Seja TEn a taxa de evasa˜o da ene´sima se´rie, enta˜o:
TE1 =
Nu´mero de alunos evadidos
nu´mero inicial de alunos
× 100
⇒ TE1 = 480− 475
480
× 100% ≈ 1%
⇒ TE1 ≈ 1%
Analogamente se determina: TE2 = 0.4%; TE3 = 1, 4%; TE4 = 0%.
14
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Seja TE a taxa de evasa˜o da escola, enta˜o:
TE =
Nu´mero de alunos evadidos
nu´mero inicial de alunos
× 100
⇒ TE = 1.794− 1.781
1.794
× 100% ≈ 0.7%
⇒ TE ≈ 0.7%
3. Considere a tabela abaixo:
EVOLUC¸A˜O DAS RECEITAS DO
CAFE´ INDUSTRIALIZADO
JAN/ABR – 1994
MESES VALOR (US$ milho˜es)
Janeiro 33,3
Fevereiro 54,1
Marc¸o 44,5
Abril 52,9
Total 184,8
a. Complete-a com uma coluna de taxas percentuais.
b. Como se distribuem as receitas em relac¸a˜o ao total?
c. Qual o desenvolvimento das receitas de um meˆs para o outro?
d. Qual o desenvolvimento das receitas em relac¸a˜o ao meˆs de janeiro?
Soluc¸a˜o de A:
Usando regra de treˆs simples determina-se o primeiro valor da coluna re-
querida.
184, 8
33, 3
=
100%
x
⇒ x ≈ 18%
MESES VALOR (US$ milho˜es) %
Janeiro 33,3 18
Fevereiro 54,1
Marc¸o 44,5
Abril 52,9
Total 184,8
Analogamente se determina os demais valores.
MESES VALOR (US$ milho˜es) %
Janeiro 33,3 18
Fevereiro 54,1 29,3
Marc¸o 44,5 24,1
Abril 52,9 28,6
Total 184,8 100
15
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Soluc¸a˜o de B:
Olhando para a tabela acima encontramos: 18,0; 29,3; 24,1 e 28,6.
Soluc¸a˜o de C:
A taxa de desenvolvimento de um meˆs em relac¸a˜o a outro pode ser determi-
nado por:
Receita do meˆs 2
Receita do meˆs 1
× 100
Sendo assim, o desenvolvimento de fevereiro em relac¸a˜o a janeiro sera´:
54,1
33, 3
× 100 ≈ 162, 5
De marc¸o em relac¸a˜o a fevereiro.
44,5
54, 1
× 100 ≈ 82, 3
De abril em relac¸a˜o a marc¸o.
52,9
44, 5
× 100 ≈ 118, 9
Soluc¸a˜o de D:
Analogamente a soluc¸a˜o anterior se chega a`:
100, 162, 133,6 e 158,9.
4. Sa˜o paulo tinha, em 1992, uma populac¸a˜o de 32.182,7 mil habitantes.
Sabendo que sua a´rea terrestre e´ de 248.256 km2, calcule a sua densidade de-
monogra´fica.
Soluc¸a˜o:
DM =
n◦ de habitantes
A´rea em km2=
32.182, 7
248.256
≈ 0, 1296 hab/km2
5. Considerando que Minas Gerais, em 1992, apresentou (dados fornecidos
pelo IBGE):
• populac¸a˜o: 15.957,6 mil habitantes;
16
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
• superf´ıcie: 586.624 km2;
• nascimentos: 292.036;
• o´bitos: 99,281.
Calcule:
a. o ı´ndice de densidade demogra´fica;
b. a taxa de natalidade;
c. a taxa de mortalidade.
Soluc¸a˜o de A:
TN =
n◦ de nascimentos
n◦ total de habitantes
× = 292036
15957, 6
× 100% ≈ 1, 83%
TM =
n◦ de mortes
n◦ total de habitantes
× = 99281
15957, 6
× 100% ≈ 0, 62%
6. Uma frota de 40 caminho˜es, transportando, cada um, 8 toneladas, dirige-
se a duas cidades A e B. Na cidade A sa˜o descarregados 65% desses caminho˜es,
por 7 homens, trabalhando 7 horas. Os caminho˜es restantes seguem para a
cidade B, onde 4 homens gastam 5 horas para o seu descarregamento. Em que
cidade se obteve melhor produtividade?
Soluc¸a˜o:
Na cidade A foram descarregados 26 caminho˜es (26% de 40) em 7 horas.
Assim, a velocidade de descarga foi de:
V D =
26
7
≈ 3, 71
Ja´ na cidade B foram descarregados 14 caminho˜es em 5 horas.
V D =
14
5
= 2, 8
Supondo que cada homem trabalhe com o mesmo empenho enta˜o a veloci-
dade dos funciona´rios na cidade A foi de:
V F =
3, 71
7
= 0, 53
e na cidade B
V F =
2, 8
5
= 0, 56
Como 0, 56 > 0, 53 enta˜o podemos afirmar que os funciona´rios da cidade B
sa˜o mais ra´pidos o que gera melhor produtividade.
Resposta: cidade B.
17
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Quer saber quando saira´ a pro´xima atualizac¸a˜o desse documento? Nesse
caso voceˆ pode:
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E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por
favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida
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Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
4 DISTRIBUIC¸A˜O DE FREQUEˆNCIA
4.1 Resolva (pa´gina 62)
1. As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9
a. Complete a distribuic¸a˜o de frequeˆncia abaixo:
i NOTAS xi fi
1 0 ` 2 1 1
2 2 ` 4 · · · · · ·
3 4 ` 6 · · · · · ·
4 6 ` 8 · · · · · ·
5 8 ` 10 · · · · · ·∑
fi = 50
b. Agora, responda:
1. Qual a amplitude amostral?
2. Qual a amplitude de distribuic¸a˜o?
3. Qual o nu´mero de classes da distribuic¸a˜o?
4. Qual o limite inferior da quarta classe?
5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?
