Aula 16 gabarito

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Movimento do projétil
Gabarito
Aula 16
Escala da foto da FIG. A.
t=012 cm
Sugestão para definição 
da escala: altura da calha 
de madeira
Exercício 1
escala obtida do
livro-texto:
1 cm : 3,5 cm
a)Sistema de referência cartesiano
x
y
0
Px
Py
Experimento 1 (a)- Estudo do movimento de Px
b)Tabela 1 – Amostragem posição-tempo; 
movimento de Px.
t em segundos xexp (cm) 
0 0
1/30 3,1
2/30 6,2
3/30 9,2
4/30 12,3
5/30 15,8
6/30 18,9
Experimento 1 (b)
Gráfico da função
amostragem xexp(t)
para o movimento de Px
x exp (cm)
Experimento 1 (c)
0 1/30
2,0
t(s)
4,0
2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
x
x
x
x
x
x
x
d)Modelo matemático : x(t) = a + bt
Constantes a e b usando os seguintes critérios:
(i) x(0) = a.
(ii) o ajuste da constante b, velocidade da sombra x, é feito
utilizando-se a velocidade média entre a 3a e 6a posições.
x(0) = 0 ; então a=0
vm = b para o modelo x(t)
vm =
15,8 6,2
9,6.10 96cm/ s
5 2
30 30
−
= =
−
Modelo matemático escolhido para o movimento de Px:
x(t) = 96 t (cm,s)
Experimento 1 (d)
Experimento 1 (e)
0 1/30
2,0
t(s)
4,0
2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
x
x
x
x
x
x
x
Gráfico das funções 
amostragem xexp(t)
e modelo x(t) para o 
movimento de Px.
A reta x(t) deve ser 
paralela à reta vermelha 
- que passa pelo 3º e 6º 
pontos do gráfico- cujo 
coeficiente angular é 
igual à velocidade 
média entre o 3º e o 6º 
instantes de tempo.
xexp(cm)
x(cm)
3º
6º
Experimento 1 (e)- continuação
Extrapolação máxima 
possível das funções 
modelo x(t) e y(t), 
usando a Figura 1:
0 ≤ t ≤ (1/3)s
Justificativa:
Pela foto, (1/3)s é o 
último instante de 
tempo para o qual 
temos certeza de que 
a bolinha ainda está 
em queda livre.
(1/30)s
(10/30)s
Obs.: a extrapolação poderia ser estendida até o instante em que o 
movimento é interrompido ou modificado (colisão com mesa, chão, 
mergulho em tanque com água, outro). Para isso, é necessário 
determinar o instante de tempo em que ocorre a 
interrupção/mudança. 
Ver na Tabela 1 a previsão do modelo para t =
4
s
30
Obtém-se x(4/30) = 96.4/30 = 12,8 cm 
= 4,0%
Resp.: 4,0%, 
para o 5o ponto
−
δ =
12,8 12,3
.100
12,55
Experimento 1 (f)
Experimento 2 -Estudo do movimento de Py
a)Tabela 2 – Amostragem posição-tempo
t em 
segundos
yexp em cm
0 0
1/30 0,9
2/30 2,4
3/30 5,1
4/30 8,1
5/30 12,9
6/30 18,3
Experimento 2 (b)
Gráfico da função 
amostragem yexp(t)
para o movimento 
de Py
0 1/30
2,0
t(s)
4,0
2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
x
x
x
x
x
x
x
yexp(cm)
c) Modelo matemático y(t) para o movimento de Py
modelo quadrático y(t) = α + β t + γ t2
(i) α é dado para que y(0) = yexp(0)
y(0) = yexp(0) = 0 então, a = 0
(ii) β e γ são escolhidos para que y(t) = yexp(t) nos 
instantes (2/30)s e (5/30)s.
2,4 = β (2/30) + γγγγ (2/30)2 ÷÷÷÷ 2/30
12,9 = β (5/30) + γγγγ (5/30)2 ÷÷÷÷ 5/30
Experimento 2 (c)
Dividindo cada equação pelos tempos e subtraindo 
a primeira da segunda tem-se:
γγγγ = 414 cm/s2
da segunda equação : 
ββββ = 77,4 – 414(5/30) 
tem-se β = 8,4 cm/s
y(t) = 8,4 t + 414 t2 (cm,s)
Experimento 2 (c –(ii) cont.)
Discrepância entre modelo e amostragem no
instante 0,1s. Suponha a média entre eles como 
padrão de comparação (denominador).
Obtém-se δδδδ = 2,3%
Experimento 2 (d)
Previsão do modelo x(t) para a aceleração de Px:
x(t) = 96 t ∴∴∴∴ x’’ (t) = 0
A aceleração de Px é igual a zero.
Previsão do modelo y(t) para a aceleração de Py:
y’’(t) = 828 cm/s2
positiva devido às convenções adotadas.
Exercício 2 (a)
b) Comparação entre y’’(t) e a expectativa para
essa grandeza, levando em conta a medida do
INMETRO: 9,79 m/s2. Calcular a discrepância:
−
δ =
9,79 8,28
x100
9,79
= 15%
Exercício 2 (b)
Condições iniciais dos movimentos de Px :
x(0) = 0; x’(0) = 96 cm/s
Obs: aceleração não é condição inicial
Condições iniciais dos movimentos de Py :
y(0) = 0; y’(0) = 8,4 cm/s
Exercício 2 (c)
(i) O modelo linear em t, com discrepância em torno de 4%, é 
uma boa aproximação para descrever o movimento da sombra
x, ou mais corretamente, da sombra horizontal.
Exercício 3
(ii) Para a Py (sombra vertical): modelo quadrático
a)a discrepância do modelo quadrático, para aceleração
da gravidade foi de 15%.
b)a discrepância do modelo quadrático para a coordenada y
(em t=0,1s, como exemplo) foi muito menor, 2,3%.
c)Portanto, o modelo matemático y(t) reproduz bem as medidas
tomadas da foto, yexp(t). O erro na previsão de g está na própria
foto, devido a pequenas distorções da filmagem 2D de
movimento no espaço. Pouco perceptíveis ao olho, elas se
mostram mais marcantes nos cálculos.
Exercício 3
Veremos nas próximas aulas que, na ausência de efeitos 
de atrito, as funções linear e quadrática, 
respectivamente, descrevem corretamente os 
movimentos das projeções horizontal e vertical, 
de um corpo sujeito à ação da gravidade.