6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?
c. Complete:
1. h3 = · · ·
2. n = · · ·
3. l1 = · · ·
4. L3 = · · ·
5. x2 = · · ·
6. f5 = · · ·
Soluc¸a˜o de A:
i NOTAS xi fi
1 0 ` 2 1 1
2 2 ` 4 3 11
3 4 ` 6 5 13
4 6 ` 8 7 16
5 8 ` 10 9 9∑
fi = 50
19
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Soluc¸a˜o de B:
1. AA = Valor ma´ximo da amostra - valor mı´nimo da amostra
⇒ AA = 9− 1
⇒ AA = 8
2. AT = Valor ma´ximo da ultima classe - valor mı´nimo da primeira classe
⇒ AT = 10− 0
⇒ AT = 10
3. Cinco classes. Sa˜o elas: 0 ` 2, 2 ` 4, 4 ` 6, 6 ` 8, 8 ` 10.
4. A quarta classe e´ o intervalo 6 ` 8 cujo limite inferior e´ 6.
5. A classe de ordem 2 e´ o intervalo 2 ` 4 cujo limite superior e´ 4.
6. A classe de ordem 2 e´ o intervalo 2 ` 4 enta˜o:
h2 = L2 − l2
⇒ h2 = 4− 2
⇒ h2 = 2
Soluc¸a˜o de C:
1. h3 = L3 − l3 = 6− 4 = 2
2. n = 50 (nu´mero total de dados)
3. l1 = 0
4. L3 = 3
5. x2 = 3
6. f5 = 9
4.2 Resolva (pa´gina 66)
1. Complete a distribuic¸a˜o abaixo, determinando as frequeˆncias simples:
i xi fi Fi
1 2 · · · 2
2 3 · · · 9
3 4 · · · 21
4 5 · · · 29
5 6 · · · 34∑
= 34
Soluc¸a˜o:
20
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
i xi fi Fi
1 2 2− 0 = 2 2
2 3 9− 2 = 7 9
3 4 21− 9 = 12 21
4 5 29− 21 = 8 29
5 6 34− 29 = 5 34∑
= 34
4.3 Exerc´ıcios (pa´gina 66)
1. Conhecida as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
obtenha a distribuic¸a˜o de frequeˆncias, tendo 30 para limite inferior da primeira
classe e 10 para intervalo de classe.
Soluc¸a˜o:
NOTAS
fi
30 ` 40 ` 50 ` 60 ` 70 ` 80 ` 90 ` 100
4 6 9 11 9 7 4
2. Os resultados do lanc¸amento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5
1 6 3 3 5 1 3 6 3 4
5 4 3 1 3 5 4 4 2 6
2 2 5 2 5 1 3 6 5 1
5 6 2 4 6 1 5 2 4 3
forme uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia sem intervalo de classe.
Soluc¸a˜o:
xi 1 2 3 4 5 6
fi 6 8 9 7 10 10
21
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
3. Considerando as notas de um teste de inteligeˆncia aplicado a 100 alunos:
64 78 66 82 74 103 78 86 103 87
73 95 82 89 73 92 85 80 81 90
78 86 78 101 85 98 75 73 90 86
86 84 86 76 76 83 103 86 84 85
76 80 92 102 73 87 70 85 79 93
82 90 83 81 85 72 81 96 81 85
68 96 86 70 72 74 84 99 81 89
71 73 63 105 74 98 78 78 83 96
95 94 88 62 91 83 98 93 83 76
94 75 67 95 108 98 71 92 72 73
forme uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia.
Soluc¸a˜o:
NOTAS 62 ` 68 ` 74 ` 80 ` 86 ` 92 ` 98 ` 104` 110
fi 5 14 16 24 16 13 10 2
4. A tabela abaixo apresenta as vendas dia´rias de um determinado aparelho
ele´trico, durante um meˆs, por uma firma comercial
14 12 11 13 14 13
12 14 13 14 11 12
12 14 10 13 15 11
15 13 16 17 14 14
Forme uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias sem intervalos de classe.
Soluc¸a˜o:
xi 10 11 12 13 14 15 16 17
fi 1 3 4 5 7 2 1 1
5. Complete a tabela abaixo:
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 · · · · · · · · ·
2 8 ` 16 10 · · · · · · · · ·
3 16 ` 24 14 · · · · · · · · ·
4 24 ` 32 9 · · · · · · · · ·
5 32 ` 40 3 · · · · · · · · ·∑
= 40
∑
= 1, 00
Soluc¸a˜o:
Sabendo que fri =
fi∑
fi
enta˜o:
22
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
fr1 =
f1∑
fi
=
4
40
= 0, 1
fr2 =
f2∑
fi
=
10
40
= 0, 25
fr3 =
f3∑
f1
=
14
40
= 0, 35
...
Sendo assim:
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 0,1 · · · · · ·
2 8 ` 16 10 0,25 · · · · · ·
3 16 ` 24 14 0,35 · · · · · ·
4 24 ` 32 9 0,225 · · · · · ·
5 32 ` 40 3 0,075 · · · · · ·∑
= 40
∑
= 1, 00
A terceira coluna Fi pode ser completada usando a fo´rmula:
Fi =
i∑
n=1
fi
Assim:
F1 =
1∑
n=1
fi ⇒ F1 = f1 = 4
F2 =
2∑
n=1
fi ⇒ F2 = f1 + f2 = 14
F3 =
3∑
n=1
fi ⇒ F3 = f1 + f2 + f3 = 28
...
portanto
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 0,1 4 · · ·
2 8 ` 16 10 0,25 14 · · ·
3 16 ` 24 14 0,35 28 · · ·
4 24 ` 32 9 0,225 37 · · ·
5 32 ` 40 3 0,075 40 · · ·∑
= 40
∑
= 1, 00
23
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Analogamente usando a fo´rmula da pa´gina 64 completamos a terceira coluna.
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 0,1 4 0,1
2 8 ` 16 10 0,25 14 0,35
3 16 ` 24 14 0,35 28 0,7
4 24 ` 32 9 0,225 37 0,925
5 32 ` 40 3 0,075 40 1∑
= 40
∑
= 1, 00
6. Dada a distribuic¸a˜o de frequeˆncia:
xi 3 4 5 6 7 8
fi 2 5 12 10 8 3
Determine
a.
∑
fi:
b. as frequeˆncias relativas;
c. frequeˆncias acumuladas;
d. as frequeˆncias relativas acumuladas.;
Soluc¸a˜o:
a. 40
b. 0,05; 0,125; 0,3; 0,25; 0,2; 0,075
c. 2; 7; 19; 29; 37; 40
d. 0,05; 0,175; 0,475; 0,725; 0,925; 1
Dica: Veja o exerc´ıcio anterior.
7. A tabela a abaixo apresenta uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia das a´reas de
400 lotes:
A´REAS
m2
N◦ DE
LOTES
300 ` 400 ` 500 ` 600 ` 700 ` 800 ` 900 ` 1.000 ` 1.100 ` 1.200
14 46 58 76 68 62 48 226
Com referencia a essa tabela, determine:
a. a amplitude total;
24
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
b. o limite superior da quinta classe;
c. o limite inferior da oitava classe
d. o ponto me´dio da se´tima classe;
e. a amplitude do intervalo da segunda classe;
f. a frequeˆncia da quarta classe;
g. a frequeˆncia relativa da sexta classe
h. a frequeˆncia acumulada da quinta classe;
i. o nu´mero de lotes cuja a´rea na˜o atinge 700m2
j. o nu´mero de lotes cuja a´rea atinge e ultrapassa 800m2
l. a percentagem dos lotes cuja a´rea na˜o atinge 600m2
m. a percentagem dos lotes cuja a´rea seja maior ou igual a 900m2
n. a percentagem dos lotes cuja a´rea e´ de 500m2, no mı´nimo, mas inferior a
1.000 m2;
o. a classe do 72◦ lote;
p. ate´ que classe esta˜o inclu´ıdos 60% dos lotes.
Soluc¸a˜o:
a. 900;
b. 800;
c. 1.000;
d. 950;
e. 100;
f. 76;
g. 0,155;
h 262;
i. 194;
j 138;
l. 29, 5%;
m. 19%;
n. 78%;
o. i = 3;
p. i = 5;
8. A distribuic¸a˜o abaixo indica o nu´mero de acidentes ocorridos com 70
motoristas de uma empresa de oˆnibus.
N◦ de ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7
N◦ MOTORISTAS 20 10 16 9 6 5 3 1
Determine:
a. o nu´mero de motoristas que na˜o sofreram nenhum acidente;
b. o nu´mero de motoristas que sofreram pelo menos 4 acintes
c. o nu´mero de motorista que sofreram menos de 3 acidentes;
d. o nu´mero de motoristas que sofreram no minimo 3 e no ma´ximo 5 aci-
dentes;
e. a percentagem dos motoristas que sofreram no ma´ximo 2 acidentes.
Soluc¸a˜o:
a. 20 b. 15 c. 46 d. 20 e. 65,7%
25
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
9. Complete os dados que faltam na distribuic¸a˜o de frequeˆncia:
a.
i xi fi fri Fi
1 0 1 0,05 · · ·
2 1 · · · 0,15 4
3 2 4 · · · · · ·
4 3 · · · 0,25 13
5 4 3 0,15 · · ·
6 5 2 · · · 18
7 6 · · · · · · 19
8 7 1 · · · · · ·∑
= 20
∑
= 1, 00
b.
i CLASSES xi fi Fi fri
1 0 2 1 4 · · · 0,04
2 2 4 · · · 8 · · · · · ·
3 4 6 5 · · · 30 0,18
4 · · · 7 27 · · · 0,27
5 8 10 · · · 15 72 · · ·
6 10 12 · · · · · · 83 · · ·
7 · · · 13 10 93 0,10
8 14 16 · · · · · · · · · 0,07∑
= · · · ∑ = · · ·
Soluc¸a˜o:
Veja pa´gina 214.
4.4 Exerc´ıcios (pa´gina 76)
1. Considere as distribuic¸o˜es de frequeˆncia seguintes, confeccione, para cada
uma:
a. o histograma;
b. o pol´ıgono de frequeˆncia;
c. o pol´ıgono de frequeˆncia acumulada;
26
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
i.
i PESOS (kg) fi
1 40 ` 44 2
2 44 ` 48 5
3 48 ` 52 9
4 52 ` 56 6
5 56 ` 60 4∑
= 26
ii.
i ESTATURAS (cm) fi
1 150 ` 156 1
2 156 ` 162 5
3 162 ` 168 8
4 168 ` 174 13
5 174 ` 180 3∑
= 30
iii.
i SALA´RIOS (R$) fi
1 500 ` 700 8
2 700 ` 900 20
3 900 ` 1.100 7
4 1.100 ` 1.300 5
5 1.300 ` 1.500 2
6 1.500 ` 1.700 1
7 1.700 ` 1.900 3∑
= 44
Soluc¸a˜o de a:
Apesar de na˜o ser a proposta do livro vamos resolver esse exerc´ıcio usando
o Excel 2013. Enta˜o, abra o Excel e crie uma nova planilha. Com uma tabela
como na imagem a seguir.
Vale lembrar que, nos histogramas, os dados de intervalos correspondem a
coordenada x (horizontal) e os dados de frequeˆncia correspondem a coordenada
y (vertical).
27
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Apo´s ter feito a tabela acima, selecione todos os dados das colunas B e C
como na imagem a seguir
clique na guia inserir e depois no bota˜o Colunas escolhendo o primeiro
item da categoria “Coluna 2D”.
Voceˆ obtera´ algo semelhante com a imagem a seguir.
Note que as barras aparecerem automaticamente, mas o espac¸amento delas
ainda e´ grande demais, fazendo com que nosso histograma parec¸a um gra´fico de
28
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
barra normal.
Para finalizar, clique com o bota˜o direito do mouse em cima de qualquer
uma das barras e selecione a opc¸a˜o “Formatar Se´ries de Dados”. Na janela que
se abre, defina “Largura do Espac¸amento” como 0% e deˆ “Ok”. Agora voceˆ
tera´ algo parecido com a imagem abaixo.
Soluc¸a˜o de b
Para inserir o pol´ıgono de frequeˆncia selecionamos os dados da coluna “C”
como na imagem abaixo.
Clicando com o bota˜o direito do mouse sobre o gra´fico escolha a opc¸a˜o
“Selecionar Dados”.
29
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
A seguinte janela deve aparecer.
Nela, clique no bota˜o “Adicionar”. Isso fara´ com que uma nova janela surja.
30
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Dentro dela, no campo “Valores da se´rie” apague tudo e digite: =Plan1!$C$2:$C$6
Em seguida clique em “ok”.
Voltando a planilha clique em uma das barras que acabaram de surgir dentro
do gra´fico (neste caso uma das barras laranjas).
Agora na guia Design clique em “Alterar Tipo de Gra´fico”.
31
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Na janela que abrir escolha a opc¸a˜o “combinac¸a˜o” do lado esquerdo, clique
no bota˜o “coluna clusterizada” e em seguida deˆ Ok.
O resultado deve ser o seguinte.
32
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Soluc¸a˜o de c
Para construir o pol´ıgono de frequeˆncia acumulada constru´ımos mais duas
colunas na tabela.
Note que a primeira (ls) e´ o valor superior de cada intervalo, ao passo que a
segunda (fc) e´ a soma das frequeˆncias.
Agora selecione as ce´lulas D2 ate´ D7 e E2 ate´ E7 como mostrado a seguir.
Na guia Inserir clique em inserir gra´fico de dispersa˜o. Escolha a opc¸a˜o
Dispersa˜o com linhas retas e marcadores.
33
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
O resultado deve ser o seguinte.
O restante da questa˜o fica a cargo do leitor.
2. Confeccione o gra´fico da distribuic¸a˜o:
A´REAS
N◦ DE
(m2)
LOTES
300 ` 400 ` 500 ` 600 ` 700 ` 800 ` 900 ` 1.000 ` 1.100 ` 1.200
14 46 58 76 68 62 48 22 6
Soluc¸a˜o:
Soluc¸a˜o no fim do livro.
3. Confeccione a curva polida relativa a distribuic¸a˜o de frequeˆncia:
34
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
i CLASSES fi
1 4 ` 8 2
2 8 ` 12 5
3 12 ` 16 9
4 16 ` 20 6
5 20 ` 24 2
6 24 ` 28 1∑
= 25
Soluc¸a˜o:
i CLASSES fi fci
1 4 ` 8 2 (0 + 2 · 2 + 5)/4 = 2.25
2 8 ` 12 5 (2 + 2 · 5 + 9)/4 = 5.25
3 12 ` 16 9 (5 + 2 · 9 + 6)/4 = 7.25
4 16 ` 20 6 (9 + 2 · 6 + 2)/4 = 5.75
5 20 ` 24 2 (6 + 2 · 2 + 1)/4 = 2.75
6 24 ` 28 1 (2 + 2 · 1 + 0)/4 = 1∑
= 25
O gra´fico enta˜o e´ a curva que passa pelos pontos da tabela a seguir.
x y
(4 + 8)/2 2.25
(8 + 12)/2 5.25
(12 + 16)/2 7.25
(16 + 20)/2 5.75
(20 + 24)/2 2.75
(24 + 28)/2 1
⇒
x y
6 2.25
(10 5.25
14 7.25
18 5.75
22 2.75
26 1
4. Examinando o histograma abaixo, que corresponde a`s notas relativas a`
aplicac¸a˜o de um teste de inteligencia a um grupo de alunos, responda:
a. Qual e´ o intervalo de classe que tem maior frequeˆncia?
b. Qual a amplitude total de distribuic¸a˜o;
c. Qual o nu´mero total de alunos?
d. Qual a frequeˆncia do intervalo de classe 110 ` 120?
e. Quais os dois intervalos de classe tais que a frequeˆncia de um e´ o dobro
da frequeˆncia do outro?
f. Quais sa˜o os dois intervalos de classe tais que a frequeˆncia de um e´ o dobro
da frequeˆncia do outro?
g. Quantos alunos receberam notas de testes entre 90 (inclusive) e 110?
h. Quantos alunos receberam notas na˜o-inferiores a 100?
35
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Soluc¸a˜o:
Soluc¸a˜o ao final do livro.
5. Cite o tipo de curva correspondente a cada distribuic¸a˜o a seguir:
a. Nu´mero de mulheres de 15 a 30 alunos, em uma dada populac¸a˜o, casadas,
classificadas segundo o nu´mero de vezes que hajam contra´ıdo matrimonio.
b. Notas de alunos que cursam a ultima se´rie do 2◦ grau, em uma dada
populac¸a˜o.
c. Coeficientes de mortalidade por acidente, por grupo de idade.d. Tempo de estacionamento de ve´ıculos motorizados em uma a´rea de con-
gestionamento.
e. Nu´mero de homens capacitados, por grupo de idade, que esta˜o desempre-
gados em uma determinada e´poca.
Soluc¸a˜o:
Soluc¸a˜o ao final do livro.
6. Conhecida as notas de 50 alunos
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
determine
a. a distribuic¸a˜o de frequeˆncia comec¸ando por 30 e adotando o intervalo de
classe de amplitude igual a 10;
36
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
b. as frequeˆncias acumuladas;
c. as frequeˆncias relativas;
d. o histograma e o pol´ıgono de frequeˆncia.
Soluc¸a˜o:
Soluc¸a˜o no fim do livro.
7. A tabela abaixo apresenta os coeficientes de liquidez obtidos com a ana´lise
de balanc¸o em 50 industrias:
3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,6
18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7
4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 0,8 4,4
7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9
4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 16,0
a. Forme com essas dados uma distribuic¸a˜o com intervalos de classe iguais
a 3, tais que os limites inferiores sejam mu´ltiplos de 3.
b. Confeccione o histogramas e o pol´ıgono de frequeˆncia correspondentes.
Soluc¸a˜o:
Soluc¸a˜o no fim do livro.
8. Um grau de nebulosidade registrado em de´cimos, ocorre de acordo com a
distribuic¸a˜o abaixo:
NEBUL.
fi
0 ` 0,5 ` 1,5 ` 2,5 ` 3,5 ` 4,5 ` 5,5 ` 6,5 ` 7,5 ` 8,5 ` 9,5 ` 10,0
320 125 75 65 45 45 55 65 90 145 675
Construa o histograma correspondente.
Soluc¸a˜o:
Soluc¸a˜o no fim do livro.
37
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
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38
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
5 MEDIDAS DE POSIC¸A˜O
5.1 Resolva (pa´gina 84)
1. Complete o esquema para o ca´lculo da me´dia aritme´tica da distribuic¸a˜o:
xi 1 2 3 4 5 6
fi 2 4 6 8 3 1
Temos:
xi fi xifi
1 2 2
2 4 ...
3 6 ...
4 8 ...
5 3 ...
6 1 ...∑
= ...
∑
= ...
Como
∑
fi = ....,
∑
xifi = ...
e
x =
∑
xifi∑
fi
temos:
x =
...
...
⇒ x = 3, 4
Soluc¸a˜o:
Primeiro completamos a tabela.
xi fi xifi
1 2 2
2 4 8
3 6 18
4 8 32
5 3 15
6 1 6∑
= 24
∑
= 81
Como
∑
fi = 24,
∑
xifi = 81
e
x =
∑
xifi∑
fi
=
81
24
= 3, 375
temos que a me´dia e´ de exatamente 3,375.
39
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
5.2 Resolva (pa´gina 85)
1. Complete o esquema para o ca´lculo da me´dia aritme´tica da distribuic¸a˜o:
450 550 650 750 850 950 1.050 1.150` ` ` ` ` ` `
8 10 11 16 13 5 1
CUSTO
R$
fi
Temos:
i xi fi xifi
1 500 8 4.000
2 ... 10 ...
3 ... 11 ...
4 ... 16 ...
5 ... 13 ...
6 ... 5 ...
7 1.100 1 ...∑
= ...
∑
= ...
Logo:
x =
...
...
= ...,
donde
x = R$ 755
Soluc¸a˜o:
Primeiro completamos a tabela.
i xi fi xifi
1 500 8 4.000
2 (550 + 650)/2 = 600 10 6.000
3 (650 + 750)/2 = 700 11 7.700
4 (750 + 850)/2 = 800 16 12.800
5 (850 + 950)/2 = 900 13 11.700
6 (950 + 1.050)/2 = 1.000 5 5.000
7 1.100 1 1.100∑
= 64
∑
= 48.300
Finalmente calculamos a me´dia.
x =
∑
xifi∑
fi
=
48.300
64
= 754, 6875
40
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
5.3 Resolva (pa´gina 88)
1. Complete o esquema para o ca´lculo da me´dia aritme´tica da distribuic¸a˜o:
CUSTOS (R$ ) 30 ` 50 ` 70 ` 90 ` 110 ` 130
fi 2 8 12 10 5
S
Temos:
i xi fi yi xifi
1 40 ... ... ...
2 ... ... ... ...
3 ... 12 ... ...
4 ... ... ... ...
5 ... ... 2 ... ...
x0
∑
= ...
∑
= ...
Como:
h = ...
vem: x = ...+
...× ...
...
= ...+ ...⇒ x = 84, 3
Soluc¸a˜o:
O primeiro passo e´ determinar a coluna do x.
i xi fi yi yifi
1 40 ... ... ...
2 (50+70)/2 = 60 ... ... ...
3 (70+90)/2=80 12 ... ...
4 (90+110)/2=100 ... ... ...
5 (110+130)/2=120 ... 2 ... ...
x0
∑
= ...
∑
= ...
A terceira coluna fi pode ser preenchida olhando a tabela.
i xi fi yi yifi
1 40 2 ... ...
2 60 8 ... ...
3 80 12 ... ...
4 100 10 ... ...
5 120 5 2 ... ...
x0
∑
= 37
∑
= ...
Como a variac¸a˜o das classes ocorrem de 20 em 20 (de 30 para 50, de 50 para
70 e etc.) enta˜o h = 20.
Como y5 = 2 enta˜o:
41
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
yi =
xi − x0
h
⇒ y5 = x5 − x0
h
= 2⇒ x5 − x0
20
⇒ x0 = 80
Assim, x0 = 80.
De posse desses valores determinamos a 4a coluna.
y1 =
x1 − x0
h
=
40− 80
20
= −2
y2 =
x2 − x0
h
=
60− 80
20
= −1
y3 =
x3 − x0
h
=
80− 80
20
= 0
y4 =
x4 − x0
h
=
100− 80
20
= 1
y5 =
x5 − x0
h
=
120− 80
20
= 2
i xi fi yi yifi
1 40 2 -2 ...
2 60 8 -1 ...
3 80 12 0 ...
4 100 10 1 ...
5 120 5 2 ... ...
x0
∑
= 37
∑
= ...
E tambe´m a 5a coluna.
i xi fi yi yifi
1 40 2 -2 -4
2 60 8 -1 -8
3 80 12 0 0
4 100 10 1 10
5 120 5 2 10
x0
∑
= 37
∑
= 8
como: x = x0 +
∑
yifi × h∑
fi
= 80 +
8× 20
37
⇒ x ' 84, 3
42
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43
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
6 PROBABILIDADE
6.1 Exerc´ıcios (pa´gina 135)
1. determinar a probabilidade de cada evento:
a. um nu´mero par aparece no lanc¸amento de um dado.
b. uma figura aparece ao se extrair uma carta de baralho de 52 cartas.
c. uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de baralho de 52
cartas.
d. uma so´ coroa aparece no lanc¸amento de 3 moedas.
Soluc¸a˜o:
a. Seja Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {2, 4, 6} enta˜o:
p =
n(E)
n(Ω)
=
3
6
=
1
2
b. Existem 12 cartas com figuras no baralho tradicional de 52 cartas enta˜o:
p =
12
52
=
3
13
c. Existem 13 cartas com figuras no baralho tradicional de 52 cartas enta˜o:
p =
13
52
=
1
4
d. Seja Ω = {(c, c, c), (c, c, k), (c, k, c), (c, k, k), (k, c, c), (k, c, k), (k, k, c), (k, k, k)}
e E = {(c, k, k), (k, c, k), (k, k, c)} enta˜o:
p =
n(E)
n(Ω)
=
3
8
2. Um nu´mero inteiro e´ escolhido aleatoriamente dentre 1, 2, 3... 49, 50.
Determine a probabilidade de:
a. o nu´mero ser divis´ıvel por 5
b. o nu´mero terminar em 3
c. um nu´mero ser divis´ıvel por 6 ou por 8;
d. um nu´mero ser divis´ıvel por 4 e por 6;
Soluc¸a˜o:
a. Seja Ω = {1, 2, ..., 50} e E = {5, 10, 15, ..., 50} enta˜o:
p =
n(E)
n(Ω)
=
10
50
=
1
5
b. Nesse caso temos, Ω = {1, 2, ..., 50} e E = {3, 13, 23, 33, 43} enta˜o:
44
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
p =
n(E)
n(Ω)
=
5
50
=
1
10
c. Esse problema pode exigir conhecimento de sequeˆncia. Mas o diagrama
a seguir mostra a relac¸a˜o de divisibilidade do espac¸o amostral entre 6 e 8.
4 2 6
N◦ divis´ıvel por 8
N◦ divis´ıl por 6
Seja enta˜on(Ω) = 50, n(8) = 6, n(6) = 8, n(8∩6) = 2, a probabilidade sera´:
p(8 ∪ 6) = p(8) + p(6)− p(8 ∩ 6)
⇒ p(8 ∪ 6) = 6
50
+
8
50
− 2
50
⇒ p(8 ∪ 6) = 6
25
d. um nu´mero e´ divis´ıvel por 4 e por 6 apenas se for divis´ıvel pelo mmc de
4 e 6, isto e´, 12. Usando o conhecimento de sequeˆncia descobrimos que existem
4 nu´meros entre 1 e 50 divis´ıvel por 12. Sendo assim:
p =
4
50
=
2
25
3. Dois dados sa˜o lanc¸ados simultaneamente. Determine a probabilidade de:
a. a soma ser menor que 4;
b. a soma ser 9;
c. o primeiro resultado ser maior que o segundo;
d. a soma ser menor ou igual a 5;
Soluc¸a˜o:
a. Veja a tabela de possibilidades a seguir.
45
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
Nesse caso ter´ıamos n(Ω) = 36 e E = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Logo:
p =
n(E)
n(Ω)
=
3
36
b. Nesse caso ter´ıamos E = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} o que implicaria em:
p =
4
36
c. p =
15
36
=
5
12
d. p =
5
18
4. Uma moeda e´ lanc¸ada duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a. na˜o ocorrer cara nenhuma vez;
b. obter-se cara na primeira ou na segunda jogada.
Soluc¸a˜o:
a. O espac¸o amostral para o lanc¸amento de duas moedas e´ Ω = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}.
E sendo E = {(k, k)} enta˜o:
p =
n(E)
n(Ω)
=
1
4
b. Nesse caso temos E = {(c, k), (k, c)} enta˜o:
p =
n(Ω)
=
2
4
5. Um inteiro entre 3 e 11 sera´ escolhido ao acaso.
46
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
a. qual a probabilidade de que este nu´mero seja ı´mpar?
b. qual a probabilidade de que este nu´mero seja ı´mpar e divis´ıvel por 3?
Soluc¸a˜o:
a. Nesse caso Ω = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e E = {1, 3, 7, 9} e enta˜o
p =
n(E)
n(Ω)
3
7
b. O u´nico nu´mero impar divis´ıvel por 3 e´ o pro´prio 3 e o 9, sendo assim:
p =
2
7
6. Uma carta e´ retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a
probabilidade de que a carta retirada seja uma dama ou uma carta de copas?
Soluc¸a˜o:
Existem 4 damas no baralho e 14 cartas de copas.
3 1 13
Damas
Copas
Logo existe 16 cartas que satisfazem a condic¸a˜o dada, assim:
p =
16
52
=
4
13
7. No lanc¸amento de dois dados, qual e´ a probabilidade de se obter um par
de pontos iguais?
Soluc¸a˜o:
Olhando a tabela de possibilidades da questa˜o 3 enta˜o n(Ω) = 36 e n(E) = 6
de modo que:
47
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
p =
n(E)
n(Ω)
=
6
36
=
1
6
8. Em um lote de 12 pec¸as, 4 sa˜o defeituosas. Sendo retiradas aleatoria-
mente 2 pec¸as, calcule:
a. a probabilidade de ambas serem defeituosas;
b. a probabilidade de ambas na˜o serem defeituosas;
c. a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
Soluc¸a˜o:
a. Nesse caso, devemos usar a fo´rmula de contagem.
Cn,p =
n!
p!(n− 1)p!
Assim:
p =
C4,2
C12,2
=
1
11
Tambe´m poder´ıamos pensar assim:
A probabilidade da 1o pec¸a ser defeituosa e´ de
4
12
. Considerando que a pec¸a
na˜o foi colocada de volta na produc¸a˜o, enta˜o a probabilidade da segunda ser
defeituosa (dada que a primeira foi defeituosa tambe´m) seria de
3
11
.
Considerando a escolha como eventos independentes
p =
4
12
· 3
11
=
12
132
=
1
11
p =
C
C
· 3
11
=
12
132
=
1
11
c.
p =
C4,1 × C8,1
C12,2
=
4× 8
66
9. No lanc¸amento de um dado, qual e´ a probabilidade de sair o nu´mero 6
ou um nu´mero ı´mpar?
Soluc¸a˜o:
48
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
A probabilidade de sair um 6 e´ de:
p1 =
1
6
ja´ de sair um ı´mpar e´ de
p2 =
3
6
logo a probabilidade de sair um ı´mpar ou um 6 e´ de:
p = p1 + p2 =
1
6
+
3
6
=
2
3
10. Duas cartas sa˜o retiradas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule
a probabilidade de se obterem:
a. dois valetes;
b. um valete e uma dama.
Soluc¸a˜o:
a. p =
C4,2
C52,2
=
1
21
b. O nu´mero de pares ordenados que podem ser feitos com um valete e uma
dama e´ 16 (4× 4). Logo:
p =
16
C52,2
=
8
663
Considerando, no entanto, que na˜o haja reposic¸a˜o, enta˜o:
p =
4
52
× 4
51
=
4
663
11. Um casal planeja ter 3 filhos. Determine a probabilidade de nascerem?
a. treˆs homens;
b. dois homens e uma mulher.
Soluc¸a˜o:
a. A probabilidade do 1o filho ser homem e´ de 1/2. O mesmo ocorre para o
2o e 3o filho. Sendo assim:
p =
1
2
× 1
2
× 1
2
=
1
8
49
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
b. Observando o diagrama conclu´ı-se que p =
3
8
.
H M
H M H M
H M H M H M H M
12. Uma moeda e´ lanc¸ada treˆs vezes.determine a probabilidade de se obter-
mos:
a. treˆs caras;
b. duas caras e uma coroa;
c. uma cara somente;
d. nenhuma cara;
e. pelo menos uma cara;
f. no ma´ximo uma cara.
Soluc¸a˜o:
O espac¸o amostral para o lanc¸amento de duas moedas e´ Ω = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
enta˜o:
a. p =
1
8
b. p =
3
8
c. p =
3
8
d. p =
1
8
e. p =
7
8
f. p =
4
8
=
1
2
13. Um dado e´ lanc¸ado duas vezes.Calcule a probabilidade de?
a. sair um 6 no primeiro lanc¸amento;
b. sair um 6 no segundo lanc¸amento;
50
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
c. na˜o sair 6 em nenhum lanc¸amento;
d. sair um 6 pelo menos.
Soluc¸a˜o:
a. p1 =
1
6
b. p2 =
1
6
c. p3 =
5
6
× 5
6
=
25
36
d. p(A ∪B) = 1
6
+
1
6
− 1
36
=
11
36
14. Uma urna conte´m 50 bolas ideˆnticas. Sendo as bolas numeradas de 1 a
50, determine a probabilidade de, em uma extrac¸a˜o ao acaso?
a. obtermos a bola de nu´mero 27;
b. obtermos uma bola de nu´mero par;
c. obtermos uma bola de nu´mero maior que 20;
d. obtermos uma bola de nu´mero menor ou igual a 20.
Soluc¸a˜o:
a. So´ existe uma bola com nu´mero 27 em meio a cinquenta bolas ideˆnticas,
enta˜o a probabilidade e´:
p =
1
50
b. Existem 25 bolas pares, enta˜o a probabilidade e´:
p =
25
50
=
1
2
c. Sa˜o 30 bolas com nu´mero maior que 20 em 50 bolas ideˆnticas, enta˜o a
probabilidade e´:
p =
30
50
=
3
5
d. Sa˜o 20 bolas com nu´mero menor ou igual a 20 em 50 bolas ideˆnticas,
enta˜o a probabilidade e´:
p =
20
50
=
2
5
15. Uma loja dispo˜e de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam
defeitos.
51
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
a. Se um fregueˆs vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar
uma defeituosa?
b. Se um fregueˆs vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar
duas defeituosas?
c. Se um fregueˆs vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar
pelo menos uma defeituosa?
Soluc¸a˜o:
a. p =
4
12
=
1
3
b. A probabilidade de escolher a 1◦ geladeira e esta ser defeituosa e´ de:
p1 =
4
12
=
1
3
Ja´ a probabilidade de se escolher a 2a geladeira defeituosa (levando sem
conta que ja´ retiramos uma) e´ de:
p2 =
3
11
Sendo assim, a probabilidade de levar duas defeituosas e´ de:
p = p1 × p2 = 1
3
× 3
11
=
1
11
c. Nesse caso somamos a probabilidade de levar uma defeituosa com a prob-
abilidade de levar duas defeituosas:
p =
1
3
+
1
11
=
14
33
16. Um par de dados e´ atirado. Encontre a probabilidade de que a soma
seja 10 ou maior que 10 se:
a. um 5 aparece no primeiro dado;
b. um 5 aparecepelo menos em um dos dados.
Soluc¸a˜o:
a. Observando o diagrama da questa˜o 3 chegamos a conclusa˜o de que:
p =
1
3
b. p =
1
12
17. Lanc¸a-se um par de dados. Aparecendo dois nu´meros diferentes, encon-
tre a probabilidade de que:
52
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
a. a soma seja 6;
b. o 1 aparec¸a;
c. a Soma seja 4 ou menos que 4.
Soluc¸a˜o:
O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´ constitu´ıdo de 36 possi-
bilidades (6× 6).
Como esta condicionado que os nu´meros sa˜o diferentes, o espac¸o amostral
fica reduzido a 30 possibilidades. Sendo assim:
a. p =
4
30
b. p =
10
30
ou
1
3
c. Nesse caso E = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)} e portanto:
p =
4
30
18. Um lote e´ formado por 10 pec¸as boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos
graves. Uma pec¸a e´ escolhida ao acaso. Calcule a Probabilidade de que:
a) ela na˜o tenha defeitos graves;
b) ela na˜o tenha defeitos;
c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.
Soluc¸a˜o:
a) O nu´mero de pec¸as que na˜o tenham defeitos graves e´ 14 (10 + 4). Enta˜o
a probabilidade e´:
p
14
16
=
7
8
b. O nu´mero de pec¸as que na˜o tenham defeitos e´ 10. Enta˜o a probabilidade
e´:
p =
10
16
=
5
8
c. O nu´mero de pec¸as que sa˜o boas ou que tenham defeitos graves e´ 12 (10
+ 2). Logo a probabilidade e´:
p =
12
16
=
3
4
19. Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 pec¸as ao
acaso. Qual a probabilidade de que:
53
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
a. ambas sejam perfeitas?
b. pelo menos uma seja perfeita;
c. nenhuma tenha defeitos graves;
d. nenhuma seja perfeita.
Soluc¸a˜o:
a. A probabilidade de se retirar a primeira pec¸a boa e´ de 10/16. Uma vez
tendo retirado essa pec¸a a probabilidade de retirar uma segunda, tambe´m boa,
e´ de (10-1)/(16-1) ou 9/15. Sendo assim:
p =
10
16
× 9
15
=
3
8
b. A probabilidade de que a primeira pec¸a retirada seja boa e que a segunda
seja ruim e´ de:
p1 =
10
16
× (4 + 5)
15
=
1
4
A probabilidade de que a segunda pec¸a retirada seja boa e a primeira ruim
e´:
p2 =
(4 + 5)
15
× 10
16
=
1
4
Ja´ a probabilidade das duas pec¸as serem boas, calculado no item a, e´ de:
p3 =
3
8
Sendo assim, a probabilidade de ao menos uma ser boa e´ de:
p = p1 + p2 + p3 =
1
4
+
1
4
+
3
8
⇒ p = 7
8
c. A probabilidade de que a primeira pec¸a na˜o tenha defeitos graves e´ de:
p1 =
14
16
ja´ probabilidade de que a segunda pec¸a na˜o tenha defeitos graves, dado que
foi retirada a primeira na mesma condic¸a˜o, e´ de:
p2 =
13
15
Sendo assim:
p = p1 × p2 = 14
16
× 13
15
=
182
240
=
91
120
d. A probabilidade de que a primeira pec¸a na˜o seja perfeita e´ de:
p1 =
6
16
54
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
ja´ probabilidade de que a segunda pec¸a na˜o seja perfeita, dada que foi reti-
rada a primeira na mesma condic¸a˜o, e´ de:
p2 =
5
15
Sendo assim:
p = p1 × p2 = 6
16
× 5
15
=
30
240
=
1
8
55
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Quer saber quando saira´ a pro´xima atualizac¸a˜o desse documento? Nesse
caso voceˆ pode:
• verificar diretamente no blog (www.number.890m.com);
• ou me seguir no Facebook (www.facebook.com/diegoguntz).
E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por
favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida
correc¸a˜o.
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Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matema´tica acesse:
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56
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
7 DISTRIBUIC¸A˜O BINOMIAL E NORMAL
7.1 Exerc´ıcios (pa´gina 142)
1. Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances
de uma moeda.
Soluc¸a˜o:
O nu´mero de lanc¸amentos n e´ 6.
Ja´ a probabilidade de se obter uma cara em um lanc¸amento p e´ de
1
2
.
O nu´mero de sucessos k que estamos considerando e´ 3.
Por fim a probabilidade de insucesso q e´ de
1
2
.
q = 1− p⇒ q = 1− 1
2
=
1
2
Logo:
P (X = 3) =
(
6
3
)
×
(
1
2
)3
×
(
1
2
)6−3
=
5
16
2. Jogando-se um dado treˆs vezes, determine a probabilidade se de obter um
mu´ltiplo de 3 duas vezes.
Soluc¸a˜o:
O nu´mero de lanc¸amentos n e´ 3.
Ja´ a probabilidade de se obter um mu´ltiplo de 3 em um u´nico lanc¸amento p
e´ de
1
3
.
O nu´mero de sucessos k, em se obter um mu´ltiplo de 3, que estamos con-
siderando e´ 2.
Por fim a probabilidade de insucesso q e´ de
2
3
.
q = 1− p⇒ q = 1− 1
3
=
2
3
Logo:
P (X = 2) =
(
3
2
)
×
(
1
3
)2
×
(
2
3
)3−2
=
2
9
3. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a proba-
bilidade de o time A:
a. ganhar dois ou treˆs jogos;
57
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
b. ganhar pelo menos um jogo.
Soluc¸a˜o de A:
Pela propriedade de soma das probabilidades sabemos que:
P (2 ou 3) = P (2) + P (3)
Onde:
P (2) =
(
6
2
)
×
(
1
3
)2
×
(
2
3
)6−2
=
240
729
e
P (3) =
(
6
3
)
×
(
1
3
)3
×
(
2
3
)6−3
=
160
729
O que implica em:
P (2 ou 3) =
240
729
+
160
729
=
400
729
Soluc¸a˜o de B:
Nesse caso vamos determinar a probabilidade de A na˜o ganhar nenhuma
partida e depois encontrar a probabilidade do evento complementar. Que e´ a
probabilidade do time A ganhar ao menos uma partida.
P (0) =
(
6
0
)
×
(
1
3
)0
×
(
2
3
)6
⇒ P (0) = 64
729
Como o que queremos e´ o complementar, enta˜o:
P(A ganhar pelo menos um jogo) = 1− 64
729
P(A ganhar pelo menos um jogo) =
665
729
.
4. A probabilidade de um atirador acertar o alvo e´
2
3
. Se ele atirar 5 vezes,
qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?
Soluc¸a˜o:
P (2) =
(
5
2
)
×
(
2
3
)2
×
(
1− 2
3
)5−2
58
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
⇒ P (2) = 5
2
× 4
9
× 1
27
⇒ P (2) = 40
243
5. Seis parafusos sa˜o escolhidos ao acaso da produc¸a˜o de certa ma´quina, que
apresenta 10% de pec¸as defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos
dois deles?
Soluc¸a˜o:
P (2) =
(
6
2
)
× (0, 1)2 × (1− 0, 1)6−2
⇒ P (2) =
(
6
2
)
× (0, 1)2 × (0, 9)4
⇒ P (2) = 0, 098415 ou 9,8415%.
59
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
7.2 Exerc´ıcios (pa´gina 147)
As soluc¸o˜es desta pa´gina foram retiradas da lista do professor Mauricio
Lutz do Instituto Federal farroupilha de Alegrete - RS.
Dispon´ıvel em:
http://iffmauricio.pbworks.com/f/Distribui%C3%A7%C3%A3o+Normal.pdf
1. Sendo z uma varia´vel com distribuic¸a˜o normal reduzida, calcule:?
a. P (0 < Z < 1, 44) e. P (Z > −2, 03)
b. P (−0, 85 < Z < 0) f. P (Z > 1, 08)
c. P (−1, 48 < Z < 2, 05) g. P (Z > −0.66)
d. P (0, 72 < Z < 1, 89) h. P (Z < 0, 60)
Soluc¸a˜o:
a. Procurando o valor de z = 1,44 na tabela e´ chega-se 0,4251 ou 42,51%.
b. Por simetria da distribuic¸a˜o normal P (−0, 85 < Z < 0) = P (0 < Z <
0.85) = 0.3023
c. P (−1, 48 < Z < 2, 05) = P (−1, 48 < Z < 0) + P (0 < 2, 05)
= P (0 < Z < 1, 48) + P (0 < Z < 2, 05) = 0, 4306 + 0, 4798
= 0, 9104 ou 91, 04%.
d. P (0, 72 < Z < 1, 89) = P (0 < Z < 1, 89)− P (0 < Z < 0, 72)
= 0, 4706− 0, 2642 = 0, 2064 ou 20, 64%
e. P (Z < −2, 03) = P (−2, 03 < Z < 0) + P (Z > 0)
= P (0 < Z < 2, 03) + P (Z > 0) = 0, 4788 + 0, 5
= 0, 9788.
f. P (Z > 1, 08) = P (Z > 0)− P (Z > 1, 08)
= 0, 5− 0, 3599
= 0, 1401 ou 14, 01%
g. P (Z < −0, 66) = P (Z > 0)− P (−0, 66 < Z < 0)
=P (Z > 0)− P (0 < Z < 0, 66)
= 0, 5− 0, 2454 = 0, 2546 ou 25, 46%
h. P (Z < 0, 60) = P (Z < 0) + P (0 < Z < 0, 60)
= 0, 5 + 0, 2257
= 0, 7257 ou 72, 57%
2. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuic¸a˜o normal com me´dia
100 e desvio padra˜o 10. Determine a probabilidade de um indiv´ıduo submetido
60
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
ao teste ter nota:
a) maior que 120. c) entre 85 e 115.
b) maior que 80. d) maior que 100.
Soluc¸a˜o de A:
Z =
x− µ
σ
=
120− 100
10
= 2
P (Z > 2) = P (Z > 0)− P (0 < Z < 2) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
Soluc¸a˜o de B:
Z =
x− µ
σ
=
80− 100
10
= −2
P (Z > −2) = P (Z > 0) + P (−2 < Z < 0)
= P (Z > 0) + P (0 < Z < 2)
= 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
Soluc¸a˜o de C:
Z1 =
x− µ
σ
=
85− 100
10
= −1, 5
Z2 =
x− µ
σ
=
115− 100
10
= 1, 5
P (−1, 5 < Z < 1, 5) = P (−1, 5 < Z < 0) + P (0 < Z < 1, 5)
= P (0 < Z < 1, 5) + P (0 < Z < 1, 5)
= 0, 4332 + 0, 4332 = 0, 8664
Soluc¸a˜o de D:
Z =
x− µ
σ
=
100− 100
10
= 0
P (Z > 0) = 0, 5.
3. Os pesos de 600 estudantes sa˜o normalmente distribu´ıdos com me´dia
65,3kg e desvio padra˜o 5,5kg. Determine o nu´mero de estudantes que pesam:
a) entre 60 e 70kg;
b) mais que 62,5kg;
c) menos que 68kg.
Soluc¸a˜o de A:
Z1 =
x− µ
σ
=
60− 65, 3
5, 5
= −0, 96
61
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Z2 =
x− µ
σ
=
70− 65, 3
5, 5
= 0, 85
P (−0, 96 < Z < 0, 85) = P (−0, 96 < Z < 0) + P (0 < Z < 0, 85)
= P (0 < Z < 0, 96) + P (0 < Z < 0, 85)
= 0, 3315 + 0, 3023 = 0, 6338
Soluc¸a˜o de B:
Z =
x− µ
σ
=
62, 5− 65, 3
5, 5
= −0, 38
P (Z > −0, 38) = P (Z > 0) + P (−0, 38 < Z < 0) =
P (Z > 0) + P (0 < Z < 0, 38) = 0, 5 + 0, 1480
= 0, 6480
Soluc¸a˜o de C:
Z =
x− µ
σ
=
68− 65, 3
5, 5
= 0, 49
P (Z < 0, 49) = P (Z < 0) + P (0 < Z < 0, 49)
= 0, 5 + 0, 1879
= 0, 6879
4. A durac¸a˜o de um certo componente eletroˆnico tem me´dia de 850 dias e
desvio padra˜o de 40 dias. Sabendo que a durac¸a˜o e´ normalmente distribu´ıda,
calcule a probabilidade de esse componente durar:
a) entre 700 e 1000 dias;
b) mais de 800 dias;
c) menos de 750 dias.
Soluc¸a˜o de A:
Z1 =
x− µ
σ
=
700− 850
40
= −3, 75
Z2 =
x− µ
σ
=
1000− 850
40
= 3, 75
P (−3, 75 < Z < 3, 75) = P (−3, 75 < Z < 0) + P (0 < Z3, 75)
= P (0 < Z < 3, 75) + P (0 < Z < 3, 75)
= 0, 4990 + 0, 4990 = 0, 998
Soluc¸a˜o de B:
62
Estat´ıstica Fa´cil Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Z =
x− µ
σ
=
800− 850
40
= −1, 25
P (Z > −1, 25) = P (−1, 25 < Z < 0) + P (Z > 0)
= P (0 < Z < 1, 25) + P (Z > 0)
= 0, 3944 + 0, 5
= 0, 8944
Soluc¸a˜o de C:
Z =
x− µ
σ
=
750− 850
40
= −2, 5
P (Z < −2, 5) = P (Z < 0)− P (−2, 5 < Z < 0) = P (Z < 0)
= P (Z < 0)− P (0 < Z < 2, 5) = 0, 5− 0, 4938 + P (Z > 0)
= 0, 3944 + 0, 5
= 0, 0062
63
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